第八章 位移法 Displacement method
第 八 章 位 移 法 Displacement method
§8-1、位移法的基本概念 位移法的提出 从理论上讲,用力法可以分析各种(所有) 超静定结构。困难是当未知量较多时,力法方 程不易求解。这个困难对于计算工具落后(无 电子计算机)的年代,是一个很难解决的问题 上世纪初,在力法的基础上提出了位移法 位移法最主要的研究对象是高次超静定刚架 (多层多跨刚架)
§8-1、位移法的基本概念 • 一、位移法的提出 • 从理论上讲，用力法可以分析各种（所有） 超静定结构。困难是当未知量较多时，力法方 程不易求解。这个困难对于计算工具落后（无 电子计算机）的年代，是一个很难解决的问题。 • 上世纪初，在力法的基础上提出了位移法， 位移法最主要的研究对象是高次超静定刚架 （多层多跨刚架）
基本设想:几何不变体系在一定外因(荷载、支移 温改等)作用下,内力(反力)与变形之间恒有一定关系。 P D D D B B mmmM 对应 确定的内力 确定的位移 位移法:先确定结构的某些结点位移,再据此确定其 内力。基本未知量为结点位移
基本设想：几何不变体系在一定外因（荷载、支移、 温改等）作用下，内力（反力）与变形之间恒有一定关系。 D A B C FP D A B C FP ΔC θC θD ΔD θC θD 确定的内力 确定的位移 对应 位移法：先确定结构的某些结点位移，再据此确定其 内力。基本未知量为结点位移
二、基本思路 M,、3EI F B M B B B E=常数 ∑MB=0 Mn+Mc=0A绕 2D2 2EI B P B B UB 4EI 4El 0 B B BC
B C 二、基本思路 EI=常数 FP l/2 l/2 l C A B A B θB 3 BA B EI M l FP C B C B FP 8 F l P 8 F l P 4 B EI l 2 B EI l = + θB θB θB 4 8 P BC B EI F l M l B MBA MBC ∑MB=0 MBA+M BC =0
分析上图所示刚架 刚架在荷载作用下,发生黄线所示变形。 其中,固端C,无任何位移;铰支端A,无线位移 只有铰位移;结点B,为刚结点,联结B结点的两杆杆端 有相同的转角θg忽略轴向变形,认为无线位移。 讨论:如何确定每根杆件的内力? AB杆:可视为一端铰支,一端刚结的梁,在B端发 生杆端转角θB 杆端弯矩:MBA=3EⅠθgn(a) (杆端弯矩对杆端顺时针为正)
分析上图所示刚架 • 刚架在荷载作用下，发生黄线所示变形。 • 其中，固端C，无任何位移；铰支端A，无线位移， 只有铰位移；结点B，为刚结点，联结B结点的两杆杆端 有相同的转角θB，忽略轴向变形，认为无线位移。 • 讨论：如何确定每根杆件的内力？ • AB杆：可视为一端铰支，一端刚结的梁，在B端发 生杆端转角θB • 杆端弯矩： MBA=3EIθB /l (a) • （杆端弯矩对杆端顺时针为正）
BC杆:可将其视为两端刚结的梁,其上承受竖向 荷载FP,同时在B端发生转6g 其杆端弯矩可由两部分叠加而成: MBC-FPl/8+4El 8g/(b 同理:MCB=+FM8+2EⅠBBn 由(a)、(b)式可见,如θg已知,则:MB4、 Mgc、Mcg即可知,整个刚架的弯矩图即可画出。 因此,以θ为基本未知量,并设法求出,则各杆 内力均可定出
• BC杆：可将其视为两端刚结的梁，其上承受竖向 荷载FP ，同时在B 端发生转θB。 • 其杆端弯矩可由两部分叠加而成： • M BC= -FP l /8+4EIθB /l (b) • 同理： MCB = +FP l/8+2EIθB /l • 由（a）、（b）式可见，如θB已知，则： MBA、 M BC、MCB即可知，整个刚架的弯矩图即可画出。 • 因此，以θB为基本未知量，并设法求出，则各杆 内力均可定出
由平衡条件: 刚结点B处,杆端弯矩应满足平衡条件 ∑MB=0 MtM DC=0 3E/ 6BA-FPI/8+4EI 8BA=0 c 7EI6B1-Fp/8=0 8 BFpA2/56EI 将代入(a)(b)式,则: MB=3EM·Fp/56EI +3Fp56 °MBC=Fp8+4EM·Fp2/56E=-3Fp56 MCB=+FPl/8+2EI/L. Fpl2/56El=+9Fp/56
• 由平衡条件： • 刚结点B处，杆端弯矩应满足平衡条件 • ∑MB=0 MBA+M BC =0 • 3EIθB /l – FP l /8+4EIθB /l =0 (c) • 7EIθB /l – FP l /8 =0 • θB=FP l2 /56EI • 将θB代入(a) (b)式,则: • MBA= 3EI/l · FP l2 /56EI = +3FP l/56 • M BC=-FP l/8+4EI/l · FP l2 /56EI = - 3FP l/56 • MCB=+FP l/8+2EI/L · FP l2 /56EI = +9FP l/56
弯矩图如下图所示 MBA=+3Fp//56 3F 56 FPL/4 9Fp56 C B MBC=-3FP/56 MCB=+9Fp/56 A
弯矩图如下图所示: 3FP l/56 9FP F l/56 P l /4 MBA= +3FP l/56 MBC= - 3FP l/56 MCB= +9FP l/56
由简例可见位移法的基本思路: (1)、根据结构的几何条件(包括变形连续条件和边 界支承条件确定某些结点位移作为基本未知量 (2)、把每根杆件视为单跨超静定杆,建立其杆端内 力与杆端位移之间的关系。 (3)、根据平衡条件求解结点位移 (4)、结点位移代入杆端内力公式解出最后内力。 (变形协调) (平衡条件) 原结构 →若干根杆件 整体结构 拆 搭 (还原)
由简例可见位移法的基本思路: • (1)、根据结构的几何条件(包括变形连续条件和边 界支承条件)确定某些结点位移作为基本未知量。 • (2)、把每根杆件视为单跨超静定杆,建立其杆端内 力与杆端位移之间的关系。 • (3)、根据平衡条件求解结点位移。 • (4)、结点位移代入杆端内力公式解出最后内力。 整体结构 （变形协调） 拆 搭 (还原) 原结构 若干根杆件 （平衡条件）
需解决的问题 1、单跨(超静定)杆件在杆端发生各种 位移作用下的杆端力,以及单跨杆在各种外因 (包括荷载等因素)作用下的杆端力。 2、讨论结构上的哪些结点位移作为基本 未知量。 3、位移法方程的建立及其求解
三、需解决的问题 • 1、单跨（超静定）杆件在杆端发生各种 位移作用下的杆端力，以及单跨杆在各种外因 （包括荷载等因素）作用下的杆端力。 • 2、讨论结构上的哪些结点位移作为基本 未知量。 • 3、位移法方程的建立及其求解
