回产 拿与定则架 ◇截面内力 身 令内力图的形状特征 ☆叠加法绘制弯矩图 多跨静梁 ☆静定刚架加图
1 ❖截面内力计算 ❖内 力 图 的 形 状 特 征 ❖叠 加 法 绘 制 弯 矩 图 ❖多跨静定梁 ❖静定刚架内力图
§3.↑截面内力计算 1、平面杆件的截面内力分量及正负规定M 轴力N截面上应力沿轴线切向的合力N N 以拉力为正 剪力Q截面上应力沿轴线法向的合力 以绕隔离体顺时针转为正。 弯矩M截面上应力对截面中性轴的力 矩。不规定正负,但弯矩图画 在拉侧。 2、截面内力计算方法:内力的直接算式 图示均为正的 轴力-截面一边的所有外力沿轴切向投影代数和。 轴力和剪力 剪力=截面一边的所有外力沿轴法向投影代数和,如外力绕截面 形心顺时针转动,投影取正否则取负。 弯矩=截面一边的所有外力对截面形心的外力矩之和。弯矩及外 力矩产生相同的受拉边
2 1、平面杆件的截面内力分量及正负规定 轴力N 截面上应力沿轴线切向的合力 以拉力为正。 N N 剪力Q 截面上应力沿轴线法向的合力 以绕隔离体顺时针转为正。 Q Q 弯矩M 截面上应力对截面中性轴的力 矩。不规定正负，但弯矩图画 在拉侧。 M M 图示均为正的 轴力和剪力 2、截面内力计算方法：内力的直接算式： 轴力=截面一边的所有外力沿轴切向投影代数和。 剪力=截面一边的所有外力沿轴法向投影代数和，如外力绕截面 形心顺时针转动，投影取正否则取负。 弯矩= 截面一边的所有外力对截面形心的外力矩之和。弯矩及外 力矩产生相同的受拉边。 §3.1 截面内力计算
5kN/m [例]:求截面1、截面2的内力 其小↓ N2=50-141×cos450 50kN 50kNI In Q2=-141×sin456=-100kN 2 M,=50×5-125-141×0.707×5 45141kN 三 375kN m M2=375kNm(左拉) L 25KN m N1=141×0.707=100kN 5m 51 Q1=50+5×5-141×0.707 =-25kN M1=125+141×0.707×10-50×5-5/2×52 8125kNm+)(下拉)
3 例：求截面1、截面2的内力 N2=50 N1=141×0.707=100kN Q1 = M1=125 (下拉） =－50kN －141×cos45o =812.5kNm +141×0.707×10－50×5－5/2×5² Q2= －141×sin45° ＝－100kN M2 ＝ 5m 5m 2 1 5kN/m 50kN 141kN 125kN.m ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ M2 ＝375kN.m （左拉） 45° 50×5－125－141×0.707×5 ＝－375kN.m +5×5－141×0.707 =－25kN 50 +
§3.2载与内力之间的关系 1)、微分关系 qy dN/dx=q Q+dQ dOax=-q,q向下为正N N+dN d Mdx=O X 微分关系给出了内力图的形状M 特征 M+dM 增量关系 AN=Px 0+40 P M+MM 0=-P3 N ∠M=m M N+N 增量关系说明了内力图的突变特征 y 3)、积分关系:由微分关系可得 右端剪力等于左端剪力减去该段q 0B=0A-]q,dx 的合力右端弯矩等于左端弯矩加上该段 MB=M+JOdx 剪力图的面积 4
4 dN/dx=－qx dQ/dx=－qy qy向下为正 dM/dx=Q 微分关系给出了内力图的形状 特征 M M+dM qy Q Q+dQ Δ 2）、 增量关系 N N N+ P x ΔN=－PX Q Q+ΔQ P y ΔQ=－Py m M M+ ΔM ΔM=m 增量关系说明了内力图的突变特征 3）、 积分关系：由微分关系可得 QB=QA－∫qydx MB＝MA+∫Qdx 右端剪力等于左端剪力减去该段qy 的合力；右端弯矩等于左端弯矩加上该段 剪力图的面积 1 ）、 微分关系 dx y x N q N+dN x §3.2 载与内力之间的关系
内力图形状特征 无何载区段均布荷载区段集中力作用处集中力偶作用处 平行轴线 发生突变 Q图 P 无变化 二次抛物线 出现尖点 发生突变 M图解直线 尖点指向即P的指向 凸向即q指向 m 两直线平行 注备Q0区段M图Q0处,M集中力作用截集中力偶作用面 平行于轴线达到极值面剪力无定义弯矩无定义 在自由端、铰支座、铰结点处,无集中力偶作用,截面弯矩 等于零,有集中力偶作用,截面弯矩等于集中力偶的值。5
5 内力图形状特征 无何载区段 均布荷载区段 集中力作用处 平行轴线 斜直线 Q=0区段M图 平行于轴线 Q图 M图 注备 ↓↓↓↓↓↓ 二次抛物线 凸向即q指向 Q=0处，M 达到极值 发生突变 ＋ P － 出现尖点 尖点指向即P的指向 集中力作用截 面剪力无定义 集中力偶作用处 无变化 发生突变 两直线平行 m 集中力偶作用面 弯矩无定义 ＋ － 在自由端、铰支座、铰结点处，无集中力偶作用，截面弯矩 等于零，有集中力偶作用，截面弯矩等于集中力偶的值
§3.3叠加法作弯矩图 1)、简支梁情况 小小↓小↓↓ 弯矩图叠加,是指竖标相 MA 加,而不是指图形的拼合 M′ B M(x)=M(ax)+M°(a 竖标M,如同M、M一样41 垂直杆轴AB,而不是垂直 虚线AB。! TILLI A InoiL M
7 M° 1）、简支梁情况 弯矩图叠加，是指竖标相 加，而不是指图形的拼合 M(x)=M′(x)+M °(x) 竖标M°，如同M、M′一样 垂直杆轴AB，而不是垂直 虚线AB。！ MA q MB ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ q ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ MA MB ＋ MA MB M′ MA MB M′ M M° §3.3 叠加法作弯矩图
2)、直杆情况 多影 A B Q H M )”。 QA QB° 因此,结构中的 任意直杆段都可以 采用叠加法作弯矩 B 图,作法如下: °首先求出两杆端弯矩,连一虛线, 然后以该虚线为基线, 叠加上简支梁在跨间荷载作用下的弯矩图。 8
8 2)、直杆情况 QA QB (b) (d) 因此，结构中的 任意直杆段都可以 采用叠加法作弯矩 图，作法如下： • 首先求出两杆端弯矩，连一虚线， •然后以该虚线为基线， •叠加上简支梁在跨间荷载作用下的弯矩图。 A B ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ MA ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ MB NA NB (c) ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ QA ° QB ° MA MB MA MB
4kN'm 4kN 8kN.m 2kN/m 公 3 3m 3m 3 2 (1)集中荷载作用下 (1)悬臂段分布荷载作用下 4kN 2kNm m IIITTmE-L 6kN'm (2)跨中集中力偶作用下 (2)集中力偶作用下 4kNm 4kNm 2kM 4kN (3)叠加得弯矩图 (3)叠加得弯矩图 4kNm 6kN.m 4kN'm IIUI IN 4kN'm 2kN.m
9 4kN·m 4kN·m 2kN·m 4kN·m 6kN·m 4kN·m 2kN·m 4kN·m 4kN·m 6kN·m 4kN·m 2kN·m （1）集中荷载作用下 （2）集中力偶作用下 （3）叠加得弯矩图 （1）悬臂段分布荷载作用下 （2）跨中集中力偶作用下 （3）叠加得弯矩图 3m 3m 4kN·m 4kN 3m 3m 8kN·m 2kN/m 2m
q A B E L q L2 8 Ⅵ图 q4 P2/4 91/8 Q图
10 ½L ½L L qL qL ½qL² ¼qL² qL²/8 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ qL q A B D F E qL qL ＋ － M图 Q图 ql ql2 /4 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ ql2 /8
10kN/m 60kN m 1 5kN ↓↓↓ 2m a 2m 2m那存器2m 30 30 20 30 /2 M图(kNm) 11
11 ↓↓↓↓↓↓↓ 10kN/m 60kN.m 15kN 2m 2m 2m 2m 20 M 图 (kN.m) 30 55 5 30 30 m/2 m/2 m 30
