第二篇 运动学 引言 、空间、时间与物质运动的关系 1、物体的运动速度接近光速或超越光速时, 空间、时间与物质的运动是相互关联的 经典力学范围内,认为空间、时间与物 质的运动无关。 二、运动学的研究对象 经典力学中的运动学在被认为与运动无关的空间和时间中研究物体运动的几何性质 运动学的建立基础 由于经典力学中空间、时间与物体运动的无关性,因此整个运动学的理论体系可建立在欧几 里德几何学公理的基础上 第一章点的运动 §11点的直线运动 运动方程 设点M沿直线轨道运动,如图所示,取此直线为 轴,轴上O点为坐标原点,即参考点。 由图可见,M点的坐标为时间t的单值连续函数,即: 点的直线运动的运动方程 x=f() 速度 设在某一瞬时点在位置M,坐标为x。瞬时t=+△,点在位置M,坐标x=x+△x 如图1-2所示。因此,Mt时间内的坐标增量为Ax,若以U来表示Mt时间内的平均速度
第二篇 运动学 引言 一、空间、时间与物质运动的关系 1、物体的运动速度接近光速或超越光速时， 空间、时间与物质的运动是相互关联的。 2、经典力学范围内，认为空间、时间与物 质的运动无关。 二、运动学的研究对象 经典力学中的运动学在被认为与运动无关的空间和时间中研究物体运动的几何性质 三、运动学的建立基础 由于经典力学中空间、时间与物体运动的无关性，因此整个运动学的理论体系可建立在欧几 里德几何学公理的基础上。 第一章 点的运动 一、运动方程 设点Ｍ沿直线轨道运动，如图所示，取此直线为 轴，轴上Ｏ点为坐标原点，即参考点。 由图可见，M 点的坐标为时间 t 的单值连续函数，即： §1~1 点的直线运动 x=f(t) ——点的直线运动的运动方程 一、 速度 设在某一瞬时 t，点在位置Ｍ，坐标为 x。瞬时 t =t+t，点在位置Ｍ，坐标 x = x+x。 如图 1~2 所示。因此，t 时间内的坐标增量为x，若以 来表示t 时间内的平均速度， 则： t x v = *
当Δ1->0时,M→M点,(点在瞬时t的瞬时速度,简称速度),即: v=lim Ar dx M→0△tdt f() O MM 结论:1、在直线运动中,点的速度等于点的坐标对时间的一阶导数 2、速度为正,物体沿ⅹ正向运动,返之沿负向运动。 加速度 设在某一瞬时b点的速度为v瞬时t+△,点的速度为v如图1-2所示。因此 △时间内的速度增量为△=y-B若以d来表示Mt时间内的平均加速度,则 当Δ1->0时,M→M点,d·νa(点在瞬时t的瞬时加速度,简称加速度), a= lim (1~3) 结论:1、在直线运动中,点的加速度等于点的速度对时间的一阶导数。即点的坐标对时间 的二阶导数。 2、a与ⅴ同号,则速度的绝对值越来越大,此时点作加速运动,返之,则速度的绝对值越 来越小,此时点作减速运动 四、两种特殊的情况 (1)、匀速直线运动一ν为常量 由等式 dt 得 dx= vdt 设t=0时,x=x;则上式两边积分得 由于v为常量故由上式可得 x = vt =x+vt
结论：1、在直线运动中，点的速度等于点的坐标对时间的一阶导数。 2、速度为正，物体沿 x 正向运动，返之沿负向运动。 结论：１、在直线运动中，点的加速度等于点的速度对时间的一阶导数。即点的坐标对时间 的二阶导数。 ２、a 与 v 同号，则速度的绝对值越来越大，此时点作加速运动，返之，则速度的绝对值越 来越小，此时点作减速运动。 当t→0 时，M →M 点，v * →v（点在瞬时 t 的瞬时速度，简称速度），即： lim ( ) 0 f t dt dx t x v t = = = → O M M t t +t x x x x 图1 ~ 2 三、 加速度 设在某一瞬时 t，点的速度为 v; 瞬时 t =t+t，点的速度为 v ，如图 1~2 所示。因此， t 时间内的速度增量为v= v -v，若以 a 来表示t 时间内的平均加速度，则： t v a = * 当t→0 时，M →M 点，a * →a（点在瞬时 t 的瞬时加速度，简称加速度）， 即： （１～３） dt dv t v a t = = →0 lim 四、两种特殊的情况 （１）、匀速直线运动——v 为常量 dx vdt dt dx v = = 得 由等式 : = = = t o x x o dx vdt t x x o 设 0 时, ;则上式两边积分得: : (1~ 4) , : 即 由于 为常量 故由上式可得 x x v t x x v t v o o = + − =
匀速直线运动时的点的运动方程。 (2)、匀变速直线运动—a为常量 由等式 dv dt 得 设t=0时,v=vn;则上式两边积分得 由于a为常量,故由上式可得 即 将 dx dt 代入式(b),得 =y +at dt 从而 dx=v dt +atdt 设t=0时 将式(c)积分,可得 dx=v dt+atdt 得 x-x =vI+-at (1~5) 訶要速直线运时的点的 运动。 例1、图1~3为偏心驱动油泵中的曲柄导杆机构。设曲柄OA长为r,自水平位置开始以匀 角速度ω转动,即φ=ot。滑槽K一K与导杆BB制成一体。曲柄端点A通过滑块在滑槽K K中滑动,因而曲柄带动导杆BB作上下直线运动。试求导杆的运动方程,速度和加速 度 B K x
——匀速直线运动时的点的运动方程。 （２）、匀变速直线运动——a 为常量 dv adt dt dv a = = 得 由等式 : = = = v t v o dv adt t v v o 0 0 , ; : 设 时 则上式两边积分得 : ( ) , : v v at b a 即 o 由于 为常量 故由上式可得 = + dx v dt atdt v at dt dx b dt dx v o o = + = + = 从而 将 代入式( ), 得: 即 （１～５） 得 设 时 将式 积分 可得 2 2 0 2 1 : 2 1 : 0 , , ( ) , : x x v t at x x v t at dx v dt atdt t x x c o o o o x x t o t o o o = + + − = + = + = = — —匀变速直线运动时的点的 运动方程。 例 1、图 1~3 为偏心驱动油泵中的曲柄导杆机构。设曲柄 OA 长为 r，自水平位置开始以匀 角速度转动，即=t。滑槽 K—K 与导杆 B—B 制成一体。曲柄端点 A 通过滑块在滑槽 K —K 中滑动，因而曲柄带动导杆 B—B 作上下直线运动。试求导杆的运动方程，速度和加速 度。 2005 01-5-12 -7-9 1 09 x x x B B K M K o r 图1~ 3(a)
解:●分析运动:因滑槽K一K与导杆B一B制成一体,且作直线运动,故滑槽中点M的运动 可代表导杆的运动。 ●列运动方程 由图中的几何关系,可知M点的坐标为: x=OM= OAsin =rsin =rsin ot (a) 将上式对t分别求一阶和二阶导数即可得v及a dx cu rocos ot ro sin ot ●结果分析 mn/r a t 图~3(b) 例2.曲柄连杆机构是由曲柄、连杆及滑块组成的机构图1~4)当曲柄OA绕0轴转动 时,由于连杆AB带动,滑块B沿直线作往复运动。曲柄连杆机构在工程上有广泛的应用 在蒸汽机、内燃机中,用它将往复直线运动转换为回转运动:在往复式水泵、曲柄冲压机中, 应用它将回转运动转换为往复直线运动。设曲柄OA长为r,以匀角速0绕0轴转动,即 φ=ot,连杆AB长为L。试求滑块B的运动方程、速度和加速度
例 2. 曲柄连杆机构是由曲柄、连杆及滑块组成的机构(图 1～4）当曲柄 OA 绕 0 轴转动 时，由于连杆 AB 带动，滑块 B 沿直线作往复运动。曲柄连杆机构在工程上有广泛的应用。 在蒸汽机、内燃机中，用它将往复直线运动转换为回转运动；在往复式水泵、曲柄冲压机中， 应用它将回转运动转换为往复直线运动。设曲柄 OA 长为 r，以匀角速 绕 0 轴转动，即 =t，连杆 AB 长为 L。试求滑块 B 的运动方程、速度和加速度。 解:分析运动:因滑槽 K—Ｋ与导杆Ｂ—Ｂ制成一体，且作直线运动，故滑槽中点Ｍ的运动 可代表导杆的运动。 列运动方程 由图中的几何关系，可知Ｍ点的坐标为： x = OM = OAsin = rsin = rsin t (a) 将上式对t分别求一阶和二阶导数即可得v及a r t dt dx v = = cos r t dt dv a sin 2 = = − 结果分析： 2005-7-9 1 7 01-5-12 1 0 x v a t t t x = r max x = r min min v max v amin amax 图1~ 3(b) 01-11-29 11 O B x C x A
解:●运动分析:滑块B沿直线作往复运动 ●列运动方程: 如图所示,取滑块B的直线轨迹为x轴,o为坐标原点。由几何关系可知, B点的运动方程应为: x=OB=OC+CB=rcos o +Lcos 又因:rsnq=Lsna 即 COS O=vI-sin na=√1-2sm2g(2=2) 将√-2smn2展开为级数得 (b) 24 ≈1-1sin2g因一般的连杆机构中2<02 则2<004,x4<0.0016,故xsm4g以后的项目均可略去) 从而运动方程简化为 x=rcos at+L(1--2 ot) 利用倍角三角函数公式可得 (1-cos 2ot) 代入(d)式并整理得 x=l(--)+r(cos @t+cos 2ar) 将上式对t分别求一阶和二阶导数即可得v ro(cos ot+a cos 2or) 例3、图1~6是矿井提升机。主要数据如下:提升高度为876m,开始提升时罐笼的加速度 是0.7m/s2,速度达到784m/后,即以此速度匀速提升,最后再以减速度07m/s2减速提升,直到 最后停止。试求提升一所需的时间T
解：运动分析：滑块 B 沿直线作往复运动 列运动方程： 如图所示，取滑块 B 的直线轨迹为 x 轴，o 为坐标原点。由几何关系可知， B 点的运动方程应为： x = OB = OC +CB = r cos + Lcos (a) ( ) : cos 1 sin 1 sin ( ) : sin sin 2 2 2 b L r r L 即 又因 = − = − = = 则 故 以后的项目均可略去 。 因一般的连杆机构中 将 展开为级数 得 sin ) 8 1 0.04, 0.0016, sin ( 0.2, 2 1 1 sin 8 1 sin 2 1 1 sin 1 1 sin , 2 4 4 4 2 2 2 2 2 4 4 2 2 − − = − − − − sin ) ( ) 2 1 cos (1 : 2 2 x r t L t d 从而运动方程简化为 = + − cos 2 ) ( ) 4 ) (cos 4 (1 ( ) : (1 cos 2 ) 2 1 sin : 2 2 x L r t t e d t t 代入 式并整理得 利用倍角三角函数公式可得 = − + + = − 将上式对t分别求一阶和二阶导数即可得v及a (cos cos 2 ) ( ) 2 r t t g dt dv a = = − + 例 2005-7-9 10 3、图 1~6 是矿井提升机。主要数据如下：提升高度为 876m，开始提升时罐笼的加速度 是 0.7m/s2 ,速度达到 7.84m/s 后,即以此速度匀速提升,最后再以减速度 0.7m/s2 减速提升,直到 最后停止。试求提升一所需的时间 T。 o t v 1 t 2 t 3 t T a b o c 7.84m/s 图1 ~ 6 图1 ~ 7
解:●运动分析:罐笼沿铅垂线运动,第一阶段为匀加速直线运动,第二阶段为匀速直线运 动,第三阶段为减速直线运动,图1~7为该罐笼的速度图 ●列运动方程: 1)t1的计算 由匀加速直线运动公式:v1=Va+a4 将 =0时,v=0,a1=0.7m/s 代入上式即可求得 t=时,v1=7.84m/sa1=0.7m/s2 112s 2)t3的计算 由匀减速直线运动公式 V3=V2+a33 将"2=n=784m/Sa3=-07m/3 代入上式即可求得4=112 3)t2的计算 最后计算t2。必须考虑起动和制动阶段所走过的路程。在t1时间内提升罐笼的高度h,可由 匀变速运动的路程公式求得: h=1+a 代入数据得h=×07×(112)2=44m 同理可求出h2=44m 于是可求出:h2=h-h-h2=876-2×44-788m 由于该阶段为匀速直线运动阶段故该阶段所须时间为 788 =1004S 7.84 从而可得提升一次所须时间为 t=t1+12+l3=11.2+100.4+11.2=1228 第二节点的平面曲线运动 s1-2点的平面曲线运动 点的运动轨迹是一条平面曲线 举例:◎人造地球卫星的运动轨迹一一椭园(图1~8) e火车沿直线轨道行驶时,轮缘上点M的运动轨迹 摆线(图1~9)
第二节 点的平面曲线运动 解：运动分析：罐笼沿铅垂线运动，第一阶段为匀加速直线运动，第二阶段为匀速直线运 动，第三阶段为减速直线运动，图 1~7 为该罐笼的速度图。 列运动方程： 1).t1 的计算 由匀加速直线运动公式: 1 1 1 v v a t = o + 代入上式即可求得 时 时 将 = = = = = = , 7.84 / , 0.7 / ; 0 , 0, 0.7 / ; 2 1 1 1 2 1 t t v m s a m s t v a m s o t 11.2s 1 = 2).t3的计算 由匀减速直线运动公式: 3 2 3 3 v = v + a t 代入上式即可求得 时 将 = = = = = − , 0. 7.84 / , 0.7 / ; 3 3 2 2 1 3 t t v v v m s a m s t 11.2s 3 = 3).t2的计算 最后计算 t2。必须考虑起动和制动阶段所走过的路程。在 t1时间内提升罐笼的高度 h1，可由 匀变速运动的路程公式求得： 2 1 1 1 1 2 1 h v t a t = o + h 0.7 (11.2) 44m 2 1 : 2 代入数据得 1 = = 同理可求出: h3 = 44m 于是可求出: h2 = h − h1 − h3 = 876− 244 = 788m t t t t s t S 11.2 100.4 11.2 122.8 : 100.4 7.84 788 , : 1 2 3 2 = + + = + + = = = 从而可得提升一次所须时间为 由于该阶段为匀速直线运动阶段 故该阶段所须时间为 §1~2 点的平面曲线运动 ——点的运动轨迹是一条平面曲线 举例： 人造地球卫星的运动轨迹——椭园（图１～８） 火车沿直线轨道行驶时，轮缘上点Ｍ的运动轨迹 ——摆线（图１～９）
描述点的平面曲线运动有两种方法—一自然坐标法、直角 自然坐标法 ①运动方程:如图1~10所示, O点一一为参考点 为弧坐标,是时间t的单值函数,即: S=f(1) (1~6) ②速度 如图所示:MM一一4时间间隔内点的位移,它是 M指向M的矢量在△t很小的 情况下,可以近似的认为点沿 直线MM运动 t+△ 平均速度一一位移MM与△的比用v表示
描述点的平面曲线运动有两种方法——自然坐标法、直角 2005-7-9 2 4 x y z 2005-7-9 2 6 01-5-12 2 4 x y M o １、 自然坐标法： 运动方程：如图１～１０所示， O 点——为参考点。 S ——为弧坐标，是时间ｔ的单值函数，即： S = f (t) (1 ~ 6) S O M (−) (+) 速度 直线 运动． 情况下 可以近似的认为点沿 指向 的矢量在 很小的 如图所示 — — 时间间隔内点的位移 它是 MM M M t MM t , . : , 2005 01-5-12 -7-9 2 62 6 01-5-12 26 (−) (+) M M ? v t t + t v? s s o t MM v MM t v = * * . , 平均速度— —位移 与 的比用 表示
瞬时速度一-M→>O时的ν值 M′ M→+0△ 讨论:速度的大小和方向 ●大小: M→0时,MM≈As,因此,速度的大小为 MM′ lim △sds dt (1~7) M→0△ e方向:M→0时,M→M点,因此,MM的方向 与M点的切线方向一致,指向运动的一方 ③曲率 A-弧As的平均曲率 K=lim ap do M点的曲率 A→0△sds M M 图~1 ④加速度 M时间内的平均加速度 = lim M点处的瞬时加速度 dt
讨论：速度的大小和方向 t MM v t v t = → →0 * lim 0 . 瞬时速度— — 时的 值 大小: lim lim (1 ~ 7) 0 0 0 时， ，因此，速度的大小为 dt ds t s t MM v t MM s t t = = = → → → 方向: 与 点的切线方向一致，指向运动的一方。 时， 点，因此， 的方向 M t → 0 M → M MM — —弧 s的平均曲率 s K = * 2005-7-9 3 0 01-5-13 2 9 M T M T O S 图1 ~ 12 — —M点的曲率 ds d s K s = = →0 lim 曲率 加速度 — — t时间内的平均加速度 t v t v v a = − = * — —M点处的瞬时加速度 dt dv t v a t = = →0 lim
M′ BNC 讨论 (1)、加速度的组成 为了研究加速度的构成,可将速度的增量 Av分成两个部分:在MC上取MB,使MB=v,连 接AB线。这样就把A分成BC=An和AB=△2两 个分量,并有: Av=△v;+△ 图1~13中,如果速度的大小不变,点C和点B重合,于是就有 △v1=0;如果速度的方向不变化,点B和点A重合,于是就有 △v2=0。因此,Mv表示速度的大小在M内的变化,△v2表示速度 的方向在△内的变化。于是加速度a可分解为 lim lim -+ lim (1~8a) M→0△tM→0△t△→+0 ★切向加速度 △ lim ●大小 由于△是表示速度的大小改变所产生的增量,故在数值上它等于先后两瞬时 速度大小之差,即 △ 切向加速度的大小为 a=lim ay lim M→+0△t △ta-at2 f"(1)
2005-7-9 3 1 01-5-13 2 9 M O 图1 ~ 13 M v v s 2 v v v t +t t (−) (+) B C 1 v 1 2 1 2 : : (1) : : v v v AB v BC v AB v v MC MB MB v = + = = = 个分量，并有 接 线。这样就把 分成 和 两 分成两个部分 在 上取 ，使 ，连 为了研究加速度的构成，可将速度的增量 、加速度的组成 讨论 lim lim lim (1 ~ 8 ) : 0 0 , 1 ~ 13 2 0 1 0 0 2 1 2 1 a t v t v t v a t a v v t v v B A C B t t t 的方向在 内的变化。于是加速度 可分解为 。因此， 表示速度的大小在 内的变化， 表示速度 ；如果速度的方向不变化 点 和点 重合，于是就有 图 中，如果速度的大小不变，点 和点 重合，于是就有 + = = = = → → → 切向加速度： t v a t = → 1 0 lim 大小 由于v1是表示速度的大小改变所产生的增量，故在数值上它等于先后两瞬时 速度大小之差，即 v = v −v = v 1 切向加速度的大小为： ( ) (1~ 9) lim lim lim 2 2 0 0 1 0 f t dt d s dt dv t v t v v t v a t t t = = = = − = = → → →
②方向—轨迹上M点的切向方向。 如果在某一瞬时加速度为正,则表示其指向轨迹正向一边,反之指向轨迹负向一边 ★法向加速度:a=mA ●大 法向加速度的大小为 a = lim =lim △Q△ -y lim ag. lim △→0△sM→0△ ②方向 沿轨迹的法线(曲率半径)指向曲率的中心。 ★全加速度:a=a12+an ①大小 a++a ②方向 tan 6 注:判别点作加速运动还是减速运动,是用a,而不是用a,与直线运动情形相似当v与a同 号点作加速运动反之作减速运动 ⑤几种特殊情况 (1)匀速曲线运动 S s--1=0时的曲线位移 s--时的曲线位移 (2)匀变速曲线运动 s=s +yt+-a t (1~15) (1~16)
方向 ——轨迹上 M 点的切向方向。 如果在某一瞬时加速度为正，则表示其指向轨迹正向一边，反之指向轨迹负向一边。 法向加速度： t v a t n = → 2 0 lim 大小 法向加速度的大小为： 2 0 0 0 0 2 0 lim lim lim lim lim v dt v ds t s s v t s s v t v t v a t t t t t n = = = = = = → → → → → 方向 ——沿轨迹的法线（曲率半径）指向曲率的中心。 全加速度： a = a + an 大小 2 2 a = a + an 方向 n a a tan = M a an a 注：判别点作加速运动还是减速运动，是用 a，而不是用 a,与直线运动情形相似,当 v 与 a同 号,点作加速运动,反之作减速运动。 几种特殊情况 — — 时的曲线位移 — — 时的曲线位移 匀速曲线运动 s t s t s s v t o o 0 (1~ 13) (1). = = + 2 ( ) (1 ~ 16) (1 ~ 15) 2 1 (1 ~ 14) (2). 2 2 2 匀变速曲线运动 o o o o o v v a s s s s v t a t v v a t = + − = + + = +
