山东建筑大学：《结构力学》第十五章 结构弹性稳定的计算

第十五章结构弹性稳定的计算 第一节一般概念 1结构设计:强度、刚度、稳定性(有细长杆的结构、受压、受拉) (细长柱、长柱、短柱、超短柱) 2平衡状态(干扰影响):稳定平衡:随遇平衡、中性平衡:不稳定平衡 3结构失稳的两种基本形式:先画图:受力图,P-Δ曲线。大挠度,小挠度理论。 (根据P△曲线): (1)分支点失稳(图15-1、图15-2):结构的平衡形式即内力和变形状态发生质的突变 原有的平衡形式成为不稳定的,同时出现新的有质的区别的平衡形式 (2)极值点失稳(图15-3):结构的平衡形式并不发生质的突变,变形按原有形式迅速增 长,以至使结构丧失承载能力 主要目的,稳定平衡→不稳定平衡状态(非唯一的平衡状态,直线形式或弯曲形式的平衡) 中性平衡状态(随遇平衡)临界状态:P或荷载参数,小挠度理论 大挠度理论→精确结果(结构变形比较大,拖带坐标系);小挠度理论→近似结果 弹性范围内:小挠度理论→P 4两类基本方法:静力法,根据临界状态的静力特征而提出的方法; 能量法,根据临界状态的能量特征而提出的方法。 K(x)= M(x) y,线弹性纯弯时,Q影响不考虑 (1+y2)2 y很小而略去不计→y=~(x) 梁的挠曲线近似微分方程 共同点:都根据结构失稳时可具有原来和新的两种平衡形式,通过寻求结构在新形式下能维 持平衡的荷载,来确定临界荷载 不同点:静力法根据静力平衡条件,能量法根据能量形式表示的平衡条件 5自由度:为确定结构失稳时所有可能的变形状态所需的独立参数数目 第二节用静力法确定临界荷载 静力法 图15-5单自由度结构 β一刚性压杆抗转弹簧的刚度(发生单位转角所需的力矩) 平衡方程∑M4=0 Plain - Bo=0 稳定方程(特征方程)P1-B=0(snq≈q≠0) B n个自由度结构→n个平衡方程(n个参数不能全为0)→稳定方程D=0→n个特征荷载的最小 者Px 例15-1试求图15-6所示结构的临界荷载。两抗侧弹性支座的刚度均为β解:平衡方程 M=0 ∑M=0

第十五章 结构弹性稳定的计算 第一节 一般概念 1 结构设计：强度、刚度、稳定性（有细长杆的结构、受压、受拉） （细长柱、长柱、短柱、超短柱） 2 平衡状态（干扰影响）：稳定平衡；随遇平衡、中性平衡；不稳定平衡 3 结构失稳的两种基本形式：先画图：受力图，P-Δ曲线。大挠度，小挠度理论。 （根据 P-Δ曲线）： （1） 分支点失稳（图 15-1、图 15-2）：结构的平衡形式即内力和变形状态发生质的突变， 原有的平衡形式成为不稳定的，同时出现新的有质的区别的平衡形式 （2） 极值点失稳（图 15-3）：结构的平衡形式并不发生质的突变，变形按原有形式迅速增 长，以至使结构丧失承载能力 主要目的，稳定平衡→不稳定平衡状态（非唯一的平衡状态，直线形式或弯曲形式的平衡） 中性平衡状态（随遇平衡）临界状态：Plj 或荷载参数，小挠度理论 大挠度理论→精确结果（结构变形比较大，拖带坐标系）；小挠度理论→近似结果。 弹性范围内：小挠度理论Pcr 4 两类基本方法：静力法，根据临界状态的静力特征而提出的方法； 能量法，根据临界状态的能量特征而提出的方法。 2 3 2 (1 ' ) ( ) '' ( ) 1 ( ) y y EI M x x x + = − = =   ，线弹性纯弯时，Q 影响不考虑， y’很小而略去不计 EI M x y ( ) '' = − 梁的挠曲线近似微分方程。 共同点：都根据结构失稳时可具有原来和新的两种平衡形式，通过寻求结构在新形式下能维 持平衡的荷载，来确定临界荷载 不同点：静力法根据静力平衡条件，能量法根据能量形式表示的平衡条件 5 自由度：为确定结构失稳时所有可能的变形状态所需的独立参数数目 第二节 用静力法确定临界荷载 一、静力法 图 15-5 单自由度结构 β—刚性压杆抗转弹簧的刚度（发生单位转角所需的力矩） 平衡方程 M A = 0 Plsin  −  = 0 稳定方程（特征方程） Pl −  = 0 （ sin     0 ） l Pcr  = n 个自由度结构→n 个平衡方程(n 个参数不能全为 0)→稳定方程 D=0→n 个特征荷载的最小 者 Pcr 例 15-1 试求图 15-6 所示结构的临界荷载。两抗侧弹性支座的刚度均为β解：平衡方程 MB = 0 MC = 0

P( )+Bl=0 Py1+21+2=0 y1、y2不全为0 Bl-P) 0 (2f-P)例 B1P+(B1)2 P J2618 382BY P=0.382B 三、位移法→稳定方程 第一类稳定:随遇平衡,满足静力平衡条件 一些微弯平衡→荷载不变→(叠加法):基本结构(放松)←(加约束)原结构 注意M不同(无P作用,有P作用两种不同情形) 稳定方程: 假定刚架处于微弯的随遇平衡状态,利用位移法建立典型方程,需要用到(轴向压力作 用下)两端固定柱(一端固定,一端铰支)在发生转角、相对侧移时,两端内力大小,可以 利用静力法推出相应的转角位移方程。 由于典型方程是关于位移未知量的齐次线性方程组,两种解的结果,也就是,根据位移 非0时维持随遇平衡的先决条件得稳定方程→最小根→P 书上三个例子。 例15-1 例1、材力中两端铰支,长度I的等截面中心受压杆件:P1(细长中心受压直杆临界力的欧 拉公式)压杆在临界力作用下失稳时,在不稳定平衡的直轴线形状下材料仍处于弹塑性状态, 有可能在微弯的形状下维持平衡 Ely=-M(X=-Pl y 通解:y= Asinkx+ Bcoskx n=k=/ VEⅠ 边界条件:①x=0,y=0→B=0;②x=1,y=0→ Asinkl=0,和图结合起来,水平方向反力为零。 P 三个位移条件两端和中间③x=1/2:y=8 A 2./'sin kI=0, 28sin CoS/sin h/ 6=0或co,=0,knz kl (n=13、5)

   − + + = − + = 2 0 ( ) 0 1 1 2 2 1 1 Py y l y l P y y y l    y1、y2 不全为 0 0 (2 ) ( ) = − − l P l l P P    P 2 -βlP+(βl) 2=0    =  = l l P l    0.382 2.618 2 3 5 P l cr = 0.382 三、位移法→稳定方程 第一类稳定：随遇平衡，满足静力平衡条件。 一些微弯平衡→荷载不变→（叠加法）：基本结构（放松）（加约束）原结构 注意 Mi 不同（无 P 作用，有 P 作用两种不同情形） 稳定方程： 假定刚架处于微弯的随遇平衡状态，利用位移法建立典型方程，需要用到（轴向压力作 用下）两端固定柱（一端固定，一端铰支）在发生转角、相对侧移时，两端内力大小，可以 利用静力法推出相应的转角位移方程。 由于典型方程是关于位移未知量的齐次线性方程组，两种解的结果，也就是，根据位移 非 0 时维持随遇平衡的先决条件得稳定方程→最小根Pij 书上三个例子。 例 15-1 例 1、材力中两端铰支，长度 l 的等截面中心受压杆件：Plj（细长中心受压直杆临界力的欧 拉公式）压杆在临界力作用下失稳时，在不稳定平衡的直轴线形状下材料仍处于弹塑性状态， 有可能在微弯的形状下维持平衡。 EIy’’= - M(x)= - Plj·y，y’’+k2y=0 通解：y=Asinkx+Bcoskx ， E I P n = k = 边界条件：①x=0，y=0B=0；②x=l，y=0Asinkl=0，和图结合起来，水平方向反力为零。 2 2 l EI P l j  = 三个位移条件 两端和中间 ③ x=l/2；y=δ sin 0 2 sin 2 sin =   kl = kl kl A   ， 0 2 /sin 2 cos 2 2 sin = kl kl kl  0 2 = 0 cos = kl  或 ， ( 1、3、5） 2 2 = n = kl n

l=x(最小值), L Euler公式: E 例2:一端固定,一端铰支 EIy”+Py=-R(l-x)(注意一次函数) y"+n2y=-(1-x) E 一般解:y= Acosnx+ Bsinnx-R(l-x)P B、R/P是未知的 边界条件 1)x=0,y=0;2)x=0,y2=0;3)x=l,y=0 两个解:0解,直线平衡;非0解,随遇平衡。 0a1=0,特征方程:D0 cosal sin al 0-atalcos(al)-sin(al=0. tg(al=al 用图解法: 两个函数曲线交点:P=n2EI=201全1n2E 72(D)2 (随遇平衡) 例3:P146 ①x=0,y=0(x=1,y=0):②x=1,y=p12;③x=1,y,=q A、B、q未知:D=0,tgnl=n12 静力法主要缺陷:微分方程无解,具有变导数不能积分,边界比较复杂。 主要步骤 1)极限临界状态,微弯平衡,P1,平衡条件 2)E/y"+M(x)=0(材力弯矩与曲率的近似关系)一一依据 3)建立M(x)与P;之间的关系,得微分方程 4)求微分方程一般解 5)引入边界条件 第三节等截面直杆的稳定 刚性支承上等截面直杆的稳定 P (D)2

n=1 时， = l =  （最小值） EI P kl lj ，L.Euler 公式： 例 2：一端固定，一端铰支 EIy’’+Py= - R(l-x) （注意一次函数） '' ( ) 2 l x EI R y +n y = − − 一般解：y=Acosnx+Bsinnx-R(l-x)/P A、B、R/P 是未知的， EI P n = 边界条件： 1） x=0，y=0；2）x=0，y’=0；3）x=l，y=0 两个解：0 解，直线平衡；非 0 解，随遇平衡。 0 cos sin 0 0 1 1 0 = − al al l  ，特征方程：D=0 0·a+alcos(al)-sin(al)=0。tg(al)=al 用图解法： 两个函数曲线交点： 2 2 2 2 ( ) 20.19 l EI l EI P n EI lj   = = = （随遇平衡） 例 3：P146 ①x=0，y=0（x=l，y=0）；②x=l1，y=·l2 ；③x=l1，y’=- A、B、未知：D=0，tgn1l1=-n1l2 静力法主要缺陷：微分方程无解，具有变导数不能积分，边界比较复杂。 主要步骤 1） 极限临界状态，微弯平衡，Plj，平衡条件 2） EIy"+M (x) = 0 （材力弯矩与曲率的近似关系）——依据 3） 建立 M（x）与 Plj 之间的关系，得微分方程 4） 求微分方程一般解 5） 引入边界条件 第三节 等截面直杆的稳定 一、刚性支承上等截面直杆的稳定 2 2 ( l) EI Plj   =

μ=1:两端铰支 u=2:一端固定,一端自由 μ=0.7:一端固定,一端铰支 μ=0.5:一端固定,一端滑动?两端固定 μ=1:两端固定,沿横向可相对移动 两端弹簧:0.5≤4<1.0 具有弹性支承的等截面直杆的稳定 多种形式:弹性支承,主要三种情况(推广价值十分重要)结构中一些杆件。注意刚度系数 含义和求解方法 如图15-8a所示刚架可用图15-8b所示刚架表示 B=32 压赣失稳时,下端转角φ1,反力矩M1=Bq,上端反力Q 平衡方程∑MB=0 Q B11 压杆挠曲线的平衡微分方程Eh=-Py+Q(l-x) y+n2y=B⑨V-x) P 稳定方程n-(B+1=0 Pl cosnl sin nI 0 PanEl 1+B1 (n)2 两端铰支:B=0, sinn==0 端固定,一端铰支:β=∞,tgnl=nl

 = 1 ：两端铰支  = 2：一端固定，一端自由  = 0.7：一端固定，一端铰支  = 0.5：一端固定，一端滑动？两端固定  = 1：两端固定，沿横向可相对移动 两端弹簧：0.5<  <1.0 二、具有弹性支承的等截面直杆的稳定 多种形式：弹性支承，主要三种情况（推广价值十分重要）结构中一些杆件。注意刚度系数 含义和求解方法 如图 15-8a 所示刚架可用图 15-8b 所示刚架表示 1 1 1 3 l EI  = 压赣失稳时，下端转角 1 ，反力矩 M1 = 11 ，上端反力 Q 平衡方程 MB = 0 l l M Q 1 11 = = 压杆挠曲线的平衡微分方程 EIy'' = −Py + Q(l − x) '' ( ) 2 1 1 l x EI y +n y = −   稳定方程 0 cos sin 0 0 ( 1) 1 0 1 1 − + = nl nl Pl n P   P=n2EI 2 1 1 (nl) l EI nl tgnl  + = 两端铰支:  1= 0 ,sinnl=0 一端固定，一端铰支:  1=  ,tgnl=nl

端弹性固定,一端自由:稳定方程mlgm/= El 端固定,一端有抗侧移弹簧支座:稳定方程lgnl=nl E/(m)3 B, l 两端各有一抗转弹簧,上端并有抗侧移弹簧: 稳定方程 例15-2试求图15-10所示刚架的临界荷载 正对称失稳:半结构,立柱为下端铰支上端弹性固定 B=2=2*2E4E (n)2 4 最小正根:nl=3.83 P=nE= (3.83)2E/1467EI 反对称失稳:半结构,压杆为下端铰支上端弹性固定,上下两端有相对侧移无水平反力 B=6i=5*2EI12E gnl=12 最小正根:nl=145 P nb≈(145)EI2.10E 例如:静力法 A,B,δ不全为0(根据y的表达式) 能量法:应变能,弹簧应变能 另一个例子: k1~弹性支承取转动刚度系数,弹性支承处产生单位转角所需的力矩 8~单位力矩在弹性固定端所产生的转角(位移),k=1/δ 结构的稳定问题:第三节

一端弹性固定，一端自由: 稳定方程 EI l nltgnl 1 = 一端固定，一端有抗侧移弹簧支座：稳定方程 3 3 3 ( ) l EI nl tgnl nl  = − 两端各有一抗转弹簧，上端并有抗侧移弹簧： 稳定方程 例 15-2 试求图 15-10 所示刚架的临界荷载。 正对称失稳：半结构，立柱为下端铰支上端弹性固定 l EI l EI i 2 4  1= 2 = 2* = 4 ( ) 1 2 nl nl tgnl + = 最小正根： nl = 3.832 2 2 2 (3.83) 14.67 l EI l EI P n EI cr = = = 反对称失稳：半结构，压杆为下端铰支上端弹性固定，上下两端有相对侧移无水平反力 l EI l EI i 2 12  1= 6 = 5* = nltgnl = 12 最小正根： nl =1.452 2 2 2 (1.45) 2.10 l EI l EI P n EI cr = = = 例如：静力法 A，B， 不全为 0（根据 y 的表达式） 能量法：应变能，弹簧应变能 另一个例子： 1 k ～弹性支承取转动刚度系数，弹性支承处产生单位转角所需的力矩  ～单位力矩在弹性固定端所产生的转角（位移）， 1 k =1/   结构的稳定问题：第三节

第四节变截面杆件的稳定 工程结构变截面杆类型: 1阶形杆 2截面的惯性矩按幂函数连续变化 二、阶形杆:两个微分方程、两个通解、五个边界条件。 位移连续:线位移,转角位移连续,共切线 1图15-16a所示阶形杆 平衡微分方程: ELy=P(O-yu) E/2y2=P(-y2) 稳定方程:1gmn1l1gn2l2 2图15-17所示阶形杆 p +p 6P SET 稳定方程:1g2hn1=3 最小根n1l,=x/3 n1 截面的惯性矩按幂函数连续变化 第五节偏心受压直杆的稳定 位移法求解有侧移刚架的叠加过程 三个位移未知量 先加约束,再放松→变形受力完全等效(分开叠加,内力、荷载、位移弹性范围内,线

第四节 变截面杆件的稳定 一、工程结构变截面杆类型： 1 阶形杆 2 截面的惯性矩按幂函数连续变化 二、阶形杆：两个微分方程、两个通解、五个边界条件。 位移连续：线位移，转角位移连续，共切线 1 图 15-16a 所示阶形杆 平衡微分方程： ( ) 1 '' 1 1 EI y = P  − y ( ) 2 '' 2 2 EI y = P  − y 稳定方程： 2 1 1 1 2 2 . n n tgn l tgn l = 1 1 EI P n = 2 2 EI P n = 2 图 15-17 所示阶形杆 1 1 1 EI P n = 1 2 1 1 2 2 2 1.5 6 n EI P EI P P n = = + = 稳定方程： 1 1 3 2 tg n l = 最小根 n1 l 1 =  / 3 2 1 2 1 2 1 4l EI P n EI cr  = = 三、截面的惯性矩按幂函数连续变化 第五节 偏心受压直杆的稳定 位移法求解有侧移刚架的叠加过程 三个位移未知量 先加约束，再放松变形受力完全等效（分开叠加，内力、荷载、位移弹性范围内，线

性比例关系) 变形的原因就是由荷载、内力(应力)应变(弯曲、剪切、拉伸)变形 刚架的失稳:假定中性平衡,P1时,微弯曲平衡状态(假设)→可能的位移 叠加法:杆端内力是杆端位移的线性函数;荷载引起的约束反力(矩)等于0;稳定方 程位移非0解→P 两者主要区别:转角位移方程不同;实际就是杆端内力与杆端位移之间的关系不同 离散:单跨超静定梁(柱)的组合体,作M图时,柱有轴向荷载时不同 结合两个例子作图说明。 第六节剪力对临界荷载的影响 y=JM +J d'ys dr2 d- yo dy 杆轴切线由于Q而产生的附加转角: dy ga dx d a dx ga EI ga dx 结合例子: 图15-19a所示两端铰支的等截面杆 k·Ed2M .M+ M=py→Eh=-p GAPy→(E-AE k·EI GAp)y+py=0 P kEI El- GA

性比例关系） 变形的原因就是由荷载、内力（应力）应变（弯曲、剪切、拉伸）变形 刚架的失稳：假定中性平衡，Plj 时，微弯曲平衡状态（假设）可能的位移 叠加法：杆端内力是杆端位移的线性函数；荷载引起的约束反力（矩）等于 0；稳定方 程位移非 0 解Plj 两者主要区别：转角位移方程不同；实际就是杆端内力与杆端位移之间的关系不同 离散：单跨超静定梁（柱）的组合体，作 Mi 图时，柱有轴向荷载时不同。 结合两个例子作图说明。 第六节 剪力对临界荷载的影响 M Q y = y + y 2 2 2 2 2 2 dx d y dx d y dx d y M Q = + = EI M − 杆轴切线由于 Q 而产生的附加转角 dx dyQ ： dx dy GA Q k Q  = = 2 2 2 2 dx d M GA k dx dQ GA k dx d yQ = −  = −  2 2 2 2 dx d M GA k EI M dx d y = − +  结合例子： 图 15-19a 所示两端铰支的等截面杆 2 2 '' dx d M G A k EI EIy M    = − + M = p  y  '' '' p y GA k EI EIy p y    = −  +  ( ) 0 '' − p  y + p  y = GA kEI EI p GA kEI EI p m − =

y=Acos mx+ Bsin mx x=0,y=0→A=0,B≠0 x=l,y=0→ Bsin ml=0→snm/=0 ml=nx;ml=丌 P kEl 丌2EI=P.12+ kEI.丌 GA P 1kE3)=app⊥xEI ZEL=EI I 欧拉临界 /2+kEI.T GA GA.12 荷载 C= 修正系数 kEl.T 如果:G=8000y =20 / cn A.12 G400

0 '' 2 y + m y = y = Acosmx + Bsin mx x = 0, y = 0  A=0, B  0 x = l, y = 0  Bsin ml = 0  sin ml = 0 ml = n ； ml =  =  − l P GA kEI EI P ij ij ij Pij GA kEI EI P l   =  + 2 2 2   ij Pe GA l l kEI EI GA kEI l EI P      =   + =  + = ) 1 1 ( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 l EI Pe  = 欧拉临界 荷载 G k GA k P GA l kEI  e  e  + = + =   + = 1 1 1 1 1 1 2 2 修正系数 如果：G=8000 2 cm kN ， 2 2 2 20 cm kN A l EI ij =  =   400 1 = G  e