·80· 智能系统学报 第2卷 引理2如图4所示，MM是一段凸可微曲 小值 线，N,N2是MM的渐伸线，即：取MM上任意一 另一方面，由引理4知： 点P,过P作MM的切线交NN2于Q点，则MP de(x..xj)=-(B(x:,x)dx:+B(x:.x)dxj), 的长度与直线PQ的长度之和为定值.设过Q点的 于是： MM 曲线N,N2的切线为L,则有PQ山 22》动n+.动对 -「客2mwm F2m动d MM 图4渐伸线 2e,” Fig.4 Asymptote M 证明见附录A. -2,2x=22l 设L(x,x)是x,x,两点之间对障碍物的某种 下面用反证法证明imx,()存在(i=1,2,…,M 绕行方式下的极短路径，记L(x,x)的长度为 证明设对于某个k,imx()不存在，则存在￡ s(x,x,设L(x,x)在x点处的单位切向量为 Y(x,x,L(x:,x)在x点处的单位切向量为 >0,对任何T>0,存在10>和>T,使得 Y(x,x,则关于s(x,x)有以下的重要性质： ‖x(1)-xk(o)‖>e,于是，可找到一系列 引理3ds(x,x)=-y(i,xdx:-Y(x, 0<1<t<h<t2<…使得‖s(t)- x川>€，0=1,2，… x)dxj. 证明见附录B 从而 3 运动的收敛性 前面讨论了两点间任意一种绕行障碍物方式下 2了lra≤2ldP 的极短路径的性质，而有效最短路径就是某种绕行 -2lx1)-x(d<-2E 方式下的极短路径.根据引理3，可以得出引理4. 即： 引理4dP(x,x)=-B(x,xdx-x, ua<.2 x)dxj 从而 下面建立一个比较普遍的收敛性定理： 定理1对于i=1,2,,M,imx()存在。 证明设Gf9=g(9dr其在[m,这- ∑22=.∞ 有界闭区间上必有最小值，设为Gm,由条件知：当 于是，limU(t)=-o 这与U(d≥M(M-1)Gmn矛盾 0<p<n时，G'(刊=g(g0,从而G(p)递减：当 o<P时，G(p=g(p)0,从而G(P刊递增.因此， 于是，对于i=1,2,M,limx:()存在 Gm是Gg在0，+网上的最小值. 证毕。 MM 令U()=G(p(x,x),则U()= 4 数值模拟 ≠判 径2c.》≥w.yc即UW有最 MM 这里参考文献[111中的函数，取g(P)= a bexp 在程序中，进一步令a=0.01, 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved. http://www.cnki.net引理 2 如图 4 所示 , M1 M2 是一段凸可微曲 线 , N1 N2是M1 M2 的渐伸线 ,即 :取M1 M2 上任意一 点 P ,过 P 作M1 M2 的切线交 N1 N2于 Q 点 ,则M1 P 的长度与直线 PQ 的长度之和为定值. 设过 Q 点的 曲线N 1 N2的切线为 L ,则有 PQ ⊥L . 图 4 渐伸线 Fig. 4 Asymptote 证明 见附录 A. 设 L ( xi , x j) 是 xi , x j 两点之间对障碍物的某种 绕行方式下的极短路径 , 记 L ( xi , x j ) 的长度为 s( xi , x j) ,设 L ( xi , x j ) 在 xi 点处的单位切向量为 γ( xi , x j) , L ( xi , x j ) 在 x j 点处的单位切向量为 γ( xi , x j) ,则关于 s( xi , x j) 有以下的重要性质 : 引理 3 ds( xi , x j) = - γ( xi , x j) d xi - γ( x j , xi) d x j . 证明 见附录 B. 3 运动的收敛性 前面讨论了两点间任意一种绕行障碍物方式下 的极短路径的性质 ,而有效最短路径就是某种绕行 方式下的极短路径. 根据引理 3 ,可以得出引理 4. 引理 4 dρ( xi , x j) = - β( xi , x j) d xi - β( x j , xi) d x j . 下面建立一个比较普遍的收敛性定理 : 定理 1 对于 i = 1 ,2 , …, M ,limt →∞ xi ( t) 存在. 证明 设 G(ρ) =∫ ρ ρ0 g (τ) dτ,其在[ r0 , R0 ]这一 有界闭区间上必有最小值 ,设为 Gmin ,由条件知 :当 0 <ρ< r0 时 , G′(ρ) = g (ρ) ≤0 ,从而 G(ρ) 递减;当 R0 <ρ时 , G′(ρ) = g (ρ) ≥0 ,从而 G(ρ) 递增. 因此 , Gmin是G(ρ) 在(0 , + ∞) 上的最小值. 令 U ( t) = ∑ M j =1 j ≠1 ∑ M i = 1 G (ρ( xi , x j ) ) , 则 U ( t) = ∑ M j = 1 j ≠r ∑ M i = 1 G(ρ( xi , x j) ) ≥M ( M - 1) Gmin ,即 U ( t) 有最 小值. 另一方面 ,由引理 4 知 : dρ( xi , x j) = - (β( xi , x j) d xi +β( xi , x j) d x j) , 于是 : d dt U ( t) = ∑ M j = 1 j ≠r ∑ M i = 1 g (ρ( xi , x j) ) d dt ρ( xi , x j) = - ∑ M j = 1 j ≠1 ∑ M i =1 g (ρ( xi , x j) ) (β( xi , x j) x·i +β( x j , xi) x·j) = - ∑ M j = 1 j ≠1 ∑ M i =1 g (ρ( xi , x j) ) β( xi , x j) x·i + ∑ M j = 1 j ≠1 ∑ M i =1 g (ρ( xi , x j) )β( x j , xi) x·j = - 2 ∑ M j = 1 j ≠1 ∑ M i = 1 g (ρ( xi , x j) )β( xi , x j) x·i = - 2 ∑ M i =1 vi x·i = - 2 ∑ M i =1 ‖x·i ‖2 . 下面用反证法证明limt →∞ xi ( t) 存在( i = 1 ,2 , …, M) . 证明 设对于某个 k ,limt →∞ xk ( t) 不存在 ,则存在ε > 0 , 对 任 何 T > 0 , 存 在 t′0 > t0 > T , 使 得 ‖xk ( t′0 ) - xk ( t0 ) ‖ > ε, 于 是 , 可 找 到 一 系 列 0 < t1 < t′1 < t2 < t′2 < …, 使 得 ‖ xk ( t′j ) - xk ( tj) ‖>ε, ( j = 1 ,2 , …) . 从而 ∫ t′j t j d dt U ( t) dt = - 2∫ t′j t j ∑ M i = 1 ‖x·i ‖2 dt ≤ - 2∫ t′j t j ‖x·k ‖2 dt ≤- 2 ‖∫ t′j t j x·k ( t) dt ‖2 = - 2 ‖xk ( t′j) - xk ( tj) ‖2 < - 2ε2 . 即 :∫ t′j t j d dt U ( t) dt < - 2ε2 . 从而 ∫ + ∞ 0 d dt U ( t) dt ≤ ∑ ∞ j = 1∫ t′j t j d dt U ( t) dt ≤ ∑ ∞ j =1 - 2ε2 = - ∞. 于是 ,limt →∞ U ( t) = - ∞, 这与 U ( t) ≥M ( M - 1) Gmin矛盾. 于是 ,对于 i = 1 ,2 , …, M ,limt →∞ xi ( t) 存在. 证毕. 4 数值模拟 这里 参 考 文 献 [ 11 ] 中 的 函 数 , 取 g (ρ) = a - bexp - ρ2 c ,在程序中 , 进一步令 a = 0101 , · 08 · 智 能 系 统 学 报 第 2 卷