有限元分析 第二章 平面问题的有限单元法
有限元分析 第二章 平面问题的有限单元法
第二章平面问题的有限单元法 2-1、有限单元法的概念 有限单元法的计算步骤 2-3、单元位移函数 2-4、单元载荷移置 2-5、单元应力矩阵 2-6、单元刚度矩阵 2-7、单元刚度矩阵的物理意义及其性质 2-8、整体分析 2-9、整体刚度矩阵的形成 2-10、支承条件的处理 2-11、整体刚度矩阵的特点
第二章 平面问题的有限单元法 2-1、有限单元法的概念 2-2、有限单元法的计算步骤 2-3、单元位移函数 2-4、单元载荷移置 2-5、单元应力矩阵 2-6、单元刚度矩阵 2-7、单元刚度矩阵的物理意义及其性质 2-8、整体分析 2-9、整体刚度矩阵的形成 2-10、支承条件的处理 2-11、整体刚度矩阵的特点
2-1有限单元法的概念 有限单元法的发展历史: 弹性力学扩大了材料力学分析问题的范围,提高了解题的 精度。但仅仅在少数一些较简单的经典问题上,能获得较为 精确而实用的解答。由于复杂的数学运算;或难以确定简单 合理的数学模型,对于大量的工程实际问题往往难以解决。 计算机的出现引起了力学学科的变革。采用力学分析的 解析法不能解决的问题,应用数值法(以计算机为工具)可以 求出近似解。有限单元法是广泛应用的一种数值法。 有限单元法的物理概念清晰,易于掌握和应用,计算速 度快,精确程度高,具有灵活性和通用性,可以解决一些复 杂的特殊问题,例如复杂的几何形状,任意的边界条件,不 均匀的材料特性,结构中包含杆件、板、壳等不同类型的构 件等。近 十年来,广泛应用于航空、造船、土木、水 利、机械工业中
2-1 有限单元法的概念 有限单元法的发展历史： 弹性力学扩大了材料力学分析问题的范围，提高了解题的 精度。但仅仅在少数一些较简单的经典问题上，能获得较为 精确而实用的解答。由于复杂的数学运算；或难以确定简单 合理的数学模型，对于大量的工程实际问题往往难以解决。 计算机的出现引起了力学学科的变革。采用力学分析的 解析法不能解决的问题，应用数值法(以计算机为工具)可以 求出近似解。有限单元法是广泛应用的一种数值法。 有限单元法的物理概念清晰，易于掌握和应用，计算速 度快，精确程度高，具有灵活性和通用性，可以解决一些复 杂的特殊问题，例如复杂的几何形状，任意的边界条件，不 均匀的材料特性，结构中包含杆件、板、壳等不同类型的构 件等。近二、三十年来，广泛应用于航空、造船、土木、水 利、机械工业中
2-1有限单元法的概念 通过材料力学求解和有限元求解进行比较 例:等截面直杆在自重作用下的拉伸图(a) 单位杆长重量为q,杆长为,截面面积为A,弹性模数为E L N 2 EA L dx 3L3 2 EA 图2-1
2-1 有限单元法的概念 通过材料力学求解和有限元求解进行比较 例：等截面直杆在自重作用下的拉伸 图(a) 单位杆长重量为q，杆长为L，截面面积为A，弹性模数为E L x L-x L 3 L 3 L 3 0 u dx X N N N x (a) (b) (c) 图 2-1 EA qa 2 5 2 EA qa 2 8 2 EA qa 2 9 2 3 L a =
2-1有限单元法的概念 材料力学方法求解直杆拉伸:图(b)-位移法 考虑微段dx,内力N=q(Lx) dx的伸长为 N(xdx q(L-xdx △(dx) EA EA x截面上的位移: xN(xdx ①L-x)dx ①x--) EA EA EA 根据几何方程求应变,物理方程求应力。这里 应变 au ①L-X dX Ea 应力 E EA-X
2-1 有限单元法的概念 材料力学方法求解直杆拉伸： 图(b)---位移法 考虑微段dx，内力N=q (L-x) dx的伸长为 x截面上的位移： 根据几何方程求应变，物理方程求应力。这里 应变 应力 EA q(L x)dx EA N(x)dx Δ(dx) − = = ) 2 x (Lx EA q EA q(L x)dx EA N(x)dx u 2 x 0 x 0 = − − = = (L X ) EA q dX du ε x = = − (L X ) EA q σ Eε x = x = −
2-1有限单元法的概念 有限单元法求解直杆拉伸: 1、离散化 2、外载荷集中到结点上,即把投 影部分的重量作用在结点i上 i-1 q(1+ 1 图2-3 图2-2
2-1 有限单元法的概念 有限单元法求解直杆拉伸： L1 L2 Li Li+1 1 图 2-2 n n-1 i+1 i i-1 2 Li Li+1 图 2-3 i+1 i i-1 2 q (L L ) i + i+1 1、离散化 2、外载荷集中到结点上，即把投 影部分的重量作用在结点i上
2-1有限单元法的概念 有限单元法求解直杆拉伸: 3、假设线单元上的位移为线性函数 u: -u u= u X-X du u u(x) dX u Fs:=E N = AO=AE 图2-4 AE( 1
2-1 有限单元法的概念 有限单元法求解直杆拉伸： 3、假设线单元上的位移为线性函数 Li 图 2-4 i i-1 X u x i 1 x − u i−1 u (x) u i (X X ) L u u u u (x) u i 1 i i i 1 i 1 − − − − − = = + i i i 1 x L u u dX du ε − − = = ) L u u E E( i i i 1 i i − − = = ) L u u N A A E ( i i i 1 i i − − = = ) L u u N A E ( i 1 i 1 i i 1 + + + − =
2-1有限单元法的概念 有限单元法求解直杆拉伸: 4、以i结点为对象,列力的平衡方程 ∑F=0 q(L +L q(1+I+) △ 图2-5 将位移和内力的关系代入得 u-1 +(1+)u q 1+)L (2-1) 2EA 用结点位移表示的平衡方程,其中i=1,2,…,n有n个方程 未知数也有n个,解方程组,得出结点位移,进而计算应力
2-1 有限单元法的概念 有限单元法求解直杆拉伸： 4、以i结点为对象，列力的平衡方程 令 将位移和内力的关系代入得 Ni Ni+1 图 2-5 i 2 q (L L ) i + i+1 Fx = 0 2 q (L L ) N N i i 1 i i 1 + + + − = i 1 i i L L + = ) L (2 - 1) 1 (1 2EA q u (1 ) u u 2 i i i -1 i i i i 1 − + + − + = + 用结点位移表示的平衡方程，其中i=1，2，… n有n个方程 未知数也有n个，解方程组，得出结点位移，进而计算应力
2-1有限单元法的概念 有限单元法求解直杆拉伸: 假设线单元数为3个的情况, 平衡方程有3个 i=1时 EA a 丰|十 i=2时,-u1+2u2-32EA i=3时, uo+u 2EA 联立解得 图2-6 qa qa qa EA 2 EA 2EA 与材料力学的精确解答在结点处完全相同
2-1 有限单元法的概念 有限单元法求解直杆拉伸： 假设线单元数为3个的情况， 平衡方程有3个： i=1时， i=2时, i=3时， 联立解得 L1 = a L3 = a L2 = a u0 u1 u2 u3 0 1 2 3 图 2-6 2 1 2 a EA q 2 u − u = 2 1 2 3 a EA q − u + 2 u − u = 2 2 3 a 2 EA q − u + u = EA qa 2 5 u 2 1 = EA qa 2 8 u 2 2 = EA qa 2 9 u 2 3 = 与材料力学的精确解答在结点处完全相同
2-1有限单元法的概念 有限单元法的基本思路: (1)把物体分成有限大小的单元,单元间用结点相连接 (2)把单元结点的位移作为基本未知量,在单元内的位移,设 成线性函数(或其它函数),保证在单元内和单元间位移连接。 (3)将结点的位移与结点的力联系起来。 (4)列出结点的平衡方程,得出以结点位移表达的平衡方程组 (5)求解代数方程组,得出各结点的位移,根据结点位移求出 各单元中的应力。 有限单元法的基本未知量是结点位移,用结点的平衡方程 来求解
2-1 有限单元法的概念 有限单元法的基本思路： (1) 把物体分成有限大小的单元，单元间用结点相连接。 (2) 把单元结点的位移作为基本未知量，在单元内的位移，设 成线性函数(或其它函数)，保证在单元内和单元间位移连接。 (3) 将结点的位移与结点的力联系起来。 (4) 列出结点的平衡方程，得出以结点位移表达的平衡方程组。 (5) 求解代数方程组，得出各结点的位移，根据结点位移求出 各单元中的应力。 有限单元法的基本未知量是结点位移，用结点的平衡方程 来求解