第三章应力分析 本章引进了应力张量、导出了平衡方程,并日讨论了作为平衡方程通解的应力函数。 §1应力张量 1.1外力 弹性体所受的外力可以分为体力和面力两种。作用于弹性体上的重力、电磁力等超 距力称为体力。单位体积上的体力记作f),也可以按极限定义为 f(r)=im A(av) V→0Δ扩 1.1) 其中点总在体积为△V的微元之中,A(An是该微元上体力的合力。 弹性体与其它物体接触的面上,受有外界给它的力,称为面力,例如流体的压力、固体 间的压力和摩檫力等。 1.2内力 在外力的作用下,弹性体内部的分子的初始状态发生变化,产生了分子之间的附加力, 这种力称为内力。分子之间的内力作用距离很小,这种性质称为“短程性”。为显示内 力,在弹性体内部过某点P作一小面元△ 面元两侧分别记作A和B(图3.1a,b)。在图3.1a中,向量表示B部分通过面元△ 对A部分的作用力,在图3.1b中,向量则表示A对B的作用力。内力仅通过面来作 用是由于它的“短程性”所致。按 Newton第三定律,I和的大小相等、方向相反、 作用在不同的部分上。按 Cauchy的说法,将称或为应力向量。当△收缩至P 点时,也可以用形如(1.1)式的极限来定义应力向量,我们仍记作。显然,E不仅 与P的位置有关也与面元△S的方向有关。 (b) 图3.1 1.3六面体上的应力
第三章 应力分析 本章引进了应力张量、导出了平衡方程，并且讨论了作为平衡方程通解的应力函数。 §1 应力张量 1.1 外力 弹性体所受的外力可以分为体力和面力两种。作用于弹性体上的重力、电磁力等超 距力称为体力。单位体积上的体力记作 ，也可以按极限定义为 (1.1) 其中点 总在体积为 的微元之中， 是该微元上体力的合力。 弹性体与其它物体接触的面上，受有外界给它的力，称为面力，例如流体的压力、固体 间的压力和摩檫力等。 1.2 内力 在外力的作用下，弹性体内部的分子的初始状态发生变化，产生了分子之间的附加力， 这种力称为内力。分子之间的内力作用距离很小，这种性质称为“短程性”。为显示内 力，在弹性体内部过某点 P 作一小面元 ， 面元两侧分别记作 A 和 B（图 3.1a,b）。在图 3.1a 中，向量 表示 B 部分通过面元 对 A 部分的作用力，在图 3.1b 中，向量 则表示 A 对 B 的作用力。内力仅通过面来作 用是由于它的“短程性”所致。按 Newton 第三定律， 和 的大小相等、方向相反、 作用在不同的部分上。按 Cauchy 的说法，将称 或 为应力向量。当 收缩至 P 点时，也可以用形如（1.1）式的极限来定义应力向量，我们仍记作 。显然， 不仅 与 P 的位置有关也与面元 的方向有关。 （a） （b） 图 3.1 1.3 六面体上的应力
为显示应力与方向有关,在弹性体内某点P的邻域内作一小六面体元,它的 六个表面分别与坐标面平行,其中三个表面的外法向与坐标法向e(=123) 分别相同,其余三个表面的外法向则分别与坐标方向相反(图3.2)。 六面体外部关于外法向为和面上的应力向量,分别记为和4( 1,2,3)。将在标架n吗)上进行分解(图32a),得 图3.2 =σ1+2+re3 =m的+ye (1.2) 式(1.2)中含有9个分量,可以排成一个矩阵 其中O》、“、O:称为正应力,g、、 称为 剪应力 引入记号7= (1.4) 下面的1.5段中将证明?为张量,它是弹性力学中的一个重要的物理量,称为应力张 量,T所对应的矩阵如(1.3)所示。式(1.2)的指标形式为 (1.5) 这里°的第一个脚标与所在的面的外法向相对应,第二个脚标表示 在方向上投影。对与则在标架--ee)中进行分解(图3.2b)
为显示应力与方向有关，在弹性体内某点 P 的邻域内作一小六面体元，它的 六个表面分别与坐标面平行，其中三个表面的外法向与坐标法向 （ ） 分别相同，其余三个表面的外法向则分别与坐标方向相反（图 3.2）。 六面体外部关于外法向为 和 面上的应力向量，分别记为 和 （ ＝ 1，2，3）。将 在标架 上进行分解（图 3.2a），得 图 3.2 （1.2） 式（1.2）中含有 9 个分量，可以排成一个矩阵 ， ＝ （1.3） 其中 、 、 称为正应力， 、 、 、 、 、 称为 剪应力。 引入记号 （1.4） 下面的 1.5 段中将证明 为张量，它是弹性力学中的一个重要的物理量，称为应力张 量, 所对应的矩阵如（1.3）所示。式（1.2）的指标形式为 （i=1,2,3） （1.5） 这里 的第一个脚标 与 所在的面的外法向 相对应，第二个脚标表示 在 方向上投影。对 则在标架 中进行分解（图 3.2b）
(i=1,2,3) (1.6) (1.5)和(1.6)表明,对其投影的正方向为,有其投影的正方向为, 这种规定虽属人为,却与通常的拉伸为正、受压为负的习惯一致,对今后的应用 将带来方便。 1.4斜面上的应力 在弹性体内某点P附近作一微四面体元PABC,其中PBC、PAC、PAB三个表面分别平 行于相应的坐标面。表面ABC的外法向为。表面ABC上所受的平均应力为(图 3.3)。四面体PABC上所有外力的合力为零,故有 aA-τA-A53+A+/AV=0 △5-aA-aA与+A+f△V=0 τA5-τ△2-σA5+A+/△=0 (1.7) 其中σ、、x;、可。、;w、驷、可;分别为面PBC PAC、PAB上的平均应力,4、似、令是t的分量,、、为四面 体PABC内的平均体力,、2、△与、△:分别为面PBC、PAC、PAB、ABC 的面积,△为四面体PABC的体积 图 3.3 按解析几何可知 4=48CO(n,dD、1, has (1.8)
（i=1,2,3） （1.6） （1.5）和（1.6）表明，对 其投影的正方向为 ， 其投影的正方向为 ， 这种规定虽属人为，却与通常的拉伸为正、受压为负的习惯一致，对今后的应用 将带来方便。 1.4 斜面上的应力 在弹性体内某点 P 附近作一微四面体元 PABC，其中 PBC、PAC、PAB 三个表面分别平 行于相应的坐标面。表面 ABC 的外法向为 。表面 ABC 上所受的平均应力为 （图 3.3）。四面体 PABC 上所有外力的合力为零，故有 (1.7) 其中 、 、 ； 、 、 ； 、 、 分别为面 PBC、 PAC、PAB 上的平均应力， 、 、 是 的分量， 、 、 为四面 体 PABC 内的平均体力， 、 、 、 分别为面 PBC、PAC、PAB、ABC 的面积， 为四面体 PABC 的体积。 图 3.3 按解析几何可知 （1.8）
其中()=(书F2,h为点P至斜面ABC的高。将(.8代入(1.7),约 去△,并令 →0,可以得到斜面应力公式 (n,y)+τxCos(n,2) ty=Ty cos(n, x)+a, cos(n, y)+Tg cos(n, z) tr=Tz cos(n, x)+tw cos(n, y)+o, cos(n, z) (1.9) 在(1.9)中的和4(4=么==)诸量都是先在各相应面上取平 均,当→0时,它们都与所取四面体微元无关。坐标形式的斜面应力公式(1.9) 的指标形式和整体形式为 (i=1,2,3) (1.11) 式(1.9)-(1.11)表示出在点P截面上应力与点P和法向的关系,它表明应 力张量?足以表征一点的应力状态。 斜面应力公式另一用途是表示弹性力学边值问题的应力边条件(见第五章)。 1.5应力张量 除标架了外,考虑一个新标架(1e),新旧标架的关系为T r (1.12) 过点P作法向为了的截面,其上的应力向量为了,将它投影到截面的法向了和切 向T,分别记为了和了,有 TTT (1.13) 类似的有了的表示式,可以将这些公式统一写成 量T是法向为了截面上的应力向量在?上的投影,了的这个力学解释与量 的意义一致,仅坐标系不同。也就是说,具有明确力学意义的量T在不同坐标
其中（ ，h 为点 P 至斜面 ABC 的高。将(1.8)代入（1.7），约 去 ，并令 ，可以得到斜面应力公式 (1.9） 在（1.9）中的 和 （ ）诸量都是先在各相应面上取平 均，当 时，它们都与所取四面体微元无关。坐标形式的斜面应力公式（1.9） 的指标形式和整体形式为 （i=1,2,3） (1.10) (1.11) 式（1.9）－（1.11）表示出在点 P 截面上应力 与点 P 和法向 的关系，它表明应 力张量 足以表征一点的应力状态。 斜面应力公式另一用途是表示弹性力学边值问题的应力边条件（见第五章）。 1.5 应力张量 除标架 外，考虑一个新标架 ，新旧标架的关系为 ， （ =1,2,3） （1.12） 过点 P 作法向为 的截面，其上的应力向量为 ，将它投影到截面的法向 和切 向 ，分别记为 和 ，有 （1.13） 类似的有 的表示式，可以将这些公式统一写成 ，（i,j=1,2,3） （1.14） 量 是法向为 截面上的应力向量在 上的投影， 的这个力学解释与量 的意义一致，仅坐标系不同。也就是说，具有明确力学意义的量 在不同坐标
系下服从关系式(1.14),而它恰是关于变换(1.12)系数的二次齐次式,因此 由(1.4)所定义的?为张量。 §2平衡方程 2.1力的平衡 设坐标为(xF2的点P位于六面体微元的中心(图3.4),微元的边长设为 如。考虑x方向上外力的平衡,得 0σ.dx Ey dy aT m d dzdx (2.1) +(xn+ dr dz Ddxdy-( a 2 az 2 +f,dxdyaz= 0 图3.4 上式中的前两项分别为外法向是1和-1前后两个截面上的应力,其中略去了 Taylor 展开的高次项,式中第三、四项,第五、六项分别为右左和上下各个截面上的应力,最 后一项为六面体所受的体力。在(2.1)中,先消去相同的项,再约去因子aytz 最后令趋于零,即六面体收缩至点P,得到下面(2.2)式中的第一式, 0x0.r Jy (2.2) fr=0 ay az
系下服从关系式（1.14），而它恰是关于变换（1.12）系数的二次齐次式，因此 由（1.4）所定义的 为张量。 §2 平衡方程 2.1 力的平衡 设坐标为 的点 P 位于六面体微元的中心（图 3.4），微元的边长设为 。考虑 方向上外力的平衡，得 (2.1) 图 3.4 上式中的前两项分别为外法向是 和 前后两个截面上的应力，其中略去了 Taylor 展开的高次项，式中第三、四项，第五、六项分别为右左和上下各个截面上的应力，最 后一项为六面体所受的体力。在（2.1）中，先消去相同的项，再约去因子 ， 最后令 趋于零，即六面体收缩至点 P，得到下面（2.2）式中的第一式， （2.2）
其中第二、三式可按导出第一式同样的过程得到,a。和仅与点P有关,为(xF2) 的函数。方程(2.2)称为平衡方程,它是弹性理论的第二组方程。第一组方程是第 章中已导出的几何方程。方程(2.2)的指标形式和整体形式为 + fi (i=1,23) (2.3) §3主应力偏应力 3.1主应力 设T和分别为应力张量了在新旧坐标系下所对应的矩阵,按(1.14),有 (3.1) 其中为坐标转换矩阵,上标“T”表示转置。(3.1)表明对称矩阵和厂服 从矩阵的合同变换。按矩阵理论,在适当的坐标变换下,应力张量T所对应的矩阵为 对角形,即有 与(3.2)相应的坐标系称为应力张量T的主坐标系。显然,对于不同的点,应力张量 了不同,那么主坐标系也不同。主坐标系的三个方向称为主方向,(3.2)中的 a1=12,3)称为主应力。我们有如下的结论 1°主方向互相垂直, 2°主方向间的剪应力为零 应力张量T的三个不变量为 叫+ 如果用主应力来表示,三个不变量为
其中第二、三式可按导出第一式同样的过程得到， 和 仅与点 P 有关，为 的函数。方程（2.2）称为平衡方程，它是弹性理论的第二组方程。第一组方程是第一 章中已导出的几何方程。方程（2.2）的指标形式和整体形式为 （ ） （2.3） （2.4） §3 主应力 偏应力 3.1 主应力 设 和 分别为应力张量 在新旧坐标系下所对应的矩阵，按（1.14），有 （3.1） 其中 为坐标转换矩阵，上标“ ”表示转置。（3.1）表明对称矩阵 和 服 从矩阵的合同变换。按矩阵理论，在适当的坐标变换下，应力张量 所对应的矩阵为 对角形，即有 （3.2） 与（3.2）相应的坐标系称为应力张量 的主坐标系。显然，对于不同的点，应力张量 不同，那么主坐标系也不同。主坐标系的三个方向称为主方向，（3.2）中的 称为主应力。我们有如下的结论 1° 主方向互相垂直， 2° 主方向间的剪应力为零。 应力张量 的三个不变量为 (3.3) 如果用主应力来表示，三个不变量为
1 J2=a102+a2O3+a31 (3.4) J3=1 s4应力函数 无体力的平衡方程为 d++7∞=0, wr.,/ 0x0 或 V·T=0 (4.2) 众多学者研究过(4.1)或(4.2)的解。1863年,Airy首先给出(4.1)的一种解 为 0 dxdy 将(4.3)代入(4.1),不难验证它满足。(4.3)中的称为Airy应力函数。1868 年, Maxwell得到了较Airy广泛的解, 互+3 (4.4) dsa aar 其中均为(x月2的任意函数(当然假定连续可微到所需要的阶数),它 们被称为 Maxwell应力函数。1892年, Morera得到了平衡方程(4.1)的另一组解 尽2 86z 08 arr
（3.4） §4 应力函数 无体力的平衡方程为 （4.1) 或 （4.2） 众多学者研究过（4.1）或（4.2）的解。1863 年，Airy 首先给出（4.1）的一种解 为 （4.3） 将（4.3）代入（4.1），不难验证它满足。（4.3）中的 称为 Airy 应力函数。1868 年，Maxwell 得到了较 Airy 广泛的解， , ， ， ， （4.4） 其中 均为 的任意函数（当然假定连续可微到所需要的阶数），它 们被称为 Maxwell 应力函数。1892 年，Morera 得到了平衡方程（4.1）的另一组解 ， ，
8|-33+3B2 a aR2 aR3aR1 a aR,aR1.aR (4.5) 其中A,被称为 Morera应力函数。1892年, Beltrami把 Maxwell解和 Morera 解叠加,得到了平衡方程(4.2)相当广泛的解 T=V×④xV (4.6) 其中一奥问为对称张量,明J123)称为 Beltrami R力函数,所对应的 矩阵与 Maxwell/应力函数M2x和 Morera应力函数凡,2的关系为, XI R3 R2 ,X R R2 R1 Schaefer(1953)在 Beltrami解的基础上又增加了新的项,其解为 T=V×更×+k+Vh-·l (4.7) 其中Φ为对称张量,h为调和函数向量。不难验证解(47)满足方程(4.2)。(4.7) 称为 Beltrami- Schaefer解。 长期以来,人们误认为 Beltrami解(4.5)是平衡方程(4.2)的一般解。但是, Carlson (1966)指出仅仅对自平衡场(即任意封闭曲面上合力合力矩为零的场)解(4.5)才 完备。由于存在非平衡场,由此(4.5)一般说来不完备。关于解(4.7), Gurtin(1972) 证明了如下重要命题, 定理( Beltrami- Schafer解的完备性)设T是区域Ω2上的应力场,它满足平 衡方程 V·T=0 (4.8) 则在Ω2上存在对称张量场￠和调和向量场h,使了可表成如下形式
， （4.5） 其中 被称为 Morera 应力函数。1892 年，Beltrami 把 Maxwell 解和 Morera 解叠加，得到了平衡方程（4.2）相当广泛的解 （4.6） 其中 为对称张量， 称为 Beltrami 应力函数， 所对应的 矩阵 与 Maxwell 应力函数 和 Morera 应力函数 的关系为， Schaefer（1953）在 Beltrami 解的基础上又增加了新的项，其解为 （4.7） 其中 为对称张量， 为调和函数向量。不难验证解（4.7）满足方程（4.2）。（4.7） 称为 Beltrami－Schaefer 解。 长期以来，人们误认为 Beltrami 解（4.5）是平衡方程（4.2）的一般解。但是，Carlson （1966）指出仅仅对自平衡场（即任意封闭曲面上合力合力矩为零的场）解（4.5）才 完备。由于存在非平衡场，由此（4.5）一般说来不完备。关于解（4.7），Gurtin（1972） 证明了如下重要命题, 定理 （Beltrami－Scharfer 解的完备性）设 是区域 上的应力场，它满足平 衡方程 （4.8） 则在 上存在对称张量场 和调和向量场 ，使 可表成如下形式
T=V×ΦxV+h+V-k (4.9) 证明设A为T的 Newton位势,即 A(x,y,z) 了(,m,g) hands (4.10) 由于了是对称张量,A也是对称张量,且按位势理论有 A=T (4.11) 由于A的对称性,第一章的恒等式(4.15)可写成 v2A-V×4x+(,A+v,4)-(,An (4.12) 将(4.12)代入(4.11),并令 Φ=-rA,h=V·A (4.13) 即得欲证的(4.9)式。对(4.13b)取 Laplace算子,考虑到 Newton位势(4.10)和 平衡方程(4.8),可知k为调和向量。证毕
（4.9） 证明 设 为 的 Newton 位势，即 （4.10） 由于 是对称张量， 也是对称张量，且按位势理论有 （4.11） 由于 的对称性，第一章的恒等式（4.15）可写成 （4.12） 将（4.12）代入（4.11），并令 ， （4.13） 即得欲证的（4.9）式。对（4.13b）取 Laplace 算子，考虑到 Newton 位势（4.10）和 平衡方程(4.8)，可知 为调和向量。证毕