3弹性力学平面问题的有限元法 本章包括以下的内容 3.1弹性力学平面问题的基本方程 3.2单元位移函数 3.3单元载荷移置 34单元刚度矩阵 3.5单元刚度矩阵的性质与物理意义 3.6整体分析 3.7约束条件的处理 3.8整体刚度矩阵的特点与存储方法 3.9方程组解法 3.弹性力学平面问题的基本方程 弹性力学是研究弹性体在约束和外载荷作用下应力和变形分布规律的一门学科。在弹性 力学中针对微小的单元体建立基本方程,把复杂形状弹性体的受力和变形分析问题归结为偏 微分方程组的边值问题。弹性力学的基本方程包括平衡方程、几何方程、物理方程。 弹性力学的基本假定如下: 1)完全弹性,2)连续,3)均匀,4)各向同性,5)小变形。 3.1.1基本变量 弹性力学中的基本变量为体力、面力、应力、位移、应变,各自的定义如下。 体力 体力是分布在物体体积内的力,例如重力和惯性力 面力 面力是分布在物体表面上的力,例如接触压力、流体压力。 应力 物体受到约束和外力作用,其内部将产生内力。物体内某一点的内力就是应力。 p 图3
3 弹性力学平面问题的有限元法 本章包括以下的内容： 3.1 弹性力学平面问题的基本方程 3.2 单元位移函数 3.3 单元载荷移置 3.4 单元刚度矩阵 3.5 单元刚度矩阵的性质与物理意义 3.6 整体分析 3.7 约束条件的处理 3.8 整体刚度矩阵的特点与存储方法 3.9 方程组解法 3.1 弹性力学平面问题的基本方程 弹性力学是研究弹性体在约束和外载荷作用下应力和变形分布规律的一门学科。在弹性 力学中针对微小的单元体建立基本方程，把复杂形状弹性体的受力和变形分析问题归结为偏 微分方程组的边值问题。弹性力学的基本方程包括平衡方程、几何方程、物理方程。 弹性力学的基本假定如下： 1）完全弹性，2）连续，3）均匀，4）各向同性，5）小变形。 3.1.1 基本变量 弹性力学中的基本变量为体力、面力、应力、位移、应变，各自的定义如下。 体力 体力是分布在物体体积内的力，例如重力和惯性力。 面力 面力是分布在物体表面上的力，例如接触压力、流体压力。 应力 物体受到约束和外力作用，其内部将产生内力。物体内某一点的内力就是应力。 图 3.1
如图3.1假想用通过物体内任意一点p的一个截面mn将物理分为I、Ⅱ两部分。将部 分Ⅱ撇开,根据力的平衡原则,部分Ⅱ将在截面m上作用一定的内力。在mn截面上取包含 p点的微小面积△A,作用于△A面积上的内力为△O 令△A无限减小而趋于p点时,ΔO的极限S就是物体在p点的应力 AO S △A→0△A 应力S在其作用截面上的法向分量称为正应力,用σ表示;在作用截面上的切向分量 称为剪应力,用τ表示。 显然,点p在不同截面上的应力是不同的。为分析点p的应力状态,即通过p点的各个 截面上的应力的大小和方向,在p点取出的一个平行六面体,六面体的各楞边平行于坐标轴。 图3.2 将每个上的应力分解为一个正应力和两个剪应力,分别与三个坐标轴平行。用六面体表 面的应力分量来表示p点的应力状态。应力分量的下标约定如下 第一个下标表示应力的作用面,第二个下标表示应力的作用方向。 τ,第一个下标x表示剪应力作用在垂直于X轴的面上,第二个下标y表示剪应力指 向Y轴方向。 正应力由于作用表面与作用方向垂直,用一个下标。Ox表示正应力作用于垂直于X轴 的面上,指向X轴方向 应力分量的方向定义如下 如果某截面上的外法线是沿坐标轴的正方向,这个截面上的应力分量以沿坐标轴正方向 为正 如果某截面上的外法线是沿坐标轴的负方向,这个截面上的应力分量以沿坐标轴负方向 为正 剪应力互等:rx=rx,x=ry,xx=x 物体内任意一点的应力状态可以用六个独立的应力分量σx、σy、:、、、x
如图 3.1 假想用通过物体内任意一点 p 的一个截面 mn 将物理分为Ⅰ、Ⅱ两部分。将部 分Ⅱ撇开，根据力的平衡原则，部分Ⅱ将在截面 mn 上作用一定的内力。在 mn 截面上取包含 p 点的微小面积 A ，作用于 A 面积上的内力为 Q 。 令 A 无限减小而趋于 p 点时， Q 的极限 S 就是物体在 p 点的应力。 S A Q A = →0 lim 应力 S 在其作用截面上的法向分量称为正应力，用σ表示；在作用截面上的切向分量 称为剪应力，用τ表示。 显然，点 p 在不同截面上的应力是不同的。为分析点 p 的应力状态，即通过 p 点的各个 截面上的应力的大小和方向，在 p 点取出的一个平行六面体，六面体的各楞边平行于坐标轴。 图 3.2 将每个上的应力分解为一个正应力和两个剪应力，分别与三个坐标轴平行。用六面体表 面的应力分量来表示 p 点的应力状态。应力分量的下标约定如下： 第一个下标表示应力的作用面，第二个下标表示应力的作用方向。 xy ，第一个下标 x 表示剪应力作用在垂直于 X 轴的面上，第二个下标 y 表示剪应力指 向 Y 轴方向。 正应力由于作用表面与作用方向垂直，用一个下标。 x 表示正应力作用于垂直于 X 轴 的面上，指向 X 轴方向。 应力分量的方向定义如下： 如果某截面上的外法线是沿坐标轴的正方向，这个截面上的应力分量以沿坐标轴正方向 为正； 如果某截面上的外法线是沿坐标轴的负方向，这个截面上的应力分量以沿坐标轴负方向 为正。 剪应力互等： xy yx yz zy zx xz = , = , = 物体内任意一点的应力状态可以用六个独立的应力分量 x 、 y 、 z 、 xy 、 yz 、 zx
来表示 位移 位移就是位置的移动。物体内任意一点的位移,用位移在x,y,z坐标轴上的投影 应变 物体的形状改变可以归结为长度和角度的改变。 各线段的单位长度的伸缩,称为正应变,用ε表示。 两个垂直线段之间的直角的改变,用弧度表示,称为剪应变,用γ表示 物体内任意一点的变形,可以用ExE、E2、yx、、yx六个应变分量表示 3.1.2平面应力和平面应变问题 弹性体在满足一定条件时,其变形和应力的分布规律可以用在某一平面内的变形和应力 的分布规律来代替,这类问题称为平面问题。平面问题分为平面应力问题和平面应变问题 1)平面应力问题 设有很薄的等厚薄板,只在板边上受到平行于板面并且不沿厚度变化的面力,体力也平 行于板面且不沿厚度变化。 图3.3 设板的厚度为t,在板面上 0 (r-)t=0,( 0 由于平板很薄,外力不沿厚度变化,因此在整块板上有 0 0 剩下平行于XY平面的三个应力分量σx、σ、x未知 2)平面应变问题 设有很长的柱形体,支承情况不沿长度变化,在柱面上受到平行于横截面而且不沿长度 变化的面力,体力也如此分布
来表示。 位移 位移就是位置的移动。物体内任意一点的位移，用位移在 x，y，z 坐标轴上的投影 u、 v、w 表示。 应变 物体的形状改变可以归结为长度和角度的改变。 各线段的单位长度的伸缩，称为正应变，用 ε 表示。 两个垂直线段之间的直角的改变，用弧度表示，称为剪应变，用 γ 表示。 物体内任意一点的变形，可以用 x y z xy yz zx 、 、 、 、 、 六个应变分量表示。 3.1.2 平面应力和平面应变问题 弹性体在满足一定条件时，其变形和应力的分布规律可以用在某一平面内的变形和应力 的分布规律来代替，这类问题称为平面问题。平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。 1）平面应力问题 设有很薄的等厚薄板，只在板边上受到平行于板面并且不沿厚度变化的面力，体力也平 行于板面且不沿厚度变化。 图 3.3 设板的厚度为 t，在板面上： ( ) 0 2 = = t z z ， ( ) 0 2 = = t zx z ， ( ) 0 2 = = t z zy 由于平板很薄，外力不沿厚度变化，因此在整块板上有， z = 0， zx = 0， zy = 0 剩下平行于 XY 平面的三个应力分量 x y xy 、 、 未知。 2）平面应变问题 设有很长的柱形体，支承情况不沿长度变化，在柱面上受到平行于横截面而且不沿长度 变化的面力，体力也如此分布
图34 以柱体的任一横截面为ⅹY平面,任一纵线为Z轴。假定该柱体为无限长,则任一截 面都可以看作对称面。由对称性 0,t=0,w=0 由于没有Z方向的位移,Z方向的应变E.=0 未知量为平行于XY平面的三个应力分量σx、可,、,物体在Z方向处于自平衡状 态 3.1.3平衡方程 弹性力学中,在物体中取出一个微小单元体建立平衡方程。平衡方程代表了力的平衡关 系,建立了应力分量和体力分量之间的关系。对于平面问题,在物体内的任意一点有 0o.0 (3-1) Y=0 3.1.4几何方程 由几何方程可以得到位移和变形之间的关系。对于平面问题,在物体内的任意一点有, ay ax 刚体位移 由位移u=0,V=0可以得到应变分量为零,反过来,应变分量为零则位移分量不为零。 应变分量为零时的位移称为刚体位移。刚体位移代表了物体在平面内的移动和转动
图 3.4 以柱体的任一横截面为 XY 平面，任一纵线为 Z 轴。假定该柱体为无限长，则任一截 面都可以看作对称面。由对称性， zx = 0， zy = 0， w = 0 由于没有 Z 方向的位移，Z 方向的应变 z = 0 。 未知量为平行于 XY 平面的三个应力分量 x y xy 、 、 ，物体在 Z 方向处于自平衡状 态。 3.1.3 平衡方程 弹性力学中，在物体中取出一个微小单元体建立平衡方程。平衡方程代表了力的平衡关 系，建立了应力分量和体力分量之间的关系。对于平面问题，在物体内的任意一点有， 0 0 + = + + = + Y y x X x y y xy x yx （3-1） 3.1.4 几何方程 由几何方程可以得到位移和变形之间的关系。对于平面问题，在物体内的任意一点有， x v y u y v x u xy y x + = = = （3-2） 刚体位移 由位移 u=0，v=0 可以得到应变分量为零，反过来，应变分量为零则位移分量不为零。 应变分量为零时的位移称为刚体位移。刚体位移代表了物体在平面内的移动和转动
由 aa+ 0 =0 可以得到刚体位移为以下形式 u=lo-or v=v+ox 由 0 0可得 av u=fi(), v=f2(x) 将,f2代入+一=0可得 di() df2(x) O 积分后得到, f1(y)=l0-y f2(x)=vo+ax 得到位移分量, V=vo +ar 当4≠0,v0=0,O=0时,物体内任意一点都沿x方向移动相同的距离,可见u0代 表物体在ⅹ方向上的刚体平移。 当40=0,V0≠0,O=0时,物体内任意一点都沿y方向移动相同的距离,可见vo代表 物体在y方向上的刚体平移。 当40=0.v0=0,≠0时,可以假定O>0,此时的物体内任意一点P(x,y)的位 移分量为 v=ax P点位移与y轴的夹角为a, :y=tge
由 0 0 0 = + = = x v y u y v x u 可以得到刚体位移为以下形式， v v x u u y = + = − 0 0 由 0, = 0 = y v x u 可得， ( ), ( ) 1 2 u = f y v = f x 将 1 2 f , f 代入 = 0 + x v y u 可得， − = = dx df x dy df ( y) ( ) 1 2 积分后得到， f x v x f y u y = + = − 2 0 1 0 ( ) ( ) 得到位移分量， v v x u u y = + = − 0 0 当 u0 0,v0 = 0, = 0 时，物体内任意一点都沿 x 方向移动相同的距离，可见 0 u 代 表物体在 x 方向上的刚体平移。 当 u0 = 0,v0 0, = 0 时，物体内任意一点都沿 y 方向移动相同的距离，可见 0 v 代表 物体在 y 方向上的刚体平移。 当 u0 = 0,v0 = 0, 0 时，可以假定 0 ，此时的物体内任意一点 P（x，y）的位 移分量为， u = −y, v =x P 点位移与 y 轴的夹角为α， tg x y x y tg = = =
y P点合成位移为, (-∞y)2+(a r为P点到原点的距离,可见代表物体绕z轴的刚体转动。 3.1.5物理方程 弹性力学平面问题的物理方程由广义虎克定律得到 1)平面应力问题的物理方程 (3-3) 2(1+p) E 平面应力问题有, 2)平面应变问题的物理方程 E E 2(1+p) E 平面应变问题有, 0
P 点合成位移为， u + v = −y + x = x + y =r 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) r 为 P 点到原点的距离，可见ω代表物体绕 z 轴的刚体转动。 3.1.5 物理方程 弹性力学平面问题的物理方程由广义虎克定律得到。 1）平面应力问题的物理方程 ( ) x x y E = − 1 ( ) y y x E = − 1 （3-3） xy xy E 2(1+ ) = 平面应力问题有， z = 0 ( ) z x y E = − + 2）平面应变问题的物理方程 − − − x = x y E 1 1 2 − − − y = y x E 1 1 2 （3-4） xy xy E 2(1+ ) = 平面应变问题有， z = 0 ( ) z = x + y
在平面应力问题的物理方程中,将E替换为一E 2H替换为,可以得到平面 应变问题的物理方程:在平面应变问题的物理方程中,将E替换为 E(1+2) (1+)2~替换为 以,可以得到平面应力问题的物理方程 图3.5 求解弹性力学平面问题,可以归结为在任意形状的平面区域Ω内已知控制方程、在位 移边界Sn上约束已知、在应力边界S。上受力条件已知的边值问题。然后以应力分量为基本 未知量求解,或以位移作为基本未知量求解。 如果以位移作为未知量求解,求出位移后,由几何方程可以计算出应变分量,得到物体 的变形情况:再由物理方程计算出应力分量,得到物体的内力分布,就完成了对弹性力学平 面问题的分析
在平面应力问题的物理方程中，将 E 替换为 2 1− E 、 替换为 1− ，可以得到平面 应变问题的物理方程；在平面应变问题的物理方程中，将 E 替换为 2 (1 ) (1 2 ) + E + 、 替换为 1+ ，可以得到平面应力问题的物理方程。 图 3.5 求解弹性力学平面问题，可以归结为在任意形状的平面区域 内已知控制方程、在位 移边界 u S 上约束已知、在应力边界 S 上受力条件已知的边值问题。然后以应力分量为基本 未知量求解，或以位移作为基本未知量求解。 如果以位移作为未知量求解，求出位移后，由几何方程可以计算出应变分量，得到物体 的变形情况；再由物理方程计算出应力分量，得到物体的内力分布，就完成了对弹性力学平 面问题的分析
3.2单元位移函数 根据有限元法的基本思路,将弹性体离散成有限个单元体的组合,以结点的位移作为未 知量。弹性体内实际的位移分布可以用单元内的位移分布函数来分块近似地表示。在单元内 的位移变化可以假定一个函数来表示,这个函数称为单元位移函数、或单元位移模式 对于弹性力学平面问题,单元位移函数可以用多项式表示, u=a1+a2x+a3y+aar t asxy+a6y+ v=b,+b,x+bay+bx+bxy+by+ (3-5) 多项式中包含的项数越多,就越接近实际的位移分布,越精确。具体取多项,由单元形 式来确定。即以结点位移来确定位移函数中的待定系数 (x,,y,)Au M 图3.6 如图36所示的3结点三角形单元,结点1、J、M的坐标分别为(x,y)、(x1y)、 (xm,ym),结点位移分别为l4、V1、、V、lm、Vm。六个节点位移只能确定六个多 项式的系数,所以3结点三角形单元的位移函数如下, (3-6) V=a4 +asxta6y 将3个结点上的坐标和位移分量代入公式(3-6)就可以将六个待定系数用结点坐标和 位移分量表示出来 将水平位移分量和结点坐标代入(3-6)中的第一式, u =a1+a2x t a,y, a, tax ta3y 写成矩阵形式 xi yi x yi (3-7)
3.2 单元位移函数 根据有限元法的基本思路，将弹性体离散成有限个单元体的组合，以结点的位移作为未 知量。弹性体内实际的位移分布可以用单元内的位移分布函数来分块近似地表示。在单元内 的位移变化可以假定一个函数来表示，这个函数称为单元位移函数、或单元位移模式。 对于弹性力学平面问题，单元位移函数可以用多项式表示， ... 2 5 6 2 u = a1 + a2 x + a3 y + a4 x + a x y + a y + ... 2 5 6 2 v = b1 + b2 x + b3 y + b4 x + b x y + b y + （3-5） 多项式中包含的项数越多，就越接近实际的位移分布，越精确。具体取多项，由单元形 式来确定。即以结点位移来确定位移函数中的待定系数。 图 3.6 如图 3.6 所示的 3 结点三角形单元，结点 I、J、M 的坐标分别为 ( , ) i i x y 、( , ) j j x y 、 ( , ) m m x y ，结点位移分别为 i u 、 i v 、 j u 、 j v 、 m u 、 vm 。六个节点位移只能确定六个多 项式的系数，所以 3 结点三角形单元的位移函数如下， = + + = + + a a x a y u a a x a y 4 5 6 1 2 3 v （3-6） 将 3 个结点上的坐标和位移分量代入公式（3-6）就可以将六个待定系数用结点坐标和 位移分量表示出来。 将水平位移分量和结点坐标代入（3-6）中的第一式， m m m j j j i i i u a a x a y u a a x a y u a a x a y 1 2 3 1 2 3 1 2 3 = + + = + + = + + 写成矩阵形式， = 3 2 1 1 1 1 a a a x y x y x y u u u m m j j i i m j i （3-7）
x yi 1 则有 =2A,A为三角形单元的面积 的伴随矩阵为, xmVi-xiym ym"Vi x-x, iyi-xiyi yi-y b b b b b Ci c 则 b (3-11) C 同样,将垂直位移分量与结点坐标代入公式(3-6)中的第二式,可得, 将(3-11)、(3-12)代回(3-6)整理后可得, (a1+bx+c1y)1+(a1+b y)u [(a, +b,x+C; y)v,+(a+b,x+c y)v, 令N (a1+bx+cy)(下标 轮换)
令 T 1 1 1 = m m j j i i x y x y x y ， 则有 = − m j i u u u a a a 1 3 2 1 T （3-8） T [T] [T] * 1 = − T = 2A ，A 为三角形单元的面积。 [T]的伴随矩阵为， T * T − − − − − − − − − = i j j i i j j i m i i m m i i m j m m j j m m j x y x y y y x x x y x y y y x x x y x y y y x x （3-9） 令 = = i j m i j m i j m m m m j j j i i i c c c b b b a a a a b c a b c a b c T * [T] （3-10） 则 = m j i i j m i j m i j m u u u c c c b b b a a a A a a a 2 1 3 2 1 （3-11） 同样，将垂直位移分量与结点坐标代入公式（3-6）中的第二式，可得， = m j i i j m i j m i j m v v v c c c b b b a a a A a a a 2 1 6 5 4 （3-12） 将（3-11）、（3-12）代回（3-6）整理后可得， [( ) ( ) ( ) ] 2 1 i i i i j j j j m m m um a b x c y u a b x c y u a b x c y A u = + + + + + + + + [( ) ( ) ( ) ] 2 1 i i i i j j j j m m m m a b x c y v a b x c y v a b x c y v A v = + + + + + + + + 令 ( ) 2 1 a b x c y A Ni = i + i + i （下标 i，j，m 轮换）
. N 0 可得 18 0N.0N.0N (3-13) 单元内的位移记为{}= 单元的结点位移记为={6=/c 单元内的位移函数可以简写成 U}=[N]} (3-14) 把[N称为形态矩阵,N称为形态函数 选择单元位移函数应满足以下条件: 1)反映单元的刚体位移与常量应变 2)相邻单元在公共边界上的位移连续,即单元之间不能重叠,也不能脱离 由(3-6)可以将单元位移表示成以下的形式, as+ u=a +ax v=a4+asy+ 反映了刚体位移和常应变。 单元位移函数是线性插值函数,因此单元边界上各点的位移可以由两个结点的位移完全 确定。两个单元的边界共用两个结点,所以边界上的位移连续 形态函数N具有以下性质: 1)在单元结点上形态函数的值为1或为0。 2)在单元中的任意一点上,三个形态函数之和等于1。 用[来计算三角形面积时,要注意单元结点的排列顺序,当三个结点i,j,m取逆时
可得 = m m j j i i i j m i j m v u v u v u N N N N N N v u 0 0 0 0 0 0 （3-13） 单元内的位移记为 = v u f 单元的结点位移记为 = = m m j j i i m j i e v u v u v u 单元内的位移函数可以简写成， e f = N （3-14） 把[N]称为形态矩阵，Ni 称为形态函数。 选择单元位移函数应满足以下条件： 1）反映单元的刚体位移与常量应变。 2）相邻单元在公共边界上的位移连续，即单元之间不能重叠，也不能脱离。 由（3-6）可以将单元位移表示成以下的形式， y a a y a a u a a x 2 2 5 3 5 3 1 2 + + − = + − x a a x a a v a a y 2 2 5 3 5 3 4 6 + + − = + + 反映了刚体位移和常应变。 单元位移函数是线性插值函数，因此单元边界上各点的位移可以由两个结点的位移完全 确定。两个单元的边界共用两个结点，所以边界上的位移连续。 形态函数 Ni 具有以下性质： 1）在单元结点上形态函数的值为 1 或为 0。 2）在单元中的任意一点上，三个形态函数之和等于 1。 用 T 来计算三角形面积时，要注意单元结点的排列顺序，当三个结点 i，j，m 取逆时