UO(x,)A.设O(x,)∈B2,则∪B13U0(x,)A,4被有限覆盖.{B2∈A 是任意的,由定义A是紧集 推论1每个紧集是有界闭集.紧集的每个闭子集是紧的 这是因为对于紧集A中的每个序列{xn},若xn→x,必有子列xn→x∈A.故A闭.另 方面若A紧,EcX是闭的,则对于{xn}cA,有子列x2→x,E闭,故x∈E.所以E 定理2设X为度量空间,AcX,则下面两条件等价: (1)A是相对紧集 (2)A中任一无穷序列{xn}包含收敛子序列(极限点不必在A中) 证明1°若紧,{x}CAcA,由定理1,存在子序列{x},x→x∈AcX 2°反之,设{xn}是A中的无穷序列,构造A中的无穷序列{yn} 若xn∈A xn,若x∈A\A取x∈Ad(xnx)< 则{yn}∈A.由(2),存在子列{y},y2→y∈X.显然y∈A并且 d(x2,y)≤d(x,y)+d(yn,y)≤一+d(m,y)→0 所以x→y.由定理1知A紧,从而A相对紧 定理3设X是度量空间,AcX,则下面两条件等价 (1)A是完全有界集 (2)A中任一无穷序列{xn}包含 Cauchy子序列 证明1°若A是完全有界的,x}∈A.取6=1,则A有有限网,{x,}是无限的, 故至少有一个半径为一的球包含无穷多个xn,记它们为{x1},显然d(xx)<1.{x}作为 A的子集同样是完全有界的现在取E 22{xn}有有限的网,其中之一包含{x}中无 穷多个元,记为{x2},显然d(x2,x2)<,…·如此下去,得到可数多个序列,每个序列0 0 1 (,) n i i Ox r A = ∪ ⊃ ．设 i O xi r ⊂ Bλ ( , ) 0 ，则 ( ) 0 0 0 1 1 , i n n i i i Bλ Oxr A = = ∪ ∪ ⊃ ⊃ ，A 被有限覆盖．{ ;λ Λ} Bλ ∈ 是任意的，由定义 A 是紧集． 推论 1 每个紧集是有界闭集．紧集的每个闭子集是紧的． 这是因为对于紧集 A 中的每个序列{ }n x ，若 x x n → ，必有子列 x x A nk → ∈ ．故 A 闭．另 一方面若 A 紧，E ⊂ X 是闭的，则对于{xn } ⊂ A，有子列 x x n ′ k → ，E 闭，故 x∈ E ．所以 E 紧． 定理 2 设 X 为度量空间， A ⊂ X ，则下面两条件等价： （1） A 是相对紧集． （2） A 中任一无穷序列{ }n x 包含收敛子序列（极限点不必在 A 中）． 证明 1°若 A 紧，{xn } ⊂ A ⊂ A ，由定理 1，存在子序列{ } k n x ， x x A X nk → ∈ ⊂ ． 2°反之，设{ }n x 是 A 中的无穷序列，构造 A 中的无穷序列{ }n y ， , . 1 , \, ,( , ) . n n n n n n nn x xA y x x A A x Ad x x n  ∈  =  ′ ′′ ∈∈ <   若 若 取 则{yn } ⊂ A．由（2），存在子列{ } k n y ， y y X nk → ∈ ．显然 y∈ A 并且 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0, k kk k k n nn n n k dx y dx y dy y dy y n ≤ + ≤+ → 所以 x y nk → ．由定理 1 知 A 紧，从而 A 相对紧． 定理 3 设 X 是度量空间， A ⊂ X ，则下面两条件等价： （1） A 是完全有界集． （2） A 中任一无穷序列{ }n x 包含 Cauchy 子序列． 证明 1°若 A 是完全有界的，{xn } ⊂ A．取 2 1 ε = ，则 A 有有限 2 1 网，{ }n x 是无限的， 故至少有一个半径为 2 1 的球包含无穷多个 n x ，记它们为{ }1i x ，显然 ( , ) 1 d x1i x1 j < ．{ }1i x 作为 A 的子集同样是完全有界的. 现在取 2 2 1 ε = , { }1i x 有有限的 2 2 1 网，其中之一包含{ }1i x 中无 穷多个元，记为{ } 2i x ，显然 2 1 ( , ) d x2i x2 j < ，…．如此下去，得到可数多个序列，每个序列