第5期 李自强，等：多信号输人下多智能体系统的图可控性分类 .681 模型下系统的可控性成为一个热点。 定义节点i和节点j之间的距离为dc(i,j),表示为 Tanner是最早通过系统中各节点之间的联系来 节点i和节点j之间最短的通道。当图中任意一对 研究可控性的。他通过邻居信息，提出了其中一 节点之间存在一条通道时，我们说图G是连通的。 个节点为领导者时系统可控的充分必要条件，并得 拉普拉斯矩阵是半正定且实对称的，因此L的特征 到了无向图下的能控性定理。这对后续有关可控性 值可以给定顺序为入1≤入2≤…≤入.，其中特征值 的研究给予了很大的帮助。早在Aguilar的文章 入1=0对应的特征向量为[11…1]'。如果图G是 中[u],Aguilar就整个图的可控性进行分类，根据图 连通的，则入，=0是L的非重特征根，此时有入2>0， 选取不同的领导者时图是否可控，来定义了3种图 本文中图G的特征值或特征向量即为图拉普拉斯 可控性，并就3种分类进行了详细的分析，但是 矩阵L的特征值或特征向量。 Aguilar的文章内容是在单信号输入的特殊模型下 给定域k上的向量空间P,Q是P的有限子集， 进行研究的，即每个领导者节点受到同一个信号的 则Q的生成空间为Q中元素的所有有限线性组合 输入，而本文是在更一般的多信号输入模型下进行 组成的集合。如果Q=[P1P2…P,],则生成空间 研究，每个领导者节点可能受到不同的多个信号的 span(Q)=span(p1,P2,…,P,)={入P1+入2P2…+入P,l 输人，这种多信号输入的模型更能准确地表现多智 A1,入2，…，入，∈k}。令(L:B〉表示包含B的最小L 能体系统的一般性，而且本文纠正了Aguilar文 不变子空间，即(L;B〉=span{LB|k∈No},并且，当 章[1)]中关于齐次向量的条件可控图问题。 dim((L;B〉)=k+1时，{B,LB,…,LB}是(L;B》 一些研究者[9]近几年对基于拉普拉斯矩阵 的一个基。其中dim((L;B〉)表示矩阵((L:B〉) 下的可控性作了很多的研究，本文也是在拉普拉斯 的空间维数。如果dim(〈L:B〉)=n,则系统(L,B) 矩阵下，结合矩阵论的知识[235]，对系统的可控性 是可控的。 与拉普拉斯矩阵的关系进行了研究，特别是在拉普 本文主要分析G=(V,E)上的可控性问题，其 拉斯矩阵的特征值和特征向量等对系统可控性的影 中x,(t)∈R代表了节点i∈V在时刻t时的状态， 响方面进行了深入的研究，另外，本文主要在多输入 节点间的相互关系由边集E来表示。在时刻1时， 信号情况下，对多智能体系统中的图可控性进行分 一个外部控制向量通过一状态向量bm∈R”施加在 类，具体分为多信号输入下本质可控图，多信号输入 节点i上。单个节点的状态方程可以表示为 下完全不可控图以及多信号输入下条件可控图，并 .()=-∑(x:-x)+bu(t) lijl eE 就这3种分类的特殊性进行了描述，而且对它们的 另外，在时刻t,输出方程y(t)∈R”由输出矩阵 性质进行了相应的阐述。 C∈R"9表示。所以对于连通图G=(V,E),整个系 1预备知识 统方程表示为 (x=-L(G)x(t)+BU(t) 在多智能体系统中，图的节点代表智能体，图中 (1) =Cx(t) 的边线代表智能体之间的通信链接。本文中考虑的 式中B=[b,b2…b.]T∈Rax。 是简单图，即没有封闭环形或重边的无权重无向图。 定义1如果所有领导者节点都受到同一个信 图G表示为G=[VE],其中n个点的点集表示为 号的输入，那称这样的系统为单信号输入系统。当 V=[12…n],边集为E={(i,j)eV×V},输入节 系统受到多个信号输入时，称这样的系统为多信号 点集合表示为S=[i1i2…i,],并且满足 输入系统。 i1<i2<<i,输入节点称为领导者节点，剩下的跟随 在单信号输入系统下，对于具有n个点的图中， 者节点集合即为V\S。图G的邻接矩阵为A∈ 定义输入节点集合S={i1,i2,…,i,},并且满足 Rm,它的全部元素满足当(i,j)∈E时，a,=1;否则 i1<i2<…<i,每个输入节点都受到同一个信号的输 a,=0。如果(i,j)∈E,那么节点i和节点j是相邻 入时，相应的输入矩阵B可以改成输入向量b= 点，节点i的相邻点集合为N,={ka4=1},一个节 [b1b2…bn]T∈{0,1}"，即b:∈{0,1}，定义V。= 点i的度d:为它的相邻点的数量。图G的度矩阵 {i∈Vb:=1}为领导者节点集合，V八V,为跟随者节 为D∈R,它是对角矩阵，第i个对角元素为d:。 点集合，控制单信号为(t)。系统(1)可以改写为 图的拉普拉斯矩阵表示为L=D-A。 (x=-L(G)x(t)+bu(t) (2) 在图G中，对于点集合的两个节点i和节点j, y=Cx(t)模型下系统的可控性成为一个热点。 Ｔａｎｎｅｒ 是最早通过系统中各节点之间的联系来 研究可控性的［１９］ 。 他通过邻居信息，提出了其中一 个节点为领导者时系统可控的充分必要条件，并得 到了无向图下的能控性定理。 这对后续有关可控性 的研究给予了很大的帮助。 早在 Ａｇｕｉｌａｒ 的文章 中［１８］ ，Ａｇｕｉｌａｒ 就整个图的可控性进行分类，根据图 选取不同的领导者时图是否可控，来定义了 ３ 种图 可控性，并就 ３ 种分类进行了详细的分析，但是 Ａｇｕｉｌａｒ 的文章内容是在单信号输入的特殊模型下 进行研究的，即每个领导者节点受到同一个信号的 输入，而本文是在更一般的多信号输入模型下进行 研究，每个领导者节点可能受到不同的多个信号的 输入，这种多信号输入的模型更能准确地表现多智 能体系统的一般性， 而且本文纠正了 Ａｇｕｉｌａｒ 文 章［１８］中关于齐次向量的条件可控图问题。 一些研究者［１９⁃２２］ 近几年对基于拉普拉斯矩阵 下的可控性作了很多的研究，本文也是在拉普拉斯 矩阵下，结合矩阵论的知识［２３⁃２５］ ，对系统的可控性 与拉普拉斯矩阵的关系进行了研究，特别是在拉普 拉斯矩阵的特征值和特征向量等对系统可控性的影 响方面进行了深入的研究，另外，本文主要在多输入 信号情况下，对多智能体系统中的图可控性进行分 类，具体分为多信号输入下本质可控图，多信号输入 下完全不可控图以及多信号输入下条件可控图，并 就这 ３ 种分类的特殊性进行了描述，而且对它们的 性质进行了相应的阐述。 １ 预备知识 在多智能体系统中，图的节点代表智能体，图中 的边线代表智能体之间的通信链接。 本文中考虑的 是简单图，即没有封闭环形或重边的无权重无向图。 图 Ｇ 表示为 Ｇ ＝ ［Ｖ Ｅ］，其中 ｎ 个点的点集表示为 Ｖ＝ ［１ ２ … ｎ］，边集为 Ｅ ＝ ｛（ｉ，ｊ）∈Ｖ×Ｖ｝，输入节 点集 合 表 示 为 Ｓ ＝ ［ ｉ １ ｉ ２ … ｉ ｑ ］， 并 且 满 足 ｉ １＜ｉ ２＜…＜ｉ ｑ，输入节点称为领导者节点，剩下的跟随 者节点集合即为 Ｖ ＼ Ｓ。 图 Ｇ 的邻接矩阵为 Ａ∈ Ｒ ｎ×ｎ ，它的全部元素满足当（ｉ，ｊ）∈Ｅ 时，ａｉｊ ＝ １；否则 ａｉｊ ＝ ０。 如果（ｉ，ｊ）∈Ｅ，那么节点 ｉ 和节点 ｊ 是相邻 点，节点 ｉ 的相邻点集合为 Ｎｉ ＝ ｛ ｋ ａｉｋ ＝ １｝，一个节 点 ｉ 的度 ｄｉ 为它的相邻点的数量。 图 Ｇ 的度矩阵 为 Ｄ∈Ｒ ｎ×ｎ ，它是对角矩阵，第 ｉ 个对角元素为 ｄｉ。 图的拉普拉斯矩阵表示为 Ｌ ＝Ｄ－Ａ。 在图 Ｇ 中，对于点集合的两个节点 ｉ 和节点 ｊ， 定义节点 ｉ 和节点 ｊ 之间的距离为 ｄＧ（ ｉ，ｊ），表示为 节点 ｉ 和节点 ｊ 之间最短的通道。 当图中任意一对 节点之间存在一条通道时，我们说图 Ｇ 是连通的。 拉普拉斯矩阵是半正定且实对称的，因此 Ｌ 的特征 值可以给定顺序为 λ１ ≤λ２ ≤…≤λｎ ，其中特征值 λ１ ＝ ０对应的特征向量为［１ １ … １］ Ｔ 。 如果图 Ｇ 是 连通的，则 λ１ ＝ ０ 是 Ｌ 的非重特征根，此时有 λ２＞０， 本文中图 Ｇ 的特征值或特征向量即为图拉普拉斯 矩阵 Ｌ 的特征值或特征向量。 给定域 ｋ 上的向量空间 Ｐ，Ｑ 是 Ｐ 的有限子集， 则 Ｑ 的生成空间为 Ｑ 中元素的所有有限线性组合 组成的集合。 如果 Ｑ ＝ ［ ｐ１ ｐ２ … ｐｒ ］，则生成空间 ｓｐａｎ（Ｑ）＝ ｓｐａｎ（ｐ１ ，ｐ２ ，…，ｐｒ）＝ ｛λ１ ｐ１ ＋λ２ ｐ２…＋λｒ ｐｒ ｜ λ１ ，λ２ ，…，λｒ∈ｋ｝。 令〈Ｌ；Ｂ〉表示包含 Ｂ 的最小 Ｌ⁃ 不变子空间，即〈Ｌ；Ｂ〉 ＝ ｓｐａｎ Ｌ ｋＢ ｋ∈Ｎ０ { } ，并且，当 ｄｉｍ（〈Ｌ；Ｂ〉）＝ ｋ＋１ 时，｛Ｂ，ＬＢ，…，Ｌ ｋＢ｝ 是〈Ｌ；Ｂ〉 的一个基。 其中 ｄｉｍ（〈Ｌ；Ｂ〉） 表示矩阵（〈Ｌ；Ｂ〉） 的空间维数。 如果 ｄｉｍ（〈Ｌ；Ｂ〉）＝ ｎ，则系统（Ｌ，Ｂ） 是可控的。 本文主要分析 Ｇ ＝ （Ｖ，Ｅ）上的可控性问题，其 中 ｘｉ（ｔ）∈Ｒ 代表了节点 ｉ∈Ｖ 在时刻 ｔ 时的状态， 节点间的相互关系由边集 Ｅ 来表示。 在时刻 ｔ 时， 一个外部控制向量通过一状态向量 ｂｍ∈Ｒ ｑ 施加在 节点 ｉ 上。 单个节点的状态方程可以表示为 ｘ · ｉ（ｔ） ＝ － ｛ｉ∑，ｊ｝∈Ｅ （ｘｉ － ｘｊ） ＋ ｂ Ｔ ｍ ｕ（ｔ） 另外，在时刻 ｔ，输出方程 ｙ（ｔ）∈Ｒ ｐ 由输出矩阵 Ｃ∈Ｒ ｎ×ｐ表示。 所以对于连通图 Ｇ ＝ （Ｖ，Ｅ），整个系 统方程表示为 ｘ · ＝ － Ｌ（Ｇ）ｘ（ｔ） ＋ ＢＵ（ｔ） ｙ · ＝ Ｃｘ（ｔ） { （１） 式中 Ｂ＝ ［ｂ１ ｂ２… ｂｎ ］ Ｔ∈Ｒ ｎ×ｑ 。 定义 １ 如果所有领导者节点都受到同一个信 号的输入，那称这样的系统为单信号输入系统。 当 系统受到多个信号输入时，称这样的系统为多信号 输入系统。 在单信号输入系统下，对于具有 ｎ 个点的图中， 定义输入节点集合 Ｓ ＝ ｛ ｉ １ ， ｉ ２ ， …， ｉ ｑ ｝， 并且满足 ｉ １＜ｉ ２＜…＜ｉ ｑ，每个输入节点都受到同一个信号的输 入时，相应的输入矩阵 Ｂ 可以改成输入向量 ｂ ＝ ［ｂ１ ｂ２… ｂｎ ］ Ｔ∈｛０，１｝ ｎ ，即 ｂｉ ∈｛ ０，１｝，定义 Ｖｂ ＝ ｛ｉ∈Ｖ ｂｉ ＝ １｝为领导者节点集合，Ｖ＼Ｖｂ 为跟随者节 点集合，控制单信号为 ｕ（ｔ）。 系统（１）可以改写为 ｘ · ＝ － Ｌ（Ｇ）ｘ（ｔ） ＋ ｂｕ（ｔ） ｙ · ＝ Ｃｘ（ｔ） { （２） 第 ５ 期 李自强，等：多信号输入下多智能体系统的图可控性分类 ·６８１·