Vol.27 No.6 王为人等：多分辨小波控制器在轧辊偏心控制中的应用 ·729· 可见，当调节轧机刚度K=1时，△h-0,轧机弹 下面的方程： 跳量被完全补偿，没有厚度偏差.但是，当考虑轧 =(0fm(Σf(2”t-n) (11) 辊偏心e时，式(4)变为： Ae+△P1- (2)为小波函数，它和尺度函数(2')的关系 C (5) 为下式： 为了使问题更加明确，进一步考虑如下关系： 2-Σgk)(2mt-k) (12) △P=(△H-△h)-M (6) (),gk)组成一个共轭镜像滤波器组.从上面的 其中，△H为来料厚度波动，M为材料的塑性刚 分析可知，一个小波序列通过下式来表示信号 度，把式(6)代入式(5)得： f): C △h=- K·e+MAH 02ct-kr2乏du4) (7) 0一 C C RM二RM c=∫fap't-kt (13) 从式(7)可以看出，当K=1时，入口厚度波动△H引 du=∫ft0yia(i)d 起的轧件出口厚度偏差被完全消除，但轧辊偏心 其中，中()，w()分别是(0)，)的共轭函数5.网.因 量e却被轧件完全吸收：而当K一oo时，尽管轧辊 此，小波变换通过式(13)把信号)分解成趋势(c) 偏心影响被消除，但入口厚度波动的影响却很严 和细节系数(d).分解的第一步是计算趋势和细节 重，对两者不可能很好地兼顾，通常情况下，只能 系数，然后趋势系数结合尺度函数作为一个基函 通过分析主次因素，重点消除或减少一方面的影 数重新产生趋势信号（方程(13）和式的左边部 响，或者同时部分消除两方面地影响， 分)，细节系数使用小波函数作为基函数，它被用 来重新产生细节信号（方程(13）和式的右边部 2小波多分辨分解 分).趋势信号捕捉八)中的低频信息而细节信号 多分辨分析是一个方便的在不同尺度上逐 捕捉高频信息.一个多分辨分解的结果如下式： (14) 级表示函数（信号）的工具.多分辨分析就是对 f广fi(+M(计+不.()+无() 于一个平方可积的信号f)EL(R),把它看成是某 其中，方是f)的高频部分信号，人是低频部分信 一逐级逼近的极限情况： 号，f,l,…N-1,是中频部分信号，N是分解的 rf(2t-m） (8) 层数，分解结果的频率信息是近似的，因为小波 不像傅里叶分析中的正弦和余弦那样有一个精 其中，m-0,1,2,…,是逼近的级数：()称为尺度函 确的颊率，在分解的结果中，各个小波序列分别 数，它的不同整数位移函数的线性组合表示f) 包含了原始信号从高到低的各频率段信息，在全 的每级逼近.每级逼近都是用某一低通平滑函数 频带内正交分解的结果，信息量既无冗余，也不 ()作平滑的结果，而且逐级通近时平滑函数() 疏漏，而且信息分解和重构可以有针对性地选择 也作逐级伸缩，也就是用不同分辨率来逐级逼近 有关频带信息和剔除噪声干扰。 待分析信号. 如果f)的(m+1)级逼近要求是m级逼近的一 3多分辨小波控制器设计 个更加精细的情况，那么函数(2)应该是(+1) 级逼近的基函数所张成一般空间的一个线性组 基于轧辊偏心信号的特征，即轧辊偏心反映 合，即： 在轧制力上是一高频周期波，其频率随着轧制速 p(2Σhkp(21-k月 (9) 度的变化而改变，主导分量是基波和二次谐波 如果"表示由正交集{(21-k∈Z生 (主要是基波).设计了多分辨小波控制器对轧辊 成的空间，表示由正交集合{(21-p)pEZ生 偏心信号进行检测和抵消，构成如图1所示的控 成的空间，那么C.令 制系统. m=m⊕Wm (10) 该方案不仅能够消除轧辊偏心对带钢厚度 那么，是f)的m级逼近f(t)和(m+1)级逼近 均匀性所产生的直接不良影响，而且可以避免轧 f()之间的细节差异.Mallat指出W侧是函数 辊偏心所造成的压力AGC系统调节质量的恶 (2)的正交变换函数族生成的空间，因此导出 化，从而使成品厚度精度得以大幅度提高.图中、 王 为人等 多分辨小 波控制器在轧辊 偏心 控制 中的应 用 ， 可见 ， 当调 节 轧 机 刚度犬二 时 ， 劫二 ， 轧机 弹 跳 量被完 全补 偿 ， 没有 厚度 偏 差 但 是 ， 当考虑 轧 辊偏心 时 ， 式 变 为 二 ， 一‘ ， △尸 一劝 一一乙一 为 了使 问题 更 加 明确 ， 进 一步 考虑 如下 关 系 △尸七 八厅一 劫 · 其 中 ， △万 方来 料 厚 度 波 动 ， 为 材 料 的 塑 性 刚 度 ， 把 式 代 入 式 得 下 面 的方 程 厂 ’ ‘ ，， 丫 用 〕 艺 养 沪 ’ 一 试 哟 为 小波 函 数 ， 它和 尺 度 函 数价 ” 的关 系 为 下 式 试 ’ 一 干 价 ’ ‘ ，‘一 ， 冰劝组 成 一 个共 扼 镜 像 滤 波 器 组 从 上 面 的 分 析 可 知 ， 一 个 小 波 序 列 通 过 下 式 来 表 示 信 号 八 、分 材 已十 八月 从式 可 以看 出 ， 当犬汪 时 ， 入 口 厚度波动八厅引 起 的轧件 出 口 厚度 偏差被 完全 消除 ， 但 轧辊 偏心 量 却被 轧件 完全 吸 收 而 当 一 时 ， 尽 管 轧 辊 偏心影 响被 消除 ， 但 入 口 厚度波动 的影 响却 很严 重 ， 对 两者 不可能很好地兼顾 通 常情况 下 ， 只 能 通过 分析 主 次 因素 ， 重 点消 除或减 少一 方 面 的影 响 ， 或 者 同时部分 消除两方面地 影 响 点心你 小 波 多分辨 分 解 多分 辨 分 析 是 一 个方 便 的在 不 同尺 度 上 逐 级 表示 函数 信号 的工 具 ‘ 多分辨 分 析 就 是对 于一 个平 方可积 的信 号八乃任刀 ， 把 它 看成 是某 一逐 级 逼 近 的极 限情 况 户 艺 儿 ， 沪 ，一 其 中 ， ， ， ，… ， 是逼近 的级 数 功 称 为尺度 函 数 ， 它 的不 同整数位 移 函 数 的线性 组 合表 示八 的每 级逼近 每级逼近 都是用 某 一低 通平 滑 函数 帆 作平滑 的结果 ， 而 且逐 级逼 近 时平 滑 函数以 也作逐 级伸缩 ， 也就 是用不 同分辨 率来逐 级逼近 待 分析 信 号 如 果八 的伽十 级逼 近 要 求 是 级 逼近 的一 个 更 加精 细 的情况 ， 那 么 函数沪 哟应 该 是 级 逼 近 的基 函 数所 张成 一 般 空 间 的一 个 线性 组 合 ， 即 价 叻一 干御 ‘ ’ ‘一 如 果 尸‘ 表 示 由正 交 集 仲 淤 ， 一 任 生 成 的空 间 ， 户 》表示 由正 交集 合 伸 ‘ ， 任 生 成 的空 间 ， 那 么 尸种 州 而啥 ， 令 护耐性护间 。 甲 阴 那 么 ， 沪 ，是八 的 级 逼 主州 用 和 ， 级 逼 近 厂耐 之 间 的细节 差 异 指 出 沪 ， 是 函数 试 哟 的 正交变换函 数族生 成 的 空 间 ， 因此 导 出 其 中 ，犷 ， 好 分 别 是诃 ， 试 的共 扼 函 数 ‘， 因 此 ， 小波 变换通 过 式 把 信 号爪 分解成 趋 势 和细 节 系数 刃 分解 的第一 步是 计算趋 势和 细 节 系数 ， 然 后趋 势 系 数 结合 尺度 函 数 作 为一 个基 函 数 重 新 产 生 趋 势信 号 方 程 和 式 的左 边 部 分 ， 细 节 系数 使 用 小波 函数作 为基 函数 ， 它被 用 来重 新 产 生 细 节信 号 方 程 和 式 的右 边 部 分 趋 势 信 号 捕 捉刀习中 的低 频 信 息 而 细 节信 号 捕 捉 高频 信 息 一个 多分 辨分 解 的结 果 如 下 式 书 傲痴 大八 人 城 其 中 ， 是八 的 高频 部 分 信 号 沂 是低 频 部分 信 号 ，瓜 ， 卜 ， … 刀一 ， 是 中频 部 分 信 号 ， 是 分 解 的 层 数 分解 结 果 的频 率信 息 是 近 似 的 ， 因 为 小 波 不 像 傅 里 叶 分析 中 的 正 弦 和 余 弦 那 样 有 一 个 精 确 的频 率 在 分 解 的结 果 中 ， 各 个 小波序 列 分 别 包 含 了原始信 号 从高 到低 的各 频 率段信 息 ， 在 全 频 带 内正 交 分解 的 结 果 ， 信 息 量 既无 冗余 ， 也 不 疏漏 ， 而 且信 息分解和 重构可 以有针对 性 地选 择 有关 频 带 信 息 和 剔 除 噪 声 干 扰 多分 辨 小 波控制 器 设 计 基 于 轧 辊偏 心 信 号 的特 征 ， 即轧辊 偏心 反 映 在 轧 制 力上 是 一 高 频周 期波 ， 其 频 率 随着 轧制速 度 的 变化 而 改变 ， 主 导 分 量 是 基 波和 二 次谐 波 主 要 是 基 波 设计 了多分辨 小 波 控 制器 对 轧 辊 偏心 信 号进 行检测 和 抵 消 ， 构 成 如 图 所 示 的控 制系 统 该 方 案 不 仅 能 够 消 除 轧 辊 偏 心 对 带 钢 厚 度 均 匀性 所 产生 的直接 不 良影 响 ， 而且 可 以避 免 轧 辊偏 心 所 造 成 的压 力 系 统 调 节 质 量 的恶 化 ， 从 而 使成 品厚度 精度 得 以大 幅度 提 高 图 中