第四章 空间力系 若力系中各力的作用线在空间任意分布,则该力系称为空间任意力系,简称空间力系 BK A A 本章研究的主要内容 空间力系 分解 空间力偶系 空间汇交力系 简化 导出平衡方程 应用:重心、平行力系中心 §4-1空间汇交力系 平面汇交力系合成的力多变形法则对空间汇交力系是否适用? 对空间多个汇交力是否好用?用解析法又如何?
第四章 空间力系 若力系中各力的作用线在空间任意分布，则该力系称为空间任意力系，简称空间力系。 本章研究的主要内容 空间力系 分解 空间力偶系 空间汇交力系 简化 导出平衡方程。 应用: 重心、平行力系中心 §4–1 空间汇交力系 平面汇交力系合成的力多变形法则对空间汇交力系是否适用？ 对空间多个汇交力是否好用？ 用解析法又如何？
1、力在直角坐标轴上的投影 直接投影法 F=FcOS F= Fcos 0 F=CoSY 间接(二次)投影法 F=Fsin y F= Fsin y cos F=F Sin sin p F=F coS y 2、空间汇交力系的合力与平衡条件 空间汇交力系的合力 合矢量(力)投影定理 FR=∑F R=∑F=∑F ∑F=∑F ∑F=∑F 合力的大小 F=V∑F)+∑F)+C∑F 方向余弦
1、力在直角坐标轴上的投影 直接投影法 Fx = F cos Fy = F cos F F cos z = 间接（二次）投影法 2、空间汇交力系的合力与平衡条件 空间汇交力系的合力 合矢量（力）投影定理 合力的大小 sin F F xy = sin cos F F x = sin sin F F y = cos F F z = R i F F = F F F Rx ix x = = F F F Ry iy y = = F F F Rz iz z = = = + + 2 2 2 ( ) ( ) ( ) FR FX FY FZ 方向余弦
∑F COS(R i) ∑F COS( R COS(F R,)=2F 空间汇交力系平衡的充分必要条件是: 该力系的合力等于零,即可由上式得: ∑ F=0 ∑ F=0 F=0 x y 称为空间汇交力系的平衡方程。 §4-2力对点的矩和力对轴的矩 1、力对点的矩以矢量表示—力矩矢 三要素 (1)大小:力F与力臂的乘积 (2)方向:转动方向 (3)作用面:力矩作用 Mn(F)=r×F 0 又 产=x+y+EF=F+F元+Fk 则 M(F)=(xF)=(xi+yj+=k)x(Fi+F,j+Fk)
空间汇交力系平衡的充分必要条件是： 该力系的合力等于零，即可由上式得： 称为空间汇交力系的平衡方程。 §4–2 力对点的矩和力对轴的矩 1、 力对点的矩以矢量表示 ——力矩矢 三要素 (1）大小:力 F 与力臂的乘积 (2)方向:转动方向 (3)作用面：力矩作用 cos( , ) x R R F F i F = R y R F F F j cos( , ) = R z R F F F k cos( , ) =0 Fx = 0 Fy = 0 F z = ( ) M F r F O = 又 r xi yj zk = + + F F i F j F k = + + x y z ( ) ( ) ( ) ( ) 则 M F r F xi yj zk F i F j F k O x y z = = + + + +
x y FF (yF -=F)+(=F-xF)j+(xF-yF)k 力对0点的矩在三个坐标轴的投影 M(F)I=yF:-=Fy M(F F-xF M(F)L=xFy-yF 2.力对轴的矩 (b)
力对 O 点的矩在三个坐标轴的投影 2.力对轴的矩 xxx i j k x y z FFF = ( ) ( ) ( ) x y x z y x = − + − + − yF zF i zF xF j xF yF k ( ) o z y x M F yF zF = − ( ) o x z y M F zF xF = − ( ) o y z z M F xF yF = −
M(F)=M0(Fn)=±Fnh 力与轴相交或与轴平行(力与轴在同一平面内),力对该轴的矩为零。 3、力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系 已知:力,力在三根上分力 力作用点的坐标xy,z 求:力F对x,yz轴的 M(F)=Fy-Fx、(F)+M(F) M,(F)=M,(F2)+M,(F)+M,(F2) 2-F M:(F)=M2(F2)+M2(F,)+M2(F2) Fy=-Fy F J 比较力对点之矩和力对轴之矩,可得如下关系式: LM(FI M(F) [M。(F)],==F,-xF=M,(F) IM(FT-XFy-yF-M (F)
力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内），力对该轴的矩为零。 3、 力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系 已知：力 ,力 在三根轴上的分力 ， ， ，力 作用点的坐标 x, y, z 求：力 F 对 x, y, z 轴的矩 比较力对点之矩和力对轴之矩，可得如下关系式： ( ) ( ) M F M F F h z o xy xy = = F F Fx Fy F z F ( ) ( ) ( ) ( ) M F M F M F M F x x x x y x z = + + F y F z z y = − ( ) ( ) ( ) ( ) M F M F M F M F y y x y y y z = + + ( ) ( ) ( ) ( ) M F M F M F M F z z x z y z z = + + F z F x x z = − F z F y y x = − ( ) ( ) o z y x x M F yF zF M F = − = ( ) ( ) o x y y M F zF xF M F = − = ( ) ( ) o y z z z M F xF yF M F = − =
力对点的矩失在过该点的某轴上的投影,等于力对该轴的矩 §4-3空间力偶 力偶矩以矢量表示力偶矩矢 F1=F2 空间力偶的三要素 (1)大小:力与力偶臂的乘积; (2)方向:转动方向; (3)作用面:力偶作用面 F 力偶矩 2、力偶的性质 (1)力偶中两力在任意坐标 败和为零。 (2)力偶对任意点取矩都等于力偶矩,不因矩心的改变而改变。 力偶矩 F M(F,F)=M(F)+M0(F)=元×F+元×F 因F M。(F,F)=(4-)×F=M (3)只要保持力偶矩不变,力偶可在其作用面内任意移转,且 小与力偶臂的长短,对刚体的作用效果不变
即，力对点的矩矢在过该点的某轴上的投影，等于力对该轴的矩。 §4–3 空间力偶 1、力偶矩以矢量表示 力偶矩矢 空间力偶的三要素 （1） 大小：力与力偶臂的乘积； （2） 方向：转动方向； （3） 作用面：力偶作用面。 力偶矩 2、力偶的性质 (1）力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零 。 （2）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改变而改变。 力偶矩 （3）只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意移转，且可以同时改变力偶中力的大 小与力偶臂的长短，对刚体的作用效果不变。 F F F F 1 2 1 2 = = = M = rAB F M r F BA = M r F = BA ( , ) ( ) ( ) M F F M F M F r F r F o o o A B = + = + ( , ) ( ) M F F r r F M o A B = − = 因 F F = −
M(F1,FD=BA×F1 M(FF=r XF=rX(F +F BA×F1+B×F2=B×F1=M(F2F1) (4)只要保持力偶矩不变,力偶可从其所在平面移至另一与此平面平行的任一平面,对刚体 的作用效果不变 A=F=F F2=F3 400N 400N 1000N
(4)只要保持力偶矩不变，力偶可从其所在平面移至另一与此平面平行的任一平面，对刚体 的作用效果不变。 ( , ) M F F r F R R BA R = 1 2 ( ) BA = + r F F BA BA 1 2 = + r F r F 1 1 1 ( , ) BA = = r F M F F 1 1 1 M (F ,F ) rBA F = = = = = F1 F1 = F2 = F2 F3 F3 = = =
定位矢量 滑移矢量 自由矢量(撒来搬去,滑来滑去) 力偶矩矢是自由矢量 力偶矩相等的力偶等效 (5)力偶没有合力,力偶平衡只能由力偶来平衡 3.力偶系的合成与平衡条件 M=∑M M1=×F12,M2=E2×F2…,Mn=n×F 则得 M=∑M 为合力偶矩矢,等于各分力偶矩矢的矢量和 ∑ M.M ∑ M. ∑ M 合力偶矩矢的大小和方向余弦 ∑M ∑M ∑M B coSy M M=V∑M)+√∑M)2+√∑M) 空间力偶系平衡的充分必要条件是:合力偶矩矢等于零,即 ∑M4=q 简写 1=0.∑M=0.∑M2=0 称为空间力偶系的平衡方程
定位矢量 滑移矢量 自由矢量（搬来搬去，滑来滑去） 力偶矩矢是自由矢量 力偶矩相等的力偶等效 (5)力偶没有合力，力偶平衡只能由力偶来平衡。 3．力偶系的合成与平衡条件 则得: 为合力偶矩矢，等于各分力偶矩矢的矢量和。 合力偶矩矢的大小和方向余弦 空间力偶系平衡的充分必要条件是 :合力偶矩矢等于零，即 简写： 称为空间力偶系的平衡方程。 = = M = Mi 1 1 1 2 2 2 , ,......, M r F M r F M r F = = = n n n M = Mi , , M M M M M M x ix y iy z iz = = = M Mix cos = M Miy cos = M Miz cos = = + + 2 2 2 ( ) ( ) ( ) M Mxi M yi Mzi Mix = 0 Miy = 0 Miz = 0 Mx = 0,My = 0,Mz = 0
§4-4空间任意力系向一点的简化主矢和主矩 简化过程:将力系向已知点O简化—0点称为简化中心。 合成 力线平移 汇交力系 合成 力偶系 结论 空间一般力系 向一点简化一个力FR作用于简化中心O 一个力偶M 主矢与主矩 F=F+F+…+F2=F+E2+…+F=∑F 原力系的主矢 主矢与简化点O位置无关 M=M,+M,+…+N M(F)+M(F2)+…+M(F)=∑ME)=Mo M称为原力系对O点的主矩 主矩与简化点O位置有关 建立直角坐标系Ox,主矢FD在各坐轴上的投影分别为 Fa=∑Fn ∑F=∑ 主矩M在各坐标轴上的投影分别为: Ma=∑[M(F)l=∑M(F) H,(F) [M(F1=∑M(F) 2.空间任意力系的简化结果分析(最后结果) 1)合力 当F≠0,M=0最后结果为一个合力 合力作用点过简化中心。 当F≠0,M≠0,F 时
§4–4 空间任意力系向一点的简化·主矢和主矩 简化过程：将力系向已知点 O 简化 —— O 点称为简化中心。 结论 空间 一般力系 向一点 O 简化 作用于简化中心 O 一个力偶 M 主矢与主矩 ——原力系的主矢 主矢与简化点 O 位置无关 MO——称为原力系对 O 点的主矩 主矩与简化点 O 位置有关 建立直角坐标系 Oxyz，主矢 F’ R 在各坐轴上的投影分别为： 主矩 MO 在各坐标轴上的投影分别为： 2． 空间任意力系的简化结果分析（最后结果） 1） 合力 当 最后结果为一个合力。 合力作用点过简化中心。 当 时， 力线平移 合成 汇交力系 合成 力偶系 = MO 一个力 FR FR F F Fn = + ++ 1 2 = F1 +F2 ++Fn =Fi M = M1 +M2 ++Mn ( ) ( ) ( ) = MO F1 +MO F2 ++MO Fn ( ) =MO Fi = MO = = n i FRx Fxi 1 ' = = n i FRy Fyi 1 ' = = n i FRz Fzi 1 ' ( ) ( ) 1 1 0 i n i x n i Mox M F i x M F = = = = ( ) ( ) 1 1 0 i n i y n i Moy M F i y M F = = = = ( ) ( ) 1 1 0 i n i z n i Moz M F i z M F = = = = O R M d F = FR 0,Mo = 0 FR Mo FR ⊥ Mo 0, 0,
最后结果为一合力。合力作用线距简化中心为d F 考 (b) AM=d×F=M0(F)=∑M(F) 合力矩定理:合力对某点(或轴)之矩等于各分力对同一点(或轴)之矩的矢量(代数 和 (2)合力偶 当区=0=时,最后结果为一个合力偶,此时与简化中心无关 (3)力螺旋 当F≠0M≠0FM时 Mo 力螺旋中心轴过简化中心 当F≠0,M≠OFM成确,且≠一时 力螺旋中心轴距简化中心为
最后结果为一合力。合力作用线距简化中心为 合力矩定理：合力对某点（或轴）之矩等于各分力对同一点（或轴）之矩的矢量（代数） 和。 （2）合力偶 当 时，最后结果为一个合力偶。此时与简化中心无关。 （3）力螺旋 力螺旋中心轴过简化中心 力螺旋中心轴距简化中心为 O R M d F = ( ) ( ) M d F M F M F O R O R O = = = 当FR 0,Mo 0,FR Mo时 0, 0 F M R O = 当 ， ， ，成 角，且 时 2 FR 0 M 0 FR M k sin O R M d F =