第二章 平面汇交力系与力偶系 引言 力系分为:平面力系、空间力系 平面力系 l、平面特殊力系 ①平面汇交力系 ②平面力偶系 ③平面平行力系 2、平面任意力系 ④平面一般力系 平面汇交力系: 各力的作用线都在同一平面内且汇交于一点的力系。 研究方法:几何法,解析法。 例:起重机的挂钩 §21平面汇交力系合成与平衡的几何法 、合成的几何法 1两个共点力的合成 180° R R Fi Fa cos(180°-a)=-cosa 由力的平行四边形法则作,也可用力的三角形来作。 由余弦定理 R=√F2+F2+2FF2 cos a 合力方向由正弦定理 R sin sin( 180-a) 2.任意个共点力的合成 Fi A F
第二章 平面汇交力系与力偶系 引 言 力系分为：平面力系、空间力系 平面力系 1、平面特殊力系 ①平面汇交力系 ②平面力偶系 ③平面平行力系 2、平面任意力系 ④平面一般力系 平面汇交力系： 各力的作用线都在同一平面内且汇交于一点的力系。 研究方法：几何法，解析法。 例：起重机的挂钩。 §2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法 一、合成的几何法 1.两个共点力的合成 由力的平行四边形法则作，也可用力的三角形来作。 由余弦定理： 合力方向由正弦定理： 2. 任意个共点力的合成 cos(180 −) = −cos 2 1 2 cos 2 2 2 R = F1 + F + F F sin sin(180 ) 1 − = F R
Fi A 为力多边形 R R=F+f+e+F 即:R=>F 即:平面汇交力系的合力等于各分力的矢量和,合力的作用线通过各力的汇交点。 二、平面汇交力系平衡的几何条件 平面汇交力系平衡的充要条件是: R=F=0 在上面几何法求力系的合力中,合力为零意味着力多边形自行封闭。所以平面汇交力系平衡 的必要与充分的几何条件是 在上面几何法求力系的合力中,合力为零意味着力多边形自行封闭。所以平面汇交力系平衡 的必要与充分的几何条件是:力多边形自行封闭或力系中各力的矢量和等于零
为力多边形 即： 即：平面汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线通过各力的汇交点。 二、平面汇交力系平衡的几何条件 平面汇交力系平衡的充要条件是： 在上面几何法求力系的合力中，合力为零意味着力多边形自行封闭。所以平面汇交力系平衡 的必要与充分的几何条件是： 在上面几何法求力系的合力中，合力为零意味着力多边形自行封闭。所以平面汇交力系平衡 的必要与充分的几何条件是：力多边形自行封闭或力系中各力的矢量和等于零 F2 F3 F1 F4 R R = F1 + F2 + F3 + F4 R =F R =F = 0
R 例1已知:P=10kN,BC=AC=2m,AC与BC相互垂直。 求:在P的作用下AC、BC所受力的大小。 B ①选铰链C为研究对象 ②取分离体画受力图 BC杆与AC杆是二力杆这时FBC与FAC和外力P构成一平衡力系。由平衡的几何条 件,力多边形封闭,故 =P·sina=10× 由作用力和反作用力的关系,AC、BC杆受力等于5√2(kN) 此题也可用力多边形方法用比例尺去量 几何法解题步骤:①选研究对象;②作出受力图; ③作力多边形,选择适当的比例尺; ④求出未知数 几何法解题不足:①精度不够,误差大②作图要求精度高; ③不能表达各个量之间的函数关系。 下面我们研究平面汇交力系合成与平衡的另一种方法: 解析法 2-2平面汇交力系合成与平衡的解析法 、力在坐标轴上的投影
[例 1] 已知：P=10kN, BC=AC=2m，AC 与 BC 相互垂直。 求：在 P 的作用下 AC、BC 所受力的大小。 ①选铰链 C 为研究对象 ②取分离体画受力图 ∵BC 杆与 AC 杆是二力杆,这时 FBC 与 FAC 和外力 P 构成一平衡力系。 由平衡的几何条 件，力多边形封闭，故 由作用力和反作用力的关系，AC、BC 杆受力等于 此题也可用力多边形方法用比例尺去量。 几何法解题步骤：①选研究对象；②作出受力图； ③作力多边形，选择适当的比例尺； ④求出未知数 几何法解题不足： ①精度不够，误差大 ②作图要求精度高； ③不能表达各个量之间的函数关系。 下面我们研究平面汇交力系合成与平衡的另一种方法： 解析法。 §2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法 一、力在坐标轴上的投影 F2 F3 F1 F4 F5 R A C P B 5 2( ) 2 2 FAC = FBC = Psin =10 = k N 5 2(kN)
Y Fr A Fx 力 X X-FxFcosa y=Fy=Sina=F cosb 投影 力 F=F2+F X F cosa FF Y F COS B=-= 二、合力投影定理 由图可看出,各分力在x轴和在y轴投影的和分别为: 4 F4 3 X4 由图可看出,各分力在x轴和在y轴投影的和分别为:R=x1+x2-X4=∑X R=-X+Y2+2+y4=∑ R=∑X R=∑y
力 投影 X=Fx=Fcosa ： Y=Fy=Fsina=F cosb 投影 力 二、合力投影定理 由图可看出，各分力在 x 轴和在 y 轴投影的和分别为： 由图可看出，各分力在 x 轴和在 y 轴投影的和分别为： / 2 2 F = Fx + Fy F F F X x cos = = F F F Y y cos = = Rx = X1 + X2 − X4 =X Ry = −Y1 +Y2 +Y3 +Y4 =Y Rx =X Ry =Y
合力投影定理:合力在任一轴上的投影,筹于各分力在同一轴上投影的代数和。 合力的大小:R=√R2+R2=V∑X+∑y 方向:O R Y 8=tg tg 作用点:为该力系的汇交点 三、平面汇交力系的平衡方程 从前述可知:平面汇交力系平衡的必要与充分条件是该力系的合力为零。 =0→VR2+R2=0 R=∑X R.=>Y=0 为平衡的充要条件,也叫平衡方程 已知:P=10kN,BC=AC=2m,AC与BC相互垂宜。 求:在P的作用下AC、BC所受力的大小。 BC X FaC ①选饺链C为研究对象 ②取分离体画受力图 ③列平衡方程 ∑X=0Fc·cos45°-Fcos45°=0 P+Fc·sn45°+ Fn. sin45=0 ④解平衡方程F=FBC Fc=FBC 2sin 4 2 kN 另一种列方程的方法
合力投影定理：合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和。 合力的大小： 方向： 作用点：为该力系的汇交点 三、平面汇交力系的平衡方程 从前述可知：平面汇交力系平衡的必要与充分条件是该力系的合力为零。 为平衡的充要条件，也叫平衡方程 已知：P=10kN, BC=AC=2m，AC 与 BC 相互垂直。 求：在 P 的作用下 AC、BC 所受力的大小。 ①选铰链 C 为研究对象 ②取分离体画受力图 ③列平衡方程 ④解平衡方程 另一种列方程的方法 A C P B 2 2 2 2 R = Rx + Ry = X +Y x y R R tg = − − = = X Y R R x 1 y 1 tg tg 0 0 2 2 R = Rx + Ry = = = = = 0 0 R Y R X y x X = 0 FAC cos45− FBC cos45 = 0 Y = 0 − P + FAC sin 45+ FBC sin 45 = 0 FAC = FBC P FBC FAC x y 5 2 kN 2sin 450 = = = P FAC FBC
BC F (坐标轴的方向变化可以使计算变得筒单) X=0 F-Pcos45°=0 Y=0 FB-Psn45°=0 解题技巧及说明 1、一般地,对于只受三个力作用的物体,且角度特殊时用几何法(解力三角形)比较简 2、一般对于受多个力作用的物体,无论角度不特殊或特殊,都用解析法。 3、投影轴常选择与未知力垂直,最好使每个方程中只有一个未知数。 4、对力的方向判定不准的,一般用解析法。 5、解析法解题时,力的方向可以任意设,如果求出负值,说明力方向与假设相反。对于 二力构件,一般先设为拉力,如果求出负值,说明物体受压力 §2-3平面力对点之矩的概念及计算 力对物体可以产生 移动效应取决于力的大小、方向 转动效应取决于力矩的大小、方向 力对点之矩(力矩) O0(F)=±F·d F
（坐标轴的方向变化可以使计算变得简单） 解题技巧及说明： 1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度特殊时用 几 何法（解力三角形）比较简 便。 2、一般对于受多个力作用的物体，无论角度不特殊或特殊，都用解析法。 3、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中只有一个未知数。 4、对力的方向判定不准的，一般用解析法。 5、解析法解题时，力的方向可以任意设，如果求出 负值，说明力方向与假设相反。对于 二力构件，一般先设为拉力，如果求出负值，说明物体受压力。 §2-3 平面力对点之矩的概念及计算 力对物体可以产生 移动效应--取决于力的大小、方向 转动效应--取决于力矩的大小、方向 一、力对点之矩（力矩） A C P B P FBC FAC x y X = 0 Y = 0 FAC − Pcos 45 = 0 FBC − Psin 45 = 0 MO (F) = F d - +
说明:①MF是代数量。 ②F↑,d↑转动效应明显。 ③MF是影响转动的独立因素 当0或b时,M()=0 ④国际单位Mm,工程单位kgfm ⑤MF=24ADBF,2倍∠形面积。 如果以r表示由点0到点B的矢量,由矢量积定义,r×F的大小 就是三角形0AB的面积的两倍。由此可见,此矢量积的模×F就等 于力F对点0的矩的大小,其指向与力矩的转向符合右手法则 即MO(F)=土r×F 二、合力矩定理 定理:平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩,等于所有各分力对 同一点的矩的代数和 m(R)=∑m(F) [证] r为矩心到汇交点的矢径 R为平面汇交力系的合力,即:R=F1+F2+…+Fn R为平面汇交力系的合力,即:R=F1+F+…+F 以r对上式两端作矢积,有rxR=r×F+r×F2+…+FxF
说明：① − MO F 是代数量。 ② F↑,d↑转动效应明显。 ③ − MO F 是影响转动的独立因素。 当F=0或d=0时， − MO F =0。 ④ 国际单位Nm，工程单位kgfm ⑤ − MO F =2⊿AOB=Fd ,2倍⊿形面积。 如果以 表示由点O到点B的矢量，由矢量积定义， 的大小 就是三角形OAB的面积的两倍。由此可见，此矢量积的模 就等 于力F对点O的矩的大小，其指向与力矩的转向符合右手法则。 二、合力矩定理 定理：平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩，等于所有各分力对 同一点的矩的代数和 [证] 为矩心O到汇交点A的矢径 即 MO (F) = r F R 为平面汇交力系的合力，即： R = F1 + F2 ++ Fn R 为平面汇交力系的合力，即： R = F1 + F2 ++ Fn 以 r 对上式两端作矢积，有 r r F r F = = n i mO R mO Fi 1 ( ) ( ) r Fn rR = rF1 + rF2 ++ r
由于每个力都有与点O共面,上式各矢积平行,因此上式矢量和可按 代数和计算。而各矢量积的大小就是力对点O之矩,于是证得合力矩 定理。 R A 三、力矩与合力矩的解析表达式 如图所示,已知力F,作用点A(x,y)及其夹角。求力F对坐标原点O之矩,可按合 力矩定理,通过其分力Rx与F对点O之矩而得到,即 mF)+mF) xFsin a-yF cosa 或m(F)=x-yk 上式为平面内力矩的解析表达式,X、Y为力F在x、y轴的投影(注意正负号) 对平面汇交力系合力R对坐标原点之矩的解析表达式为 m(R)=∑xH-yX 例4 已知:如图F、Q、l.求 m Q
由于每个力都有与点O共面，上式各矢积平行，因此上式矢量和可按 代数和计算。而各矢量积的大小就是力对点O之矩，于是证得合力矩 定理。 三、力矩与合力矩的解析表达式 如图所示，已知力 F，作用点 A（x，y）及其夹角 。求力 F 对坐标原点 O 之矩，可按合 力矩定理，通过其分力 Fx 与 Fy 对点 O 之矩而得到，即 或 上式为平面内力矩的解析表达式，X、Y 为力 F 在 x、y 轴的投影（注意正负号） 对平面汇交力系合力 R 对坐标原点之矩的解析表达式为 [例 4] 已知：如图 F、Q、l, 求： 和 O A r F1 F2 Fi Fn R mO (F) = mo (Fy )+ mo (Fx )= xFsin − yF cos mO (F) = xY − yX = = − n i O i i iXi m R x Y y 1 ( ) m (F) O m (Q ) o
解:①用力对点之矩定义 mo(F)=Fd=F sin a m(o) ②应用合力矩定理 (F)=F. I+Fr /-ctga = Fsin aI+ Fcos. a=F、 sin a §24平面力偶理论 力偶与力偶矩 力偶:两力大小相等,作用线不重合的反向平行力叫力偶。 性质1:力偶既没有合力,本身又不平衡,是一个基本力学量。 ①两个同向平行力的合力 大小:R=Q+P 方向:平行于Q、P且指向一致 作用点:C处 确定C点,由合力距定理 n(R)=m2(Q) B 又∵R=P+O ∴R·CB=Q·AB AB=AC+CB代入 整理得AC= CB O ②两个反向平行力的合力大小:R=QP 方向:平行于Q、P且与较大的相同 作用点:C处(推导同上 A CB CA 力偶无合力R=F-F=0 CB F CB=CA CA F F 若CB=CB+d成立必有CB→∝ ∞=∞+d∴合力的作用点在无限远处
解：①用力对点之矩定义 ②应用合力矩定理 §2-4 平面力偶理论 一、力偶与力偶矩 力偶：两力大小相等，作用线不重合的反向平行力叫力偶。 性质 1：力偶既没有合力，本身又不平衡，是一个基本力学量。 ①两个同向平行力的合力 大小：R=Q+P 方向：平行于 Q、P 且指向一致 作用点：C 处 确定 C 点，由合力距定理 ②两个反向平行力的合力 大小：R=Q-P 方向：平行于 Q、P 且与较大的相同 作用点：C 处 （推导同上） 力偶无合力 R=F'-F=0 sin ( ) l mO F = F d = F m Q Q l o ( ) = − sin sin cos ctg ( ) ctg l F l F l F m F F l F l O x y = + = = + m Q Q l o ( ) = − m (R) m (Q) B = B 又R = P+Q RCB = Q AB AB = AC +CB代入Q P CB AC 整理得 = P Q CA CB = 1 ' = = F F CA CB CB =CA 若CB =CB+d成立,必有CB→ = + d 合力的作用点在无限远处
性质2:力偶对其所在平面内任一点的矩恒等于力偶矩,而与矩心的位置无关,因此力偶对 刚体的效应用力偶矩度量 ml(R)=0. m(F)+m(F)=0.∞ 证明m(R)=0·∞为有限量 F mo(F)+mo(F F(x+d)+F F·d=mo(R) 由于O点是任取的 t=+F·d 说明:①m是代数量,有+、-; ②F、d都不独立,只有力偶矩m=±F·d是独立量 ③m的值m=±2AABC; ④单位:Mm 性质3:平面力偶等效定理 作用在同一平面内的两个力偶,只要它的力偶矩的大小相等,转向相同,则该两个力 偶彼此等效 证 设物体的某一平面上作用一力偶(FF)现沿力偶臂AB方向加一对平衡力Q,Q,再将QF合 成R,Q,F合成R,得到新力偶RR将RR移到A'B点,则(RR),取代了原力偶(F,F) 并与原力偶等效。 比较(F,F)和(RR)可得 m(F,F)=2△ABD=m(R,R 即△ABD=△ABC, 且它们转向相同 由上述证明可得下列两个推论 ①力偶可以在其作用面内任意移动,而不影响它对刚体的作用效应。 ②只要保持力偶矩大小和转向不变,可以任意改变力偶中力的大小和相应力偶臂的长短,而 不改变它对刚体的作用效应
性质 2：力偶对其所在平面内任一点的矩恒等于力偶矩，而与矩心的位置无关，因此力偶对 刚体的效应用力偶矩度量。 由于 O 点是任取的 说明：① m 是代数量，有+、-； ②F、 d 都不独立，只有力偶矩 是独立量； ③m 的值 m=±2⊿ABC ； ④单位：Nm 性质 3：平面力偶等效定理 作用在同一平面内的两个力偶，只要它的力偶矩的大小相等，转向相同，则该两个力 偶彼此等效。 [证] 设物体的某一平面上作用一力偶(F,F')现沿力偶臂 AB 方向加一对平衡力(Q,Q'),再将 Q,F 合 成 R，Q',F'合成 R'，得到新力偶(R,R'),将 R,R'移到 A',B'点，则(R,R')，取代了原力偶(F，F' ) 并与原力偶等效。 比较(F,F')和(R,R')可得 m(F,F')=2△ABD=m(R,R') =2 △ABC 即△ABD= △ABC， 且它们转向相同。 由上述证明可得下列两个推论： ①力偶可以在其作用面内任意移动，而不影响它对刚体的作用效应。 ②只要保持力偶矩大小和转向不变，可以任意改变力偶中力的大小和相应力偶臂的长短，而 不改变它对刚体的作用效应。 mO (R) = 0 mO (F) + mO (F') = 0 m = F d - + d 证明mO (R) = 0为有限量 F x d F x mO F mO F = − + + + ( ) ' ( ) ( ') F d m (R) = O = − m=Fd
