2-8整体分析 对单元的分析得出单元刚度矩阵,下面,将各单元组合成 结构,进行整体分析 图示结构的网格共有四 1/y 个单元和六个结点。在结 点1、4、6共有四个支杆支 承。结构的载荷已经转移 3 为结点载荷。 整体分析的四个步骤 1、建立整体刚度矩阵; 2、根据支承条件修改整体 刚度矩阵 NP 3、解方程组,求结点位移; 4、根据结点位移求出应力 a——a川
2-8 整体分析 2 ③ ④ ① ② Py3 Px3 3 1 4 5 6 Px2 Py1 a a a a 图示结构的网格共有四 个单元和六个结点。在结 点1、4、6共有四个支杆支 承。结构的载荷已经转移 为结点载荷。 整体分析的四个步骤： 1、建立整体刚度矩阵； 2、根据支承条件修改整体 刚度矩阵； 3、解方程组，求结点位移； 4、根据结点位移求出应力。 对单元的分析得出单元刚度矩阵，下面，将各单元组合成 结构，进行整体分析
2-8整体分析 1、建立整体刚度矩阵(也叫作结构刚度矩阵) 上图中的结构有六个结点,共有12个结点位移分量和12 个结点力分量。由结构的结点位移向量求结构的结点力向量时, 转换关系为: F=K18 分块形式为: KK 12 K 13 K 16 K, K 36 K K K K 46 F KK K KKKK K KKKK 其中子向量{6}和{}都是二阶向量,子矩阵区 是二行二列矩阵。整体刚度矩阵[K]是12*12阶矩阵
2-8 整体分析 1、建立整体刚度矩阵(也叫作结构刚度矩阵) 上图中的结构有六个结点，共有12个结点位移分量和12 个结点力分量。由结构的结点位移向量求结构的结点力向量时， 转换关系为： 分块形式为： 其中子向量 和 都是二阶向量，子矩阵 是二行二列矩阵。整体刚度矩阵[K]是12*12阶矩阵。 F = K = 6 5 4 3 2 1 6 1 6 2 6 3 6 4 6 5 6 6 5 1 5 2 5 3 5 4 5 5 5 6 4 1 4 2 4 3 4 4 4 5 4 6 3 1 3 2 3 3 3 4 3 5 3 6 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 6 5 4 3 2 1 K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K F F F F F F i Fi Kij
2-8整体分析 2、根据支承条件修改整体刚度矩阵。 建立整体刚度矩阵时,每个结点的位移当作未知量看待,没有 考虑具体的支承情况,因此进行整体分析时还要针对支承条件加以 处理。 在上图的结构中,支承条件共有四个,即在结点1、4、6的四 个支杆处相应位移已知为零: 0 0, 0,v=0 建立结点平衡方程时,应根据上述边界条件进行处理。 3、解方程组,求出结点位移 通常采用消元法和迭代法两种方法。 4、根据结点位移求出应力
2-8 整体分析 2、根据支承条件修改整体刚度矩阵。 建立整体刚度矩阵时，每个结点的位移当作未知量看待，没有 考虑具体的支承情况，因此进行整体分析时还要针对支承条件加以 处理。 在上图的结构中，支承条件共有四个，即在结点1、4、6的四 个支杆处相应位移已知为零： 建立结点平衡方程时，应根据上述边界条件进行处理。 3、解方程组，求出结点位移。 通常采用消元法和迭代法两种方法。 4、根据结点位移求出应力。 u1 = 0，u4 = 0，v4 = 0，v6 = 0
2-9整体刚度矩阵的形式 整体刚度矩阵区]是单元刚度矩阵队]的集成。 刚度集成法的物理概念: 刚度矩阵中的元素是刚度系数,即由单位结点位移引起 的结点力。 由2-8节的例题可见,与结点2和3相关的单元有单元①和 ③,当结点3发生单位位移时,相关单元①和③同时在结点2引 起结点力,将相关单元在结点2的结点力相加,就得出结构在 结点2的结点力。由此看出,结构的刚度系数是相关单元的刚 度系数的集成,结构刚度矩阵中的子块是相关单元的对应子块 的集成
2-9 整体刚度矩阵的形式 整体刚度矩阵 是单元刚度矩阵 的集成。 1、刚度集成法的物理概念： 刚度矩阵中的元素是刚度系数，即由单位结点位移引起 的结点力。 由2-8节的例题可见，与结点2和3相关的单元有单元①和 ③，当结点3发生单位位移时，相关单元①和③同时在结点2引 起结点力，将相关单元在结点2的结点力相加，就得出结构在 结点2的结点力。由此看出，结构的刚度系数是相关单元的刚 度系数的集成，结构刚度矩阵中的子块是相关单元的对应子块 的集成。 e K k
2-9整体刚度矩阵的形式 2、刚度矩阵的集成规则: 先对每个单元求出单元刚度矩阵 然后将其中的每 个子块k送到结构刚度矩阵中的对应位置上去,进行迭 加之后即得出结构刚度矩阵[K]的子块,从而得出结构刚度矩 阵[K]。 关键是如何找出[中的子块在[K]中的对应位置。这 需要了解单元中的结点编码与结构中的结点编码之间的对应关 系
2-9 整体刚度矩阵的形式 2、刚度矩阵的集成规则： 先对每个单元求出单元刚度矩阵 ，然后将其中的每 个子块 送到结构刚度矩阵中的对应位置上去，进行迭 加之后即得出结构刚度矩阵[K]的子块，从而得出结构刚度矩 阵[K]。 关键是如何找出 中的子块在[K]中的对应位置。这 需要了解单元中的结点编码与结构中的结点编码之间的对应关 系。 e k kij e k
2-9整体刚度矩阵的形式 2、刚度矩阵的集成规则: 结构中的结点编码称为 结点的总码,各个单元的三 个结点又按逆时针方向编为 i,j,m,称为结点的局部码。 2|m 单元刚度矩阵中的子块 m 是按结点的局部码排列的, 而结构刚度矩阵中的子块是 按结点的总码排列的。因此, m m 在单元刚度矩阵中,把结点 6的局部码换成总码,并把其 中的子块按照总码次序重新 排列。 a a
2-9 整体刚度矩阵的形式 2、刚度矩阵的集成规则： 2 ③ ④ ① ② 3 1 4 5 a a a a 6 j1 m3 m2 m1 i4 i3 i1 i2 j4 j3 j2 m4 结构中的结点编码称为 结点的总码，各个单元的三 个结点又按逆时针方向编为 i,j,m,称为结点的局部码。 单元刚度矩阵中的子块 是按结点的局部码排列的， 而结构刚度矩阵中的子块是 按结点的总码排列的。因此， 在单元刚度矩阵中，把结点 的局部码换成总码，并把其 中的子块按照总码次序重新 排列
2-9整体刚度矩阵的形式 以单元②为例,局部码i,j,m对应于总码5,2,4,因此队 中的子块按照总码重新排列后,得出扩大矩阵K|为: 局部码 J2 总码1 2 4 K12 [Kim1? [K 1 4 IK [KmmIPIK [Ki]2 [Kim 11[K 6
2-9 整体刚度矩阵的形式 以单元②为例，局部码i,j,m对应于总码5,2,4，因此 中的子块按照总码重新排列后，得出扩大矩阵 为： (2) k (2) K (2) j j [K ] (2) j m [K ] (2) j i [K ] (2) mj [K ] (2) mm [K ] (2) mi [K ] (2) i j [K ] (2) i m [K ] (2) i i [K ] 2 j m2 2 i 2 j m2 2 i 1 2 6 5 4 3 2 1 3 4 5 6 局部码 总码
2-9整体刚度矩阵的形式 用同样的方法可得出其他单元的扩大矩阵]]时 将各单元的扩大矩阵迭加,即得出结构刚度矩阵[K] ]=+++图=∑图 集成规则包含搬家和迭加两个环节: 1、将单元刚度矩阵时]中的子块搬家,得出单元的扩 大刚度矩阵[]。 2、将各单元的扩大刚度矩阵时迭加,得出结构刚度 矩阵[K]。 (例题略)
2-9 整体刚度矩阵的形式 用同样的方法可得出其他单元的扩大矩阵 将各单元的扩大矩阵迭加，即得出结构刚度矩阵[K]： 集成规则包含搬家和迭加两个环节： 1、将单元刚度矩阵 中的子块搬家，得出单元的扩 大刚度矩阵 。 2、将各单元的扩大刚度矩阵 迭加，得出结构刚度 矩阵[K]。 (例题略) (1) (3) (4) K 、K 、K = + + + = (1) (2) (3) (4) (e) K K K K K K e k e K e K
局部码 m3,J4 总码→1 4 6 K KiI [Km]0 lK (2)[K;y +[Kn]3) +[kmi +[K; lK 1) +[K (3) [Km 1 +Kii] +KmI 4 [Kmm 12) [Km] [K1]2) +[K ]0[Km 14) +[K
(1) j j [K ] (2) mm [K ] (2) mi [K ] (1) j m [K ] (1) j i [K ] (2) j m [K ] (4) i i [K ] (4) mi [K ] (4) j i [K ] m2 1 j m2 4 i 1 2 6 5 4 3 2 1 3 4 5 6 局部码 总码 1 2 3 m , j ,i 1 3 4 i ,m , j 2 3 m4 i , j , 3 2 1 i j m 1 j 4 3 1 j m i 4 3 2 m j i 4 i (1) mm [K ] (2) j j +[K ] (3) i i +[K ] (1) mi [K ] (3) i m +[K ] (1) i i [K ] (3) mm +[K ] (4) j j +[K ] (2) j i [K ] (3) i j +[K ] (3) mj [K ] (4) j m +[K ] (2) i i [K ] (3) j j +[K ] (4) mm +[K ]
2-10支承条件的处理 整体刚度矩阵[K]求出后,结构的结点力{F}可表示为 F}=K8} 在无支杆的结点处,结点力就等于已知的结点载荷。在 有支杆的结点处,则求结点力时,还应把未知的支杆反力考 虑在内。如果用{}表示结点载荷和支杆反力组成的向量,则 结点的平衡方程为KJ}= 根据支承条件对平衡方程加以处理。先考虑结点n有水平 支杆的情况。与结点n水平方向对应的平衡方程是第2n-1个方 程 u1+k2n12y+…+K 2n-12n-u.+K +.=P 2n-12n 根据支承情况,上式应换成un=0,即在[K]中,第 2n-1行的对角线元素K2n12n应改为1,该行全部非对角线元 素应改为0。在{P}中,第2n-1个元素P应改为0。 此外,为了保持矩阵[K]的对称性,则第2n-1列全部非对 角线元素也改为0
2-10 支承条件的处理 整体刚度矩阵[K]求出后，结构的结点力{F}可表示为 在无支杆的结点处，结点力就等于已知的结点载荷。在 有支杆的结点处，则求结点力时，还应把未知的支杆反力考 虑在内。如果用{P}表示结点载荷和支杆反力组成的向量，则 结点的平衡方程为 根据支承条件对平衡方程加以处理。先考虑结点n有水平 支杆的情况。与结点n水平方向对应的平衡方程是第2n-1个方 程， 根据支承情况，上式应换成 ，即在[K]中，第 2n-1行的对角线元素 应改为1，该行全部非对角线元 素应改为0。在{P}中，第2n-1个元素 应改为0。 此外，为了保持矩阵[K]的对称性，则第2n-1列全部非对 角线元素也改为0。 F=[K]δ [K]δ= P 2 n 1,1 1 2 n 1,2 1 2 n 1,2n 1 n 2 n 1,2n n Pxn K u + K v +...+ K u + K v +... = − − − − − u 0 n = K2n−1,2n−1 Pxn