有限单元法初步 有限单元法是在矩阵位移法基础上发展起来的一种结构 分析方法,用于板壳、实体等结构的分析。 有限元分析的步骤与矩阵位移法基本相同,过程也相似。 离散化: ③3 水坝 单元分析: 整体分析: 求应力:
有限单元法初步 有限单元法是在矩阵位移法基础上发展起来的一种结构 分析方法，用于板壳、实体等结构的分析。 有限元分析的步骤与矩阵位移法基本相同，过程也相似。 1 2 4 6 3 5 离散化： 水坝 单元分析： 整体分析： 求应力：
§1杆系结构的有限单元法 §11泛函与变分 “最速落径问题”一-质量为m的小环从Δ处自由滑下, 试选择一条曲线使所需时间最短。(不计摩擦) 设路径为 X A dxrd 2 hgh Y B 称T为y(x)的泛函, y(x)为自变函数 2 即以函数作自变量以积 所需时间T[y(x)= =ydx分形式定义的函数为泛函 √2gh
§1 杆系结构的有限单元法 §1.1 泛函与变分 “最速落径问题”---质量为m的小环从A处自由滑下， 试选择一条曲线使所需时间最短。（不计摩擦） A B X Y 设路径为 y=y（x） 2 2 ds = dx + dy dx dt y dt ds v − = = 2 1 v = 2gh dx gh y dt − = 2 1 2 − = a dx gh y T y x 0 2 2 1 所需时间 [ ( )] a y 称T为y（x）的泛函， y（x）为自变函数。 即以函数作自变量以积 分形式定义的函数为泛函
§11泛函与变分 y(x)=y(x)+c8(x) 称刎(x)为y(x)的变分,它是一个无穷小的任意函数。 变分运算在形式上与微分运算相同。 Sy(x)=2y()ov(x) 微分与变分运算次序可以交换。 A (y)=() 积分与变分运算次序也可以交换。 Y Sy (x) S fLx, y(x)]dx=. SL(,y(x)Jd (x)
§1.1 泛函与变分 A X Y ( ) ( ) ( ) * y x = y x +y x ( ) 2 ( ) ( ) 2 y x = y x y x 变分运算在形式上与微分运算相同。 y=y（x） x+dx dy x ( ) * * y = y x 称 y(x) 为y（x）的变分，它是一个无穷小的任意函数。 y(x) 微分与变分运算次序可以交换。 ( ) ( ) dx dy y dx d = 积分与变分运算次序也可以交换。 = 2 1 2 1 [ , ( )] [ ( , ( ))] x x x x f x y x dx f x y x dx
512变形体虚位移原理 外力虚功 (x) SWe= q(x)v(x)dx 平衡位置 内力虚功 SW=L[M() k(x)+O(x)Sy+N(x)Se]dx 0 虚功方程 SW= dW a(x)(x)x=5[M(x)0(x)+(x)y+N(x)lbc §13势能原理 1.应变能 弯曲应变能v=P△/2 Mdx 拉压应变能v=P△/2=Nat P H △ 剪切应变能v=P2=Qk P 工△
§1.2 变形体虚位移原理 = l We q x y x dx 0 ( ) ( ) 外力虚功 = + + l Wi M x k x Q x N x dx 0 [ ( ) ( ) ( ) ( ) ] 内力虚功 虚功方程 Wi = We = + + l l q x y x dx M x k x Q x N x dx 0 0 ( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) ] §1.3 势能原理 1.应变能 弯曲应变能 P Ve = P/ 2 = l M dx 2 0 1 拉压应变能 Ve = P/ 2 = l N dx 2 0 1 P P 剪切应变能 Ve = P/ 2 = l Q dx 2 0 1 y（x） 平衡位置 q(x) y
512变形体虚位移原理 虚功方程 9()8y(x)dx //M(x)Ok(x)+O(x)5y+N(x)eDx Si 平衡位置 §13势能原理 1.应变能 弯曲应变能=P△/2=2 MDx 拉压应变能=P△/2 Pe △ 剪切应变能V。=P△/2 Ord 2.外力势能 外力从变形状态退回到无位移的 原始状态中所作的功 PPiP V=∑=3x 3.结构势能 或或 E=v+v P yx) MK+Or+NE]dx- gdx 0
2.外力势能 §1.3 势能原理 1.应变能 弯曲应变能 P P Ve = P/ 2 = l M dx 2 0 1 拉压应变能 Ve = P/ 2 = l N dx 2 0 1 P 剪切应变能 Ve = P/ 2 = l Q dx 2 0 1 1 2 3 P1 P2 P3 外力从变形状态退回到无位移的 原始状态中所作的功. Ve = −Pi i * y(x) q(x) = − l Ve q x y x dx 0 * ( ) ( ) 3.结构势能 * EP =Ve +VP §1.2 变形体虚位移原理 虚功方程 = + + l l q x y x dx M x k x Q x N x dx 0 0 ( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) ] y（x） 平衡位置 q(x) y = + + − l l M Q N dx qydx 0 0 [ ] 2 1
512变形体虚位移原理 虚功方程 9()8y(x)dx //M(x)Ok(x)+O(x)5y+N(x)eDx Si 平衡位置 §13势能原理 1.应变能 对于线弹性杆件体系 弯曲应变能。=P△/2 Mdx E、Q N 拉压应变能V=PA/2 GA EA 剪切应变能=P△/2 Orx E +9+Nk P 2 JO EI GA EA 2.外力势能 外力从变形状态退回到移的 原始状态中所作的功 gdx V=∑=3x 3.结构势能 E=v+v P MK+Or+NE]dx- gdx 0
§1.2 变形体虚位移原理 虚功方程 = + + l l q x y x dx M x k x Q x N x dx 0 0 ( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) ] y（x） 平衡位置 q(x) y 2.外力势能 §1.3 势能原理 1.应变能 弯曲应变能 Ve = P/ 2 = l M dx 2 0 1 拉压应变能 Ve = P/ 2 = l N dx 2 0 1 剪切应变能 Ve = P/ 2 = l Q dx 2 0 1 外力从变形状态退回到移的 原始状态中所作的功. Ve = −Pi i * = − l Ve q x y x dx 0 * ( ) ( ) 3.结构势能 * EP =Ve +VP = + + − l l M Q N dx qydx 0 0 [ ] 2 1 对于线弹性杆件体系 EI M = GA Q = EA N = = + + l P dx EA N GA Q EI M E 0 2 2 2 [ ] 2 1 − l qydx 0
512变形体虚位移原理 虚功方程 9()8y(x)dx //M(x)Ok(x)+O(x)5y+N(x)eDx Si 平衡位置 §13势能原理 4.势能原理 对于线弹性杆件体系 对于线弹性杆件体系,虚功方程为 N dM El GA EA g(xy(x)do +Ndx 0 El EA M 0- N P ax 或 2J0EⅠGAEA M O dx=s edx 02E 2A 2EA O 2 )dx- gdx]=0 2EI 2GA 2EA 即Ep=0 在弹性结构的一切可能位移中,真实位移 使结构势能取驻值。 满足结构位移边界条件的位移
§1.2 变形体虚位移原理 虚功方程 = + + l l q x y x dx M x k x Q x N x dx 0 0 ( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) ] y（x） 平衡位置 q(x) y §1.3 势能原理 4.势能原理 对于线弹性杆件体系 EI M = GA Q = EA N = = + + l P dx EA N GA Q EI M E 0 2 2 2 [ ] 2 1 − l qydx 0 对于线弹性杆件体系,虚功方程为: = + + l l dx EA N N G A Q Q EI M q x y x dx M 0 0 ( ) ( ) [ ] 或 = + + l l dx EA N GA Q EI M qydx 0 2 2 2 0 ] 2 2 2 [ + + − = l l dx qydx EA N GA Q EI M 0 0 2 2 2 ) ] 0 2 2 2 [ ( 即 EP = 0 在弹性结构的一切可能位移中，真实位移 使结构势能取驻值。 满足结构位移边界条件的位移
514基于势能原理的平面拉压杆单元的单元分析 q 形函数性质 1 EA,I(e 1.N1(O)=1N1(1)=0 N2()=0N2(1)=1 ()=(1-9)1+562 2.N1()+N2(2)=1 (2)中包含刚体位移 N]1} 若8 形(状)函数 (5)=[N]}=(N1+N2)D0=o 坐标N1--61=1,2=0时的 杆中位移 (x)=(1-7)6 1,1=0时的 杆中位移 令 自然坐标 [N]=[N1N2]--形函数矩阵
§1.4 基于势能原理的平面拉压杆单元的单元分析 单元杆端力 e e F F F = 2 1 一、建立位移模式 ---用杆端位移表示杆中位移 EA,l x 1 e q(x) F1 F2 1 2 2 单元杆端位移 e e = 2 1 设杆中任一点位移 u (x) = a + bx 1 x = 0 u(0) = 2 x = l u(l) = l a b 2 1 1 , − = = a、b称为广义坐标 1 2 ( ) (1 ) l x l x u x = − + 令 ---自然坐标 l x = 1 2 u() = (1−) + = 2 1 1 2 N N N1 =1− N2 = 形(状)函数 N1 − − 1 =1, 2 = 0 时的 杆中位移. N2 − − 2 =1, 1 = 0 时的 杆中位移. N = N1 N2 e = N ---形函数矩阵 形函数性质: 1. N1 (0) =1 N1 (1) = 0 N2 (0) = 0 N2 (1) =1 若 1 = 2 = 0 1 2 0 0 u() = N = (N + N ) = e 2. N1 ()+ N2 () =1 u( ) 中包含刚体位移
514基于势能原理的平面拉压杆单元的单元分析 、建立位移模式 q 用杆端位移表示杆中位移1上A,/(e) =[N]l} [N]=[N1N2] B1=-1//B2=1 二、应变分析 三、应力分析 用杆端位移表示杆中应变 用杆端位移表示杆中内力 杆中任一点应变 杆中任一点应力 du o=Ea =EB 杆中任一截面的轴力 dn, dN N=Ao [B]} EA[B1 B|=|B 应变矩阵
§1.4 基于势能原理的平面拉压杆单元的单元分析 EA,l x 1 e q(x) F1 F2 1 2 2 dx du = 杆中任一点应变 一、建立位移模式 ---用杆端位移表示杆中位移 N1 =1− N= N1 N2 N2 = e u = N ---应变矩阵 二、应变分析 ---用杆端位移表示杆中应变 e N dx d = e dx dN dx dN = 1 2 e = B B = B1 B2 B 1/l 1 = − B 1/l 2 = 三、应力分析 ---用杆端位移表示杆中内力 杆中任一点应力 = E e = E B 杆中任一截面的轴力 N = A e = EA B
514基于势能原理的平面拉压杆单元的单元分析 、建立位移模式 q 用杆端位移表示杆中位移1上A,/(e) =[N]l} [N]=[N1N2] 单元应变能 N(xE(x)dx 二、应变分析 用杆端位移表示杆中应变2E42F5}么 E=BlE B,=-1/l EA[B]S[BIer B]=[B1B]B2=1/1 三、应力分析 1E45[B[B]15}1 用杆端位移表示杆中内力 单元外力势能 N= EAlB ]l} }{F+(x)(x)) 四、单元分析 用杆端位移表示杆端力 }{F+,q(xNk句) (F)+9(x[N))
§1.4 基于势能原理的平面拉压杆单元的单元分析 EA,l x 1 e q(x) F1 F2 1 2 2 一、建立位移模式 ---用杆端位移表示杆中位移 N1 =1− N= N1 N2 N2 = e u = N 二、应变分析 ---用杆端位移表示杆中应变 e = B B = B1 B2 B 1/l 1 = − B 1/l 2 = 三、应力分析 ---用杆端位移表示杆中内力 e N = EA B 四、单元分析 ---用杆端位移表示杆端力 单元应变能 = l Ve N x x dx 0 ( ) ( ) 2 1 = l e e EA B B dx 2 0 1 单元外力势能 EAB B l e e = 2 1 EA B B l T e Te = 2 1 = − + T e l e VP F q x u x dx 0 * ( ( ) ( ) ) = − + e l e Te F q x N dx 0 ( ( ) ) = − + l e Te F q x N dx 0 ( ( ) )