第六章理想流体动力 实际流体都有粘性,在流体力学研究中,为了简 化问题,引进了理想流体这一假设的流体模型,理想 流体的粘度为0。在实际分析中,如果流 很小 且质点间的相对速度又不大时,粘性应力 把这类流体看成是理想流体。理想流体一般不存在热 传导和扩散效应。 理想流体除了对研究流体运动规律具有理论意义,而 且对解决某些工程实际问题具有指导意义。本章将对 理想流体运动作较为详细的探讨
第六章 理想流体动力学 实际流体都有粘性，在流体力学研究中，为了简 化问题，引进了理想流体这一假设的流体模型，理想 流体的粘度为0。在实际分析中，如果流体粘度很小， 且质点间的相对速度又不大时，粘性应力是很小的， 把这类流体看成是理想流体。理想流体一般不存在热 传导和扩散效应。 理想流体除了对研究流体运动规律具有理论意义，而 且对解决某些工程实际问题具有指导意义。本章将对 理想流体运动作较为详细的探讨
节 面势流 平面流动是指对任一时刻,流场中各点的速度都 平行于某一固定平面的流动,并且流场中物理量(如 温度、速度、压力、密度等)在流动平面的垂直方向 上没有变化。即所有决定运动的函数仅与两个坐标及 时间有关。 在实际流动中,并不存在严格意义上的平面流动 而只是一种近似。如果流动的物理量在某一个方向的 变化相对其他方向上的变化可以忽略,而且在此方向 上的速度很小时,就可简化为平面流动问题处理。 后面讨论的都是平面势流,势流(有势流动)就 是无旋流动,其流场中每个流体微团不发生旋转,角 速度a=0
第一节 平面势流 平面流动是指对任一时刻，流场中各点的速度都 平行于某一固定平面的流动，并且流场中物理量（如 温度、速度、压力、密度等）在流动平面的垂直方向 上没有变化。即所有决定运动的函数仅与两个坐标及 时间有关。 在实际流动中，并不存在严格意义上的平面流动， 而只是一种近似。如果流动的物理量在某一个方向的 变化相对其他方向上的变化可以忽略，而且在此方向 上的速度很小时，就可简化为平面流动问题处理。 （图1） 后面讨论的都是平面势流，势流（有势流动）就 是无旋流动，其流场中每个流体微团不发生旋转，角 速度 = 0
图 1 绕冀型的流动
第二节速度势函数和 流函数 速度势函数 有势流动〔无旋流动)流体微团角速度O=0,或 =,i+O,j+Ok=0 得到o )=0全微分存在的充分必要条件: 若u=xyzt的各偏导数都存在且)=0 连续,则有 所以 db dx+dy+dz+dt 上式成立,意味着在流云 x 分的充分必要条件,用Φ(x,y,z1表示,该函数的全微分 为 定常流动,不考虑 和=+,h+里的影响,提爹变(1)
第二节 速度势函数和 流函数 一 速度势函数 有势流动（无旋流动）流体微团角速度 ，或 得到 所以 上式成立，意味着在流动空间构成一个函数，满足全微 分的充分必要条件，用Φ(x,y,z,t)表示，该函数的全微分 为： (1) = 0 =x i + y j +z k = 0 ( ) 0 2 1 = − = z v y v y z x ( ) 0 2 1 = − = x v z vx z y ( ) 0 2 1 = − = y v x vy x z z v y vz y = x v z vx z = y v x vy x = d v dx v dy v dz = x + y + z 定常流动，不考虑 t的影响，t是参变 量 全微分存在的充分必要条件： 若u=f(x,y,z,t)的各偏导数都存在且 连续，则有 dt t u dz z u dy y u dx x u du + + + =
①函数的全微分如=如女+a女 (2) 比较(1)和(2)式,得到 adp (3) 定义函数Φ(x,yzt称为势函数,由Φ可计算得到速度 根据伯努利方程得到流场中压强的分布
Φ函数的全微分 （2） 比较（1）和（2）式，得到 （3） 定义函数Φ(x,y,z,t)称为势函数，由Φ可计算得到速度， 根据伯努利方程得到流场中压强的分布。 dz z dy y dx x d + + = x v x = y v y = z v z =
速度势函数的特性 1势函数的方向导数等于速度在该方向上的 2存在势函数的流动一定是无旋流动 3等势面与流线正交 4不可压缩流体中势函数是调和函数
速度势函数的特性 1 势函数的方向导数等于速度在该方向上的投影 2 存在势函数的流动一定是无旋流动 3 等势面与流线正交 4 不可压缩流体中势函数是调和函数
特性1 空间曲线上任取一点M(x,,),M点处流体质点速度分 量为、V、V2,取速度势函数的方向导数 如,c, as ax ds ay ds az ds 其中:a acp 而 cos(s, x) cos(s, y) coS(S,二 ds 则 ar v cos(, x)+v, cos(s, y)+v, cos(s, z)=v 速度的分量v、vv分别在曲线s的切线上的投影之和 等于速度矢量本身的投影v 速度势函数沿任意方向取偏导数的值等于该方向上的速 度分量
特性1 空间曲线s上任取一点M(x,y,z)，M点处流体质点速度分 量为vx、vy、vz，取速度势函数的方向导数 其中： ， ， 而 ， ， 则 速度的分量vx、vy、vz分别在曲线s的切线上的投影之和 等于速度矢量本身的投影vs。 速度势函数沿任意方向取偏导数的值等于该方向上的速 度分量。 ds dz ds z dy ds y dx s x + + = x v x = vy y = z v z = cos(s, x) ds dx = cos(s, y) ds dy = cos(s,z) ds dz = x y z s v s x v s y v s z v s = + + = cos( , ) cos( , ) cos( , )
特性2 设对某一流动,存在势函数Φ(xyzt),流动的角 速度分量 类似的推出 0 可见,流场存在速度势函数则流动无旋,因此流动无旋 的充分必要条件势流场有速度势函数存在
特性2 设对某一流动，存在势函数Φ(x,y,z,t)，流动的角 速度分量 类似的推出 可见，流场存在速度势函数则流动无旋，因此流动无旋 的充分必要条件势流场有速度势函数存在。 [ ( ) ( )] 0 2 1 ( ) 2 1 = − = − = z y z z y v y vz y x y =z = 0
特性3 等势面:在任意瞬时t,速度势函数取同一值的点构 成流动空间一个连续曲面,Φ(x2y,zt0=常数。 在等势面上取一点A,并在该面上过A任取一微元矢 量=+小+k=0,求与点A处速度v的标量积。 vdL=(v i+vr j+v, k).(dxi+dyj+dzk) adp =v d+v dy+v, d d r_ agp dy+-dz = dg 因为Φ(x,y,zt0=C,所以d=0 得到vdL=0 这说明一点的速度矢量与过该点的等势面是垂直的, 又因为速度矢量与流线方向一致,推出流线与等势面垂 直
特性3 等势面：在任意瞬时t0，速度势函数取同一值的点构 成流动空间一个连续曲面，Φ(x,y,z,t0)=常数。 在等势面上取一点A，并在该面上过A任取一微元矢 量 ，求 与点A处速度 的标量积。 因为Φ(x,y,z,t0)=C ，所以 dΦ=0 得到 这说明一点的速度矢量与过该点的等势面是垂直的， 又因为速度矢量与流线方向一致，推出流线与等势面垂 直。dL = dxi + dy j + dzk = 0 d L v = + + = + + = = + + + + d dz z dy y dx x v dx v dy v dz v d L ( v i v j v k ) ( dxi dy j dzk ) x y z x y z v d L = 0
特性4 不可压缩流体的连续性方程为 对于有势流动∞=,,A=,,= a2④a2Φa2b 0 即v=0,满足 Laplace方程。而满足 Laplace方程的函数 就叫做调和函数
特性4 不可压缩流体的连续性方程为 对于有势流动 ， ， 即 ，满足Laplace方程。而满足Laplace方程的函数 就叫做调和函数 = 0 + + z v y v x vx y z x v x = y v y = z v z = 0 2 2 2 = + + x y z 0 2 =