(2)证明完全有界集一定是有界集 定理1设X是度量空间,AcX,则下面两条件等价 (1)A是紧集 (2)A中任一无穷序列{x}包含有子序列{x},x→x并且x∈A 证明先设A紧,{xn}是A中的无穷序列.若{xn}无子序列收敛于A中的元,则 vx∈A,>0和自然数n2,使得O(x,r)∩{xnn≥n2}=②,注意到UO(xr)A,由A 的紧性,存在x…,x,使得O(x,1)A·但当m≥max{4?…,nx;}时, O(x,1,)∩{xn2m=②,从而 {xn;n≥m}cUO(x1,r:)∩{xn,n≥m}=, 矛盾 反之,为证A紧,设{B2L∈A是A的一族开覆盖.Vx∈A,彐B2,x∈B2·B2是 开集,故存在r>0,O(x,n)cB2·记r=sup{r,O(x,)<B,∈A},显然r1>0.我们证明 r6=infr>0(称r是A的 Lebesque数) 由下确界定义,彐xn∈A,,→5·根据定理中条件,存在子序列x,x→x∈A.不 幼设为∈B,于是存在,当k≥时,x∈x空,此时 Oxo, ) cB 于是>(2),5=m,≥5>0.(这说明紧集的 Lebesque数大于0.) 现在任取x∈A,若O(x2)A并且O(x2)∈B2,则B覆盖A·否则存 x2∈AO(x,).若UO(x1,6)A并且O(x2,b)<B2,则B,,B2覆盖A.否则又存在 x3∈AⅦ∪o(x1,),….如果这一过程可以无限进行,由此得到序列{xn},显然 d(xn,x)≥l(m≠m)·{xn}无收敛子序列,与(2)矛盾.于是对于某个n0有（2） 证明完全有界集一定是有界集． 定理 1 设 X 是度量空间， A ⊂ X ，则下面两条件等价： （1） A 是紧集． （2） A 中任一无穷序列{ }n x 包含有子序列{ } nk x ， x x nk → 并且 x ∈ A． 证明 先设 A 紧， { }n x 是 A 中的无穷序列．若{ }n x 无子序列收敛于 A 中的元，则 ∀x∈ A ，∃rx > 0 和自然数 nx ，使得O(x,rx )∩{xn ;n ≥ nx} = ∅ ．注意到 O x rx A x A ⊃ ∈ ∪ ( , ) ，由 A 的紧性，存在 k x′, , x′ 1 " ，使得 O x r A j j x k j ′ ′ ⊃ = ( , ) 1 ∪ ．但当 max{ , , } 1 k x x m ≥ n ′ " n ′ 时 ， O(x′ j ,rx′ j )∩{xn ;n ≥ m} = ∅ ，从而 ≥ ⊂ ′ ′ ≥ = ∅ = { ; } ( , ) { ; } 1 x n m O x j rx xn n m k j n j ∪ ∩ ， 矛盾． 反之，为证 A 紧，设{ ;λ Λ} Bλ ∈ 是 A 的一族开覆盖．∀x ∈ A ， ∃Bλ ， Bλ x ∈ ． Bλ是 开集，故存在 r > 0 ， Bλ O(x,r) ⊂ ．记 sup{ ; ( , ) ,λ Λ} rx = r O x r ⊂ Bλ ∈ ，显然 > 0 x r ．我们证明 0 = inf > 0 ∈ x x A r r （称 0r 是 A 的 Lebesque 数）． 由下确界定义， n ∃ ∈ x A ， 0 r r n x → ．根据定理中条件，存在子序列 nn x ，x x A nn → 0 ∈ ．不 妨设 0 λ0 x ∈ B ，于是存在 0 k ，当 0 k ≥ k 时，         ∈ 2 , 0 0 x n r x O x n ，此时 ( ) 0 0 0 , 2 , 0 Bλ O x r r O x x x nn ⊂ ⊂         ． 于是 ( ) 2 0 0 k k r r x x kn > ≥ ， 0 2 lim 0 0 = ≥ > →∞ x x k r r r kn ．（这说明紧集的 Lebesque 数大于 0．） 现在任取 x1 ∈ A ， 若 O(x1 ,r0 ) ⊃ A 并 且 1 ( , ) 1 0 Bλ O x r ⊂ ， 则 λ1 B 覆 盖 A ．否则存在 \ ( , ) 2 1 0 x ∈ A O x r ．若 O xi r A i ⊃ = ( , ) 0 2 1 ∪ 并且 2 ( , ) 2 0 Bλ O x r ⊂ ，则 λ1 B ， 2 Bλ 覆盖 A ．否则又存在 \ ( , ) 0 2 1 3 x A O x r i i= ∈ ∪ ，…．如果这一过程可以无限进行，由此得到序列 { }n x ，显然 ( , ) ( ) d xm xn ≥ r0 m ≠ n ． { }n x 无收敛子序列，与（ 2 ）矛盾．于是对于某个 0 n 有