第11卷第5期 智能系统学报 Vol.11 No.5 2016年10月 CAAI Transactions on Intelligent Systems 0ct.2016 D0I:10.11992/is.201601017 网络出版地址：http:/www.cnki.net/kcms/detail/23.1538.TP.20160913.0838.002.html 多信号输入下多智能体系统的图可控性分类 李自强，纪志坚，晁永翠，董洁 (青岛大学自动化工程学院，山东青岛266071) 摘要：在多信号输人情形下，对多智能体系统的图可控性分类进行了分析，构建了新的基于多信号输入下的系统 模型。进而利用秩判据和PBH判据，在新的模型下得到系统与可控性的关系，新的模型更方便地表现多智能体系统 的一般性。此外，在拉普拉斯矩阵下，对多智能体系统与可控性的关系做了详细的分析与研究，特别是在拉普拉斯 矩阵的特征值与系统能控性的关系方面进行了分析。解决了多信号输入下可控性分类的问题，并提高了研究可控 性的准确性。而且，在已有结论的基础上对多智能体系统可控性的内容进行了完善。 关键词：多信号输入系统：图可控性分类：秩判据和PBH判据：拉普拉斯矩阵：可控性 中图分类号：TP273文献标志码：A文章编号：1673-4785(2016)05-0680-08 中文引用格式：李自强，纪志坚，晁永翠，等.多信号输入下多智能体系统的图可控性分类[J].智能系统学报，2016,11(5)：680-687. 英文引用格式：LI Ziqiang,JI Zhijian,CHAO Yongcui,etal.Graph controllability classes of networked multi-agent systems with multi-signal inputs[J].CAAI transactions on intelligent systems,2016,11(5):680-687. Graph controllability classes of networked multi-agent systems with multi-signal inputs LI Ziqiang,JI Zhijian,CHAO Yongcui,DONG Jie (School of Automation Engineering,Qingdao University,Qingdao 266071,China) Abstract:In this paper,we analyze graph controllability classes in networked multi-agent systems with multisignal inputs and construct a new system model.To determine the relationship between controllability and networked multi- agent systems,we used a controllability rank criterion and the Popov-Belevitch-Hautus criterion in our proposed model,which is more convenient and more general in its application.In addition,we analyzed in detail the rela- tionship between networked multi-agent systems and controllability,especially,between Laplacian eigenvalue and controllability.Based on our results,we conclude that we have solved the controllable classification problem associ- ated with multisignal input,improved research accuracy with respect to controllability,and improved the controlla- bility of networked multi-agent systems. Keywords:multi-signal input systems;graph controllability classes;rank criterion and PBH criterion;Laplacian matrix;controllability 近几年来学术界对多智能体系统已经有了广泛 统发挥最大的作用。所以，多智能体系统的可控性 的研究和关注[4，并且已经应用在多个领域中，如 研究具有重要的意义。 无人机的编队控制、机器人的编队控制，甚至在军事 在多智能体系统中，对具有领导者一跟随者结 上也有广泛的应用s。多智能体系统的核心问 构的图可控性研究大都是基于单信号输入下或者是 题是关于可控性的问题，可控性能够使每个智能体 更为简单的模型下3.】，在多智能体中，模型的建 的状态达到人们所期望的结果，并且使多智能体系 立对系统的可控性有着重要的影响。在所建立的模 型下，充分认识系统与可控性的关系，并理解系统对 收稿日期：2016-01-08.网络出版日期：2016-09-13. 基金项目：国家自然科学基金项目(61374062)， 可控性的影响，这些无疑对解决多智能体系统的可 通信作者：纪志坚.E-mail:jizhijian@(pku.org.cn. 控性问题提供了很好的方法和帮助。所以研究特定
第 １１ 卷第 ５ 期 智 能 系 统 学 报 Ｖｏｌ．１１ №．５ ２０１６ 年 １０ 月 ＣＡＡＩ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｔ Ｓｙｓｔｅｍｓ Ｏｃｔ． ２０１６ ＤＯＩ：１０．１１９９２ ／ ｔｉｓ．２０１６０１０１７ 网络出版地址：ｈｔｔｐ： ／ ／ ｗｗｗ．ｃｎｋｉ．ｎｅｔ ／ ｋｃｍｓ／ ｄｅｔａｉｌ ／ ２３．１５３８．ＴＰ．２０１６０９１３．０８３８．００２．ｈｔｍｌ 多信号输入下多智能体系统的图可控性分类 李自强，纪志坚，晁永翠，董洁 （青岛大学 自动化工程学院，山东 青岛 ２６６０７１） 摘 要：在多信号输入情形下，对多智能体系统的图可控性分类进行了分析，构建了新的基于多信号输入下的系统 模型。 进而利用秩判据和 ＰＢＨ 判据，在新的模型下得到系统与可控性的关系，新的模型更方便地表现多智能体系统 的一般性。 此外，在拉普拉斯矩阵下，对多智能体系统与可控性的关系做了详细的分析与研究，特别是在拉普拉斯 矩阵的特征值与系统能控性的关系方面进行了分析。 解决了多信号输入下可控性分类的问题，并提高了研究可控 性的准确性。 而且，在已有结论的基础上对多智能体系统可控性的内容进行了完善。 关键词：多信号输入系统；图可控性分类；秩判据和 ＰＢＨ 判据；拉普拉斯矩阵；可控性 中图分类号：ＴＰ２７３ 文献标志码：Ａ 文章编号：１６７３⁃４７８５（２０１６）０５⁃０６８０⁃０８ 中文引用格式：李自强，纪志坚，晁永翠，等．多信号输入下多智能体系统的图可控性分类［Ｊ］． 智能系统学报， ２０１６， １１（５）：６８０⁃６８７． 英文引用格式：ＬＩ Ｚｉｑｉａｎｇ，ＪＩ Ｚｈｉｊｉａｎ，ＣＨＡＯ Ｙｏｎｇｃｕｉ，ｅｔ ａｌ．Ｇｒａｐｈ ｃｏｎｔｒｏｌｌａｂｉｌｉｔｙ ｃｌａｓｓｅｓ ｏｆ ｎｅｔｗｏｒｋｅｄ ｍｕｌｔｉ⁃ａｇｅｎｔ ｓｙｓｔｅｍｓ ｗｉｔｈ ｍｕｌｔｉ⁃ｓｉｇｎａｌ ｉｎｐｕｔｓ［Ｊ］． ＣＡＡＩ ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ ｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｔ ｓｙｓｔｅｍｓ， ２０１６，１１（５）：６８０⁃６８７． Ｇｒａｐｈ ｃｏｎｔｒｏｌｌａｂｉｌｉｔｙ ｃｌａｓｓｅｓ ｏｆ ｎｅｔｗｏｒｋｅｄ ｍｕｌｔｉ⁃ａｇｅｎｔ ｓｙｓｔｅｍｓ ｗｉｔｈ ｍｕｌｔｉ⁃ｓｉｇｎａｌ ｉｎｐｕｔｓ ＬＩ Ｚｉｑｉａｎｇ， ＪＩ Ｚｈｉｊｉａｎ， ＣＨＡＯ Ｙｏｎｇｃｕｉ， ＤＯＮＧ Ｊｉｅ （Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ａｕｔｏｍａｔｉｏｎ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｑｉｎｇｄａｏ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ， Ｑｉｎｇｄａｏ ２６６０７１，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ， ｗｅ ａｎａｌｙｚｅ ｇｒａｐｈ ｃｏｎｔｒｏｌｌａｂｉｌｉｔｙ ｃｌａｓｓｅｓ ｉｎ ｎｅｔｗｏｒｋｅｄ ｍｕｌｔｉ⁃ａｇｅｎｔ ｓｙｓｔｅｍｓ ｗｉｔｈ ｍｕｌｔｉｓｉｇｎａｌ ｉｎｐｕｔｓ ａｎｄ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔ ａ ｎｅｗ ｓｙｓｔｅｍ ｍｏｄｅｌ． Ｔｏ ｄｅｔｅｒｍｉｎｅ ｔｈｅ ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐ ｂｅｔｗｅｅｎ ｃｏｎｔｒｏｌｌａｂｉｌｉｔｙ ａｎｄ ｎｅｔｗｏｒｋｅｄ ｍｕｌｔｉ⁃ ａｇｅｎｔ ｓｙｓｔｅｍｓ， ｗｅ ｕｓｅｄ ａ ｃｏｎｔｒｏｌｌａｂｉｌｉｔｙ ｒａｎｋ ｃｒｉｔｅｒｉｏｎ ａｎｄ ｔｈｅ Ｐｏｐｏｖ⁃Ｂｅｌｅｖｉｔｃｈ⁃Ｈａｕｔｕｓ ｃｒｉｔｅｒｉｏｎ ｉｎ ｏｕｒ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ｍｏｄｅｌ， ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｍｏｒｅ ｃｏｎｖｅｎｉｅｎｔ ａｎｄ ｍｏｒｅ ｇｅｎｅｒａｌ ｉｎ ｉｔｓ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ． Ｉｎ ａｄｄｉｔｉｏｎ， ｗｅ ａｎａｌｙｚｅｄ ｉｎ ｄｅｔａｉｌ ｔｈｅ ｒｅｌａ⁃ ｔｉｏｎｓｈｉｐ ｂｅｔｗｅｅｎ ｎｅｔｗｏｒｋｅｄ ｍｕｌｔｉ⁃ａｇｅｎｔ ｓｙｓｔｅｍｓ ａｎｄ ｃｏｎｔｒｏｌｌａｂｉｌｉｔｙ， ｅｓｐｅｃｉａｌｌｙ， ｂｅｔｗｅｅｎ Ｌａｐｌａｃｉａｎ ｅｉｇｅｎｖａｌｕｅ ａｎｄ ｃｏｎｔｒｏｌｌａｂｉｌｉｔｙ． Ｂａｓｅｄ ｏｎ ｏｕｒ ｒｅｓｕｌｔｓ， ｗｅ ｃｏｎｃｌｕｄｅ ｔｈａｔ ｗｅ ｈａｖｅ ｓｏｌｖｅｄ ｔｈｅ ｃｏｎｔｒｏｌｌａｂｌｅ ｃｌａｓｓｉｆｉｃａｔｉｏｎ ｐｒｏｂｌｅｍ ａｓｓｏｃｉ⁃ ａｔｅｄ ｗｉｔｈ ｍｕｌｔｉｓｉｇｎａｌ ｉｎｐｕｔ， ｉｍｐｒｏｖｅｄ ｒｅｓｅａｒｃｈ ａｃｃｕｒａｃｙ ｗｉｔｈ ｒｅｓｐｅｃｔ ｔｏ ｃｏｎｔｒｏｌｌａｂｉｌｉｔｙ， ａｎｄ ｉｍｐｒｏｖｅｄ ｔｈｅ ｃｏｎｔｒｏｌｌａ⁃ ｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｎｅｔｗｏｒｋｅｄ ｍｕｌｔｉ⁃ａｇｅｎｔ ｓｙｓｔｅｍｓ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｍｕｌｔｉ⁃ｓｉｇｎａｌ ｉｎｐｕｔ ｓｙｓｔｅｍｓ； ｇｒａｐｈ ｃｏｎｔｒｏｌｌａｂｉｌｉｔｙ ｃｌａｓｓｅｓ； ｒａｎｋ ｃｒｉｔｅｒｉｏｎ ａｎｄ ＰＢＨ ｃｒｉｔｅｒｉｏｎ； Ｌａｐｌａｃｉａｎ ｍａｔｒｉｘ； ｃｏｎｔｒｏｌｌａｂｉｌｉｔｙ 收稿日期：２０１６⁃０１⁃０８． 网络出版日期 基金项目：国家自然科学基金项目（６１３７ 近几年来 ：２ ４ ０ ０ １ ６ ６ ２ ⁃ ） ０９⁃１３． 通信作者：纪志坚．Ｅ⁃ｍａｉｌ：ｊｉｚｈｉｊｉａｎ＠ ｐｋｕ．ｏｒｇ．ｃｎ． 学术界对多智能体系统已经有了广泛 的研究和关注［１⁃１４］ ，并且已经应用在多个领域中，如 无人机的编队控制、机器人的编队控制，甚至在军事 上也有广泛的应用［１５⁃１７］ 。 多智能体系统的核心问 题是关于可控性的问题，可控性能够使每个智能体 的状态达到人们所期望的结果，并且使多智能体系 统发挥最大的作用。 所以，多智能体系统的可控性 研究具有重要的意义。 在多智能体系统中，对具有领导者—跟随者结 构的图可控性研究大都是基于单信号输入下或者是 更为简单的模型下［１３，１８］ ，在多智能体中，模型的建 立对系统的可控性有着重要的影响。 在所建立的模 型下，充分认识系统与可控性的关系，并理解系统对 可控性的影响，这些无疑对解决多智能体系统的可 控性问题提供了很好的方法和帮助。 所以研究特定
第5期 李自强，等：多信号输人下多智能体系统的图可控性分类 .681 模型下系统的可控性成为一个热点。 定义节点i和节点j之间的距离为dc(i,j),表示为 Tanner是最早通过系统中各节点之间的联系来 节点i和节点j之间最短的通道。当图中任意一对 研究可控性的。他通过邻居信息，提出了其中一 节点之间存在一条通道时，我们说图G是连通的。 个节点为领导者时系统可控的充分必要条件，并得 拉普拉斯矩阵是半正定且实对称的，因此L的特征 到了无向图下的能控性定理。这对后续有关可控性 值可以给定顺序为入1≤入2≤…≤入.，其中特征值 的研究给予了很大的帮助。早在Aguilar的文章 入1=0对应的特征向量为[11…1]'。如果图G是 中[u],Aguilar就整个图的可控性进行分类，根据图 连通的，则入，=0是L的非重特征根，此时有入2>0， 选取不同的领导者时图是否可控，来定义了3种图 本文中图G的特征值或特征向量即为图拉普拉斯 可控性，并就3种分类进行了详细的分析，但是 矩阵L的特征值或特征向量。 Aguilar的文章内容是在单信号输入的特殊模型下 给定域k上的向量空间P,Q是P的有限子集， 进行研究的，即每个领导者节点受到同一个信号的 则Q的生成空间为Q中元素的所有有限线性组合 输入，而本文是在更一般的多信号输入模型下进行 组成的集合。如果Q=[P1P2…P,],则生成空间 研究，每个领导者节点可能受到不同的多个信号的 span(Q)=span(p1,P2,…,P,)={入P1+入2P2…+入P,l 输人，这种多信号输入的模型更能准确地表现多智 A1,入2，…，入，∈k}。令(L:B〉表示包含B的最小L 能体系统的一般性，而且本文纠正了Aguilar文 不变子空间，即(L;B〉=span{LB|k∈No},并且，当 章[1)]中关于齐次向量的条件可控图问题。 dim((L;B〉)=k+1时，{B,LB,…,LB}是(L;B》 一些研究者[9]近几年对基于拉普拉斯矩阵 的一个基。其中dim((L;B〉)表示矩阵((L:B〉) 下的可控性作了很多的研究，本文也是在拉普拉斯 的空间维数。如果dim(〈L:B〉)=n,则系统(L,B) 矩阵下，结合矩阵论的知识[235]，对系统的可控性 是可控的。 与拉普拉斯矩阵的关系进行了研究，特别是在拉普 本文主要分析G=(V,E)上的可控性问题，其 拉斯矩阵的特征值和特征向量等对系统可控性的影 中x,(t)∈R代表了节点i∈V在时刻t时的状态， 响方面进行了深入的研究，另外，本文主要在多输入 节点间的相互关系由边集E来表示。在时刻1时， 信号情况下，对多智能体系统中的图可控性进行分 一个外部控制向量通过一状态向量bm∈R”施加在 类，具体分为多信号输入下本质可控图，多信号输入 节点i上。单个节点的状态方程可以表示为 下完全不可控图以及多信号输入下条件可控图，并 .()=-∑(x:-x)+bu(t) lijl eE 就这3种分类的特殊性进行了描述，而且对它们的 另外，在时刻t,输出方程y(t)∈R”由输出矩阵 性质进行了相应的阐述。 C∈R"9表示。所以对于连通图G=(V,E),整个系 1预备知识 统方程表示为 (x=-L(G)x(t)+BU(t) 在多智能体系统中，图的节点代表智能体，图中 (1) =Cx(t) 的边线代表智能体之间的通信链接。本文中考虑的 式中B=[b,b2…b.]T∈Rax。 是简单图，即没有封闭环形或重边的无权重无向图。 定义1如果所有领导者节点都受到同一个信 图G表示为G=[VE],其中n个点的点集表示为 号的输入，那称这样的系统为单信号输入系统。当 V=[12…n],边集为E={(i,j)eV×V},输入节 系统受到多个信号输入时，称这样的系统为多信号 点集合表示为S=[i1i2…i,],并且满足 输入系统。 i1<i2<<i,输入节点称为领导者节点，剩下的跟随 在单信号输入系统下，对于具有n个点的图中， 者节点集合即为V\S。图G的邻接矩阵为A∈ 定义输入节点集合S={i1,i2,…,i,},并且满足 Rm,它的全部元素满足当(i,j)∈E时，a,=1;否则 i1<i2<…<i,每个输入节点都受到同一个信号的输 a,=0。如果(i,j)∈E,那么节点i和节点j是相邻 入时，相应的输入矩阵B可以改成输入向量b= 点，节点i的相邻点集合为N,={ka4=1},一个节 [b1b2…bn]T∈{0,1}"，即b:∈{0,1}，定义V。= 点i的度d:为它的相邻点的数量。图G的度矩阵 {i∈Vb:=1}为领导者节点集合，V八V,为跟随者节 为D∈R,它是对角矩阵，第i个对角元素为d:。 点集合，控制单信号为(t)。系统(1)可以改写为 图的拉普拉斯矩阵表示为L=D-A。 (x=-L(G)x(t)+bu(t) (2) 在图G中，对于点集合的两个节点i和节点j, y=Cx(t)
模型下系统的可控性成为一个热点。 Ｔａｎｎｅｒ 是最早通过系统中各节点之间的联系来 研究可控性的［１９］ 。 他通过邻居信息，提出了其中一 个节点为领导者时系统可控的充分必要条件，并得 到了无向图下的能控性定理。 这对后续有关可控性 的研究给予了很大的帮助。 早在 Ａｇｕｉｌａｒ 的文章 中［１８］ ，Ａｇｕｉｌａｒ 就整个图的可控性进行分类，根据图 选取不同的领导者时图是否可控，来定义了 ３ 种图 可控性，并就 ３ 种分类进行了详细的分析，但是 Ａｇｕｉｌａｒ 的文章内容是在单信号输入的特殊模型下 进行研究的，即每个领导者节点受到同一个信号的 输入，而本文是在更一般的多信号输入模型下进行 研究，每个领导者节点可能受到不同的多个信号的 输入，这种多信号输入的模型更能准确地表现多智 能体系统的一般性， 而且本文纠正了 Ａｇｕｉｌａｒ 文 章［１８］中关于齐次向量的条件可控图问题。 一些研究者［１９⁃２２］ 近几年对基于拉普拉斯矩阵 下的可控性作了很多的研究，本文也是在拉普拉斯 矩阵下，结合矩阵论的知识［２３⁃２５］ ，对系统的可控性 与拉普拉斯矩阵的关系进行了研究，特别是在拉普 拉斯矩阵的特征值和特征向量等对系统可控性的影 响方面进行了深入的研究，另外，本文主要在多输入 信号情况下，对多智能体系统中的图可控性进行分 类，具体分为多信号输入下本质可控图，多信号输入 下完全不可控图以及多信号输入下条件可控图，并 就这 ３ 种分类的特殊性进行了描述，而且对它们的 性质进行了相应的阐述。 １ 预备知识 在多智能体系统中，图的节点代表智能体，图中 的边线代表智能体之间的通信链接。 本文中考虑的 是简单图，即没有封闭环形或重边的无权重无向图。 图 Ｇ 表示为 Ｇ ＝ ［Ｖ Ｅ］，其中 ｎ 个点的点集表示为 Ｖ＝ ［１ ２ … ｎ］，边集为 Ｅ ＝ ｛（ｉ，ｊ）∈Ｖ×Ｖ｝，输入节 点集 合 表 示 为 Ｓ ＝ ［ ｉ １ ｉ ２ … ｉ ｑ ］， 并 且 满 足 ｉ １＜ｉ ２＜…＜ｉ ｑ，输入节点称为领导者节点，剩下的跟随 者节点集合即为 Ｖ ＼ Ｓ。 图 Ｇ 的邻接矩阵为 Ａ∈ Ｒ ｎ×ｎ ，它的全部元素满足当（ｉ，ｊ）∈Ｅ 时，ａｉｊ ＝ １；否则 ａｉｊ ＝ ０。 如果（ｉ，ｊ）∈Ｅ，那么节点 ｉ 和节点 ｊ 是相邻 点，节点 ｉ 的相邻点集合为 Ｎｉ ＝ ｛ ｋ ａｉｋ ＝ １｝，一个节 点 ｉ 的度 ｄｉ 为它的相邻点的数量。 图 Ｇ 的度矩阵 为 Ｄ∈Ｒ ｎ×ｎ ，它是对角矩阵，第 ｉ 个对角元素为 ｄｉ。 图的拉普拉斯矩阵表示为 Ｌ ＝Ｄ－Ａ。 在图 Ｇ 中，对于点集合的两个节点 ｉ 和节点 ｊ， 定义节点 ｉ 和节点 ｊ 之间的距离为 ｄＧ（ ｉ，ｊ），表示为 节点 ｉ 和节点 ｊ 之间最短的通道。 当图中任意一对 节点之间存在一条通道时，我们说图 Ｇ 是连通的。 拉普拉斯矩阵是半正定且实对称的，因此 Ｌ 的特征 值可以给定顺序为 λ１ ≤λ２ ≤…≤λｎ ，其中特征值 λ１ ＝ ０对应的特征向量为［１ １ … １］ Ｔ 。 如果图 Ｇ 是 连通的，则 λ１ ＝ ０ 是 Ｌ 的非重特征根，此时有 λ２＞０， 本文中图 Ｇ 的特征值或特征向量即为图拉普拉斯 矩阵 Ｌ 的特征值或特征向量。 给定域 ｋ 上的向量空间 Ｐ，Ｑ 是 Ｐ 的有限子集， 则 Ｑ 的生成空间为 Ｑ 中元素的所有有限线性组合 组成的集合。 如果 Ｑ ＝ ［ ｐ１ ｐ２ … ｐｒ ］，则生成空间 ｓｐａｎ（Ｑ）＝ ｓｐａｎ（ｐ１ ，ｐ２ ，…，ｐｒ）＝ ｛λ１ ｐ１ ＋λ２ ｐ２…＋λｒ ｐｒ ｜ λ１ ，λ２ ，…，λｒ∈ｋ｝。 令〈Ｌ；Ｂ〉表示包含 Ｂ 的最小 Ｌ⁃ 不变子空间，即〈Ｌ；Ｂ〉 ＝ ｓｐａｎ Ｌ ｋＢ ｋ∈Ｎ０ { } ，并且，当 ｄｉｍ（〈Ｌ；Ｂ〉）＝ ｋ＋１ 时，｛Ｂ，ＬＢ，…，Ｌ ｋＢ｝ 是〈Ｌ；Ｂ〉 的一个基。 其中 ｄｉｍ（〈Ｌ；Ｂ〉） 表示矩阵（〈Ｌ；Ｂ〉） 的空间维数。 如果 ｄｉｍ（〈Ｌ；Ｂ〉）＝ ｎ，则系统（Ｌ，Ｂ） 是可控的。 本文主要分析 Ｇ ＝ （Ｖ，Ｅ）上的可控性问题，其 中 ｘｉ（ｔ）∈Ｒ 代表了节点 ｉ∈Ｖ 在时刻 ｔ 时的状态， 节点间的相互关系由边集 Ｅ 来表示。 在时刻 ｔ 时， 一个外部控制向量通过一状态向量 ｂｍ∈Ｒ ｑ 施加在 节点 ｉ 上。 单个节点的状态方程可以表示为 ｘ · ｉ（ｔ） ＝ － ｛ｉ∑，ｊ｝∈Ｅ （ｘｉ － ｘｊ） ＋ ｂ Ｔ ｍ ｕ（ｔ） 另外，在时刻 ｔ，输出方程 ｙ（ｔ）∈Ｒ ｐ 由输出矩阵 Ｃ∈Ｒ ｎ×ｐ表示。 所以对于连通图 Ｇ ＝ （Ｖ，Ｅ），整个系 统方程表示为 ｘ · ＝ － Ｌ（Ｇ）ｘ（ｔ） ＋ ＢＵ（ｔ） ｙ · ＝ Ｃｘ（ｔ） { （１） 式中 Ｂ＝ ［ｂ１ ｂ２… ｂｎ ］ Ｔ∈Ｒ ｎ×ｑ 。 定义 １ 如果所有领导者节点都受到同一个信 号的输入，那称这样的系统为单信号输入系统。 当 系统受到多个信号输入时，称这样的系统为多信号 输入系统。 在单信号输入系统下，对于具有 ｎ 个点的图中， 定义输入节点集合 Ｓ ＝ ｛ ｉ １ ， ｉ ２ ， …， ｉ ｑ ｝， 并且满足 ｉ １＜ｉ ２＜…＜ｉ ｑ，每个输入节点都受到同一个信号的输 入时，相应的输入矩阵 Ｂ 可以改成输入向量 ｂ ＝ ［ｂ１ ｂ２… ｂｎ ］ Ｔ∈｛０，１｝ ｎ ，即 ｂｉ ∈｛ ０，１｝，定义 Ｖｂ ＝ ｛ｉ∈Ｖ ｂｉ ＝ １｝为领导者节点集合，Ｖ＼Ｖｂ 为跟随者节 点集合，控制单信号为 ｕ（ｔ）。 系统（１）可以改写为 ｘ · ＝ － Ｌ（Ｇ）ｘ（ｔ） ＋ ｂｕ（ｔ） ｙ · ＝ Ｃｘ（ｔ） { （２） 第 ５ 期 李自强，等：多信号输入下多智能体系统的图可控性分类 ·６８１·
.682. 智能系统学报 第11卷 在多信号输入系统下，系统可以分为2种，对于 判据rank[bLb…Lb]<6,系统(L,b)不可控。当 系统(1)，一种情况是在n个点的图中，定义输入节点 选取节点1和节点5为领导者且2个节点受到不同 集合S每个点只收到一个信号的输入时（每个点收到 信号输入时，即在多信号输入系统下，令 的信号不一定相同)，相应的输入矩阵B=[e,e B=[e,e],根据秩判据rank[BLB…LB]=6,此 e,]∈R,e表示第i.个元素为1，其他元素为零的 时系统(L,B)可控。 列向量，x{1,2,…,q},U(t)是有g个控制器的向 通过上文，可以看出多信号输入下可控性与单 量，即U(t)=[,(t)u2(t)…u,(t)]。 信号输入下可控性有很大的区别，那么就有必要讨 另一种情况是在n个点的图中，定义输入节点 论基于拉普拉斯矩阵下的多信号输入系统与系统可 集合S,每个点可能收到多个信号的输入，相应的输 控性的关系，本文通过下面的定理给出。 入矩阵为 定理1假定可对角化矩阵L无重特征值，矩 阵U是由L的线性无关的单位特征向量构成的矩 B= ∈RXq 阵，那么〈L:B〉的维数等于W=UB中非零列向量 … 的个数。特别地，系统(L,B)是可控的充要条件是 式中：b∈{0,1}，1≤i≤n,1≤j≤9o W矩阵中无零列向量。当L有重特征值，且w:≠0， 时，系统(L,B)是不可控的，当且仅当重特征值入 2主要结论 所对应的向量组w:中，存在线性相关的向量，其中 首先讨论单信号输入下系统可控性与多信号输 i=1,2,…,n。 入下系统可控性的区别和联系。 证明令D为对角矩阵，其对角元素为L的特 多信号输入下系统可控性与单信号输入下系统 征值，则有L=UDU,令W=1B= 可控性是有很大区别的，在选取的领导者下，有些图 [w1,w2,…,wn]T,W∈R。其中w:为列向量，i∈ 在单信号输入系统下是不可控的，但在多信号输入 {1,2,…,n}。 系统下却不一定不可控。 [BLB…L"-1B]= 图1为具有4个节点的情形，选取节点2和节点4 [B UDU-B (UDU-)'B...(UDU-)"-B]= 为领导者，当这2个节点受到单信号输入时，b= [B UDU-B UD'U-'B ..UD"-U-'B] [0101]T,根据秩判据rak[bbL2bLb]<4,此时 U[U-BDUB…Dm-1U-B]= 在选取的领导者下，系统不可控。当2个节点受到不 U[WDW…D-1W]= 同信号输入时，即多信号输入系统下，令B=[e2e.],根 wA1w…A1-1w 据秩判据rank[B LBLBL3B]=4,此时系统可控。 w入2w5 A2-w? (3) 2 3 w入nw 入-w 图1具有4个节点的图 由于U是非奇异矩阵，所以它不影响式(3)右 Fig.1 The graph with 4vertices 当任意选取领导者节点时，有些图在单信号输 边矩阵的秩，右边的矩阵展开后即为 入系统下是完全不可控的，但在多信号输入系统下 01…01g入1011…入1101g A-01…'g 并非完全不可控的。 0a1…g入10n…入n0m A8-len1…A-'0g 对上式进行列变换得 01入01…入0H…0g入10g…入0g 图2具有6个节点的图 Fig.2 The graph with 6 vertices 图2中任选节点为领导者，该图在单信号输入 系统下是完全不可控的，即任选b∈{0,1}"，根据秩
在多信号输入系统下，系统可以分为 ２ 种，对于 系统（１），一种情况是在 ｎ 个点的图中，定义输入节点 集合 Ｓ 每个点只收到一个信号的输入时（每个点收到 的信号不一定相同），相应的输入矩阵 Ｂ ＝ ［ｅｉ１ ｅｉ２… ｅｉｑ ］∈Ｒ ｎ×ｑ ，ｅｉｘ表示第 ｉ ｘ 个元素为 １，其他元素为零的 列向量，ｘ｛１，２，…，ｑ｝，Ｕ（ ｔ） 是有 ｑ 个控制器的向 量，即 Ｕ（ｔ）＝ [ｕ１（ｔ） ｕ２（ｔ） … ｕｑ（ｔ） ] Ｔ 。 另一种情况是在 ｎ 个点的图中，定义输入节点 集合 Ｓ，每个点可能收到多个信号的输入，相应的输 入矩阵为 Ｂ ＝ ｂ１１ … ｂ１ｑ ︙ ︙ ︙ ｂｎ１ … ｂｎｑ é ë ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ∈ Ｒ ｎ×ｑ 式中：ｂｉｊ∈{０，１} ，１≤ｉ≤ｎ，１≤ｊ≤ｑ。 ２ 主要结论 首先讨论单信号输入下系统可控性与多信号输 入下系统可控性的区别和联系。 多信号输入下系统可控性与单信号输入下系统 可控性是有很大区别的，在选取的领导者下，有些图 在单信号输入系统下是不可控的，但在多信号输入 系统下却不一定不可控。 图 １ 为具有 ４ 个节点的情形，选取节点 ２ 和节点 ４ 为领导者，当这 ２ 个节点受到单信号输入时， ｂ＝ [０ １ ０ １] Ｔ ，根据秩判据 ｒａｎｋ ｂ Ｌｂ Ｌ ２ ｂ Ｌ ３ [ ｂ] ＜４，此时 在选取的领导者下，系统不可控。 当 ２ 个节点受到不 同信号输入时，即多信号输入系统下，令 Ｂ＝［ｅ２ ｅ４ ］，根 据秩判据 ｒａｎｋ Ｂ ＬＢ Ｌ ２Ｂ Ｌ ３ [ Ｂ] ＝４，此时系统可控。 图 １ 具有 ４ 个节点的图 Ｆｉｇ．１ Ｔｈｅ ｇｒａｐｈ ｗｉｔｈ ４ｖｅｒｔｉｃｅｓ 当任意选取领导者节点时，有些图在单信号输 入系统下是完全不可控的，但在多信号输入系统下 并非完全不可控的。 图 ２ 具有 ６ 个节点的图 Ｆｉｇ．２ Ｔｈｅ ｇｒａｐｈ ｗｉｔｈ ６ ｖｅｒｔｉｃｅｓ 图 ２ 中任选节点为领导者，该图在单信号输入 系统下是完全不可控的，即任选 ｂ∈｛０，１｝ ｎ ，根据秩 判据 ｒａｎｋ ｂ Ｌｂ … Ｌ ５ [ ｂ] ＜６，系统（Ｌ，ｂ）不可控。 当 选取节点 １ 和节点 ５ 为领导者且 ２ 个节点受到不同 信号 输 入 时， 即 在 多 信 号 输 入 系 统 下， 令 Ｂ＝ ［ｅ１ ｅ５ ］，根据秩判据 ｒａｎｋ Ｂ ＬＢ … Ｌ ５ [ Ｂ] ＝ ６，此 时系统（Ｌ，Ｂ）可控。 通过上文，可以看出多信号输入下可控性与单 信号输入下可控性有很大的区别，那么就有必要讨 论基于拉普拉斯矩阵下的多信号输入系统与系统可 控性的关系，本文通过下面的定理给出。 定理 １ 假定可对角化矩阵 Ｌ 无重特征值，矩 阵 Ｕ 是由 Ｌ 的线性无关的单位特征向量构成的矩 阵，那么〈Ｌ；Ｂ〉的维数等于 Ｗ ＝ Ｕ －１Ｂ 中非零列向量 的个数。 特别地，系统（Ｌ，Ｂ）是可控的充要条件是 Ｗ 矩阵中无零列向量。 当 Ｌ 有重特征值，且 ｗｉ≠０ｑ 时，系统（Ｌ，Ｂ）是不可控的，当且仅当重特征值 λｉ 所对应的向量组 ｗｉ 中，存在线性相关的向量，其中 ｉ ＝ １，２，…，ｎ。 证明 令 Ｄ 为对角矩阵，其对角元素为 Ｌ 的特 征 值， 则 有 Ｌ ＝ ＵＤＵ －１ ， 令 Ｗ ＝ Ｕ －１ Ｂ ＝ ｗ１ ，ｗ２ ，…，ｗｎ [ ] Ｔ ，Ｗ∈Ｒ ｎ×ｑ 。 其中 ｗｉ 为列向量，ｉ∈ ｛１，２，…，ｎ｝。 Ｂ ＬＢ … Ｌ ｎ－１ [ Ｂ] ＝ Ｂ ＵＤＵ －１Ｂ ＵＤＵ －１ ( ) ２Ｂ … ＵＤＵ －１ ( ) ｎ－１ [ Ｂ] ＝ Ｂ ＵＤＵ －１Ｂ ＵＤ ２Ｕ －１Ｂ … ＵＤ ｎ－１Ｕ －１ [ Ｂ] ＝ Ｕ Ｕ －１Ｂ ＤＵ －１Ｂ … Ｄ ｎ－１Ｕ －１ [ Ｂ] ＝ Ｕ Ｗ ＤＷ … Ｄ ｎ－１ [ Ｗ] ＝ Ｕ ｗ Ｔ １ λ１ｗ Ｔ １ … λ１ ｎ－１ｗ Ｔ １ ｗ Ｔ ２ λ２ｗ Ｔ ２ … λ ｎ－１ ２ ｗ Ｔ ２ ︙ ︙ ︙ ｗ Ｔ ｎ λｎｗ Ｔ ｎ … λ ｎ－１ ｎ ｗ Ｔ ｎ é ë ê ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú ú （３） 由于 Ｕ 是非奇异矩阵，所以它不影响式（３）右 边矩阵的秩，右边的矩阵展开后即为 ｗ１１ …ｗ１ｑ ︙ ︙ ｗｎ１ …ｗｎｑ λ１ｗ１１ … λ１ｗ１ｑ ︙ ︙ λｎｗｎ１ … λｎｗｎｑ λ ｎ－１ １ ｗ１１ … λ ｎ－１ １ ｗ１ｑ ︙ ︙ λ ｎ－１ ｎ ｗｎ１ … λ ｎ－１ ｎ ｗｎｑ é ë ê ê ê ê ù û ú ú ú ú 对上式进行列变换得 ｗ１１ λ１ｗ１１ …λ ｎ－１ １ ｗ１１ ︙ ︙ ︙ ︙ ｗｎ１ λｎｗｎ１…λ ｎ－１ ｎ ｗｎ１ … … ｗ１ｑ λ１ｗ１ｑ … λ ｎ－１ １ ｗ１ｑ ︙ ︙ ︙ ｗｎｑ λｎｗｎｑ … λｎ ｎ－１ｗｎｑ é ë ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ＝ ｗ１１ ⋱ ｗｎ１ é ë ê ê ê ê ù û ú ú ú ú １ λ１ … λ ｎ－１ １ ︙ ︙ ︙ １ λｎ … λ ｎ－１ １ é ë ê ê ê ê ù û ú ú ú ú … é ë ê ê ê ê ·６８２· 智 能 系 统 学 报 第 １１ 卷
第5期 李自强，等：多信号输人下多智能体系统的图可控性分类 ·683. 2和节点4为领导者节点时，此时W=U1B= [w,…w]TeRx2,其中w:=[w20a],i∈{1,2， …,n。根据定理1得 [BLB…La-B]=U[WDW…D-1W]= 0204入102入104入02入-'04 U …： 0204入.02入n0d Aw2 在L无重特征值下，仅当存在w2=wa=0时， (L;B〉的维数小于n,〈L:B〉的维数等于w:中非零 向量的个数。而且当且仅当w:≠0时，dim((L: B〉)=n,即此时系统可控。 对于具有2个节点的图，节点1和节点2为领 导者节点时，此时W=B=[w,w,]T∈R22,其中 w:=[ww2]T,i∈{1,2}。根据定理1得 (4) [B LB]=U[W DW]= 当特征值不同时，式(4)后面的矩阵是满秩的， wAw] U = 只需考虑式(4)前面1×g矩阵，其中每个元素为n×n w:w! 的对角矩阵，则此矩阵实际上是具有n行，n×g列的 011012入1011入1012 U (5) 矩阵： 02102入21021入202 01 由于U是非奇异矩阵，所以它不影响式(5)右 边矩阵的秩，对式(5)右边矩阵进行列变换得 1011入11012012入，012 根据此矩阵的特点，取第i行，当w=0时，此 1021 入2021 1022 入2102 矩阵的维数小于n,其j∈{1,2，…，9}。所以(L:B) 的维数取决于向量w;,即L无重特征值时，〈L:B〉 ] 的维数等于W=矿B中非零列向量的个数，而且当 且仅当W矩阵中无零列向量时，dim((L;B)=n, 即此时系统可控。 当L有重特征值情况时，根据无重特征值的情 况，证明如下： [B UDU-B (UDU-)2B...(UDU-)-B]= 在入1≠入2下，上式后面的矩阵是满秩的，根据 w入，w…A-1w 前面的矩阵，只有当01=02=0或021=02=0时， (L;B〉的维数小于2，而且当且仅当w:≠0时， w入2w…A2w2 dim(〈L;B〉)=2，即此时系统可控。 令En为n×g维的矩阵，并且矩阵中的每个元 wA.w…A-w 素为1：0，为n×g维的矩阵，并且矩阵中的每个元素 设入，=入，若w,=kw,其中keR,i,je1,2,…, 为0；1。为n维列向量，且每个元素都为1；0，为q维 n且i≠j,则rank[BLB…LrB]<n,此时，系统 列向量，且每个元素都为0。下面推论由定理1的 (L,B)不可控，而且当且仅当重特征值入所对应的 证明可得。 向量组w:中，存在线性相关的向量时，系统(L,B) 推论对于系统(1)，假设L没有重特征值，则 是不可控的。证毕。 系统(L,B)是可控的，当且仅当L的任意一个特征 通过下面情况的论述都能够验证定理1中无重 向量的转置与矩阵B的乘积为非零向量，即uB= 特征值时的情况。对于具有个n个节点的图，节点 w≠0
ｗ１ｑ ⋱ ｗｎｑ é ë ê ê ê ê ù û ú ú ú ú １ λ１ … λ ｎ－１ １ ︙ ︙ ︙ １ λｎ … λ ｎ－１ ｎ é ë ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ù û ú ú ú ú ＝ ｗ１１ ⋱ ｗｎ１ é ë ê ê ê ê ù û ú ú ú ú … ｗ１ｑ ⋱ ｗｎｑ é ë ê ê ê ê ù û ú ú ú ú é ë ê ê ê ê ù û ú ú ú ú １ λ１ … λ１ ｎ－１ ︙ ︙ ︙ １ λｎ … λｎ ｎ－１ é ë ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ⋱ １ λ１ … λ１ ｎ－１ ︙ ︙ ︙ １ λｎ … λｎ ｎ－１ é ë ê ê ê ê ù û ú ú ú ú é ë ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú （４） 当特征值不同时，式（４）后面的矩阵是满秩的， 只需考虑式（４）前面 １×ｑ 矩阵，其中每个元素为 ｎ×ｎ 的对角矩阵，则此矩阵实际上是具有 ｎ 行，ｎ×ｑ 列的 矩阵： ｗ１１ ⋱ ｗｎ１ … ｗ１ｑ ⋱ ｗｎｑ é ë ê ê ê ê ù û ú ú ú ú 根据此矩阵的特点，取第 ｉ 行，当 ｗｉｊ ＝ ０ 时，此 矩阵的维数小于 ｎ，其 ｊ∈｛１，２，…，ｑ｝。 所以〈Ｌ；Ｂ〉 的维数取决于向量 ｗ Ｔ ｉ ，即 Ｌ 无重特征值时，〈Ｌ；Ｂ〉 的维数等于 Ｗ＝Ｕ －１Ｂ 中非零列向量的个数，而且当 且仅当 Ｗ 矩阵中无零列向量时，ｄｉｍ（〈Ｌ；Ｂ〉） ＝ ｎ， 即此时系统可控。 当 Ｌ 有重特征值情况时，根据无重特征值的情 况，证明如下： Ｂ ＵＤＵ －１Ｂ ＵＤＵ －１ ( ) ２Ｂ … ＵＤＵ －１ ( ) ｎ－１ [ Ｂ] ＝ Ｕ ｗ Ｔ １ λ１ｗ Ｔ １ … λ ｎ－１ １ ｗ Ｔ １ ｗ Ｔ ２ λ２ｗ Ｔ ２ … λ ｎ－１ ２ ｗ Ｔ ２ ︙ ︙ ︙ ｗ Ｔ ｎ λｎｗ Ｔ ｎ … λ ｎ－１ ｎ ｗ Ｔ ｎ é ë ê ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú ú 设 λｉ ＝λｊ，若 ｗｉ ＝ ｋｗｊ，其中 ｋ∈Ｒ，ｉ，ｊ∈１，２，…， ｎ 且 ｉ≠ｊ， 则 ｒａｎｋ Ｂ ＬＢ … Ｌ ｎ－１ [ Ｂ] ＜ ｎ， 此时， 系统 （Ｌ，Ｂ）不可控，而且当且仅当重特征值 λｉ 所对应的 向量组 ｗｉ 中，存在线性相关的向量时，系统（Ｌ，Ｂ） 是不可控的。 证毕。 通过下面情况的论述都能够验证定理 １ 中无重 特征值时的情况。 对于具有个 ｎ 个节点的图，节点 ２ 和节点 ４ 为领导者节点时，此时 Ｗ ＝ Ｕ － １Ｂ ＝ ｗ１… ｗｎ [ ] Ｔ∈Ｒ ｎ×２ ，其中 ｗｉ ＝ ｗｉ２ ｗｉ４ [ ] Ｔ ，ｉ∈｛ １，２， …，ｎ｝。 根据定理 １ 得 Ｂ ＬＢ … Ｌ ｎ－１ [ Ｂ] ＝ Ｕ Ｗ ＤＷ … Ｄ ｎ－１ [ Ｗ] ＝ Ｕ ｗ１２ ｗ１４ ︙ ︙ ｗｎ２ ｗｎ４ λ１ｗ１２ λ１ｗ１４ ︙ ︙ λｎｗｎ２ λｎｗｎ４ … λ ｎ－１ １ ｗ１２ λ ｎ－１ １ ｗ１４ ︙ ︙ λ ｎ－１ ｎ ｗｎ２ λ ｎ－１ ｎ ｗｎ４ é ë ê ê ê ê ù û ú ú ú ú 在 Ｌ 无重特征值下，仅当存在 ｗｉ２ ＝ ｗｉ４ ＝ ０ 时， 〈Ｌ；Ｂ〉的维数小于 ｎ，〈Ｌ；Ｂ〉的维数等于 ｗｉ 中非零 向量的个数。 而且当且仅当 ｗｉ ≠０ 时， ｄｉｍ （〈 Ｌ； Ｂ〉）＝ ｎ，即此时系统可控。 对于具有 ２ 个节点的图，节点 １ 和节点 ２ 为领 导者节点时，此时 Ｗ ＝ Ｕ －１Ｂ ＝ ｗ１ ｗ２ [ ] Ｔ∈Ｒ ２×２ ，其中 ｗｉ ＝ ｗｉ１ｗｉ２ [ ] Τ ，ｉ∈｛１，２｝。 根据定理 １ 得 [Ｂ ＬＢ] ＝ Ｕ [Ｗ ＤＷ] ＝ Ｕ ｗ Ｔ １ λ１ｗ Ｔ １ ｗ Ｔ ２ λ２ｗ Ｔ ２ é ë ê ê ù û ú ú ＝ Ｕ ｗ１１ ｗ１２ λ１ｗ１１ λ１ｗ１２ ｗ２１ ｗ２２ λ２ｗ２１ λ２ｗ２２ é ë ê ê ù û ú ú （５） 由于 Ｕ 是非奇异矩阵，所以它不影响式（５）右 边矩阵的秩，对式（５）右边矩阵进行列变换得 ｗ１１ λ１ｗ１１ ｗ１２ λ１ｗ１２ ｗ２１ λ２ｗ２１ ｗ２２ λ２ｗ２２ é ë ê ê ù û ú ú ＝ ｗ１１ ０ ０ ｗ２１ é ë ê ê ù û ú ú １ λ１ １ λ２ é ë ê ê ù û ú ú ｗ１２ ０ ０ ｗ２２ é ë ê ê ù û ú ú １ λ１ １ λ２ é ë ê ê ù û ú ú é ë ê ê ù û ú ú ＝ ｗ１１ ０ ０ ｗ２１ é ë ê ê ù û ú ú ｗ１２ ０ ０ ｗ２２ é ë ê ê ù û ú ú é ë ê ê ù û ú ú １ λ１ １ λ２ é ë ê ê ù û ú ú １ λ１ １ λ２ é ë ê ê ù û ú ú é ë ê ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú ú 在 λ１≠λ２ 下，上式后面的矩阵是满秩的，根据 前面的矩阵，只有当 ｗ１１ ＝ ｗ１２ ＝ ０ 或 ｗ２１ ＝ ｗ２２ ＝ ０ 时， 〈Ｌ；Ｂ〉 的维数小于 ２，而且当且仅当 ｗｉ ≠０ 时， ｄｉｍ（〈Ｌ；Ｂ〉）＝ ２，即此时系统可控。 令 Ｅｎ 为 ｎ×ｑ 维的矩阵，并且矩阵中的每个元 素为 １；０ｎ 为 ｎ×ｑ 维的矩阵，并且矩阵中的每个元素 为 ０；１ｎ 为 ｎ 维列向量，且每个元素都为 １；０ｑ 为 ｑ 维 列向量，且每个元素都为 ０。 下面推论由定理 １ 的 证明可得。 推论 对于系统（１），假设 Ｌ 没有重特征值，则 系统（Ｌ，Ｂ）是可控的，当且仅当 Ｌ 的任意一个特征 向量的转置与矩阵 Ｂ 的乘积为非零向量，即ｕ Ｔ ｉ Ｂ＝ ｗ Ｔ ｉ ≠０ Ｔ ｑ 。 第 ５ 期 李自强，等：多信号输入下多智能体系统的图可控性分类 ·６８３·
.684. 智能系统学报 第11卷 注释单信号输入系统下，对应的拉普拉斯矩 从(6)中可以看出对所有的i=2,…,n,有w= 阵如果存在重特征值，则系统不可控：但是在多信号 -w,另外 输入系统下，并不能单纯依靠存在重特征值来判断 w=uB==(Ib,‖Ib2I…lbnl) 系统的不可控性。 √n 推论2对于系统(1)，无论L有无重特征值 =B=m-Ib,n-Ib,…n-1b.） 时，若B=0n,即W=UB=[w1…wn]T=0n,则系统 √n (L,B)不可控。 因为B生{En,0n},所以w1≠0，w:≠0，。这样 证明同理定理1证明为 可以证明在B生{En,O。}下W和W有相同数目的 [B UDU-B (UDU-)B...(UDU-)B]= 非零向量。而且因为对于所有的i=2,3,…,n,有 w=-w,无论L有无重特征值，〈L;B〉的维数都等 U[wDW…D"-1W]=U[0.D0。…D"-0n] 则rank[BLB…L-B]<n,即系统(L,B)不可控。 于(L;B〉，即dim((L;B〉)=dim(L:B〉)。而且它 们的维数相同时，可控性也相同。 令b,‖=∑，b,表示列向量b,中非零元素 通过上文的阐述，可以给出多信号输入下图可 之和。令B=E-B表示B的补集。 控性分类的定义。 定理2让n≥2，对于系统(1)，系统(L,B)是 定义2在连通图G中，对于系统(1) 1)如果除去图中每个点都是输人节点以及每 可控的，当且仅当系统(L,B)是可控的。而且B 个点都不是输入节点的2种情况后，任意选取图中 {En,0n}时，dim(〈L:B〉)=dim((L;B〉)成立。 的点为输入节点时，系统(L,B)是可控的，则图关于 证明U为L标准正交基组成的矩阵，其中U B是多信号输入下本质可控图： 2)如果在图中选取任意点为输入节点时，系统 的第一列特征向量为41=1。B生E。,0,,B中 (L,B)都是不可控的，则图关于B是多信号输入下 √n 完全不可控图： 元素为正实数。令W=UB=[w,…w]T,并且 3)如果图关于B即不是多信号输入下本质可 W=B=[w,…wn]T,其中W和WeR。*表 控图也不是多信号输入下完全不可控图，则图关于 示任意实数，但它们满足的第2行到第n行向量 B是多信号输人下条件可控图。 都与1.正交。那么， 下面是分情况讨论3种情况下的图性质。 W=UE。-U'B= 2.1多信号输入下本质可控图 在本节中，主要给出2个多输入下本质可控图 1 的必要条件，通过下面的命题论证。 n n 命题1多输入下本质可控图是不对称的。 W 证明设G是多输入下本质可控图，则L必须 1 有不同的特征值。在这用反证法，假设多输入下本质 可控图是对称的，则G有一个非平凡自同构群，设 n n J是置换矩阵代表G的一个非恒等自同构，那么存在 √n 2个不同的标准正交基e:和e,使得Je:=e,和Je,= 0 0 0 -W e。则有J[e:0n…]=[e0。…]和J[0ne…]=[0ne …]。并且有JL(G)=L(G)J,令B=[e:0.…]+[0。 0 0 0 e…]。可以得到JB=B。设入为矩阵L的特征值， 即 其对应的特征向量为v,满足Lv=入y。两边同乘以J, 有JLv=JA,因为JL(G)=L(G)J,则有L(JP)= n n n A(J),即Jy也是对应于特征值A的特征向量。因 为L有一系列正交特征向量，-Jy也是L的特征向 W= 0 0 0 -[w1…w] (6) 量。而且JB=B=B,则有(v-JP)IB=vB- vB=vB-vB=O即B正交于L的特征向量。 0 0 0 因此系统(L,B)是不可控的。这与G是多输入下本
注释 单信号输入系统下，对应的拉普拉斯矩 阵如果存在重特征值，则系统不可控；但是在多信号 输入系统下，并不能单纯依靠存在重特征值来判断 系统的不可控性。 推论 ２ 对于系统（１），无论 Ｌ 有无重特征值 时，若 Ｂ＝ ０ｎ ，即 Ｗ＝ Ｕ －１Ｂ＝ ｗ１… ｗｎ [ ] Ｔ ＝ ０ｎ ，则系统 （Ｌ，Ｂ）不可控。 证明 同理定理 １ 证明为 Ｂ ＵＤＵ －１Ｂ ＵＤＵ －１ ( ) ２Ｂ … ＵＤＵ －１ ( ) ｎ－１ [ Ｂ] ＝ Ｕ Ｗ ＤＷ … Ｄ ｎ－１ [ Ｗ] ＝ Ｕ ０ｎ Ｄ０ｎ … Ｄ ｎ－１ ０ｎ [ ] 则 ｒａｎｋ Ｂ ＬＢ … Ｌ ｎ－１ [ Ｂ] ＜ｎ，即系统（Ｌ，Ｂ）不可控。 令 ‖ｂｊ‖ ＝ ∑ ｎ ｉ ＝ １ ｂｉｊ 表示列向量 ｂｊ 中非零元素 之和。 令 Ｂ － ＝Ｅｎ －Ｂ 表示 Ｂ 的补集。 定理 ２ 让 ｎ≥２，对于系统（１），系统（Ｌ，Ｂ）是 可控的，当且仅当系统（Ｌ，Ｂ － ）是可控的。 而且 Ｂ∉ ｛Ｅｎ ，０ｎ ｝时，ｄｉｍ（〈Ｌ；Ｂ〉）＝ ｄｉｍ 〈Ｌ；Ｂ － ( 〉 ) 成立。 证明 Ｕ 为 Ｌ 标准正交基组成的矩阵，其中 Ｕ 的第一列特征向量为 ｕ１ ＝ １ ｎ １ｎ 。 Ｂ∉｛Ｅｎ ，０ｎ ｝，Ｂ 中 元素为正实数。 令 Ｗ ＝ Ｕ －１ Ｂ ＝ ｗ１… ｗｎ [ ] Ｔ ，并且 Ｗ － ＝Ｕ －１Ｂ － ＝ ｗ － １… ｗ － ｎ [ ] Ｔ ，其中 Ｗ 和 Ｗ － ∈Ｒ ｎ×ｑ 。 ∗表 示任意实数，但它们满足 Ｕ Ｔ 的第 ２ 行到第 ｎ 行向量 都与 １ｎ 正交。 那么， Ｗ － ＝ Ｕ ＴＥｎ － Ｕ ＴＢ ＝ １ ｎ １ ｎ … １ ｎ ∗ ∗ … ∗ ︙ ︙ ︙ ∗ ∗ … ∗ é ë ê ê ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú ú ú １ １ … １ １ １ … １ ︙ ︙ ︙ １ １ … １ é ë ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú － Ｗ ＝ ｎ ｎ ｎ ｎ … ｎ ｎ ０ ０ … ０ ︙ ︙ ︙ ０ ０ … ０ é ë ê ê ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú ú ú － Ｗ 即 Ｗ － ＝ ｎ ｎ ｎ ｎ … ｎ ｎ ０ ０ … ０ ︙ ︙ ︙ ０ ０ … ０ é ë ê ê ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú ú ú － ［ｗ１ … ｗｎ ］ Ｔ （６） 从（６）中可以看出对所有的 ｉ ＝ ２，…，ｎ，有 ｗ － Ｔ ｉ ＝ －ｗ Ｔ ｉ ，另外 ｗ Ｔ １ ＝ ｕ Ｔ １Ｂ ＝ １ ｎ （‖ｂ１‖ ‖ｂ２‖ … ‖ｂｎ‖） ｗ － Ｔ １ ＝ ｕ Ｔ １Ｂ － ＝ １ ｎ （ｎ － ‖ｂ１‖，ｎ － ‖ｂ２‖，…，ｎ － ‖ｂｎ‖） 因为 Ｂ∉｛Ｅｎ ，Ｏｎ ｝，所以 ｗ１≠Ｏｑ，ｗ － ｉ≠Ｏｑ。 这样 可以证明在 Ｂ∉｛Ｅｎ ，Ｏｎ ｝下 Ｗ － 和 Ｗ 有相同数目的 非零向量。 而且因为对于所有的 ｉ ＝ ２，３，…，ｎ，有 ｗ － Ｔ ｉ ＝ －ｗ Ｔ ｉ ，无论 Ｌ 有无重特征值，〈Ｌ；Ｂ〉的维数都等 于〈Ｌ；Ｂ － 〉，即 ｄｉｍ（〈Ｌ；Ｂ〉）＝ ｄｉｍ 〈Ｌ；Ｂ － ( 〉 ) 。 而且它 们的维数相同时，可控性也相同。 通过上文的阐述，可以给出多信号输入下图可 控性分类的定义。 定义 ２ 在连通图 Ｇ 中，对于系统（１） １）如果除去图中每个点都是输入节点以及每 个点都不是输入节点的 ２ 种情况后，任意选取图中 的点为输入节点时，系统（Ｌ，Ｂ）是可控的，则图关于 Ｂ 是多信号输入下本质可控图； ２）如果在图中选取任意点为输入节点时，系统 （Ｌ，Ｂ）都是不可控的，则图关于 Ｂ 是多信号输入下 完全不可控图； ３）如果图关于 Ｂ 即不是多信号输入下本质可 控图也不是多信号输入下完全不可控图，则图关于 Ｂ 是多信号输入下条件可控图。 下面是分情况讨论 ３ 种情况下的图性质。 ２．１ 多信号输入下本质可控图 在本节中，主要给出 ２ 个多输入下本质可控图 的必要条件，通过下面的命题论证。 命题 １ 多输入下本质可控图是不对称的。 证明 设 Ｇ 是多输入下本质可控图，则 Ｌ 必须 有不同的特征值。 在这用反证法，假设多输入下本质 可控图是对称的，则 Ｇ 有一个非平凡自同构群，设 Ｊ 是置换矩阵代表 Ｇ 的一个非恒等自同构，那么存在 ２ 个不同的标准正交基 ｅｉ 和 ｅｊ，使得 Ｊｅｉ ＝ ｅｊ 和 Ｊｅｊ ＝ ｅｉ。 则有 Ｊ［ｅｉ ０ｎ…］ ＝［ｅｊ ０ｎ…］和 Ｊ［０ｎ ｅｊ…］ ＝ ［０ｎ ｅｉ …］。 并且有 ＪＬ（Ｇ）＝ Ｌ（Ｇ）Ｊ，令 Ｂ ＝ ［ｅｉ ０ｎ…］ ＋［０ｎ ｅｊ…］。 可以得到 ＪＢ ＝ Ｂ。 设 λ 为矩阵 Ｌ 的特征值， 其对应的特征向量为 ｖ，满足 Ｌｖ ＝λｖ。 两边同乘以 Ｊ， 有 ＪＬｖ ＝ Ｊλｖ，因为 ＪＬ（Ｇ） ＝ Ｌ（Ｇ） Ｊ，则有 Ｌ（Ｊｖ） ＝ λ（Ｊｖ），即 Ｊｖ 也是对应于特征值 λ 的特征向量。 因 为 Ｌ 有一系列正交特征向量，ｖ－Ｊｖ 也是 Ｌ 的特征向 量。 而且 ＪＢ ＝ Ｊ ＴＢ ＝ Ｂ，则有 （ｖ － Ｊｖ） Ｔ Ｂ ＝ ｖ ＴＢ － ｖ Ｔ Ｊ ＴＢ ＝ ｖ ＴＢ － ｖ ＴＢ ＝ ０ 即 Ｂ 正交于 Ｌ 的特征向量。 因此系统（Ｌ，Ｂ）是不可控的。 这与 Ｇ 是多输入下本 ·６８４· 智 能 系 统 学 报 第 １１ 卷
第5期 李自强，等：多信号输人下多智能体系统的图可控性分类 ·685 质可控图相矛盾。所以多输人下本质可控图是不对 并不与多信号输入下完全不可控图有关联。对于系 称的。结论得证。 统(1)，对称的图并不都是多输入下完全不可控图。 任何少于6个点的图都可以改为对称的图。如 如图1为对称图，当B=[e2e4]时，根据秩判据，此 图3(a)中，5个点的情况可以改为图3(b)中对称的 时系统可控。 图形。由此启发可以得到下面的命题。 给定图G,则可以写出图的拉普拉斯矩阵，也可 以求出图的特征值，特征值所对应的特征向量也可 以求出，由此启发，给出下面的命题。 命题3图G在有重特征值的情况下，对任意 1 的B使得：线性相关，那么这样的图为多信号输 入下完全不可控图。其中w=uB,u:为重特征值 所对应的特征向量，i=1,…,n。 证明根据定理1，得证。 3 命题4在图G中，如果存在一个L的特征向 (a)改变前 (b)改变后 量的转置与B的乘积为0，则这样的图为多信号输 入下完全不可控图。 图3具有5个节点的图 证明根据定理1，得证。 Fig.3 The graph with 5 vertices 命题2多输入下本质可控图至少有6个点。 2.3多信号输入下条件可控图 证明根据命题1，并且由任何不对称的图形 在本节中，主要提出文献[18]中的错误，并举 至少有6个点得证。 例进行阐述。 对于系统(1)，不对称的图并不都是多输入下 对于文献[18]中的模型(2)实际上是系统(1) 本质可控图。通过图(4)可以进行验证。 的特殊情况，即单信号输入系统，此时要在系统(2) 下进行分析与讨论文献[18]中的问题。 定义318]在图G=(V,E)中，r,seR,称b∈ R”在图G中是一个(r,s)-齐次可控向量，如果对 于每一个i∈V.,有r=|N,nV八V.|,并且对每一个 je八V,有s=|NnV。|。即每一个领导节点i与r 个跟随者相邻，并且每一个跟随者节点j与s个领导 者相邻。 对于文献[18]中推论4.2：G是一个含有n个 点的连通图，并且n≥3时，如果G有一个(r,s)-齐 次可控向量，则G是条件可控的。 图4具有6个节点的不对称图 如图5，在系统(2)下，令b=[001100],其 Fig.4 The asymmetric graph with 6 vertices 中ieV。={3,4},若i=3,则N,={1,2}且j∈V八V。= 图4是一个在给定点标记下的不对称图，它的 {1,2,5,6},得r=2,即领导节点3与2个跟随者邻 拉普拉斯矩阵为 接，若=1，则N={3},得s=1,即跟随者节点1与1 「2 -1-1 0 0 个领导者邻接。由此称b=[001100]T在图G -13-1 0 -1 0 中是一个(2,1)-齐次可控向量。则根据文献[18] -1-1 4 -1 0 -1 中推论4.2得图G是条件可控的。 L= 00-12 -1 0 图5的拉普拉斯矩阵为 0-10-13 -1 「10-10 0 0 00-10-12 1 -10 0 0 当输入矩阵B=-[e,e2]时，可以求出 -1-13 -1 0 0 L= ank[BLB…LB]<6。此时系统(L,B)是不可控的。 00 -1 3 -1 -1 2.2多信号输入下完全不可控图 0 0 0 -1 2 -1 相对于多信号输入下本质可控图，图对称与否 00 0 -1 -12」
质可控图相矛盾。 所以多输入下本质可控图是不对 称的。 结论得证。 任何少于 ６ 个点的图都可以改为对称的图。 如 图 ３（ａ）中，５ 个点的情况可以改为图 ３（ｂ）中对称的 图形。 由此启发可以得到下面的命题。 （ａ）改变前 （ｂ）改变后 图 ３ 具有 ５ 个节点的图 Ｆｉｇ．３ Ｔｈｅ ｇｒａｐｈ ｗｉｔｈ ５ ｖｅｒｔｉｃｅｓ 命题 ２ 多输入下本质可控图至少有 ６ 个点。 证明 根据命题 １，并且由任何不对称的图形 至少有 ６ 个点得证。 对于系统（１），不对称的图并不都是多输入下 本质可控图。 通过图（４）可以进行验证。 图 ４ 具有 ６ 个节点的不对称图 Ｆｉｇ．４ Ｔｈｅ ａｓｙｍｍｅｔｒｉｃ ｇｒａｐｈ ｗｉｔｈ ６ ｖｅｒｔｉｃｅｓ 图 ４ 是一个在给定点标记下的不对称图，它的 拉普拉斯矩阵为 Ｌ ＝ ２ － １ － １ ０ ０ ０ － １ ３ － １ ０ － １ ０ － １ － １ ４ － １ ０ － １ ０ ０ － １ ２ － １ ０ ０ － １ ０ － １ ３ － １ ０ ０ － １ ０ － １ ２ é ë ê ê ê ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú ú ú ú 当 输 入 矩 阵 Ｂ ＝ ［ｅ１ ｅ２］ 时， 可 以 求 出 ｒａｎｋ Ｂ ＬＢ … Ｌ ５ [ Ｂ] ＜６。 此时系统（Ｌ，Ｂ）是不可控的。 ２．２ 多信号输入下完全不可控图 相对于多信号输入下本质可控图，图对称与否 并不与多信号输入下完全不可控图有关联。 对于系 统（１），对称的图并不都是多输入下完全不可控图。 如图 １ 为对称图，当 Ｂ ＝ ［ ｅ２ ｅ４ ］时，根据秩判据，此 时系统可控。 给定图 Ｇ，则可以写出图的拉普拉斯矩阵，也可 以求出图的特征值，特征值所对应的特征向量也可 以求出，由此启发，给出下面的命题。 命题 ３ 图 Ｇ 在有重特征值的情况下，对任意 的 Ｂ 使得 ｗｉ 线性相关，那么这样的图为多信号输 入下完全不可控图。 其中 ｗ Ｔ ｉ ＝ ｕ Ｔ ｉ Ｂ，ｕｉ 为重特征值 所对应的特征向量，ｉ ＝ １，…，ｎ。 证明 根据定理 １，得证。 命题 ４ 在图 Ｇ 中，如果存在一个 Ｌ 的特征向 量的转置与 Ｂ 的乘积为 ０ Ｔ ｑ ，则这样的图为多信号输 入下完全不可控图。 证明 根据定理 １，得证。 ２．３ 多信号输入下条件可控图 在本节中，主要提出文献［１８］ 中的错误，并举 例进行阐述。 对于文献［１８］中的模型（２）实际上是系统（１） 的特殊情况，即单信号输入系统，此时要在系统（２） 下进行分析与讨论文献［１８］中的问题。 定义 ３ ［１８］ 在图 Ｇ ＝ （Ｖ，Ｅ）中，ｒ，ｓ∈Ｒ，称 ｂ∈ Ｒ ｎ 在图 Ｇ 中是一个（ ｒ，ｓ） － 齐次可控向量，如果对 于每一个 ｉ∈Ｖｂ，有 ｒ ＝ Ｎｉ∩Ｖ＼Ｖｂ ，并且对每一个 ｊ∈Ｖ ＼Ｖｂ，有 ｓ ＝ Ｎｊ∩Ｖｂ 。 即每一个领导节点 ｉ 与 ｒ 个跟随者相邻，并且每一个跟随者节点 ｊ 与 ｓ 个领导 者相邻。 对于文献［１８］中推论 ４．２：Ｇ 是一个含有 ｎ 个 点的连通图，并且 ｎ≥３ 时，如果 Ｇ 有一个（ｒ，ｓ） －齐 次可控向量，则 Ｇ 是条件可控的。 如图 ５，在系统（２）下，令 ｂ ＝ ［０ ０ １ １ ０ ０］ Ｔ ，其 中 ｉ∈Ｖｂ ＝ ｛３，４｝，若 ｉ ＝ ３，则 Ｎｉ ＝ ｛１，２｝且 ｊ∈Ｖ＼Ｖｂ ＝ ｛１，２，５，６｝，得 ｒ ＝ ２，即领导节点 ３ 与 ２ 个跟随者邻 接，若 ｊ ＝ １，则 Ｎｊ ＝ ｛３｝，得 ｓ ＝ １，即跟随者节点 １ 与 １ 个领导者邻接。 由此称 ｂ ＝ ［０ ０ １ １ ０ ０］ Ｔ 在图 Ｇ 中是一个（２，１） －齐次可控向量。 则根据文献［１８］ 中推论 ４．２ 得图 Ｇ 是条件可控的。 图 ５ 的拉普拉斯矩阵为 Ｌ ＝ １ ０ － １ ０ ０ ０ ０ １ － １ ０ ０ ０ － １ － １ ３ － １ ０ ０ ０ ０ － １ ３ － １ － １ ０ ０ ０ － １ ２ － １ ０ ０ ０ － １ － １ ２ é ë ê ê ê ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú ú ú ú 第 ５ 期 李自强，等：多信号输入下多智能体系统的图可控性分类 ·６８５·
·686 智能系统学报 第11卷 6 [J].系统科学与数学，2015(3)：298-307. LIU Fei,JI Zhijian.Controllability of second-order discrete- time multi-agent systems with time-delay[].Journal of sys- tems science and mathematical sciences,2015(3):298- 307. [5]董洁，纪志坚，王晓晓.多智能体网络系统的能控性代 数条件[J].智能系统学报，2015,10(5)：747-754. DONG Jie,JI Zhijian,WANG Xiaoxiao.Algebraic condi- tions for the controllability of multi-agent systems[J].CAAI transactions on intelligent systems,2015,10(5):747-754. 2 「6]晁永翠，纪志坚，王耀威，等.复杂网络在路形拓扑结 图5具有6个节点的对称图 构下可控的充要条件[J].智能系统学报，2015,10(4)： Fig.5 The symmetric graph with 6 vertices 577.582. 可以求出它有一个两重的特征值为3。即图5 CHAO Yongcui,JI Zhijian,WANG Yaowei,et al.Necessa- 具有重特征值，根据注释，在单信号输入系统下可以 ry and sufficient conditions for the controllability of complex 得到图G是完全不可控的，显然是矛盾的，所以文 networks with path topology[J].CAAI transactions on intel- 献[18]中推论4.2是错误的。在多信号输入系统 ligent systems,2015,10(4):577-582. 下，更不能通过齐次向量来判断图的条件可控性。 [7]王晓晓，纪志坚.广播信号下非一致多智能体系统的能 控性[J].智能系统学报，2014,9(4)：401-406 3结束语 WANG Xioaxiao,JI Zhijian.Controllability of non-identical 本文就多信号输入系统下的可控性分类问题进 multi-agent systems under a broadcasting control signal[J]. 行了详细的研究与分析，并对拉普拉斯矩阵下特征 CAAI transactions on intelligent systems,2014,9(4): 401-406 值和特征向量与可控性的关系进行了阐述和论证， [8]JI M,EGERSTEDT M.A graph-theoretic characterization of 论述了单信号输入系统与多信号输入系统的区别和 controllability for multi-agent systems[C]//Proceeding of 联系，而且纠正了文献[18]中关于齐次可控向量应 the American Control Conference,2007.New York:IEEE, 用在条件可控图上的错误。本文对可控性分类的研 2007:4588-4593. 究方法和结果，为以后研究更复杂的图可控性问题 [9 JIANG Fangcui,WANG Long,XIE Guangming,et al.On 提供了方向和帮助。 the controllability of multiple dynamic agents with fixed to- 参考文献： pology[C]//Proceeding of the American Control Confer- ence,2009.St.Louis,Missouri,USA:IEEE,2009:5665- [1]OLFATI-SABER R,MURRAY R M.Consensus problems in 5670. networks of agents with switching topology and time-delays [10]JI Zhijian,WANG Zidong,LIN Hai,et al.Controllability [J].IEEE transactions on automatic control,2004,49 of multi-agent systems with time-delay in state and switc- (9):1520-1533. hing topology[J].Interational journal of control,2010, [2]JADBABAIE A,LIN J,MORSE A S.Coordination of 83(2):371-386. groups of mobile autonomous agents using nearest neighbor [11]LIU Bo,CHU Tianguang,WANG Long,et al.Controlla- rules[J].IEEE transactions on automatic control,2003, bility of a leader-follower dynamic network with switching 48(6)：988-1001. topology [J].IEEE transactions on automatic control, [3]JIZ J,LIN H,LEE T H.Controllability of multi-agent sys- 2008,53(4):1009-1013. tems with switching topology [C]//Proceeding of the 2008 [12]RAHMANI A,JI Meng,MESBAHI M,et al.Controllabil- IEEE Conference on Robotics,Automation and Mechatron- ity of multi-agent systems from a graph-theoretic perspec- ics.Chengdu:IEEE,2008:421-426. tive[J].SIAM journal on control and optimization,2009, [4]刘菲，纪志坚.时滞二阶离散多智能体系统的可控性 48(1):162-186
图 ５ 具有 ６ 个节点的对称图 Ｆｉｇ．５ Ｔｈｅ ｓｙｍｍｅｔｒｉｃ ｇｒａｐｈ ｗｉｔｈ ６ ｖｅｒｔｉｃｅｓ 可以求出它有一个两重的特征值为 ３。 即图 ５ 具有重特征值，根据注释，在单信号输入系统下可以 得到图 Ｇ 是完全不可控的，显然是矛盾的，所以文 献［１８］中推论 ４．２ 是错误的。 在多信号输入系统 下，更不能通过齐次向量来判断图的条件可控性。 ３ 结束语 本文就多信号输入系统下的可控性分类问题进 行了详细的研究与分析，并对拉普拉斯矩阵下特征 值和特征向量与可控性的关系进行了阐述和论证， 论述了单信号输入系统与多信号输入系统的区别和 联系，而且纠正了文献［１８］中关于齐次可控向量应 用在条件可控图上的错误。 本文对可控性分类的研 究方法和结果，为以后研究更复杂的图可控性问题 提供了方向和帮助。 参考文献： ［１］ＯＬＦＡＴＩ⁃ＳＡＢＥＲ Ｒ， ＭＵＲＲＡＹ Ｒ Ｍ． Ｃｏｎｓｅｎｓｕｓ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｉｎ ｎｅｔｗｏｒｋｓ ｏｆ ａｇｅｎｔｓ ｗｉｔｈ ｓｗｉｔｃｈｉｎｇ ｔｏｐｏｌｏｇｙ ａｎｄ ｔｉｍｅ⁃ｄｅｌａｙｓ ［Ｊ］． ＩＥＥＥ ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ ａｕｔｏｍａｔｉｃ ｃｏｎｔｒｏｌ， ２００４， ４９ （９）： １５２０⁃１５３３． ［２ ］ ＪＡＤＢＡＢＡＩＥ Ａ， ＬＩＮ Ｊ， ＭＯＲＳＥ Ａ Ｓ． Ｃｏｏｒｄｉｎａｔｉｏｎ ｏｆ ｇｒｏｕｐｓ ｏｆ ｍｏｂｉｌｅ ａｕｔｏｎｏｍｏｕｓ ａｇｅｎｔｓ ｕｓｉｎｇ ｎｅａｒｅｓｔ ｎｅｉｇｈｂｏｒ ｒｕｌｅｓ［ Ｊ］． ＩＥＥＥ ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ ａｕｔｏｍａｔｉｃ ｃｏｎｔｒｏｌ， ２００３， ４８（６）： ９８８⁃１００１． ［３］ＪＩ Ｚ Ｊ， ＬＩＮ Ｈ， ＬＥＥ Ｔ Ｈ． Ｃｏｎｔｒｏｌｌａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｍｕｌｔｉ⁃ａｇｅｎｔ ｓｙｓ⁃ ｔｅｍｓ ｗｉｔｈ ｓｗｉｔｃｈｉｎｇ ｔｏｐｏｌｏｇｙ［ Ｃ］ ／ ／ Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇ ｏｆ ｔｈｅ ２００８ ＩＥＥＥ Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ ｏｎ Ｒｏｂｏｔｉｃｓ， Ａｕｔｏｍａｔｉｏｎ ａｎｄ Ｍｅｃｈａｔｒｏｎ⁃ ｉｃｓ． Ｃｈｅｎｇｄｕ： ＩＥＥＥ， ２００８： ４２１⁃４２６． ［４］刘菲， 纪志坚． 时滞二阶离散多智能体系统的可控性 ［Ｊ］． 系统科学与数学， ２０１５（３）： ２９８⁃３０７． ＬＩＵ Ｆｅｉ， ＪＩ Ｚｈｉｊｉａｎ． Ｃｏｎｔｒｏｌｌａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｓｅｃｏｎｄ⁃ｏｒｄｅｒ ｄｉｓｃｒｅｔｅ⁃ ｔｉｍｅ ｍｕｌｔｉ⁃ａｇｅｎｔ ｓｙｓｔｅｍｓ ｗｉｔｈ ｔｉｍｅ⁃ｄｅｌａｙ［Ｊ］． Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ ｓｙｓ⁃ ｔｅｍｓ ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｓｃｉｅｎｃｅｓ， ２０１５ （ ３）： ２９８⁃ ３０７． ［５］董洁， 纪志坚， 王晓晓． 多智能体网络系统的能控性代 数条件［Ｊ］． 智能系统学报， ２０１５， １０（５）： ７４７⁃７５４． ＤＯＮＧ Ｊｉｅ， ＪＩ Ｚｈｉｊｉａｎ， ＷＡＮＧ Ｘｉａｏｘｉａｏ． Ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｃｏｎｄｉ⁃ ｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｃｏｎｔｒｏｌｌａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｍｕｌｔｉ⁃ａｇｅｎｔ ｓｙｓｔｅｍｓ［Ｊ］． ＣＡＡＩ ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ ｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｔ ｓｙｓｔｅｍｓ， ２０１５， １０（５）： ７４７⁃７５４． ［６］晁永翠， 纪志坚， 王耀威， 等． 复杂网络在路形拓扑结 构下可控的充要条件［Ｊ］． 智能系统学报， ２０１５， １０（４）： ５７７⁃５８２． ＣＨＡＯ Ｙｏｎｇｃｕｉ， ＪＩ Ｚｈｉｊｉａｎ， ＷＡＮＧ Ｙａｏｗｅｉ， ｅｔ ａｌ． Ｎｅｃｅｓｓａ⁃ ｒｙ ａｎｄ ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｃｏｎｔｒｏｌｌａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｃｏｍｐｌｅｘ ｎｅｔｗｏｒｋｓ ｗｉｔｈ ｐａｔｈ ｔｏｐｏｌｏｇｙ［Ｊ］． ＣＡＡＩ ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ ｉｎｔｅｌ⁃ ｌｉｇｅｎｔ ｓｙｓｔｅｍｓ， ２０１５， １０（４）： ５７７⁃５８２． ［７］王晓晓， 纪志坚． 广播信号下非一致多智能体系统的能 控性［Ｊ］． 智能系统学报， ２０１４， ９（４）： ４０１⁃４０６． ＷＡＮＧ Ｘｉｏａｘｉａｏ， ＪＩ Ｚｈｉｊｉａｎ． Ｃｏｎｔｒｏｌｌａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｎｏｎ⁃ｉｄｅｎｔｉｃａｌ ｍｕｌｔｉ⁃ａｇｅｎｔ ｓｙｓｔｅｍｓ ｕｎｄｅｒ ａ ｂｒｏａｄｃａｓｔｉｎｇ ｃｏｎｔｒｏｌ ｓｉｇｎａｌ［ Ｊ］． ＣＡＡＩ ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ ｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｔ ｓｙｓｔｅｍｓ， ２０１４， ９ （ ４ ）： ４０１⁃４０６． ［８］ＪＩ Ｍ， ＥＧＥＲＳＴＥＤＴ Ｍ． Ａ ｇｒａｐｈ⁃ｔｈｅｏｒｅｔｉｃ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ｃｏｎｔｒｏｌｌａｂｉｌｉｔｙ ｆｏｒ ｍｕｌｔｉ⁃ａｇｅｎｔ ｓｙｓｔｅｍｓ ［ Ｃ］ ／ ／ Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇ ｏｆ ｔｈｅ Ａｍｅｒｉｃａｎ Ｃｏｎｔｒｏｌ Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ， ２００７． Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ： ＩＥＥＥ， ２００７： ４５８８⁃４５９３． ［９］ＪＩＡＮＧ Ｆａｎｇｃｕｉ， ＷＡＮＧ Ｌｏｎｇ， ＸＩＥ Ｇｕａｎｇｍｉｎｇ， ｅｔ ａｌ． Ｏｎ ｔｈｅ ｃｏｎｔｒｏｌｌａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｍｕｌｔｉｐｌｅ ｄｙｎａｍｉｃ ａｇｅｎｔｓ ｗｉｔｈ ｆｉｘｅｄ ｔｏ⁃ ｐｏｌｏｇｙ ［ Ｃ］ ／ ／ Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇ ｏｆ ｔｈｅ Ａｍｅｒｉｃａｎ Ｃｏｎｔｒｏｌ Ｃｏｎｆｅｒ⁃ ｅｎｃｅ， ２００９． Ｓｔ． Ｌｏｕｉｓ， Ｍｉｓｓｏｕｒｉ， ＵＳＡ： ＩＥＥＥ， ２００９： ５６６５⁃ ５６７０． ［１０］ＪＩ Ｚｈｉｊｉａｎ， ＷＡＮＧ Ｚｉｄｏｎｇ， ＬＩＮ Ｈａｉ， ｅｔ ａｌ． Ｃｏｎｔｒｏｌｌａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｍｕｌｔｉ⁃ａｇｅｎｔ ｓｙｓｔｅｍｓ ｗｉｔｈ ｔｉｍｅ⁃ｄｅｌａｙ ｉｎ ｓｔａｔｅ ａｎｄ ｓｗｉｔｃ⁃ ｈｉｎｇ ｔｏｐｏｌｏｇｙ［ Ｊ］． Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ ｃｏｎｔｒｏｌ， ２０１０， ８３（２）： ３７１⁃３８６． ［１１］ＬＩＵ Ｂｏ， ＣＨＵ Ｔｉａｎｇｕａｎｇ， ＷＡＮＧ Ｌｏｎｇ， ｅｔ ａｌ． Ｃｏｎｔｒｏｌｌａ⁃ ｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ａ ｌｅａｄｅｒ⁃ｆｏｌｌｏｗｅｒ ｄｙｎａｍｉｃ ｎｅｔｗｏｒｋ ｗｉｔｈ ｓｗｉｔｃｈｉｎｇ ｔｏｐｏｌｏｇｙ ［ Ｊ ］． ＩＥＥＥ ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ ａｕｔｏｍａｔｉｃ ｃｏｎｔｒｏｌ， ２００８， ５３（４）： １００９⁃１０１３． ［１２］ＲＡＨＭＡＮＩ Ａ， ＪＩ Ｍｅｎｇ， ＭＥＳＢＡＨＩ Ｍ， ｅｔ ａｌ． Ｃｏｎｔｒｏｌｌａｂｉｌ⁃ ｉｔｙ ｏｆ ｍｕｌｔｉ⁃ａｇｅｎｔ ｓｙｓｔｅｍｓ ｆｒｏｍ ａ ｇｒａｐｈ⁃ｔｈｅｏｒｅｔｉｃ ｐｅｒｓｐｅｃ⁃ ｔｉｖｅ［Ｊ］． ＳＩＡＭ ｊｏｕｒｎａｌ ｏｎ ｃｏｎｔｒｏｌ ａｎｄ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ， ２００９， ４８（１）： １６２⁃１８６． ·６８６· 智 能 系 统 学 报 第 １１ 卷
第5期 李自强，等：多信号输人下多智能体系统的图可控性分类 ·687. [13]MARTINI S,EGERSTEDT M,BICCHI A.Controllability [22]OGREN P,EGERSTEDT M,HU Xiaoming.A control analysis of multi-agent systems using relaxed equitable par- Lyapunov function approach to multiagent coordination titions[J].International journal of systems,control and [C]//Proceedings of the 40th IEEE Conference on Deci- communications,2010,2(1/2/3):100-121. sion and Control.Orlando,Florida,USA:IEEE,2001: [14]CHAPMAN A,MESBAHI M.On symmetry and controlla- 1150-1155. bility of multi-agent systems[C]//Proceeding of the 2014 [23]BIGGS N.Algebraic graph theory M].2nd ed.Cam- IEEE 53rd Annual Conference on Decision and Control. bridge:Cambridge University Press,1993. Los Angeles,CA,USA:IEEE,2014:625-630. [24]王树禾.图论[M].北京：科学出版社，2004 [15]刘金琨，尔联洁.多智能体技术应用综述[J].控制与 [25]CHARTRAND G,ZHANG Ping.图论导引[M].范益政， 决策，2001,16(2)：133-140,180. 译.北京：人民邮电出版社，2007：1-17 LIU Jinkun,ER Lianjie.Overview of application of multia- CHARTRAND G,ZHANG Ping.Introduction to graph the- gent technology[J].Control and decision,2001,16(2): ory[M].FAN Yizheng,trans.Beijing:The People's Posts 133-140.180. and Telecommunications Press,2007:1-17. [16]朱战霞，郑莉莉.无人机编队飞行控制器设计[J].飞 作者简介： 行力学，2007,25(4)：22-24. 李自强，男，1991年生，硕士研究 ZHU Zhanxia,ZHENG Lili.The controller design of UAV 生，主要研究方向为多智能体系统。 formation flight[J].Flight dynamics,2007,25(4):22- 24. [17]LANE D M,MCFADZEAN A G.Distributed problem sol- ving and real-time mechanisms in robot architectures[J]. Engineering applications of artificial intelligence,1994,7 (2):105-117. 纪志坚，男，1973年生，博士，教授， [18]AGUILAR C O,GHARESIFARD B.Graph controllability 博士生导师，主要研究方向为群体系统 classes for the laplacian leader-follower dynamics [J]. 动力学与协调控制、复杂网络、切换动 IEEE transactions on automatic control,2014,60(6): 力系统的分析与控制、系统生物以及基 1611-1623 于网络的控制系统等。曾主持国家自 [19]TANNER H G.On the controllability of nearest neighbor 然科学基金3项。发表学术论文70余篇 interconnections[C]//Proceeding of the 43rd IEEE Con- 70余篇，其中被SCI检索23篇，EI检索50余篇。 ference on Decision and Control.Nassau,Bahamas: EEE,2004:2467-2472. [20]HONG Yiguang,GAO Lixin,CHENG Daizhan,et al.Lya- 晁永翠，女，1990年生，硕士研究 punov-based approach to multiagent systems with switching 生，主要研究方向为复杂网络的可 jointly connected interconnection[J.IEEE transactions on 控性。 automatic control,2007,52(5):943-948. [21]MOREAU L.Stability of multiagent systems with time-de- pendent communication links[J].IEEE transactions on au- tomatic control,2005,50(2):169-182
然科学基金 ３ 项。发表学术论文70余篇 ［１３］ＭＡＲＴＩＮＩ Ｓ， ＥＧＥＲＳＴＥＤＴ Ｍ， ＢＩＣＣＨＩ Ａ． Ｃｏｎｔｒｏｌｌａｂｉｌｉｔｙ ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ｍｕｌｔｉ⁃ａｇｅｎｔ ｓｙｓｔｅｍｓ ｕｓｉｎｇ ｒｅｌａｘｅｄ ｅｑｕｉｔａｂｌｅ ｐａｒ⁃ ｔｉｔｉｏｎｓ［ Ｊ］． Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ ｓｙｓｔｅｍｓ， ｃｏｎｔｒｏｌ ａｎｄ ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓ， ２０１０， ２（１ ／ ２ ／ ３）： １００⁃１２１． ［１４］ＣＨＡＰＭＡＮ Ａ， ＭＥＳＢＡＨＩ Ｍ． Ｏｎ ｓｙｍｍｅｔｒｙ ａｎｄ ｃｏｎｔｒｏｌｌａ⁃ ｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｍｕｌｔｉ⁃ａｇｅｎｔ ｓｙｓｔｅｍｓ［Ｃ］ ／ ／ Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇ ｏｆ ｔｈｅ ２０１４ ＩＥＥＥ ５３ｒｄ Ａｎｎｕａｌ Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ ｏｎ Ｄｅｃｉｓｉｏｎ ａｎｄ Ｃｏｎｔｒｏｌ． Ｌｏｓ Ａｎｇｅｌｅｓ， ＣＡ， ＵＳＡ： ＩＥＥＥ， ２０１４： ６２５⁃６３０． ［１５］刘金琨， 尔联洁． 多智能体技术应用综述［ Ｊ］． 控制与 决策， ２００１， １６（２）： １３３⁃１４０， １８０． ＬＩＵ Ｊｉｎｋｕｎ， ＥＲ Ｌｉａｎｊｉｅ． Ｏｖｅｒｖｉｅｗ ｏｆ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ ｍｕｌｔｉａ⁃ ｇｅｎｔ ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ［Ｊ］． Ｃｏｎｔｒｏｌ ａｎｄ ｄｅｃｉｓｉｏｎ， ２００１， １６（２）： １３３⁃１４０， １８０． ［１６］朱战霞， 郑莉莉． 无人机编队飞行控制器设计［ Ｊ］． 飞 行力学， ２００７， ２５（４）： ２２⁃２４． ＺＨＵ Ｚｈａｎｘｉａ， ＺＨＥＮＧ Ｌｉｌｉ． Ｔｈｅ ｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒ ｄｅｓｉｇｎ ｏｆ ＵＡＶ ｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｆｌｉｇｈｔ［ Ｊ］． Ｆｌｉｇｈｔ ｄｙｎａｍｉｃｓ， ２００７， ２５（ ４）： ２２⁃ ２４． ［１７］ＬＡＮＥ Ｄ Ｍ， ＭＣＦＡＤＺＥＡＮ Ａ Ｇ． Ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｅｄ ｐｒｏｂｌｅｍ ｓｏｌ⁃ ｖｉｎｇ ａｎｄ ｒｅａｌ⁃ｔｉｍｅ ｍｅｃｈａｎｉｓｍｓ ｉｎ ｒｏｂｏｔ ａｒｃｈｉｔｅｃｔｕｒｅｓ［ Ｊ］． Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ ｏｆ ａｒｔｉｆｉｃｉａｌ ｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｃｅ， １９９４， ７ （２）： １０５⁃１１７． ［１８］ＡＧＵＩＬＡＲ Ｃ Ｏ， ＧＨＡＲＥＳＩＦＡＲＤ Ｂ． Ｇｒａｐｈ ｃｏｎｔｒｏｌｌａｂｉｌｉｔｙ ｃｌａｓｓｅｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｌａｐｌａｃｉａｎ ｌｅａｄｅｒ⁃ｆｏｌｌｏｗｅｒ ｄｙｎａｍｉｃｓ ［ Ｊ ］． ＩＥＥＥ ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ ａｕｔｏｍａｔｉｃ ｃｏｎｔｒｏｌ， ２０１４， ６０ （ ６）： １６１１⁃１６２３． ［１９］ＴＡＮＮＥＲ Ｈ Ｇ． Ｏｎ ｔｈｅ ｃｏｎｔｒｏｌｌａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｎｅａｒｅｓｔ ｎｅｉｇｈｂｏｒ ｉｎｔｅｒｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎｓ［Ｃ］ ／ ／ Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇ ｏｆ ｔｈｅ ４３ｒｄ ＩＥＥＥ Ｃｏｎ⁃ ＩＥＥＥ， ２００４： ２４６７⁃２４７２． ［２０］ＨＯＮＧ Ｙｉｇｕａｎｇ， ＧＡＯ Ｌｉｘｉｎ， ＣＨＥＮＧ Ｄａｉｚｈａｎ， ｅｔ ａｌ． Ｌｙａ⁃ ｐｕｎｏｖ⁃ｂａｓｅｄ ａｐｐｒｏａｃｈ ｔｏ ｍｕｌｔｉａｇｅｎｔ ｓｙｓｔｅｍｓ ｗｉｔｈ ｓｗｉｔｃｈｉｎｇ ｊｏｉｎｔｌｙ ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ ｉｎｔｅｒｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ［Ｊ］． ＩＥＥＥ ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ ａｕｔｏｍａｔｉｃ ｃｏｎｔｒｏｌ， ２００７， ５２（５）： ９４３⁃９４８． ［２１］ＭＯＲＥＡＵ Ｌ． Ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｍｕｌｔｉａｇｅｎｔ ｓｙｓｔｅｍｓ ｗｉｔｈ ｔｉｍｅ⁃ｄｅ⁃ ｐｅｎｄｅｎｔ ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎ ｌｉｎｋｓ［Ｊ］． ＩＥＥＥ ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ ａｕ⁃ ｔｏｍａｔｉｃ ｃｏｎｔｒｏｌ， ２００５， ５０（２）： １６９⁃１８２． ［ ２２］ ＯＧＲＥＮ Ｐ， ＥＧＥＲＳＴＥＤＴ Ｍ， ＨＵ Ｘｉａｏｍｉｎｇ． Ａ ｃｏｎｔｒｏｌ Ｌｙａｐｕｎｏｖ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ａｐｐｒｏａｃｈ ｔｏ ｍｕｌｔｉａｇｅｎｔ ｃｏｏｒｄｉｎａｔｉｏｎ ［Ｃ］ ／ ／ Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ ｏｆ ｔｈｅ ４０ｔｈ ＩＥＥＥ Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ ｏｎ Ｄｅｃｉ⁃ ｓｉｏｎ ａｎｄ Ｃｏｎｔｒｏｌ． Ｏｒｌａｎｄｏ， Ｆｌｏｒｉｄａ， ＵＳＡ： ＩＥＥＥ， ２００１： １１５０⁃１１５５． ［２３］ ＢＩＧＧＳ Ｎ． Ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｇｒａｐｈ ｔｈｅｏｒｙ ［ Ｍ］． ２ｎｄ ｅｄ． Ｃａｍ⁃ ｂｒｉｄｇｅ： Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｐｒｅｓｓ， １９９３． ［２４］王树禾． 图论［Ｍ］． 北京： 科学出版社， ２００４． ［２５］ＣＨＡＲＴＲＡＮＤ Ｇ， ＺＨＡＮＧ Ｐｉｎｇ． 图论导引［Ｍ］． 范益政， 译． 北京： 人民邮电出版社， ２００７： １⁃１７． ＣＨＡＲＴＲＡＮＤ Ｇ， ＺＨＡＮＧ Ｐｉｎｇ． Ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ ｔｏ ｇｒａｐｈ ｔｈｅ⁃ ｏｒｙ［Ｍ］． ＦＡＮ Ｙｉｚｈｅｎｇ， ｔｒａｎｓ． Ｂｅｉｊｉｎｇ： Ｔｈｅ Ｐｅｏｐｌｅ＇ｓ Ｐｏｓｔｓ ａｎｄ Ｔｅｌｅｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓ Ｐｒｅｓｓ， ２００７： １⁃１７． 作者简介： 李自强，男，１９９１ 年生，硕士研究 生，主要研究方向为多智能体系统。 纪志坚，男，１９７３ 年生，博士，教授， 博士生导师，主要研究方向为群体系统 动力学与协调控制、复杂网络、切换动 于网络的控制系统等。 曾主持国家 力系统的分析与控制、系统生物以及基 自 ｆｅｒｅｎｃｅ ｏｎ Ｄｅｃｉｓｉｏｎ ａｎｄ Ｃｏｎｔｒｏｌ． Ｎａｓｓａｕ， Ｂａｈａｍａｓ： 晁永翠，女，１９９０ 年生，硕士研究 生， 主 要 研 究 方 向 为 复 杂 网 络 的 可 控性。 第 ５ 期 李自强，等：多信号输入下多智能体系统的图可控性分类 ·６８７· ７０ 余篇，其中被 ＳＣＩ 检索 ２３ 篇，ＥＩ 检索 ５０ 余篇
