五.采用面积坐标时的单元分析 1.面积坐标 AAPik △Pjk 三角形单元中任一点P可用直角坐标(x,p)表示。 连Pi、P、Pk,则可得三个小三角形。它们和 △ii 大三角形△123的面积比,记作 L;=△Pjk/△ijk L=△Pik/△ijk 面积坐标 Lk=△Pi/△ijk 由于L1+L;+k=1,只有两个是独立的。 三角形中任一点P的位置可用面积坐标L1、L;确定。 当P点在i结点时L=Lk=0,L1=1。余类推。 L1+L;+Lk=1 可见面积坐标具有“形函数”的性质
五.采用面积坐标时的单元分析 j i k y x P 1 .面积坐标 三角形单元中任一点P 可用直角坐标 (x , y)表示。 连P i、 P j、 P k，则可得三个小三角形。它们和 大三角形123的面积比，记作 Pij Pik Pjk L i= P jk/ ijk L j= P ik/ ijk L k= P ij/ ijk 面积坐标 由于 L i+ L j + L k = 1，只有两个是独立的。 三角形中任一点P 的位置可用面积坐标Li、 L j 确定。 当P 点在i结点时Lj = L k= 0， L i= 1。余类推。 可见面积坐标具有“形函数”的性质。 L i+ L j + L k=1
五.采用面积坐标时的单元分析 2.位移模式 AAPik △Pjk 由于面积坐标有形函数性质,因此根据 试凑法可得到形函数矩阵。 △ii 形函数N=L;面积坐标 如果结点i位移为矶1、v,(i=,j,k) 则单元位移模式(位移场)为 I=ENH1;vΣN 面积坐标和直角坐标关系 x △Pjk 2×△ik x,y=2△2×△Pjk=|1x △ik2△ y Xk y VK (a, +bx+cy) i,k=1,2,3 2△ ai=xi-yjXk Vik txk
五.采用面积坐标时的单元分析 j i k y x P 2 .位移模式 Pij Pik Pjk 由于面积坐标有形函数性质，因此根据 试凑法可得到形函数矩阵。 形函数 Ni=Li 面积坐标 如果结点 i 位移为ui、vi，（i=i，j，k） 则单元位移模式（位移场）为 u= Niui ； v= Nivi 面积坐标和直角坐标关系: = = 2 1 1 1 2 k k j j i i x y x y x y ijk k k i j j x y x y x y ijk Pjk L 1 1 1 2 1 = = ( y) 2 1 i i i i L a + b x + c = i j k j k a = x y − y x i j k b = y − y i j k c = −x + x i, j, k =1,2,3 k k j j x y x y x y Pjk 1 1 1 2 =
31(a1+bx+c;y) L=.(a,+bx+cy AAPik △Pjk 2△ (ak +b x+cy) △ii 2△ 6, Ckx 2△ k x. xRL (a, +bx+cy) i,j,k=1,2,3 2△ ai=xi-yjXk Vik txk
j i k y x P Pij Pik Pjk ( y) 2 1 i i i i L a + b x + c = i j k j k a = x y − y x i j k b = y − y i j k c = −x + x i, j, k =1,2,3 ( y) 2 1 i i i i L a + b x + c = ( y) 2 1 j j j j L a + b x + c = ( y) 2 1 k k k k L a + b x + c = = y x a b c a b c a b c L L L k k k j j j i i i k j i 1 2 1 = k j i i j k i j k L L L y y y x x x y x 1 1 1 1
31(a1+bx+c;y) L=.(a,+bx+cy AAPik △Pjk 2△ (ak +b x+cy) △ii 2△ 6, Ckx 2△ k 后面的分析过程与结果与 x. xRL 前面广义坐标法一致 l;1+Z;+Lk=1 xIxi+ Liti+ lrXk y=LiVi+ Liv;+ lk
j i k y x P Pij Pik Pjk ( y) 2 1 i i i i L a + b x + c = ( y) 2 1 j j j j L a + b x + c = ( y) 2 1 k k k k L a + b x + c = = y x a b c a b c a b c L L L k k k j j j i i i k j i 1 2 1 = k j i i j k i j k L L L y y y x x x y x 1 1 1 1 Li+ Lj + Lk=1 x=Lixi+ Ljxj + Lkxk y=Liyi+ Ljyj + Lkyk 后面的分析过程与结果与 前面广义坐标法一致
§3平面问题的有限元分析 53.1常应变三角形单元 532矩形双线性单元 一.离散化 水坝 (i=1,2,3,4) 6} F F 4(x4,y) 3(x3,y3) F b F b 1(x1,y1) 2(x2,y2) 单元结点位移向量单元结点力向量 VI
§3.1 常应变三角形单元 §3 平面问题的有限元分析 一.离散化 ( =1,2,3,4) = i v u i i i = 4 3 2 1 e 单元结点位移向量 §3.2 矩形双线性单元 水坝 x y x y 1 2 3 4 (x1 , y1 ) a a b b (x2 , y2 ) (x3 , y3 ) (x4 , y4 ) u1 1 v = 4 3 2 1 F F F F F e 单元结点力向量
单元分析 4(x4,y 3(x3,y3) 1.单元位移 设单元内位移为 u(x,y)=a,+a,x+a3y+a4xy 2(x2,y2) v(x,y)=as+ax+a,y+axy 1(x1,y1) 若用广义坐标法,则与三角形单元类似的可得到 7-1=0 a}=[N]{ 4(-1,1) 下面用试凑法确定形函数矩阵 3(1,1) 令5=x/a,=y/b 正则(自然) N(5,n)=1N(52,2)=N(3,2)=N(24,n2)=01(1),2(0 由形函数性质 坐标系 可设N(5,m)=(5-1)7-1)同理有1 N1(-1,-1)=a×4=1 N2(5,)=(9+1)(1-m) C=1/4 N3(5,m)=(5+1)(1+7) N1(,7)=(5-1)(7-1) 4 N4(5,m)=:(1-5(1+m) 4
同理,有 ( 1)(1 ) 4 1 ( , ) N2 = + − ( 1)(1 ) 4 1 ( , ) N3 = + + (1 )(1 ) 4 1 ( , ) N4 = − + 二.单元分析 若用广义坐标法,则与三角形单元类似的可得到 下面用试凑法确定形函数矩阵 1.单元位移 设单元内位移为 v x y x y x y u x y x y x y 5 6 7 8 1 2 3 4 ( , ) ( , ) = + + + = + + + e d = N x y 1 2 3 4 (x1 , y1 ) a a b b (x2 , y2 ) (x3 , y3 ) (x4 , y4 ) 4 1 2 3 (-1,-1) 1 1 1 1 (1,-1) (1,1) (-1 ,1) 令 = x / a, = y / b −1 = 0 −1 = 0 由形函数性质 ( , ) 1 N1 1 1 = ( , ) ( , ) ( , ) 0 N1 2 2 = N1 3 3 = N1 4 4 = 可设 ( , ) ( 1)( 1) N1 = − − ( 1, 1) 4 1 N1 − − = = =1/ 4 ( 1)( 1) 4 1 ( , ) N1 = − − 正则(自然) 坐标系
或N(5,m)=(1-55)(1+1m)(i=1,2,3 N,0:N,0:N,0:N,0 N(5,n) 0N30 思考题:这种单元是收敛的单元吗?为什么? 2.单元应力与应变 77-1=0 (}=[4d} 4(-1,1) 3(1,1) 0/ax0 /a·o/020 00/ 0y 1/b·0/0; 1=0 0/cya/ax」1/b0/an1/a0/05」1(+1-1) 2(1,-1 同理,有 N2(5,)=(9+1)(1-m) 4 N3(5,m)=(5+1)(1+7) N1(,7)=(5-1)(7-1) 4 N4(5,m)=:(1-5(1+m) 4
( 1)( 1) 4 1 ( , ) N1 = − − 或 (1 )(1 ) ( 1,2,3,4) 4 1 Ni (,) = − i +i i = 思考题:这种单元是收敛的单元吗?为什么? 2.单元应力与应变 A d T = = = 1/ / 1/ / 0 1/ / 1/ / 0 / / 0 / / 0 b a b a y x y x A T = 1 2 3 4 1 2 3 4 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) N N N N N N N N N = N 1 N 2 N 4 同理,有 ( 1)(1 ) 4 1 ( , ) N2 = + − ( 1)(1 ) 4 1 ( , ) N3 = + + (1 )(1 ) 4 1 ( , ) N4 = − + 4 1 2 3 (-1,-1) 1 1 1 1 (1,-1) (1,1) (-1 ,1) −1 = 0 −1 = 0
或N(5,m)=(1-55)(1+1m)(i=1,2,3 N,0:N,0:N,0:N,0 N(5,n) 010N20N30N4 思考题:这种单元是收敛的单元吗?为什么? 2.单元应力与应变 (}=[4d} 0/ax01/a/050 00/ 0y 1/b·0/0; 0/y/ax|1/b0/n1/ao/a5 }=[4[N(5,n)]G =[4[N[4[N2…lbF =[B[B…BJG}e [B]{
T e = A N(,) T T e = A N 1 A N 2 或 (1 )(1 ) ( 1,2,3,4) 4 1 Ni (,) = − i +i i = = 1 2 3 4 1 2 3 4 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) N N N N N N N N N 思考题:这种单元是收敛的单元吗?为什么? 2.单元应力与应变 A d T = = = 1/ / 1/ / 0 1/ / 1/ / 0 / / 0 / / 0 b a b a y x y x A T = N 1 N 2 N 4 e = B 1 B 2 B 4 e = B
[B=[4][N b(1+7) a7(1+) (=1,2,3,4) a(1+)b;(1+n) 2.单元应力与应变 (}=[4d} 0/ax01/a/050 00/ 0y 1/b·0/0; 0/y/ax|1/b0/n1/ao/a5 }=[4[N(5,n)]G =[4[N][4[2…lb =[B[…{BlJ 应变矩阵 [BlS)
2.单元应力与应变 A d T = = = 1/ / 1/ / 0 1/ / 1/ / 0 / / 0 / / 0 b a b a y x y x A T T e = A N(,) T T e = A N 1 A N 2 e = B 1 B 2 B 4 e = B 应变矩阵 i T B i = A N ( 1,2,3,4) (1 ) (1 ) 0 (1 ) (1 ) 0 = + + + + = i a b a b i i i i i i i i
[B=[4][N b(1+7) dD%2(1+5)(1+m)应力3A a7(1+) DIBS=shoe [=IDIBIDIB DBk D[]=shsk [s [s 对于平面应力问题 b5;(1+n,) a(1+55) E b5:(1+7) a(1+) 4ab(1- (}=[[N(,m2an(+5) b5;(1+7) =[4[N][4[2…lb (i=1,2,3,4) =[B[…{BlJ 应变矩阵 [BlS)
= D (i =1,2,3,4) T e = A N(,) T T e = A N 1 A N 2 e = B 1 B 2 B 4 e = B 应变矩阵 e e = D B = S 应力矩阵 S = D B 1 D B 2 D B 3 D B 4 = S 1 S 2 S 3 S 4 对于平面应力问题 + − + − + + + + − = (1 ) 2 1 (1 ) 2 1 (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) 4 (1 ) 2 i i i i i i i i i i i i i a b b a b a ab E S i T B i = A N ( 1,2,3,4) (1 ) (1 ) 0 (1 ) (1 ) 0 = + + + + = i a b a b i i i i i i i i