安徽建筑工业学院：《弹性力学》第三章 平面问题的直角坐标解答（1/3）

第三章平面向题的直角标解答 53.1逆解法与半逆解法·多式解答 逆解法 1.逆解法框图 2.步骤(已知面力) 选择应力函数Φ a)假设一个应力函数Φ; 满足ⅴΦ=0吗? b)检查Φ是否满Φ=0 YES 求应力分量 c)根据(223)求应力分量{o} 满足何边界条件20d)检查所求应力分量0能满足什 么样的应力边界条件(2-15)边 YES 结论 e)得出函数Φ能解决何种问题

第三章 平面问题的直角坐标解答 §3.1 逆解法与半逆解法·多项式解答 1.逆解法框图 选择应力函数Φ 0 ? 满足 4  = 吗 YES 求应力分量 NO 满足何边界条件？ YES 结论 NO 2.步骤（已知面力） a）假设一个应力函数Φ； b）检查Φ是否满足 0 4   = c）根据（2—23）求应力分量{； d）检查所求应力分量{能满足什 么样的应力边界条件（2-15）边。 一. 逆解法： e)得出函数Φ能解决何种问题

二.半逆解法 1.半逆解法框图 2步骤 由边界条件选择某a)根据边界条件选择假 应力的函数式 设某应力的函数式 b).对应力的函数式积分 积分求函数Φ 求应力函数Φ 满足ⅴ4=0吗?-c)检查是d否满足=0 YES d)根据(2-23)求应力分量 求应力分量 {} N0e)检查所求应力分量{o}是否 满足边界条件吗?满足应力边界条件(2-15)边 YES f)得出问题的解 结论

二.半逆解法： 1.半逆解法框图 由边界条件选择某 应力的函数式 0 ? 满足 4  = 吗 YES 求应力分量 NO 满足边界条件吗? YES 结论 NO d）根据（2-23）求应力分量 { e）检查所求应力分量{是否 满足应力边界条件（2-15）边。 a）根据边界条件选择假 设某应力的函数式 积分求函数Φ 2.步骤 b).对应力的函数式积分 求应力函数Φ c）检查是Φ 否满足 0 4   = f)得出问题的解

平面问题的多项式解答逆解法) 1.一次函数①=ax+by+c无体积力,考察其能解决的问题 (1)检查Φ是否满足Vd=0 (D 4 (D +2 4 2+—4=0能被满足 (2)根据(223)求出应力分量{o} 2 0D fx=o 2 2 (3)考察边界条件:无体力、无面力, (4)结论:线性函数对应于无荷载的情况,应力函数 Φ的线性项不影响应力分布,研究问题时可舍去

三.平面问题的多项式解答(逆解法) （4）结论：线性函数对应于无荷载的情况，应力函数 Ф的线性项不影响应力分布，研究问题时可舍去。 （2）根据（2—23）求出应力分量{；            =     = − − =    = − =    = 0 2 0 2 2 2 2 2 x y f y a x f x y xy y y x x    1. 一次函数  = ax + by + c 无体积力，考察其能解决的问题。 （1）检查Φ是否满足 2 4 0 4 2 2 4 4 4 =    +     +    x x y y 能被满足 0 4   = （3）考察边界条件：无体力、无面力

2.二次函数 1)Φ=ax2考察其能解决的问题。 (1)检查Φ是否满足v4d=0 OD +2 十4=0能被满足 (2)根据(223)求出应力分量{o}; (D b-fx=o O (D O (3)考察边界条件:,)=f,=2a20x)=x)=0 (4)结论:Φ=ax2用来解y向均匀拉伸 同理可知Φ=cy2用来解x向均匀拉伸

2. 二次函数 （4）结论：Ф=ａx 2用来解y向均匀拉伸 同理可知 Ф=ｃy 2用来解x向均匀拉伸 （2）根据（2—23）求出应力分量{；            =     = − − =    = − =    = 0 0 0 2 2 2 2 2 x y f y x f x y xy y y x x    2 4 0 4 2 2 4 4 4 =    +     +    x x y y 能被满足 （1）检查Φ是否满足 0 4   = （3）考察边界条件：  y ) s = f y = 2a, x ) s = xy ) s = 0 考察其能解决的问题。 2 1) = ax

(3)Φ=bxy考察其能解决的问题 按照以上步骤很容易得到结果 应力分量 =0 能满足的边界条件为 C X/x=c xy /x=c yyc=f=0, ty)ysc=f C (4)二次式解决的问题小结 对于Φ=ax2 能解决图(a)的问题 ↓中↓ =0: 2a:.=0 Qa a

（4）二次式解决的问题小结 能解决图（a）的问题 (3) = bxy 考察其能解决的问题 按照以上步骤很容易得到结果 应力分量 c  x = 0, y = 0, xy = − 能满足的边界条件为 f f c f f c y y c y yx y c x x x c x xy x c y = = = = − = = = = − = = = = . . . . ) 0, ) ) 0, )     2 对于  = ax x y 0 （a） 0 2a  x = 0; y = 2a; xy =

对于Φ=cy2 能解决图(b)的问题 O.=2c:0.=0: y 2c y 对于Φ=bxy 能解决图(c)的问题 0 0:0=0. C

能解决图（ｃ）的问题 能解决图（ｂ）的问题 对于  = bxy 对于 2  = cy b  x = 0; y = 0, xy = − = 2 ; = 0; = 0 x y xy  c   （ｃ） x y 0 y （ｂ） x 0 2c

3.三次函数 Φ=ay3(体力不计)考察它能解决什么问题 1)检查Φ是否满足 ad +2 0 ax 带入计算后可以知道显然 y 满足相容方程 2)根据(223)求出应力分量{o}; 2 f y=0 d 0 Oxo

３．三次函数 2）根据（2—23）求出应力分量{； 3  = ay （体力不计）考察它能解决什么问题 1）检查Φ是否满足 2 0 4 4 2 2 4 4 4 =    +     +    x x y y 带入计算后可以知道显然 满足相容方程            =     = − − =    = − =    = 0 0 6 2 2 2 2 2 x y f y x f x ay y xy y y x x    x y L 2 h 2 0 h

3)根据应力边界条件(2-15)边确定相对应的面 力分量。 h a)检查上、下边界(主边界)y=± 的:()。+m(=fx +12(O h = f,=0 h 说明上、下边界没有面力。 b)检查左、右边界(次边界)f2=0,f,=0

3）根据应力边界条件（2-15）边确定相对应的面 力分量。 a）检查上、下边界（主边界） 2 h y =  由： ( ) ( ) ( ) ( ) y s y s xy x s x s xy m f m f + = + =       ( ) ( ) x h y xy y h y y f f = = = = 2 2   0 0 = = x y f f 说明上、下边界没有面力。 b）检查左、右边界（次边界） = 0, = 0 x y f f

由 (ax)。+m(zx) (xx)+m(a,) 1(a)0=f fx=-6 xy/x 0 f=0 x= f=6 C 丿x=L y f,=0 解决矩形截面梁纯弯曲问题 y

由： ( ) ( ) ( ) ( ) y s y s xy x s x s xy m f m f + = + =       ( ) ( ) ( ) ( ) y x L xy x x L x y x xy x x x f f f f = = − = − = = = = =     0 0 1 1 0 6 = = y x f f ay 0 6 = = − y x f f ay 0 2 h 2 h x y L 解决矩形截面梁纯弯曲问题

53.2矩截面粱的纯弯曲 计算模型矩形截面梁,体力不计 考察两种情形: 艺1)宽度远小于深度 和长度(平面应力) 2)宽度远大于深度 和长度(平面应变) 取单位宽度梁研究:令单位宽度上力偶的矩为M 注:M的量纲为[力][长度]/[长度]=[力])

§3.2 矩形截面梁的纯弯曲 一. 计算模型 矩形截面梁，体力不计 考察两种情形： 1）宽度远小于深度 和长度（平面应力） 2）宽度远大于深度 和长度（平面应变） 取单位宽度梁研究：令单位宽度上力偶的矩为M 注：M的量纲为[力][长度]/[长度]=[力]） 1 y z h M 0 L L x M y 2 h 2 h