第十二章动量矩定理 第十一章阐述的动量定理建立了作用力与动量变化之间的关系,揭示了质点系机 械运动规律的一个侧面,而不是全貌。例如,圆轮绕质心转动时,无论它怎样转动, 圆轮的动量都是零,动量定理不能说明这种运动的规律。动量矩定理则是从另一个侧 面,揭示出质点系相对于某一定点或质心的运动规律。本章将推导动量矩定理并阐明 其应用。 12-1转动惯量,平行轴定理 1.转动惯量 质点系的运动,不仅与作用在质点系上的力有关,还与质点系各质点的质量其及 分布情况有关。转动惯量( Moment of inertia)是描述质点系质量分布的又一个特征量 刚体对轴z的转动惯量,是刚体内各质点的质量m与它到该轴的垂直距离r2的 平方的乘积之和,记作J,即 J=∑m2 (12-1) 如果刚体的质量是连续分布的,则可用积分表示 (122) 式中积分号下M表示积分范围遍及整个刚体。 由(12-2)式可见,转动惯量恒为正值,它的大小不仅和整个刚体的质量大小有 关,而且还和刚体各部分的质量相对于转轴的分布情况有关。它是由刚体的质量,质 量分布以及转轴位置这三个因素共同决定的,与刚体的运动状态无关。 在法定计算单位中,转动惯量的常用单位是千克·米2(kg·m2)。 刚体对某轴z的转动惯量J与其质量M的比值的平方根为一个当量长度,称为刚 体对该轴的回转半径( Radius of gyration),即 (12-3) 必须注意:回转半径不是物体某一部分的尺寸,它只是在计算物体的转动惯量时,假 想地把物体的全部质量集中到离轴距离为回转半径的某一点上,这样计算物体对该轴 的转动惯量时,就简化为这个质点对该轴的转动惯量。 2.简单形状均质刚体的转动惯量 形状规则的均质刚体的转动惯量可以利用式(122)O 计算 (1)均质细直杆:如图12-1所示均质细直杆,质 量为m,长为l,建立坐标系如图。在直杆上取长为dx 图12-11 第十二章 动量矩定理 第十一章阐述的动量定理建立了作用力与动量变化之间的关系，揭示了质点系机 械运动规律的一个侧面，而不是全貌。例如，圆轮绕质心转动时，无论它怎样转动， 圆轮的动量都是零，动量定理不能说明这种运动的规律。动量矩定理则是从另一个侧 面，揭示出质点系相对于某一定点或质心的运动规律。本章将推导动量矩定理并阐明 其应用。 12-1 转动惯量，平行轴定理 1．转动惯量 质点系的运动，不仅与作用在质点系上的力有关，还与质点系各质点的质量其及 分布情况有关。转动惯量（Moment of inertia）是描述质点系质量分布的又一个特征量。 刚体对轴 z 的转动惯量，是刚体内各质点的质量 mi 与它到该轴的垂直距离 rzi 的 平方的乘积之和，记作 Jz，即 Jz = 2 i zi ∑ m r （12-1） 如果刚体的质量是连续分布的，则可用积分表示 Jz = 2 d M∫ r m （12-2） 式中积分号下 M 表示积分范围遍及整个刚体。 由（12-2）式可见，转动惯量恒为正值，它的大小不仅和整个刚体的质量大小有 关，而且还和刚体各部分的质量相对于转轴的分布情况有关。它是由刚体的质量，质 量分布以及转轴位置这三个因素共同决定的，与刚体的运动状态无关。 在法定计算单位中，转动惯量的常用单位是千克·米 2 （kg·m 2 ）。 刚体对某轴 z 的转动惯量 Jz 与其质量 M 的比值的平方根为一个当量长度，称为刚 体对该轴的回转半径（Radius of gyration），即 2 , z z z z J M M J ρ = = ρ （12-3） 必须注意：回转半径不是物体某一部分的尺寸，它只是在计算物体的转动惯量时，假 想地把物体的全部质量集中到离轴距离为回转半径的某一点上，这样计算物体对该轴 的转动惯量时，就简化为这个质点对该轴的转动惯量。 2．简单形状均质刚体的转动惯量 形状规则的均质刚体的转动惯量可以利用式（12-2） 计算。 （1）均质细直杆：如图 12-1 所示均质细直杆，质 量为 m，长为 l，建立坐标系如图。在直杆上取长为 dx A O y x x l dx 图 12-1