第六章 Saint-venant问题 S1.问题的提出 第五章中建立了弹性力学的边值问题,现在用它来解一些具体问题。在本章中要研 究工程实际中有着广泛应用价值的柱体之拉压弯扭问题,这就是所谓的“ Saint- Venant 问题”。 我们需处理的弹性体为一正柱体Ω,其横截面G可为任意几何图形。不计体力, 柱的侧面S上无外载 内的位移场和应力场 取直角坐标系如图( z轴平行于柱体的 母线并指向右端,x轴禾 成右手系。图中表 示柱长。 图6.1 无体力时,以应力表示的弹性力学方程组为 V·T=0,(g) V2T+,VV(T)=0,()(1.2) 1+U 其中T为应力张量,J(T)为T的迹。侧面S无外载的边界条件为 nT=0, (S), 这里n为S的单位外法向。柱体左右两端的边界条件为 kT=,(z=) kT=r,(z=0), (1.5) 式中E和t分别为左右两个端面上所给定的外力,k为向的单位向量 (1.1)-(1.5)在所选直角坐标系中的分量式为
第六章 Saint-venant 问题 §1. 问题的提出 第五章中建立了弹性力学的边值问题，现在用它来解一些具体问题。在本章中要研 究工程实际中有着广泛应用价值的柱体之拉压弯扭问题，这就是所谓的“Saint-Venant 问题”。 我们需处理的弹性体为一正柱体 ，其横截面 可为任意几何图形。不计体力， 柱的侧面 上无外载，仅在两端受有外力。在此情况下，求柱体内的位移场和应力场。 取直角坐标系如图 6.1 所示，其原点 放在左端面的形心上， 轴平行于柱体的 母线并指向右端， 轴和 轴分别与截面的主轴重合，并与 轴构成右手系。图中 表 示柱长。 图 6.1 无体力时，以应力表示的弹性力学方程组为 (1.1) (1.2) 其中 为应力张量， 为 的迹。侧面 无外载的边界条件为 (1.3) 这里 为 的单位外法向。柱体左右两端的边界条件为 (1.4) (1.5) 式中 和 分别为左右两个端面上所给定的外力， 为 向的单位向量。 (1.1) (1.5)在所选直角坐标系中的分量式为
ax ay 8z 0 X a26 0 1+U 1+U 1a2 0 1+tz2 82 0 1+azax 122e 1+08xa o, cos(n, x)+I cos(n,y)=0, Tx cos( n, x)+o, cos(n,y)=0, (S), tr,(z=7), (1.10) (z=0) 这儿,①,E,E初为应力分量, ⊙=()=ax+ap+u2,(tx,4y42)=(tx,tyx)=。 我们面对的是边值问题(1.1)-(1.5),或(1.6)-(1.11)。这种精确边界条件下 的边值问题,求解相当困难。如果考虑的是长柱体,即假定柱体的长度}比截面的特征 尺寸大得多,这时,根据 Saint- Venant原理,对端面作用有两组静力等效(即合力、合 力矩相等)的载荷,那么离端面较远处两者所产生的应力相差无几。此外,在工程实际 中,端部准确的应力分布资料也难以得到,一般只能获得合力和合力矩的数值。因此
(1.6) (1.7) (1.8) (1.9) (1.10) (1.11) 这儿 为应力分量， ， 。 我们面对的是边值问题(1.1) (1.5)，或(1.6) (1.11)。这种精确边界条件下 的边值问题，求解相当困难。如果考虑的是长柱体，即假定柱体的长度 比截面的特征 尺寸大得多，这时，根据 Saint-Venant 原理，对端面作用有两组静力等效(即合力、合 力矩相等)的载荷，那么离端面较远处两者所产生的应力相差无几。此外，在工程实际 中，端部准确的应力分布资料也难以得到，一般只能获得合力和合力矩的数值。因此
通常将端面的严格边界条件用合力、合力矩给定的放松边界条件来代替。在z=l上, (1.10)可换成 J ndxdy=[i dxdy=Ry, Tyedxay=tardy=Ry o dxdy=2dxdy=R yoxdxdy=lly, dxdy=Mx ∫xo4x=-x4x小=M (x-yn)=』(x-yx,)p=M 这里(x,8,R)为给定的合外力,(Mx,My,M)为给定的关于形心的合外力矩。 类似地,在z=0上有类似的等式。条件(.12)称为 Saint- Venant意义下的放松边界条 件,也可简称为 Saint- Venant边界条件、或放松边界条件。不难证明,如果平衡方程 (1.6),侧面边界条件(1.9)和z=2的条件(1.12)成立,那么z=0的合力、合力矩条 件将自动满足 由(1.6)-(1.9)(1.12)构成了弹性力学所特有的边值问题,即所谓放松边界条件 的边值问题,通常称为“ Saint- Venant问题”。大家知道,具有同样合力合力矩的外力 分布有无穷多种,于是 Saint- Venant问题的解应有无穷多个。 Saint- Venant(1855)利 用半逆解法求出了其中的一个解。依照 Saint- Venant原理, Saint- Venant所求出的这 个解,有足够的精度代表那无穷个解。此外,所谓“半逆解法”是依据问题的特性,通 过某种物理考虑,或某种数学推测,预先对应力和位移分量作某些假定,如果这些假 定与边值问题的方程和边界条件相容,就可求出一个真解来。合理的假定将给求解带来 很大的方便 §2.问题的分类 由于我们所考虑的是线性弹性力学问题,因此可根据z=冫端部合力合力矩的情 况,将 Saint- Venant问题作下述分解: 1°简单拉伸 k×R=0,M=0
通常将端面的严格边界条件用合力、合力矩给定的放松边界条件来代替。在 上， (1.10)可换成 (1.12) 这里 为给定的合外力， 为给定的关于形心的合外力矩。 类似地，在 上有类似的等式。条件(1.12)称为 Saint-Venant 意义下的放松边界条 件,也可简称为 Saint-Venant 边界条件、或放松边界条件。不难证明，如果平衡方程 (1.6)，侧面边界条件(1.9)和 的条件(1.12)成立，那么 的合力、合力矩条 件将自动满足。 由(1.6) (1.9) (1.12)构成了弹性力学所特有的边值问题，即所谓放松边界条件 的边值问题，通常称为“Saint-Venant 问题”。大家知道，具有同样合力合力矩的外力 分布有无穷多种，于是 Saint-Venant 问题的解应有无穷多个。Saint-Venant (1855)利 用半逆解法求出了其中的一个解。依照 Saint-Venant 原理，Saint-Venant 所求出的这 个解，有足够的精度代表那无穷个解。此外，所谓“半逆解法”是依据问题的特性，通 过某种物理考虑，或某种数学推测，预先 对应力和位移分量作某些假定，如果这些假 定与边值问题的方程和边界条件相容，就可求出一个真解来。合理的假定将给求解带来 很大的方便。 §2. 问题的分类 由于我们所考虑的是线性弹性力学问题，因此可根据 端部合力合力矩的情 况，将 Saint-Venant 问题作下述分解： 简单拉伸
2°纯弯曲 R=b,k·M=0 3扭转 R=0,k×M=0 4°弯曲 k·R=0,M=0 其中R=(Ax,1,R2),M=(Mn,My,22) 本章将依次研究这四类问题,前两类问题比较简单,后两类相对复杂。 §3.简单拉仹 这时z=端面上的外力情况是 Rx=Ry=0, R+0, Mx=M,=Mx=0, Saint- Venant所给的拉伸解为 w==tm=0,a2 其中A为柱体截面G的面积。为了求位移场,利用 Hooke定律和几何关系,有 R,,82 R2 X 0 8x 8z 因此位移场为(不计刚体位移) R Rs EA EA 从(3.4)可以看出(假定v>0),当2>0时,柱体受拉,纵向伸长而横向收缩 当巫<0时,柱体受压,纵向缩短而横向膨胀,其收缩膨胀比为 Poisson常数v。实 际上,拉伸实验是弹性常数E和v的测定方法之 4.纯弯曲
纯弯曲 扭转 弯曲 其中 ， 。 本章将依次研究这四类问题，前两类问题比较简单，后两类相对复杂。 §3. 简单拉伸 这时 端面上的外力情况是 (3.1) Saint-Venant 所给的拉伸解为 (3.2) 其中 为柱体截面 的面积。为了求位移场，利用 Hooke 定律和几何关系，有 (3.3) 因此位移场为(不计刚体位移) 。 (3.4) 从(3.4)可以看出(假定 )，当 时，柱体受拉，纵向伸长而横向收缩； 当 时，柱体受压，纵向缩短而横向膨胀，其收缩膨胀比为 Poisson 常数 。实 际上，拉伸实验是弹性常数 和 的测定方法之一。 §4. 纯弯曲
这时所受外力为 Rx=R,=R=0, M. M=0 纯弯曲情况下, Saint- Venant所给的解为 x女 (4.2) 其中x和分别为截面G对x轴和y轴的惯性矩,即 L=22dxdy, I,=[x2a 确定位移场的方程为 Ly vM, 8v vM, vd y X ax El y 8w M El El au ay v w aw a 8y 8x z 8y 8x 8z 从(4.4)积分可得位移场为(不计刚体位移) M E v M y M M 今考虑中性线的挠度。为简单起见,不妨设Mx=0。所谓中性线就是截面形心组 成的直线,即z轴,在这条直线上各点的位移为 M 2EI 中性线上的点(0,0,2)变形后成为点(x,y,z)
这时所受外力为 。 (4.1) 纯弯曲情况下，Saint-Venant 所给的解为 (4.2) 其中 和 分别为截面 对 轴和 轴的惯性矩，即 (4.3) 确定位移场的方程为 (4.4) 从(4.4)积分可得位移场为(不计刚体位移)， (4.5) 今考虑中性线的挠度。为简单起见，不妨设 。所谓中性线就是截面形心组 成的直线，即 轴，在这条直线上各点的位移为 。 (4.6) 中性线上的点 变形后成为点
y 这是xz平面上的一条抛物线,设它的曲率半径为P (4.8) M El 这就是材料力学中 Bernoulli- Euler定律。对z=常数C的截面,经变形成为 如果曲率半径ρ比截面的尺度大得多,平截面假定将近似成立 §5扭转 5.1扭转的应力场 此时z=端的放松边界条件为 dxdy a=‖u2axay=0 ya2xd引 xo dxdy=0 对扭转问题,应用半逆解法, Saint- Venant预先假定
(4.7) 这是 平面上的一条抛物线，设它的曲率半径为 (4.8) 当 时，有 或 。 (4.9) 这就是材料力学中 Bernoulli-Euler 定律。对 常数 的截面，经变形成为 如果曲率半径 比截面的尺度大得多，平截面假定将近似成立。 §5 扭转 5.1 扭转的应力场 此时 端的放松边界条件为 (5.1) 对扭转问题，应用半逆解法，Saint-Venant 预先假定 (5.2)
在先验假定⑤5.2)之下,平衡方程(1.6)、应力协调方程(1.7)(1.8)和侧面边界条件(1.9) 除去自动满足的以外,尚有 8+日y a2=0.a (5.4) T cos( n,x)+Ncos( n,y)=0o 从(5.3a,b)可知剪应力τx和Ty与z无关,仅为x,y的函数,即 (x, y)o 由于(5.3c),利用下面与路径无关的线积分,定义函数F(x,y) x,y)srix y) -Ts (s,n)d5+ tx(s,m)dn, (*aa 其中(x,y)和(x,y)分别为区域G中的某个固定点和任意点,积分路径在G中是 任意的。因此,有 F 8F (5.8) ax 将(5.8)代入(5.4),得到 -(V2F)=0,(V2F) ax 上式指出,VF为常量,故可设 V2F=-2g, (5.9) 这里H为剪切模量,a为待定常数。令 则有 V-y 于是剪应力有如下表示
在先验假定(5.2)之下，平衡方程(1.6)、应力协调方程(1.7) (1.8)和侧面边界条件(1.9) 除去自动满足的以外，尚有 (5.3) (5.4) (5.5) 从(5.3a,b)可知剪应力 和 与 无关，仅为 的函数，即 (5.6) 由于(5.3c)，利用下面与路径无关的线积分，定义函数 ， (5.7) 其中 和 分别为区域 中的某个固定点和任意点，积分路径在 中是 任意的。因此，有 (5.8) 将(5.8)代入(5.4)，得到 上式指出， 为常量，故可设 (5.9) 这里 为剪切模量， 为待定常数。令 (5.10) 则有 (5.11) 于是剪应力有如下表示
ar uo X 通常称为 Prandtl应力函数,或扭转的应力函数。利用应力表达式(5.12),可将侧 面边界条件(5.5)写成 dy 0,(x,y)∈L (5.13) 在得到(5.13)时,考虑了关系式 y cos(n, x)=cos(s,y)=-. (5.14) Cos(n,y)=-c°s(s,x) 这里ds表示弧微分
(5.12) 通常称 为 Prandtl 应力函数，或扭转的应力函数。利用应力表达式(5.12)，可将侧 面边界条件(5.5)写成 (5.13) 在得到(5.13)时，考虑了关系式 (5.14) 这里 表示弧微分