1有限元法简介 11有限单法的形成 在工程技术领域内,经常会遇到两类典型的问题。其中的第一类问题,可以归结为有限 个已知单元体的组合。例如,材料力学中的连续梁、建筑结构框架和桁架结构。我们把这类 问题,称为离散系统。如图1-1所示平面桁架结构,是由6个承受轴向力的“杆单元”组成 尽管离散系统是可解的,但是求解图1-2所示这类复杂的离散系统,要依靠计算机技术 2P 图1-1平面桁架系统 u4440000
1 有限元法简介 1.1 有限单法的形成 在工程技术领域内，经常会遇到两类典型的问题。其中的第一类问题，可以归结为有限 个已知单元体的组合。例如，材料力学中的连续梁、建筑结构框架和桁架结构。我们把这类 问题，称为离散系统。如图 1-1 所示平面桁架结构，是由 6 个承受轴向力的“杆单元”组成。 尽管离散系统是可解的，但是求解图 1-2 所示这类复杂的离散系统，要依靠计算机技术。 图 1-1 平面桁架系统
图1-2大型编钟“中华和钟”的振动分析及优化设计(曾攀教授) 第二类问题,通常可以建立它们应遵循的基本方程,即微分方程和相应的边界条件。例 如弹性力学问题,热传导问题,电磁场问题等。由于建立基本方程所研究的对象通常是无限 小的单元,这类问题称为连续系统 Portion of a V6 Engine O block Q 图1-3V6引擎的局部 下面是热传导问题的控制方程与换热边界条件 a aT(T +Q=p (1-1) 初始温度场也可以是不均匀的,但各点温度值是已知的: (1-2 通常的热边界有三种,第三类边界条件如下形式: (1-3) 尽管我们已经建立了连续系统的基本方程,由于边界条件的限制,通常只能得到少数简 单问题的精确解答。对于许多实际的工程问题,还无法给出精确的解答,例如,图1-3所示 V6引擎在工作中的温度分布。这为解决这个困难,工程师们和数学家们提出了许多近似方 法 在寻找连续系统求解方法的过程中,工程师和数学家从两个不同的路线得到了相同的结 果,即有限元法。有限元法的形成可以回顾到二十世纪50年代,来源于固体力学中矩阵结 构法的发展和工程师对结构相似性的直觉判断。从固体力学的角度来看,桁架结构等标准离 散系统与人为地分割成有限个分区后的连续系统在结构上存在相似性
图 1-2 大型编钟“中华和钟”的振动分析及优化设计（曾攀教授） 第二类问题，通常可以建立它们应遵循的基本方程，即微分方程和相应的边界条件。例 如弹性力学问题，热传导问题，电磁场问题等。由于建立基本方程所研究的对象通常是无限 小的单元，这类问题称为连续系统。 图 1-3 V6 引擎的局部 下面是热传导问题的控制方程与换热边界条件： t T Q c z T y z T x y T x + = + + （1- 1） 初始温度场也可以是不均匀的，但各点温度值是已知的： ( ) 0 0 T T x,y,z t= = （1- 2） 通常的热边界有三种，第三类边界条件如下形式： ( ) h T-Tf n T λ = − （1- 3） 尽管我们已经建立了连续系统的基本方程，由于边界条件的限制，通常只能得到少数简 单问题的精确解答。对于许多实际的工程问题，还无法给出精确的解答，例如，图 1-3 所示 V6 引擎在工作中的温度分布。这为解决这个困难，工程师们和数学家们提出了许多近似方 法。 在寻找连续系统求解方法的过程中，工程师和数学家从两个不同的路线得到了相同的结 果，即有限元法。有限元法的形成可以回顾到二十世纪 50 年代，来源于固体力学中矩阵结 构法的发展和工程师对结构相似性的直觉判断。从固体力学的角度来看，桁架结构等标准离 散系统与人为地分割成有限个分区后的连续系统在结构上存在相似性
1956年 M.J. Turner, R W. Clough, H C. Martin., L J.Topp在纽约举行的航空学会年会上介 绍了一种新的计算方法,将矩阵位移法推广到求解平面应力问题。他们把结构划分成一个个 三角形和矩形的“单元”,利用单元中近似位移函数,求得单元节点力与节点位移关系的单 乇刚度矩阵 1954-1955年, J H Argyris在航空工程杂志上发表了一组能量原理和结构分析论文 1960年, Clough在他的名为“ The finite element in plane stress analysis”的论文中首次 提出了有限元( finite element)这一术语 数学家们则发展了微分方程的近似解法,包括有限差分方法,变分原理和加权余量法。 在1963年前后,经过 JE Besseling, RJ. Melosh, REJones, R GAllaher, THH Pian(卞 学磺)等许多人的工作,认识到有限元法就是变分原理中Rtz近似法的一种变形,发展了 用各种不同变分原理导出的有限元计算公式 1965年 o C Zienkiewicz和 Y.K. Cheung(张佑启)发现只要能写成变分形式的所有场问 题,都可以用与固体力学有限元法的相同步骤求解。 1969年 BSZabo和 G C. Lee指出可以用加权余量法特别是 Galerkin法,导出标准的有 限元过程来求解非结构问题 我国的力学工作者为有限元方法的初期发展做出了许多贡献,其中比较著名的有:陈伯 屏(结构矩阵方法),钱令希(余能原理),钱伟长(广义变分原理),胡海昌(广义变分原 理),冯康(有限单元法理论)。遗憾的是,从1966年开始的近十年期间,我国的研究工作 受到阻碍。 12有限元法的基本思路 有限元法的基本思路可以归结为:将连续系统分割成有限个分区或单元,对每个单元提 出一个近似解,再将所有单元按标准方法组合成一个与原有系统近似的系统。 下面用在自重作用下的等截面直杆来说明有限元法的思路。 等截面直杆在自重作用下的材料力学解答
1956 年 M..J.Turner, R.W.Clough, H.C.Martin, L.J.Topp 在纽约举行的航空学会年会上介 绍了一种新的计算方法，将矩阵位移法推广到求解平面应力问题。他们把结构划分成一个个 三角形和矩形的“单元”，利用单元中近似位移函数，求得单元节点力与节点位移关系的单 元刚度矩阵。 1954-1955 年，J.H.Argyris 在航空工程杂志上发表了一组能量原理和结构分析论文。 1960 年，Clough 在他的名为“The finite element in plane stress analysis”的论文中首次 提出了有限元（finite element）这一术语。 数学家们则发展了微分方程的近似解法，包括有限差分方法，变分原理和加权余量法。 在 1963 年前后，经过 J.F.Besseling, R.J.Melosh, R.E.Jones, R.H.Gallaher, T.H.H.Pian（卞 学磺）等许多人的工作，认识到有限元法就是变分原理中 Ritz 近似法的一种变形，发展了 用各种不同变分原理导出的有限元计算公式。 1965 年 O.C.Zienkiewicz 和 Y.K.Cheung（张佑启）发现只要能写成变分形式的所有场问 题，都可以用与固体力学有限元法的相同步骤求解。 1969 年 B.A.Szabo 和 G.C.Lee 指出可以用加权余量法特别是 Galerkin 法，导出标准的有 限元过程来求解非结构问题。 我国的力学工作者为有限元方法的初期发展做出了许多贡献，其中比较著名的有：陈伯 屏（结构矩阵方法），钱令希（余能原理），钱伟长（广义变分原理），胡海昌（广义变分原 理），冯康（有限单元法理论）。遗憾的是，从 1966 年开始的近十年期间，我国的研究工作 受到阻碍。 1.2 有限元法的基本思路 有限元法的基本思路可以归结为：将连续系统分割成有限个分区或单元，对每个单元提 出一个近似解，再将所有单元按标准方法组合成一个与原有系统近似的系统。 下面用在自重作用下的等截面直杆来说明有限元法的思路。 等截面直杆在自重作用下的材料力学解答
t+1 t+2 图1-4受自重作用的等截面直杆 图1-5离散后的直杆 受自重作用的等截面直杆如图所示,杆的长度为L,截面积为A,弹性模量为E,单位 长度的重量为q,杆的内力为N。试求:杆的位移分布,杆的应变和应力 N(x=q(L-x dLR_N(x)drq(L-x)dx l(x)=5 N(x)dx q (1-4) EA EA du q E=9 A 等截面直杆在自重作用下的有限元法解答 1)离散化 如图1-5所示,将直杆划分成n个有限段,有限段之间通过一个铰接点连接。称两段之 间的连接点为结点,称每个有限段为单元 第i个单元的长度为L,包含第i,计1个结点。 2)用单元节点位移表示单元内部位移 第i个单元中的位移用所包含的结点位移来表示, u(x)=u,+-+L (1-5)
图 1-4 受自重作用的等截面直杆 图 1-5 离散后的直杆 受自重作用的等截面直杆如图所示，杆的长度为 L，截面积为 A，弹性模量为 E，单位 长度的重量为 q，杆的内力为 N。试求：杆的位移分布，杆的应变和应力。 N(x) = q(L − x) EA q L x dx EA N x dx dL x ( ) ( ) ( ) − = = = = − x x Lx EA q EA N x dx u x 0 2 ) 2 ( ( ) ( ) （1- 4） (L x) EA q dx du x = = − (L x) A q x = E x = − 等截面直杆在自重作用下的有限元法解答 1）离散化 如图 1-5 所示，将直杆划分成 n 个有限段，有限段之间通过一个铰接点连接。称两段之 间的连接点为结点，称每个有限段为单元。 第 i 个单元的长度为 Li，包含第 i，i+1 个结点。 2）用单元节点位移表示单元内部位移 第 i 个单元中的位移用所包含的结点位移来表示， ( ) ( ) 1 i i i i i x x L u u u x u − − = + + （1- 5）
其中u1为第i结点的位移,x为第i结点的坐标。第i个单元的应变为E,应力为σ, 内力为N 山—dE equ N,=Ag- EA(u (1-8) 3)把外载荷集中到节点上 把第1单元和第+1单元重量的一半9(2+),集中到第计+1结点上 L i- 计+2 (2+L+1) 图1-6集中单元重量 4)建立结点的力平衡方程 对于第计1结点,由力的平衡方程可得: q(L1+L1) 令A,= 并将(1-8)代入得
其中 i u 为第 i 结点的位移， i x 为第 i 结点的坐标。第 i 个单元的应变为 i ，应力为 i ， 内力为 Ni ： i i i i L u u dx du − = = +1 （1- 6） i i i i i L E u u E ( ) 1 − = = + （1- 7） i i i i i L EA u u N A ( ) 1 − = = + （1- 8） 3）把外载荷集中到节点上 把第 i 单元和第 i+1 单元重量的一半 2 ( ) q Li + Li+1 ，集中到第 i+1 结点上。 图 1-6 集中单元重量 4）建立结点的力平衡方程 对于第 i+1 结点，由力的平衡方程可得： 2 ( ) 1 1 + + + − = i i i i q L L N N （1- 9） 令 +1 = i i i L L ，并将（1- 8）代入得：
n1+(1+)x1-x12=-9.(1+)2 (1-10) 根据约束条件,1=0。 对于第n+1个结点, (1-11) 2EA 建立所有结点的力平衡方程,可以得到由n+1个方程构成的方程组,可解出n+1个未 知的接点位移。 13有限元法的计算步骤 有限元法的计算步骤归纳为以下三个基本步骤:网格划分,单元分析,整体分析。 1.3.1网格划分 有限元法的基础是用有限个单元体的集合来代替原有的连续体。因此首先要对弹性体进 行必要的简化,再将弹性体划分为有限个单元组成的离散体。单元之间通过单元节点相连接 由单元、结点、结点连线构成的集合称为网格。 通常把三维实体划分成4面体或6面体单元的网格,平面问题划分成三角形或四边形单 元的网格 tetrahedron with 4 nodes 图1-7四面体四节点单元
2 1 2 ) 1 (1 2 (1 ) i i i i i i i L EA q u u u − + + + − + = + （1-10） 根据约束条件， u1 = 0 。 对于第 n+1 个结点， 2 n n qL N = EA qL u u n n n 2 2 − + +1 = （1-11） 建立所有结点的力平衡方程，可以得到由 n+1 个方程构成的方程组，可解出 n+1 个未 知的接点位移。 1.3 有限元法的计算步骤 有限元法的计算步骤归纳为以下三个基本步骤：网格划分，单元分析，整体分析。 1.3.1 网格划分 有限元法的基础是用有限个单元体的集合来代替原有的连续体。因此首先要对弹性体进 行必要的简化，再将弹性体划分为有限个单元组成的离散体。单元之间通过单元节点相连接。 由单元、结点、结点连线构成的集合称为网格。 通常把三维实体划分成 4 面体或 6 面体单元的网格，平面问题划分成三角形或四边形单 元的网格。 图 1-7 四面体四节点单元
M brick with 8 nodes 图1-8六面体8节点单元 图1-9三维实体的四面体单元划分
图 1-8 六面体 8 节点单元 图 1-9 三维实体的四面体单元划分
图1-10三维实体的六面体单元划分 triangle with 3 nodes 图1-11三角形3节点单元 quadrilateral with 4 nodes 图1-12四边形4节点单元
图 1-10 三维实体的六面体单元划分 图 1-11 三角形 3 节点单元 图 1-12 四边形 4 节点单元
图1-13平面问题的三角形单元划分 图1-14平面问题的四边形单元划分
图 1-13 平面问题的三角形单元划分 图 1-14 平面问题的四边形单元划分
1.3.2单元分析 对于弹性力学问题,单元分析,就是建立各个单元的节点位移和节点力之间的关系式。 由于将单元的节点位移作为基本变量,进行单元分析首先要为单元内部的位移确定一个 近似表达式,然后计算单元的应变、应力,再建立单元中节点力与节点位移的关系式 以平面问题的三角形3结点单元为例。如图1-15所示,单元有三个结点1、J、M,每 个结点有两个位移u、V和两个结点力U、V M 图1-15三角形3结点单元 单元的所有结点位移、结点力,可以表示为结点位移向量( vector) 结点位移{}= 结点力{F}= 单元的结点位移和结点力之间的关系用张量( tensor)来表示, {Fy}=区k]{ (1-12) 1.3.3整体分析 对由各个单元组成的整体进行分析,建立节点外载荷与结点位移的关系,以解出结点位 移,这个过程为整体分析。再以弹性力学的平面问题为例,如图1-16所示,在边界结点i 上受到集中力P,P作用。结点i是三个单元的结合点,因此要把这三个单元在同一结点上 的结点力汇集在一起建立平衡方程
1.3.2 单元分析 对于弹性力学问题，单元分析，就是建立各个单元的节点位移和节点力之间的关系式。 由于将单元的节点位移作为基本变量，进行单元分析首先要为单元内部的位移确定一个 近似表达式，然后计算单元的应变、应力，再建立单元中节点力与节点位移的关系式。 以平面问题的三角形 3 结点单元为例。如图 1-15 所示，单元有三个结点 I、J、M，每 个结点有两个位移 u、v 和两个结点力 U、V。 图 1-15 三角形 3 结点单元 单元的所有结点位移、结点力，可以表示为结点位移向量（vector）： 结点位移 = m m j j i i e v u v u v u 结点力 = m m j j i i e V U V U V U F 单元的结点位移和结点力之间的关系用张量（tensor）来表示， e e e F = K （1-12） 1.3.3 整体分析 对由各个单元组成的整体进行分析，建立节点外载荷与结点位移的关系，以解出结点位 移，这个过程为整体分析。再以弹性力学的平面问题为例，如图 1-16 所示，在边界结点 i 上受到集中力 i y i Px ,P 作用。结点 i 是三个单元的结合点，因此要把这三个单元在同一结点上 的结点力汇集在一起建立平衡方程