【智能系统】一种多非完整移动机器人分布式编队控制方法

第12卷第1期 智能系统学报 Vol.12 No.1 2017年2月 CAAI Transactions on Intelligent Systems Feb.2017 D0I:10.11992/is.201512021 网络出版地址：http://kns.cmki.net/kcms/detail/23.1538.TP.20170227.2155.018.html 一种多非完整移动机器人分布式编队控制方法 李苗12，刘忠信2，陈增强12 (1.南开大学津南校区计算机与控制工程学院，天津300353；2.天津市智能机器人技术重点实验室，天津300353) 摘要：本文研究了多非完整移动机器人编队控制算法。在该算法中，参考轨迹被视为虚拟领导者，只有部分机器 人可以接收到领导者信息，机器人之间只能进行局部信息交互。利用坐标变换将机器人系统的编队问题转化为变 换后系统的一致性问题，在持续激励的条件下，设计了一种分布式控制算法，通过图论与Lyapunov理论证明了该分 布式控制算法可以使移动机器人队伍指数收敛于期望队形，并使队形的几何中心指数收敛到参考轨迹。最后，数值 仿真验证了该控制算法的有效性。 关键词：非完整移动机器人：编队控制：一致性：分布式控制 中图分类号：TP18文献标志码：A文章编号：1673-4785(2017)01-0088-07 中文引用格式：李苗，刘忠信，陈增强.一种多非完整移动机器人分布式编队控制方法[J].智能系统学报，2017,12(1)：88-94. 英文引用格式：LI Miao,LIU Zhongxin,CHEN Zengqiang..A distributed formation control method for multiple nonholonomic mo- bile robots[J].CAAI transactions on intelligent systems,2017,12(1):88-94. A distributed formation control method for multiple nonholonomic mobile robots LI Miao2,LIU Zhongxin'2,CHEN Zengqiang (1.College of Computer and Control Engineer,Jinnan Campus,Nankai University,Tianjin 300353,China;2.Tianjin Key Laboratory of Intelligent Robotics,Tianjin 300353,China) Abstract:This paper addresses the algorithm of formation control for multiple nonholonomic mobile robots.The ref- erence trajectory was represented by a virtual leader whose states were available to a subset of the following mobile robots and the robots only interacted with each other locally.Coordinate transformation was proposed to convert the formation control problem for multiple nonholonomic mobile robots into a state consensus problem.Under the restric- tion of persistent excitation on reference trajectories,distributed control laws were proposed for achieving the forma- tion control objectives.Using the Lyapunov function and graph theory,rigorous proofs show that the group of mobile robots can exponentially converge to a desired geometric formation pattern and its centroid can move along the refer- ence trajectory.The validity of the proposed control method is verified by numerical simulation. Keywords:nonholonomic mobile robots;formation control;consensus;distributed control 近年来，随着移动机器人技术的发展，多机器人多机器人协调问题，是研究其他协调问题的基础，其 的协调控制受到了越来越多的关注。多移动机器人控制算法主要包括基于行为法)、领航-跟随 通过协作能完成单个机器人不能完成的任务，因此 法2-)、虚拟结构法4和人工势场法等。 在地理勘测、巡逻侦察、安全救援和运输大型货物等 移动机器人存在非完整约束和非线性特性，因 领域具有广阔的应用前景。编队控制是一个典型的 此对机器人的控制更有难度。文献[6]研究了非完 整移动机器人系统的一致性问题，提出了一个线性 收稿日期：2015-12-12.网络出版日期：2017-02-27 基金项日：国家自然科学基金项目(615720.61273138)：天津市自然科学时不变连续状态反馈，使系统状态变量达到了一致。 基金项目(13 CYBJC17400,14 CYBJC18700,14 JCZDJC39300). 文献[7]通过坐标变换将机器人的运动模型变换成 通信作者：刘忠信.E-mail:zhx@nankai.cdu.cm

第 １２ 卷第 １ 期 智 能 系 统 学 报 Ｖｏｌ．１２ №．１ ２０１７ 年 ２ 月 ＣＡＡＩ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｔ Ｓｙｓｔｅｍｓ Ｆｅｂ． ２０１７ ＤＯＩ：１０．１１９９２ ／ ｔｉｓ．２０１５１２０２１ 网络出版地址：ｈｔｔｐ： ／ ／ ｋｎｓ．ｃｎｋｉ．ｎｅｔ ／ ｋｃｍｓ／ ｄｅｔａｉｌ ／ ２３．１５３８．ＴＰ．２０１７０２２７．２１５５．０１８．ｈｔｍｌ 一种多非完整移动机器人分布式编队控制方法 李苗１，２ ，刘忠信１，２ ，陈增强１，２ （１．南开大学津南校区 计算机与控制工程学院，天津 ３００３５３； ２．天津市智能机器人技术重点实验室，天津 ３００３５３） 摘 要：本文研究了多非完整移动机器人编队控制算法。 在该算法中，参考轨迹被视为虚拟领导者，只有部分机器 人可以接收到领导者信息，机器人之间只能进行局部信息交互。 利用坐标变换将机器人系统的编队问题转化为变 换后系统的一致性问题，在持续激励的条件下，设计了一种分布式控制算法，通过图论与 Ｌｙａｐｕｎｏｖ 理论证明了该分 布式控制算法可以使移动机器人队伍指数收敛于期望队形，并使队形的几何中心指数收敛到参考轨迹。 最后，数值 仿真验证了该控制算法的有效性。 关键词：非完整移动机器人；编队控制；一致性；分布式控制 中图分类号： ＴＰ１８ 文献标志码：Ａ 文章编号：１６７３－４７８５（２０１７）０１－００８８－０７ 中文引用格式：李苗，刘忠信，陈增强．一种多非完整移动机器人分布式编队控制方法［Ｊ］． 智能系统学报， ２０１７， １２（１）： ８８－９４． 英文引用格式：ＬＩ Ｍｉａｏ， ＬＩＵ Ｚｈｏｎｇｘｉｎ， ＣＨＥＮ Ｚｅｎｇｑｉａｎｇ． Ａ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｅｄ ｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｃｏｎｔｒｏｌ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ｍｕｌｔｉｐｌｅ ｎｏｎｈｏｌｏｎｏｍｉｃ ｍｏ⁃ ｂｉｌｅ ｒｏｂｏｔｓ［Ｊ］． ＣＡＡＩ ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ ｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｔ ｓｙｓｔｅｍｓ， ２０１７， １２（１）： ８８－９４． Ａ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｅｄ ｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｃｏｎｔｒｏｌ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ｍｕｌｔｉｐｌｅ ｎｏｎｈｏｌｏｎｏｍｉｃ ｍｏｂｉｌｅ ｒｏｂｏｔｓ ＬＩ Ｍｉａｏ １，２ ， ＬＩＵ Ｚｈｏｎｇｘｉｎ １，２ ， ＣＨＥＮ Ｚｅｎｇｑｉａｎｇ １，２ （１． Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｃｏｍｐｕｔｅｒ ａｎｄ Ｃｏｎｔｒｏｌ Ｅｎｇｉｎｅｅｒ， Ｊｉｎｎａｎ Ｃａｍｐｕｓ， Ｎａｎｋａｉ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ， Ｔｉａｎｊｉｎ ３００３５３， Ｃｈｉｎａ； ２． Ｔｉａｎｊｉｎ Ｋｅｙ Ｌａｂｏｒａｔｏｒｙ ｏｆ Ｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｔ Ｒｏｂｏｔｉｃｓ， Ｔｉａｎｊｉｎ ３００３５３， Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ａｄｄｒｅｓｓｅｓ ｔｈｅ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｏｆ ｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｃｏｎｔｒｏｌ ｆｏｒ ｍｕｌｔｉｐｌｅ ｎｏｎｈｏｌｏｎｏｍｉｃ ｍｏｂｉｌｅ ｒｏｂｏｔｓ． Ｔｈｅ ｒｅｆ⁃ ｅｒｅｎｃｅ ｔｒａｊｅｃｔｏｒｙ ｗａｓ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔｅｄ ｂｙ ａ ｖｉｒｔｕａｌ ｌｅａｄｅｒ ｗｈｏｓｅ ｓｔａｔｅｓ ｗｅｒｅ ａｖａｉｌａｂｌｅ ｔｏ ａ ｓｕｂｓｅｔ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｍｏｂｉｌｅ ｒｏｂｏｔｓ ａｎｄ ｔｈｅ ｒｏｂｏｔｓ ｏｎｌｙ ｉｎｔｅｒａｃｔｅｄ ｗｉｔｈ ｅａｃｈ ｏｔｈｅｒ ｌｏｃａｌｌｙ． Ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｗａｓ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ｔｏ ｃｏｎｖｅｒｔ ｔｈｅ ｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｃｏｎｔｒｏｌ ｐｒｏｂｌｅｍ ｆｏｒ ｍｕｌｔｉｐｌｅ ｎｏｎｈｏｌｏｎｏｍｉｃ ｍｏｂｉｌｅ ｒｏｂｏｔｓ ｉｎｔｏ ａ ｓｔａｔｅ ｃｏｎｓｅｎｓｕｓ ｐｒｏｂｌｅｍ． Ｕｎｄｅｒ ｔｈｅ ｒｅｓｔｒｉｃ⁃ ｔｉｏｎ ｏｆ ｐｅｒｓｉｓｔｅｎｔ ｅｘｃｉｔａｔｉｏｎ ｏｎ ｒｅｆｅｒｅｎｃｅ ｔｒａｊｅｃｔｏｒｉｅｓ， ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｅｄ ｃｏｎｔｒｏｌ ｌａｗｓ ｗｅｒｅ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ｆｏｒ ａｃｈｉｅｖｉｎｇ ｔｈｅ ｆｏｒｍａ⁃ ｔｉｏｎ ｃｏｎｔｒｏｌ ｏｂｊｅｃｔｉｖｅｓ． Ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ Ｌｙａｐｕｎｏｖ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ａｎｄ ｇｒａｐｈ ｔｈｅｏｒｙ， ｒｉｇｏｒｏｕｓ ｐｒｏｏｆｓ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｇｒｏｕｐ ｏｆ ｍｏｂｉｌｅ ｒｏｂｏｔｓ ｃａｎ ｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌｌｙ ｃｏｎｖｅｒｇｅ ｔｏ ａ ｄｅｓｉｒｅｄ ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ ｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｐａｔｔｅｒｎ ａｎｄ ｉｔｓ ｃｅｎｔｒｏｉｄ ｃａｎ ｍｏｖｅ ａｌｏｎｇ ｔｈｅ ｒｅｆｅｒ⁃ ｅｎｃｅ ｔｒａｊｅｃｔｏｒｙ． Ｔｈｅ ｖａｌｉｄｉｔｙ ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ｃｏｎｔｒｏｌ ｍｅｔｈｏｄ ｉｓ ｖｅｒｉｆｉｅｄ ｂｙ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｎｏｎｈｏｌｏｎｏｍｉｃ ｍｏｂｉｌｅ ｒｏｂｏｔｓ； ｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｃｏｎｔｒｏｌ； ｃｏｎｓｅｎｓｕｓ； ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｅｄ ｃｏｎｔｒｏｌ 收稿日期：２０１５－１２－１２． 网络出版日期：２０１７－０２－２７． 基金项目：国家自然科学基金项目（６１５７３２００， ６１２７３１３８）；天津市自然科学 基金项目（１３ＪＣＹＢＪＣ１７４００， １４ＪＣＹＢＪＣ１８７００，１４ＪＣＺＤＪＣ３９３００）． 通信作者：刘忠信． Ｅ⁃ｍａｉｌ：ｌｚｈｘ＠ ｎａｎｋａｉ．ｅｄｕ．ｃｎ 近年来，随着移动机器人技术的发展，多机器人 的协调控制受到了越来越多的关注。 多移动机器人 通过协作能完成单个机器人不能完成的任务，因此 在地理勘测、巡逻侦察、安全救援和运输大型货物等 领域具有广阔的应用前景。 编队控制是一个典型的 多机器人协调问题，是研究其他协调问题的基础，其 控制 算 法 主 要 包 括 基 于 行 为 法［１］ 、 领 航⁃跟 随 法［２－３］ 、虚拟结构法［４－８］和人工势场法［５］等。 移动机器人存在非完整约束和非线性特性，因 此对机器人的控制更有难度。 文献［６］研究了非完 整移动机器人系统的一致性问题，提出了一个线性 时不变连续状态反馈，使系统状态变量达到了一致。 文献［７］通过坐标变换将机器人的运动模型变换成

第1期 李苗，等：一种多非完整移动机器人分布式编队控制方法 .89 链式结构，利用反步法设计的轨迹跟踪控制器达到 移动机器人i的线速度和角速度。文中假设非完整 了期望的效果。文献[8]采用一致性算法与虚拟结 约束移动机器人i满足纯滚动无滑动，用公式表示 构法研究了自主水下航行器小尺度编队控制问题， 为y:cos0:-x:sin0=0。 设计的跟踪控制律使AUV在有限时间内实现了对 参考轨迹的跟踪。文献[9]将虚拟结构法和反步法 相结合，提出的非线性控制算法解决了机器人编队 问题，但该算法要求机器人速度不能为0。 随着多智能体协同控制理论的发展，它的控制 策略已经被应用在多非完整移动机器人编队控制 中。文献[10]研究了离散模型的多智能体领航跟 随编队控制算法，在该算法中，通过引入基于邻居的 局部控制律以及基于邻居的状态估计规则设计了一 图1移动机器人示意图 种新型控制器，经过理论分析，给出了固定拓扑和切 Fig.I The sketch of mobile robot 换拓扑时系统稳定编队的充分条件。文献[11]在 每个移动机器人都知道参考轨迹信息的条件下，提 图论可以清晰完整地模拟移动机器人之间的连 出了一个移动机器人编队控制器。在持续激励的条 接关系，本文利用无向图来描述多移动机器人之间 件下，文献[12-13]利用非自治系统的级联控制方 的通信关系。令G=(V,E)表示一个无向图，V= 法和线性智能体的协同控制方法，将非完整约束多 {,2,…,n}表示由n个节点构成的节点集，ECVXV 个体系统的控制问题转化为多个线性时变系统的控 表示边的集合。如果(：，)∈E,则表示机器人i与 制问题，文中的控制律可以实现系统K指数稳定的 机器人了可以接收到彼此的信息。 跟踪控制。文献[14]提出了一种新坐标变换，将移 无向图G的邻接矩阵为A=[a:]eR“,其中 动机器人编队问题转化为状态变量实现一致的问 a表示(：，y)连接权重，即 题，设计的分布式控制律可以使系统指数收敛于期 1, a(t)= （:,）∈E,i≠j 望轨迹，但是每个机器人个体都要知道参考轨迹的 0. 其他 角速度。 在无向图中，(，号)∈E,则(，：)∈E,且ag= 在上述工作的基础上，本文进一步研究了非完 a,ij。如果(，y)∈E,那么是，的邻居顶 整移动机器人编队控制问题。文中通过引入坐标变 点。我们定义顶点：的邻居点集合为N=∈V: 换公式，将机器人编队问题转化为一致性问题。在 (:,y)∈E,i≠。 持续激励条件下，利用邻居信息设计了分布式控制 无向图G的度矩阵为D=diag(d1,d2,…,dn）, 协议，然后用图论和Lyapunov方法，在理论上证明 那么图G的拉普拉斯(Laplacian)矩阵为L=D-A。 了该控制协议的正确性。最后，文中通过MATLAB 假设n个移动机器人形成编队队形牙，(P, 仿真来验证该控制算法的可行性。不同于文献 Po,)为编队队形的几何中心，(PP)表示机器人 [12,14],本文把参考轨迹视为虚拟领导者，它的状 i相对于队形穿几何中心的期望位置矢量，即 态信息只有部分跟随者能接收到。与文献[11]相 ,二Poy (2) 比，考虑机器人之间只能进行局部信息交互，利用图 n 论和Lyapunov方法设计的分布式控制律，可以保证 为了计算简单，不失一般性，我们假设P.=0, 整个机器人队伍指数收敛于指定队形，并且队形几 P0,=0。 何中心收敛到参考轨迹。 整个机器人队伍的参考轨迹T的运动学模型为 1 问题的提出 [xo =vocos 0o yo="osin8。 (3) 考虑个非完整约束移动机器人组成的系统，系 统中的每个机器人具有相同的结构，有两个驱动轮和 0=o 一个自由轮，如图1所示。用0={1,2，…，n}表示移动 式中：o、wo为已知时变函数。在实际应用中，机器 机器人序列，移动机器人i的运动学表达式为 人群体完成特定任务时，只有一个或者几个移动机 器人知道任务的信息，其他机器人个体需要通过与 x:=v.cos 0 邻居的信息交互，才能完成特定的任务。因此为了 yi=visin 0 (1) 符合实际，本文将参考轨迹T视为虚拟领导者0的 8=w 运动轨迹，假设参考轨迹的信息并不是全局已知的， 式中：x,y:分别表示移动机器人i的笛卡尔坐标：0 采用牵制控制的思想，来实现多机器人编队控制。 为其航向角，即前进方向与X轴夹角；，w:分别为 移动机器人i与虚拟领导者0之间的通信关系用对

链式结构，利用反步法设计的轨迹跟踪控制器达到 了期望的效果。 文献［８］采用一致性算法与虚拟结 构法研究了自主水下航行器小尺度编队控制问题， 设计的跟踪控制律使 ＡＵＶ 在有限时间内实现了对 参考轨迹的跟踪。 文献［９］将虚拟结构法和反步法 相结合，提出的非线性控制算法解决了机器人编队 问题，但该算法要求机器人速度不能为 ０。 随着多智能体协同控制理论的发展，它的控制 策略已经被应用在多非完整移动机器人编队控制 中。 文献［１０］研究了离散模型的多智能体领航跟 随编队控制算法，在该算法中，通过引入基于邻居的 局部控制律以及基于邻居的状态估计规则设计了一 种新型控制器，经过理论分析，给出了固定拓扑和切 换拓扑时系统稳定编队的充分条件。 文献［１１］ 在 每个移动机器人都知道参考轨迹信息的条件下，提 出了一个移动机器人编队控制器。 在持续激励的条 件下，文献［１２－１３］利用非自治系统的级联控制方 法和线性智能体的协同控制方法，将非完整约束多 个体系统的控制问题转化为多个线性时变系统的控 制问题，文中的控制律可以实现系统 Ｋ⁃指数稳定的 跟踪控制。 文献［１４］提出了一种新坐标变换，将移 动机器人编队问题转化为状态变量实现一致的问 题，设计的分布式控制律可以使系统指数收敛于期 望轨迹，但是每个机器人个体都要知道参考轨迹的 角速度。 在上述工作的基础上，本文进一步研究了非完 整移动机器人编队控制问题。 文中通过引入坐标变 换公式，将机器人编队问题转化为一致性问题。 在 持续激励条件下，利用邻居信息设计了分布式控制 协议，然后用图论和 Ｌｙａｐｕｎｏｖ 方法，在理论上证明 了该控制协议的正确性。 最后，文中通过 ＭＡＴＬＡＢ 仿真来验证该控制算法的可行性。 不同于文献 ［１２，１４］，本文把参考轨迹视为虚拟领导者，它的状 态信息只有部分跟随者能接收到。 与文献［１１］ 相 比，考虑机器人之间只能进行局部信息交互，利用图 论和 Ｌｙａｐｕｎｏｖ 方法设计的分布式控制律，可以保证 整个机器人队伍指数收敛于指定队形，并且队形几 何中心收敛到参考轨迹。 １ 问题的提出 考虑 ｎ 个非完整约束移动机器人组成的系统，系 统中的每个机器人具有相同的结构，有两个驱动轮和 一个自由轮，如图 １ 所示。 用 θ＝｛１，２，…，ｎ｝表示移动 机器人序列，移动机器人 ｉ 的运动学表达式为 ｘ · ｉ ＝ ｖｉ ｃｏｓ θｉ ｙ · ｉ ＝ ｖｉ ｓｉｎ θｉ θ · ｉ ＝ ωｉ ì î í ï ï ï ï （１） 式中：ｘｉ，ｙｉ 分别表示移动机器人 ｉ 的笛卡尔坐标；θｉ 为其航向角，即前进方向与 Ｘ 轴夹角；ｖｉ，ωｉ 分别为 移动机器人 ｉ 的线速度和角速度。 文中假设非完整 约束移动机器人 ｉ 满足纯滚动无滑动，用公式表示 为 ｙ · ｉ ｃｏｓ θｉ －ｘ · ｉ ｓｉｎ θｉ ＝ ０。 图 １ 移动机器人示意图 Ｆｉｇ．１ Ｔｈｅ ｓｋｅｔｃｈ ｏｆ ｍｏｂｉｌｅ ｒｏｂｏｔ 图论可以清晰完整地模拟移动机器人之间的连 接关系，本文利用无向图来描述多移动机器人之间 的通信关系。 令 Ｇ ＝ （ Ｖ，Ｅ） 表示一个无向图，Ｖ ＝ ｛ｖ１，ｖ２，…，ｖｎ ｝表示由 ｎ 个节点构成的节点集，Ｅ⊆Ｖ×Ｖ 表示边的集合。 如果（ｖｉ，ｖｊ）∈Ｅ，则表示机器人 ｉ 与 机器人 ｊ 可以接收到彼此的信息。 无向图 Ｇ 的邻接矩阵为 Ａ ＝ ［ ａｉｊ ］ ∈Ｒ ｎ×ｎ ，其中 ａｉｊ表示（ｖｉ，ｖｊ）连接权重，即 ａｉｊ（ｔ） ＝ １， （ｖｉ，ｖｊ） ∈ Ｅ，ｉ ≠ ｊ {０， 其他 在无向图中，（ｖｉ，ｖｊ）∈Ｅ，则（ｖｊ，ｖｉ）∈Ｅ，且 ａｉｊ ＝ ａｊｉ，∀ｉ≠ｊ。 如果（ｖｉ，ｖｊ）∈Ｅ，那么 ｖｊ 是 ｖｉ 的邻居顶 点。 我们定义顶点 ｖｉ 的邻居点集合为 Ｎｉ ＝ ｛ ｊ∈Ｖ： （ｖｉ，ｖｊ）∈Ｅ，∀ｉ≠ｊ｝。 无向图 Ｇ 的度矩阵为 Ｄ ＝ ｄｉａｇ（ ｄ１ ，ｄ２ ，…，ｄｎ ）， 那么图 Ｇ 的拉普拉斯（Ｌａｐｌａｃｉａｎ）矩阵为 Ｌ ＝Ｄ－Ａ。 假设 ｎ 个移动机器人形成编队队形 Ｆ，（ ｐ０ｘ， ｐ０ｙ）为编队队形 Ｆ 的几何中心，（ｐｉｘ，ｐｉｙ）表示机器人 ｉ 相对于队形 Ｆ 几何中心的期望位置矢量，即 ∑ ｎ ｉ ＝ １ ｐｉｘ ｎ ＝ ｐ０ｘ， ∑ ｎ ｉ ＝ １ ｐｉｙ ｎ ＝ ｐ０ｙ （２） 为了计算简单，不失一般性，我们假设 ｐ０ｘ ＝ ０， ｐ０ｙ ＝ ０。 整个机器人队伍的参考轨迹 Ｔ 的运动学模型为 ｘ · ０ ＝ ｖ０ ｃｏｓ θ０ ｙ · ０ ＝ ｖ０ ｓｉｎ θ０ θ · ０ ＝ ω０ ì î í ï ï ï ï （３） 式中：ｖ０ 、ω０ 为已知时变函数。 在实际应用中，机器 人群体完成特定任务时，只有一个或者几个移动机 器人知道任务的信息，其他机器人个体需要通过与 邻居的信息交互，才能完成特定的任务。 因此为了 符合实际，本文将参考轨迹 Ｔ 视为虚拟领导者 ０ 的 运动轨迹，假设参考轨迹的信息并不是全局已知的， 采用牵制控制的思想，来实现多机器人编队控制。 移动机器人 ｉ 与虚拟领导者 ０ 之间的通信关系用对 第 １ 期 李苗，等：一种多非完整移动机器人分布式编队控制方法 ·８９·

·90. 智能系统学报 第12卷 角矩阵B=diag(b,b2,…,bn)来表示。如果机器 同时，控制输入的变换方程为 人能获得虚拟领导者0的信息，则对角元素b,=1, (0:=u1i 否则b:=0。 (9) :=山2：+(1+k)u1x数 分布式编队控制的目标是基于邻居和自己的 通过上述变换，机器人运动学模型变为 状态信息，为每个机器人设计控制器，使整个机器人 队伍形成编队队形了，同时几何中心实现对虚拟领 (%u un 导者0的轨迹跟踪，即设计的控制器满足式 =u2i+kolunx2i (10) (4)-(7): x数=u1x2x-kou1:x3 「x(t)-x(t) 0 ≤i,j≤n,i≠ji 式中：0≤i≤n;k>0;x:,xx,x表示系统坐标变换后 的状态量；山1：，u2x表示系统坐标变换后控制输入。 (4) 通过上面的坐标变换式(8)，多移动机器人编 lim(0:-0）=0,0≤i≤n (5) 队问题转化为新状态变量x:,xx,x:实现一致的问 (6) 题。采用误差控制策略，定义变换后的状态误差为 n -xo(t)=0 =x1i-%10 n-()=0 (7) x2=x2i-X20 (11) 在介绍分布式控制算法之前，先给出本文的一 元=X3i一x30 些符号表示和多机器人系统满足的两个假设，以及 对式(11)求导可得 后面证明所需要用到的两个重要引理。 本文约定如下：1代表单位矩阵：1n=[11…1]T∈ 元h=山：-L0 (12) R”;入(·)和入mm(·)分别表示矩阵的最小特征值和 t2=山+klu:xg-x0 (13) 最大特征值；向量x的2-范数为‖x‖z,1-范数为 ‖x‖1；矩阵A的F-范数为‖AIp;当x= 元3=L1rx2:-kou1:x3数-u1ox20+kou10x0 [x1x2…xn],sign(x)=[sign(x1)…sigm(xn)],其 (14) 中，当x:≠0时，sigm(x)△x,/|x::当x=0时， 为了解决多机器人编队问题，把状态误差系 sig(x:)=0。 统式(12)~(14)分解为一个一阶子系统和一个 假设12-】仙。是持续激励信号，即存在正常 二阶子系统，其中一阶子系统的运动学方程为式 数α1、a2和δ，使得对于所有的t>0,满足 (12),二阶子系统的运动学方程为式(13)和式 +6 al≤，w(r)w(r)dr≤a,l (14)。考虑只有部分机器人与虚拟领导者0有 信息交互，设计山1：，使得一阶子系统式(12)在有 假设2图G是无向连通的，至少存在一个移 动机器人和虚拟领导者0是直接连通的，且这种连 限时间内收敛于0；设计山2：，使得二阶子系统式 通是单向的。 (13)和式(14)指数收敛于0。构造如下的分布 引理1]如果实数矩阵A∈R正定对称， 式控制律： 那么对于任意向量x∈R”都满足下面条件 aguy +bup) Amin(A)x'x≤x'Ax≤Am（A)x'x ∑4+b （-k6,-kig(e)+∑ 引理216对于矩阵B=diag(b1,b2,…,bn)> 0,如果无向图G连通，那么矩阵L+B是正定的。 (15) u2i=-k382i-kasign(82)-ko uuilx2i-uu83 2分布式控制算法 (16) 2.1控制器的设计 式中：1≤i≤n;k1,k2,k3≥0，ka≥K|x0;|x2o≤K; 为了便于控制器的设计，我们将移动机器人的 运动学模型进行坐标变换，使用如下的坐标变 )tb(x)6-() 换[1]： b(x-t0）8=ax-y)+b,(x-x0)。 x6=0: 根据控制律式(15)和式(16)，以机器人1为 xx=（x:-Pa)cos0:+（y:-Pr)sin0+ 例，控制算法的原理框图如图2所示。它由两部分 (8) kosign(ua）x3 组成，一部分为机器人坐标变换i∈日，另一部分为分 x3=(x:-p)sin :-(y:-Pi cos 0 布式控制器

角矩阵 Ｂ ＝ ｄｉａｇ （ ｂ１ ，ｂ２ ，…，ｂｎ ） 来表示。 如果机器 人 ｉ能获得虚拟领导者 ０ 的信息，则对角元素 ｂｉ ＝ １， 否则 ｂｉ ＝ ０。 分布式编队控制的目标是基于邻居和自己的 状态信息，为每个机器人设计控制器，使整个机器人 队伍形成编队队形 Ｆ，同时几何中心实现对虚拟领 导者 ０ 的 轨 迹 跟 踪， 即 设 计 的 控 制 器 满 足 式 （４） ～ （７）： ｌｉｍ ｔ→¥ ｘｉ（ｔ） － ｘｊ（ｔ） ｙｉ（ｔ） － ｙｊ（ｔ） é ë ê ê ù û ú ú ＝ ｐｉｘ － ｐｊｘ ｐｉｙ － ｐｊｙ é ë ê ê ù û ú ú ，０ ≤ ｉ，ｊ ≤ ｎ，ｉ ≠ ｊ （４） ｌｉｍ ｔ→¥ （θｉ － θ０ ） ＝ ０，０ ≤ ｉ ≤ ｎ （５） ｌｉｍ ｔ→¥ ∑ ｎ ｉ ＝ １ ｘｉ（ｔ） ｎ － ｘ０（ｔ） æ è ç ö ø ÷ ＝ ０ （６） ｌｉｍ ｔ→¥ ∑ ｎ ｉ ＝ １ ｙｉ（ｔ） ｎ － ｙ０（ｔ） æ è ç ö ø ÷ ＝ ０ （７） 在介绍分布式控制算法之前，先给出本文的一 些符号表示和多机器人系统满足的两个假设，以及 后面证明所需要用到的两个重要引理。 本文约定如下：Ｉ 代表单位矩阵； １ｎ ＝ [１ １ … １] Ｔ∈ Ｒ ｎ ；λｍｉｎ（·）和 λｍａｘ（·）分别表示矩阵的最小特征值和 最大特征值；向量 ｘ 的 ２⁃范数为‖ｘ‖２，１ －范数为 ‖ｘ‖１； 矩 阵 Ａ 的 Ｆ － 范 数 为 ‖Ａ‖Ｆ； 当 ｘ ＝ ［ｘ１ ｘ２… ｘｎ］ Ｔ ，ｓｉｇｎ（ｘ）＝ ［ｓｉｇｎ（ｘ１ ） … ｓｉｇｎ（ｘｎ ）］ Ｔ ，其 中，当 ｘｉ ≠ ０ 时， ｓｉｇｎ（ｘｉ）􀰛 ｘｉ ／ ｘｉ ； 当 ｘｉ ＝ ０ 时， ｓｉｇｎ（ｘｉ）＝ ０。 假设 １ ［１２－１３］ ω０ 是持续激励信号，即存在正常 数 α１ 、α２ 和 δ，使得对于所有的 ｔ＞０，满足 α１ Ｉ ≤ ∫ ｔ＋δ ｔ ω０（τ）ω Ｔ ０（τ）ｄτ ≤ α２ Ｉ 假设 ２ 图 Ｇ 是无向连通的，至少存在一个移 动机器人和虚拟领导者 ０ 是直接连通的，且这种连 通是单向的。 引理 １ ［１５］ 如果实数矩阵 Ａ∈Ｒ ｎ×ｎ正定对称， 那么对于任意向量 ｘ∈Ｒ ｎ 都满足下面条件 λｍｉｎ（Ａ）ｘ Ｔ ｘ ≤ ｘ ＴＡｘ ≤ λｍａｘ（Ａ）ｘ Ｔ ｘ 引理 ２ ［１６］ 对于矩阵 Ｂ ＝ ｄｉａｇ（ ｂ１ ，ｂ２ ，…，ｂｎ ） ＞ ０，如果无向图 Ｇ 连通，那么矩阵 Ｌ＋Ｂ 是正定的。 ２ 分布式控制算法 ２．１ 控制器的设计 为了便于控制器的设计，我们将移动机器人的 运动学 模 型 进 行 坐 标 变 换， 使 用 如 下 的 坐 标 变 换［１３］ ： ｘ１ｉ ＝ θｉ ｘ２ｉ ＝ （ｘｉ － ｐｉｘ）ｃｏｓ θｉ ＋ （ｙｉ － ｐｉｙ）ｓｉｎ θｉ ＋ ｋ０ ｓｉｇｎ（ｕ１ｉ）ｘ３ｉ ｘ３ｉ ＝ （ｘｉ － ｐｉｘ）ｓｉｎ θｉ － （ｙｉ － ｐｉｙ）ｃｏｓ θｉ ì î í ï ïï ï ïï （８） 同时，控制输入的变换方程为 ωｉ ＝ ｕ１ｉ ｖｉ ＝ ｕ２ｉ ＋ （１ ＋ ｋ ２ ０ ）ｕ１ｉ ｘ３ｉ { （９） 通过上述变换，机器人 ｉ 运动学模型变为 ｘ · １ｉ ＝ ｕ１ｉ ｘ · ２ｉ ＝ ｕ２ｉ ＋ ｋ０ ｕ１ｉ ｘ２ｉ ｘ · ３ｉ ＝ ｕ１ｉ ｘ２ｉ － ｋ０ ｕ１ｉ ｘ３ｉ ì î í ï ï ï ï （１０） 式中：０≤ｉ≤ｎ；ｋ０＞０；ｘ１ｉ，ｘ２ｉ，ｘ３ｉ表示系统坐标变换后 的状态量；ｕ１ｉ， ｕ２ｉ表示系统坐标变换后控制输入。 通过上面的坐标变换式（８），多移动机器人编 队问题转化为新状态变量 ｘ１ｉ，ｘ２ｉ，ｘ３ｉ实现一致的问 题。 采用误差控制策略，定义变换后的状态误差为 ｘ ～ １ｉ ＝ ｘ１ｉ － ｘ１０ ｘ ～ ２ｉ ＝ ｘ２ｉ － ｘ２０ ｘ ～ ３ｉ ＝ ｘ３ｉ － ｘ３０ ì î í ï ï ï ï （１１） 对式（１１）求导可得 ｘ ·～ １ｉ ＝ ｕ１ｉ － ｕ１０ （１２） ｘ ·～ ２ｉ ＝ ｕ２ｉ ＋ ｋ０ ｕ１ｉ ｘ２ｉ － ｘ · ２０ （１３） ｘ ·～ ３ｉ ＝ ｕ１ｉ ｘ２ｉ － ｋ０ ｕ１ｉ ｘ３ｉ － ｕ１０ ｘ２０ ＋ ｋ０ ｕ１０ ｘ３０ （１４） 为了解决多机器人编队问题，把状态误差系 统式（ １２） ～ （ １４）分解为一个一阶子系统和一个 二阶子系统，其中一阶子系统的运动学方程为式 （ １２） ，二阶子系统的运动学方程为式（ １３） 和式 （ １４） 。 考虑只有部分机器人与虚拟领导者 ０ 有 信息交互，设计 ｕ１ｉ，使得一阶子系统式（ １２） 在有 限时间内收敛于 ０；设计 ｕ２ｉ，使得二阶子系统式 （ １３）和式（ １４） 指数收敛于 ０。 构造如下的分布 式控制律： ｕ１ｉ ＝ １ ∑ ｊ∈Ｎｉ ａｉｊ ＋ ｂｉ （－ ｋ１ε１ｉ － ｋ２ ｓｉｇｎ（ε１ｉ） ＋∑ Ｎ ｊ ＝１ ａｉｊｕ１ｊ ＋ ｂｉｕ１０） （１５） ｕ２ｉ ＝ － ｋ３ε２ｉ － ｋ４ ｓｉｇｎ ε２ｉ ( ) － ｋ０ ｕ１ｉ ｘ２ｉ － ｕ１ｉε３ｉ （１６） 式中：１≤ｉ≤ｎ；ｋ１ ，ｋ２ ，ｋ３≥０，ｋ４≥κ ｘ · ２０ ； ｘ · ２０ ≤κ； ε１ｉ ＝ ∑ ｊ∈Ｎｉ ａｉｊ（ｘ１ｉ －ｘ１ｊ）＋ｂｉ（ｘ１ｉ －ｘ１０ ）；ε２ｉ ＝ ∑ ｊ∈Ｎｉ ａｉｊ（ｘ２ｉ －ｘ２ｊ） ＋ ｂｉ（ｘ２ｉ －ｘ２０ ）；ε３ｉ ＝ ∑ ｊ∈Ｎｉ ａｉｊ（ｘ３ｉ －ｘ３ｊ）＋ｂｉ（ｘ３ｉ －ｘ３０ ）。 根据控制律式（１５） 和式（１６），以机器人 １ 为 例，控制算法的原理框图如图 ２ 所示。 它由两部分 组成，一部分为机器人坐标变换 ｉ∈θ，另一部分为分 布式控制器。 ·９０· 智 能 系 统 学 报 第 １２ 卷

第1期 李苗，等：一种多非完整移动机器人分布式编队控制方法 .91. 机器人坐标变换（∈） 求解上述微分不等式可得：当0≤t≤T时， 坐标变换 机器人i 新状态变量 2k入m(L+B)√(O)+k2A(L+B) 式(8 系统1 √何s V2k入m(L+B) x,y,8,v,0) (x,x,x,“ exp(kt)-- k,入(L+B) √2k,入(L+B) 新状态变量 (x1x21x1） 当t≥T1时，V(x)=0。因为L+B>0,由V,和 系统1 x,.定义可得x:=xo(1≤i≤n),此时有山：=u1o(1≤ 机器人1的邻居(k1∈N,) i≤n)。 (4新状态变量不x 分布 收敛时间T,依赖于初始值V(0),满足下式： 系统k 式控 (u142 制器 T=n1k(L+B)V() 41 k2入n(L+B) (4k,4新状态变量 x…x2x2 定理1证毕。 系统1 从定理1中山：的收敛时间T,表达式可以看 图2移动机器人1控制原理框图 出，k2影响一阶子系统的收敛速度，k2越大，收敛速 Fig.2 The control principle block diagram of mobile robot 1 度越快。但是k2越大，由于sgn(·)函数不连续所 2.2稳定性分析 造成的抖振现象对系统稳定性影响越大，所以，选择 对于一阶子系统式(12)，考虑分布式控制律式 k,时，需要综合考虑控制精度、收敛速度等方面影 (15),将式(10)中元1：=u1:代入式(15)，整理可得 响。二阶子系统表达式(13)和式(14)中存在变量 6u=-k16u-kasign(8u) (17) 山：，所以一阶子系统的动态特性会影响二阶子系统 令x1.=[x1…x1m]T,x1.=x1.-1x1o,把式(17)整 的动态特性，但是一阶子系统式(12)稳定性并不受 理成矩阵形式，那么就得到了一阶子系统式(12)所 二阶子系统中变量的影响。由定理1可知，在控制 对应的闭环系统的表达式： 律式(15)的作用下，x:,“:在有限时间T,内收敛于 xo,40。所以下面我们只考虑二阶子系统式(13)和 x1.=-k1·-k2(L+B)sigm[(L+B)x1.](18) 式(14)。 定理1系统满足假设1和假设2，则分布式控 令x2=[x21xn…x2],xg=[x1x2xn] 制律式(15)能使系统式(18)在有限时间内收敛于 u1·=diag(u1,u12,,uin） 0,即im(x:(t)-xo(t))=0。收敛时间T1满足 lu.=diag(unl,lun2l,.u) 1 1+ 2k,A(L+B)√T(O) x2=x2:-1nx20,x3=x3:-1nx30 k2入mn(L+B) y=(u1.-uol)1x20-ko(u1.-luoI)1 x3 式中，(0)=2环.(0)(L+8).(0)。 基于分布式控制协议式(16)，二阶子系统式(13) 和式(14)闭环特性可以表示为下面的矩阵形式： 证明针对系统式(18)，构造如下的Lyapunov函数： .=-k3(L+B).-kasign [(L+B)]- 6=(L+B) u1.(L+B)x3:-1nx20 根据引理1，可得到 x3.=-kou1,e3.+u1.x2,+y（19) L+®)I≤≤ 定理2系统满足假设1和假设2，则控制律式 (18)能使式(19)描述的二阶子系统指数收敛于0， 2(L+B)II日 即lim(x2(t)-xo(t)=0,lim(x(t)-x0(t))=0。 2 证明由定理1可知，当t>T1时，山：(1≤i≤n) 对V,求导可得 收敛到山o,下面分两步来证明定理2。 ,=.(L+B)1=-k.(L+B)2x1- 1)证明当t≤T1时，x2.和x3·是有界的。 对闭环系统式(19)构造的Lyapunov函数为 k,x.(L+B)sigm[(L+B)x1·]≤ -k.(L+B)2x1·-k2I.(L+B)I≤ 5=品(L+)++)运 -2k,V,-k2Amm(L+B)‖1-l2≤ (20) 根据引理1可以得到 -265- √2k2入(L+B) A(L+B) 片≥认亿+)压+足亿+周)医.l1≥

图 ２ 移动机器人 １ 控制原理框图 Ｆｉｇ．２ Ｔｈｅ ｃｏｎｔｒｏｌ ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ ｂｌｏｃｋ ｄｉａｇｒａｍ ｏｆ ｍｏｂｉｌｅ ｒｏｂｏｔ １ ２．２ 稳定性分析 对于一阶子系统式（１２），考虑分布式控制律式 （１５），将式（１０）中 ｘ · １ｉ ＝ ｕ１ｉ代入式（１５），整理可得 ε · １ｉ ＝ － ｋ１ε１ｉ － ｋ２ ｓｉｇｎ（ε１ｉ） （１７） 令 ｘ１∗ ＝ ［ｘ１１… ｘ１ｎ ］ Ｔ ，ｘ ～ １∗ ＝ ｘ１∗ －１ｎ ｘ１０ ，把式（１７） 整 理成矩阵形式，那么就得到了一阶子系统式（１２）所 对应的闭环系统的表达式： ｘ ·～ １∗ ＝ － ｋ１ｘ ～ １∗ － ｋ２ （Ｌ ＋ Ｂ） －１ ｓｉｇｎ［（Ｌ ＋ Ｂ）ｘ ～ １∗］ （１８） 定理 １ 系统满足假设 １ 和假设 ２，则分布式控 制律式（１５）能使系统式（１８）在有限时间内收敛于 ０，即ｌｉｍ ｔ→Ｔ１ （ｘ１ｉ（ｔ）－ｘ１０（ｔ））＝ ０。 收敛时间 Ｔ１ 满足 Ｔ１ ＝ １ ｋ１ ｌｎ １ ＋ ２ ｋ１λｍａｘ（Ｌ ＋ Ｂ） Ｖ１ (０) ｋ２λｍｉｎ（Ｌ ＋ Ｂ） æ è ç ö ø ÷ 式中，Ｖ１（０）＝ １ ２ ｘ ～ Ｔ １∗（０）（Ｌ＋Ｂ） ２ ｘ ～ １∗（０）。 证明 针对系统式（１８），构造如下的Ｌｙａｐｕｎｏｖ 函数： Ｖ１ ＝ １ ２ ｘ ～ Ｔ １∗ （Ｌ ＋ Ｂ） ２ ｘ ～ １∗ 根据引理 １，可得到 １ ２ λ ２ ｍｉｎ（Ｌ ＋ Ｂ） ‖ｘ ～ １∗‖２ ２ ≤ Ｖ１ ≤ １ ２ λ ２ ｍａｘ（Ｌ ＋ Ｂ） ‖ｘ ～ １∗‖２ ２ 对 Ｖ１ 求导可得 Ｖ · １ ＝ ｘ ～ Ｔ １∗ （Ｌ ＋ Ｂ） ２ ｘ ·～ １∗ ＝ － ｋ１ ｘ ～ Ｔ １∗ （Ｌ ＋ Ｂ） ２ ｘ ～ １∗－ ｋ２ ｘ ～ Ｔ １∗（Ｌ ＋ Ｂ）ｓｉｇｎ［（Ｌ ＋ Ｂ） ｘ ～ １∗ ］ ≤ － ｋ１ ｘ ～ Ｔ １∗ （Ｌ ＋ Ｂ） ２ ｘ ～ １∗ － ｋ２ ‖ｘ ～ Ｔ １∗（Ｌ ＋ Ｂ）‖１≤ － ２ｋ１Ｖ１ － ｋ２λｍｉｎ（Ｌ ＋ Ｂ） ‖ｘ ～ １∗‖２≤ － ２ｋ１Ｖ１ － ２ ｋ２λｍｉｎ（Ｌ ＋ Ｂ） λｍａｘ（Ｌ ＋ Ｂ） Ｖ１ 求解上述微分不等式可得：当 ０≤ｔ≤Ｔ１ 时， Ｖ１ ≤ ２ｋ１λｍａｘ（Ｌ ＋ Ｂ） Ｖ１ (０) ＋ ｋ２λｍｉｎ（Ｌ ＋ Ｂ） ２ｋ１λｍａｘ（Ｌ ＋ Ｂ） × ｅｘｐ（ － ｋ１ ｔ） － ｋ２λｍｉｎ（Ｌ ＋ Ｂ） ２ ｋ１λｍａｘ（Ｌ ＋ Ｂ） 当 ｔ≥Ｔ１ 时，Ｖ１（ｘ）＝ ０。 因为 Ｌ＋Ｂ＞０，由 Ｖ１ 和 ｘ ～ １∗ 定义可得 ｘ１ｉ ＝ ｘ１０（１≤ｉ≤ｎ），此时有 ｕ１ｉ ＝ ｕ１０（１≤ ｉ≤ｎ）。 收敛时间 Ｔ１ 依赖于初始值 Ｖ１（０），满足下式： Ｔ１ ＝ １ ｋ１ ｌｎ １ ＋ ２ ｋ１λｍａｘ（Ｌ ＋ Ｂ） Ｖ１ (０) ｋ２λｍｉｎ（Ｌ ＋ Ｂ） é ë ê ê ù û ú ú 定理 １ 证毕。 从定理 １ 中 ｕ１ｉ 的收敛时间 Ｔ１ 表达式可以看 出，ｋ２ 影响一阶子系统的收敛速度，ｋ２ 越大，收敛速 度越快。 但是 ｋ２ 越大，由于 ｓｉｇｎ（·）函数不连续所 造成的抖振现象对系统稳定性影响越大，所以，选择 ｋ２ 时，需要综合考虑控制精度、收敛速度等方面影 响。 二阶子系统表达式（１３）和式（１４）中存在变量 ｕ１ｉ，所以一阶子系统的动态特性会影响二阶子系统 的动态特性，但是一阶子系统式（１２）稳定性并不受 二阶子系统中变量的影响。 由定理 １ 可知，在控制 律式（１５）的作用下，ｘ１ｉ，ｕ１ｉ在有限时间 Ｔ１ 内收敛于 ｘ１０ ，ｕ１０ 。 所以下面我们只考虑二阶子系统式（１３）和 式（１４）。 令 ｘ２∗ ＝ ｘ２１ ｘ２２… ｘ２ｎ [ ] Ｔ ，ｘ３∗ ＝ ｘ３１ ｘ３２…ｘ３ｎ [ ] Ｔ ｕ１∗ ＝ ｄｉａｇ（ｕ１１ ，ｕ１２ ，…，ｕ１ｎ ） ｕ１∗ ＝ ｄｉａｇ（ ｕ１１ ， ｕ１２ ，…， ｕ１ｎ ） ｘ ～ ２∗ ＝ ｘ２∗ － １ｎ ｘ２０ ，ｘ ～ ３∗ ＝ ｘ３∗ － １ｎ ｘ３０ ｙ ＝ （ｕ１∗ － ｕ１０ Ｉ）１ｎ ｘ２０ － ｋ０（ ｕ１∗ － ｕ１０ Ｉ）１ｎ ｘ３０ 基于分布式控制协议式（１６），二阶子系统式（１３） 和式（１４）闭环特性可以表示为下面的矩阵形式： ｘ ·～ ２∗ ＝ － ｋ３（Ｌ ＋ Ｂ） ｘ ～ ２∗ － ｋ４ ｓｉｇｎ （Ｌ ＋ Ｂ） ｘ ～ [ ２∗ ] － ｕ１∗（Ｌ ＋ Ｂ） ｘ ～ ３∗ － １ｎ ｘ · ２０ ｘ ～ · ３∗ ＝ － ｋ０ ｕ１∗ ｘ ～ ３∗ ＋ ｕ１∗ ｘ ～ ２∗ ＋ ｙ （１９） 定理 ２ 系统满足假设 １ 和假设 ２，则控制律式 （１８）能使式（１９）描述的二阶子系统指数收敛于 ０， 即ｌｉｍ ｔ→¥ ｘ２ｉ（ｔ）－ｘ ( ２０（ｔ） ) ＝ ０，ｌｉｍ ｔ→¥ ｘ３ｉ（ｔ）－ｘ ( ３０（ｔ） ) ＝ ０。 证明 由定理 １ 可知，当 ｔ＞Ｔ１ 时，ｕ１ｉ（１≤ｉ≤ｎ） 收敛到 ｕ１０ ，下面分两步来证明定理 ２。 １）证明当 ｔ≤Ｔ１ 时，ｘ ～ ２∗ 和 ｘ ～ ３∗ 是有界的。 对闭环系统式（１９）构造的 Ｌｙａｐｕｎｏｖ 函数为 Ｖ２ ＝ １ ２ ｘ ～ Ｔ ２∗（Ｌ ＋ Ｂ） ｘ ～ ２∗ ＋ １ ２ ｘ ～ Ｔ ３∗ （Ｌ ＋ Ｂ） ２ ｘ ～ ３∗ （２０） 根据引理 １ 可以得到 Ｖ２ ≥ １ ２ λｍｉｎ（Ｌ ＋Ｂ） ‖ｘ ～ ２∗‖２ ２ ＋ λ ２ ｍｉｎ（Ｌ ＋Ｂ） ‖ｘ ～ ３∗‖２ ２ [ ] ≥ 第 １ 期 李苗，等：一种多非完整移动机器人分布式编队控制方法 ·９１·

·92· 智能系统学报 第12卷 (1l+1王l》≥aIkl, 根据定理1，当>T时，4：=uo,x:=x0,则二阶 子系统闭环表达式(19)化简为 (21) (2.=-k(L+B)2.-kasign [(L +B)]- 式中，a=min(入mia(L+B),Ain(L+B))。 对V,沿着轨迹式(19)求导可得 uio(L+B)3-1x20 2=.(L+B)2.+环(L+B)21.= E3.=-kou10E3:+u1oc2: (25) -k3.(L+B)22:-k4‖.(L+B)1 则式(22)整理为 x.(L+B)u1.(L+B)x3:- 2=-k(L+B)2·-kl(L+B) .(L+B)1nx0-k.(L+B)2|u1.E3.+ .(L+B)1xo-koluo.(L+B)2年：≤ (L+B)2u1.x2·+.(L+B)y -k.(L+B)2·-(k4-K)I.(L+B)l1 (22) koluo.(L+B)2年3 (26) 根据定理1可知，在有限时间内，机器人的状态 误差x,收敛于0，这就意味着x1·是有界的，即存在 因为式(26)中(L+B)2>0,k4>K,k3>0,所以V2≤ 一个正数C,使‖u1-‖pT1时，一阶子系统的x:收敛于0，二阶子 当1x3‖2>1时，可以得到 系统x:,x指数收敛于0，这也意味着在分布式控制算 法式(15)和式(16)的作用下，每个机器人个体的各个 店≤2L+a*中aL+B店I≤ 变量x:,,x,至少指数收敛为0。本文讨论的机器人 2CIL+B,+24L+By,(24) 的通信拓扑结构是无向连通的，而当通信网络是有向 Q 拓扑时，则L+B不是对称矩阵，需要重新设计Lya- 结合式(23)和式(24)可知，对于任何x2,和 punov函数来证明系统的稳定性。 x3·,V2都满足： 3 仿真结果分析 。≤L+BBec+w+L+B房 本节中，我们用MATLAB对移动机器人系统进 行了仿真研究，仿真中n=4,移动机器人之间的通 求解上述微分不等式可得 信拓扑为 '(0)+。 L+B明 [2 -1-1 01 [1000 V2≤ 二|L+B2(2C+u) -11 0 0 10000 L= ,B= -10 2 -1 0010 P2IL+2G+ 0 0 -11 0000 期望的编队队形.为一个正方形： L+B昭 (P1xP,)=(1,1),(P2xP2）=（-1,1) 2IL+B(2C+4) (PxP3）=（-1,-1),(P4P4)=(1,-1) 于是，当t≤T,时V2是有界的，进而x2,和x 虚拟领导者0的，=4，=了，初始状态为 是有界的。 [x(0)y(0)9(0)]T=[0-120]T。通过坐标变 2)证明当t>T1时，x2.和x3,指数收敛于零。 换式(8)，计算得到K=|x0=0。再根据定理2，选

α ２ ‖ｘ ～ ２∗‖２ ２ ＋ ‖ｘ ～ ３∗‖２ ２ ( ) ≥ α ‖ｘ ～ ２∗‖２‖ｘ ～ ３∗‖２ （２１） 式中，α＝ｍｉｎ λｍｉｎ（Ｌ＋Ｂ），λ ２ ( ｍｉｎ（Ｌ＋Ｂ） ) 。 对 Ｖ２ 沿着轨迹式（１９）求导可得 Ｖ · ２ ＝ ｘ ～ Ｔ ２∗（Ｌ ＋ Ｂ） ｘ ·～ ２∗ ＋ ｘ ～ Ｔ ３∗ （Ｌ ＋ Ｂ） ２ ｘ ·～ ３∗ ＝ － ｋ３ ｘ ～ Ｔ ２∗ （Ｌ ＋ Ｂ） ２ ｘ ～ ２∗ － ｋ４‖ ｘ ～ Ｔ ２∗（Ｌ ＋ Ｂ）‖１ － ｘ ～ Ｔ ２∗（Ｌ ＋ Ｂ）ｕ１∗（Ｌ ＋ Ｂ） ｘ ～ ３∗ － ｘ ～ Ｔ ２∗（Ｌ ＋ Ｂ）１ｎ ｘ · ２０ － ｋ０ ｘ ～ Ｔ ３∗ （Ｌ ＋ Ｂ） ２ ｕ１∗ ｘ ～ ３∗ ＋ ｘ ～ Ｔ ３∗ （Ｌ ＋ Ｂ） ２ ｕ１∗ ｘ ～ ２∗ ＋ ｘ ～ Ｔ ３∗ （Ｌ ＋ Ｂ） ２ ｙ （２２） 根据定理 １ 可知，在有限时间内，机器人的状态 误差 ｘ ～ １∗ 收敛于 ０，这就意味着 ｘ ～ １∗ 是有界的，即存在 一个正数 Ｃ，使‖ｕ１∗‖Ｆ ＜Ｃ， ｘ２０ ＜Ｃ， ｘ３０ ＜Ｃ 成立， 进而存在一个正数 μ，使得‖ｙ‖２≤μ。 再根据矩阵 范数与向量范数的相容性定理和 Ｃａｕｃｈｙ⁃Ｓｃｈｗａｒｚ 不 等式，由式（２２）得 Ｖ · ２ ≤ ‖ｙ‖２‖Ｌ ＋ Ｂ‖２ Ｆ‖ｘ ～ ３∗‖２ ＋ ２ ‖ｕ１∗‖Ｆ‖Ｌ ＋ Ｂ‖２ Ｆ‖ｘ ～ ３∗‖２‖ｘ ～ ２∗‖２ ≤ ２ α Ｃ ‖Ｌ ＋ Ｂ‖２ Ｆ Ｖ２ ＋ μ‖Ｌ ＋ Ｂ‖２ Ｆ‖ｘ ～ ３∗‖２ 当‖ｘ ～ ３∗‖２≤１ 时，可以得到 Ｖ · ２ ≤ ２ α Ｃ ‖Ｌ ＋ Ｂ‖２ Ｆ Ｖ２ ＋ μ‖Ｌ ＋ Ｂ‖２ Ｆ （２３） 当‖ｘ ～ ３∗‖２＞１ 时，可以得到 Ｖ · ２ ≤ ２ α Ｃ‖Ｌ ＋ Ｂ‖２ Ｆ Ｖ２ ＋ μ‖Ｌ ＋ Ｂ‖２ Ｆ‖ｘ ～ ３∗‖２ ２≤ ２ α Ｃ‖Ｌ ＋ Ｂ‖２ Ｆ Ｖ２ ＋ ２ α μ‖Ｌ ＋ Ｂ‖２ Ｆ Ｖ２ （２４） 结合式（２３） 和式（２４） 可知，对于任何 ｘ ～ ２∗ 和 ｘ ～ ３∗ ，Ｖ · ２ 都满足： Ｖ · ２ ≤ ２ α ‖Ｌ ＋ Ｂ‖２ Ｆ (２Ｃ ＋ μ) Ｖ２ ＋ μ‖Ｌ ＋ Ｂ‖２ Ｆ 求解上述微分不等式可得 Ｖ２ ≤ Ｖ２（０） ＋ μ‖Ｌ ＋ Ｂ‖２ Ｆ ２ α ‖Ｌ ＋ Ｂ‖２ Ｆ（２Ｃ ＋ μ） é ë ê ê ê ù û ú ú ú × ｅｘｐ ２ α ‖Ｌ ＋ Ｂ‖２ Ｆ（２Ｃ ＋ μ） é ë ê ê ù û ú ú { ｔ} － μ‖Ｌ ＋ Ｂ‖２ Ｆ ２ α ‖Ｌ ＋ Ｂ‖２ Ｆ（２Ｃ ＋ μ） 于是，当 ｔ≤Ｔ１ 时 Ｖ２ 是有界的，进而 ｘ ～ ２∗ 和 ｘ ～ ３∗ 是有界的。 ２）证明当 ｔ＞Ｔ１ 时，ｘ ～ ２∗ 和 ｘ ～ ３∗ 指数收敛于零。 根据定理 １，当 ｔ＞Ｔ１ 时，ｕ１ｉ ＝ ｕ１０ ，ｘ１ｉ ＝ ｘ１０ ，则二阶 子系统闭环表达式（１９）化简为 ｘ ·～ ２∗ ＝ － ｋ３（Ｌ ＋ Ｂ） ｘ ～ ２∗ － ｋ４ ｓｉｇｎ （Ｌ ＋ Ｂ） ｘ ～ [ ２∗ ] － ｕ１０（Ｌ ＋ Ｂ） ｘ ～ ３∗ － １ｎ ｘ · ２０ ｘ ·～ ３∗ ＝ － ｋ０ ｕ１０ ｘ ～ ３∗ ＋ ｕ１０ ｘ ～ ２∗ ì î í ï ï ï ï （２５） 则式（２２）整理为 Ｖ · ２ ＝ － ｋ３ ｘ ～ Ｔ ２∗ （Ｌ ＋ Ｂ） ２ ｘ ～ ２∗ － ｋ４‖ｘ ～ Ｔ ２∗（Ｌ ＋ Ｂ）‖１ － ｘ ～ Ｔ ２∗（Ｌ ＋ Ｂ） １ｎ ｘ · ２０ － ｋ０ ｕ１０ ｘ ～ Ｔ ３∗ （Ｌ ＋ Ｂ） ２ ｘ ～ ３∗ ≤ － ｋ３ ｘ ～ Ｔ ２∗ （Ｌ ＋ Ｂ） ２ ｘ ～ ２∗ － （ｋ４ － κ） ‖ｘ ～ Ｔ ２∗（Ｌ ＋ Ｂ）‖１ － ｋ０ ｕ１０ ｘ ～ Ｔ ３∗ （Ｌ ＋ Ｂ） ２ ｘ ～ ３∗ （２６） 因为式（２６）中（Ｌ＋Ｂ） ２ ＞０，ｋ４＞κ，ｋ３＞０，所以 Ｖ · ２≤ ０。 则二阶子系统式（１９）至少是一致渐进稳定。 Ｖ · ２ ≤－ ｋ３ ｘ ～ Ｔ ２∗ （Ｌ ＋ Ｂ） ２ ｘ ～ ２∗ － ｋ０ ｕ１０ ｘ ～ Ｔ ３∗ （Ｌ ＋ Ｂ） ２ ｘ ～ ３∗ ≤－ ２βＶ２ 式中 β＝ｍｉｎ（ｋ３λｍｉｎ（Ｌ＋Ｂ），ｋ０ ｕ１０ ）。 那么，可得 Ｖ２≤ Ｖ２（Ｔ１）ｅｘｐ － ２ ∫ ｔ Ｔ１ ( βｄτ ) ＝ Ｖ２（Ｔ１） ｅｘｐ [－２β（ξ）（ｔ－Ｔ１）] ， ξ∈Ｒ ＋ ，ξ∈（Ｔ１，ｔ）。 所以，Ｖ２ 指数收敛于 ０，进而可得 ｌｉｍ ｔ→¥ （ｘ２ｉ －ｘ２０ ）＝ ０，ｌｉｍ ｔ→¥ （ｘ３ｉ －ｘ３０ ）＝ ０。 定理 ２ 得证。 综合定理 １ 和定理 ２，当 ｔ≤Ｔ１ 时，一阶子系统的 变量 ｘ ～ １ｉ有限时间收敛于 ０，二阶子系统的变量 ｘ ～ ２ｉ，ｘ ～ ３ｉ是 有界的；当 ｔ＞Ｔ１ 时，一阶子系统的 ｘ ～ １ｉ收敛于 ０，二阶子 系统 ｘ ～ ２ｉ，ｘ ～ ３ｉ指数收敛于 ０，这也意味着在分布式控制算 法式（１５）和式（１６）的作用下，每个机器人个体的各个 变量 ｘ ～ １ｉ，ｘ ～ ２ｉ，ｘ ～ ３ｉ至少指数收敛为 ０。 本文讨论的机器人 的通信拓扑结构是无向连通的，而当通信网络是有向 拓扑时，则 Ｌ＋Ｂ 不是对称矩阵，需要重新设计 Ｌｙａ⁃ ｐｕｎｏｖ 函数来证明系统的稳定性。 ３ 仿真结果分析 本节中，我们用 ＭＡＴＬＡＢ 对移动机器人系统进 行了仿真研究，仿真中 ｎ ＝ ４，移动机器人之间的通 信拓扑为 Ｌ ＝ ２ － １ － １ ０ － １ １ ０ ０ － １ ０ ２ － １ ０ ０ － １ １ é ë ê ê ê êê ù û ú ú ú úú ，Ｂ ＝ １ ０ ０ ０ ０ ０ ０ ０ ０ ０ １ ０ ０ ０ ０ ０ é ë ê ê ê êê ù û ú ú ú úú 期望的编队队形 Ｆ 为一个正方形： （ｐ１ｘ，ｐ１ｙ） ＝ （１，１），（ｐ２ｘ，ｐ２ｙ） ＝ （ － １，１） （ｐ３ｘ，ｐ３ｙ） ＝ （ － １， － １），（ｐ４ｘ，ｐ４ｙ） ＝ （１， － １） 虚拟领导者 ０ 的 ｖ０ ＝ ４，ω０ ＝ １ ３ ，初始状态为 ［ｘ０（０） ｙ０（０） θ０（０）］ Ｔ ＝ ［０ －１２ ０］ Ｔ 。 通过坐标变 换式（８），计算得到 κ ＝ ｘ · ２０ ＝ ０。 再根据定理 ２，选 ·９２· 智 能 系 统 学 报 第 １２ 卷

第1期 李苗，等：一种多非完整移动机器人分布式编队控制方法 93 取控制算法式(15)和式(18)的控制增益为：k,= 1.6 k3=1.2,ko=1,k2=k4=0.1。 1.4H 在图3中，每个四边形中的4个*表示4个跟 1.2 .40 1.0 随者，实线和虚线分别表示虚拟机器人0和编队几 0.8 0 何中心的运动轨迹，从图中可以看出4个跟随者形 成了指定正方形编队，同时编队队形的几何中心收 0.4 敛到虚拟领导者0的运动轨迹。图4和图5分别给 0.2 出了3个跟随者的控制输入w,,(i=1,2,3,4),从 o 图中可以看出，在15s之后，ω，：收敛到0o,o。图 0.51.01.5k2.025303.5 6~8分别表示4个跟随者与虚拟机器人0的航角和 图6航角误差0。 位置之间的误差。在20s后，4个跟随者与虚拟领 Fig.6 Heading errors 0 导者0之间的航角误差为0，x轴和y轴方向的位置 误差分别为P.和p,(i=1,2,3,4)。从上述仿真实 验可以看出，所设计的控制器可以使移动机器人形 Y-X 成期望的编队。 0 10 10月 15 10152025 US 图7X轴方向的位置误差x, Fig.7 Position errors in X coordinates -10 20 51015 15 /1m 图3移动机器人编队运动轨迹 10 Fig.3 Trajectory of tracking of mobile robots formation Y-Yo 1.0r Y,-Y Y-Y 0 10152025 图8Y轴方向的位置误差y Fig.8 Position errors in Y coordinates 12 s 46 4结束语 图4移动机器人控制输入) 本文以多非完整移动机器人为研究对象，通过 Fig.4 The control input of the mobile robots 坐标变换将编队问题转化为移动机器人状态量的一 50 致性问题。在持续激励信号作用下，利用邻居状态 信息设计了分布式控制协议，然后用图论和 30 Lyapunov方法，在理论上证明了该控制协议可以很 20 10 好地解决机器人编队问题。最后，通过MATLAB对 该控制算法进行了验证。从仿真实验结果可以看 -10 出，本文提出的控制算法可靠性好，能在较短时间内 -20 顺利形成编队。本文假设通信拓扑结构是无向连通 -30 的，但在实际应用中，系统之间的通信网络往往是有 -4 02468101214161820 s 向的或者存在时滞，所以，将来的研究工作将围绕着 图5移动机器人控制输入 有向通信拓扑来开展。 Fig.5 The control input v of the mobile robots

取控制算法式（ １５） 和式（ １８） 的控制增益为：ｋ１ ＝ ｋ３ ＝１．２，ｋ０ ＝ １，ｋ２ ＝ ｋ４ ＝ ０．１。 在图 ３ 中，每个四边形中的 ４ 个∗表示 ４ 个跟 随者，实线和虚线分别表示虚拟机器人 ０ 和编队几 何中心的运动轨迹，从图中可以看出 ４ 个跟随者形 成了指定正方形编队，同时编队队形的几何中心收 敛到虚拟领导者 ０ 的运动轨迹。 图 ４ 和图 ５ 分别给 出了 ３ 个跟随者的控制输入 ωｉ，ｖｉ（ｉ ＝ １，２，３，４），从 图中可以看出，在 １５ ｓ 之后，ωｉ，ｖｉ 收敛到 ω０ ，ｖ０ 。 图 ６～８ 分别表示 ４ 个跟随者与虚拟机器人 ０ 的航角和 位置之间的误差。 在 ２０ ｓ 后，４ 个跟随者与虚拟领 导者 ０ 之间的航角误差为 ０，ｘ 轴和 ｙ 轴方向的位置 误差分别为 ｐｉｘ和 ｐｉｙ（ ｉ ＝ １，２，３，４）。 从上述仿真实 验可以看出，所设计的控制器可以使移动机器人形 成期望的编队。 图 ３ 移动机器人编队运动轨迹 Ｆｉｇ．３ Ｔｒａｊｅｃｔｏｒｙ ｏｆ ｔｒａｃｋｉｎｇ ｏｆ ｍｏｂｉｌｅ ｒｏｂｏｔｓ ｆｏｒｍａｔｉｏｎ 图 ４ 移动机器人控制输入 ω Ｆｉｇ．４ Ｔｈｅ ｃｏｎｔｒｏｌ ｉｎｐｕｔ ω ｏｆ ｔｈｅ ｍｏｂｉｌｅ ｒｏｂｏｔｓ 图 ５ 移动机器人控制输入 ｖ Ｆｉｇ．５ Ｔｈｅ ｃｏｎｔｒｏｌ ｉｎｐｕｔ ｖ ｏｆ ｔｈｅ ｍｏｂｉｌｅ ｒｏｂｏｔｓ 图 ６ 航角误差 θｅ Ｆｉｇ．６ Ｈｅａｄｉｎｇ ｅｒｒｏｒｓ θｅ 图 ７ Ｘ 轴方向的位置误差 ｘｅ Ｆｉｇ．７ Ｐｏｓｉｔｉｏｎ ｅｒｒｏｒｓ ｉｎ Ｘ ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅｓ 图 ８ Ｙ 轴方向的位置误差 ｙｅ Ｆｉｇ．８ Ｐｏｓｉｔｉｏｎ ｅｒｒｏｒｓ ｉｎ Ｙ ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅｓ ４ 结束语 本文以多非完整移动机器人为研究对象，通过 坐标变换将编队问题转化为移动机器人状态量的一 致性问题。 在持续激励信号作用下，利用邻居状态 信息 设 计 了 分 布 式 控 制 协 议， 然 后 用 图 论 和 Ｌｙａｐｕｎｏｖ方法，在理论上证明了该控制协议可以很 好地解决机器人编队问题。 最后，通过 ＭＡＴＬＡＢ 对 该控制算法进行了验证。 从仿真实验结果可以看 出，本文提出的控制算法可靠性好，能在较短时间内 顺利形成编队。 本文假设通信拓扑结构是无向连通 的，但在实际应用中，系统之间的通信网络往往是有 向的或者存在时滞，所以，将来的研究工作将围绕着 有向通信拓扑来开展。 第 １ 期 李苗，等：一种多非完整移动机器人分布式编队控制方法 ·９３·

·94. 智能系统学报 第12卷 [11]DONG Wenjie,FARRELL J A.Decentralized cooperative 参考文献： control of multiple nonholonomic dynamic systems with [1]BALCH T,ARKIN R C.Behavior-based formation control uncertainty[J].Automatica,2009,45(3):706-710. for multirobot teams[.IEEE transactions on robotics and [12]CAO Kecai,YANG Hao,JIANG Bin.Formation tracking automation,1998.14(6):926-939. control of nonholonomic chained form systems[C]//Pro- [2]SHAO J,XIE G M,WANG L.Leader-following formation ceedings of the 10th IEEE International Conference on control of multiple mobile vehicles[J].IET control theory Control and Automation ICCA).Hangzhou,China, applications,2007,1(2):545-552. 2013:846-851. [3]DESAI J P,OSTROWSKI J P,KUMAR V.Modeling and [13]CAO Kecai,JIANG Bin,CHEN Yangquan.Cooperative control of formations of nonholonomic mobile robots[J]. control design for non-holonomic chained-form systems IEEE transactions on robotics and automation,2001,17 [J].International journal of systems science,2015,46 (6):905-908. (9):1525-1539. [4 TAN K H,LEWIS M A.Virtual structures for [14]PENG Zhaoxia,WEN Guoguang,Rahmani A,et al. high-precision cooperative mobile robotic control [C]// Distributed consensus-based formation control for multiple Proceedings of the 1996 IEEE/RSJ International nonholonomic mobile robots with a specified reference Conference Intelligent Robots and Systems'96.Osaka, trajectory[J].International journal of systems science, Japan,1996:132-139. 2015,46(8):1447-1457. 5]KHATIB O.Real-time obstacle avoidance for manipulators [15]方勇纯，卢桂章.非线性系统理论[M].北京：清华大 and mobile robots J].International journal of robotics 学出版社，2009：1-151. research,1986,5(1):90-98. [16]HONG Yiguang,HU Jiangping,GAO Linxin.Tracking [6]ZHAI G,TAKEDA J,IMAE J,et al.Towards consensus in control for multi-agent consensus with an active leader and networked non-holonomic systems[J].IET control theory variable topology J ]Automatica,2006,42 (7): applications,2010,4(10):2212-2218. 1177-1182. [7]YUAN Z P,WANG Z P,CHEN Q J.Trajectory tracking 作者简介： control of a nonholonomic mobile robot[C//Proceedings of 李苗，女，1991年生，硕士研究生， the 8th IEEE International Conference on Control and 主要研究方向为多智能体系统控制、人 Automation.Xiamen,China,2010:2207-2211. 工智能系统与控制。 [8]袁健，唐功友.采用一致性算法与虚拟结构的多自主水 下航行器编队控制[J].智能系统学报，2011,6(3)： 248-253 YUAN Jian,TANG Gongyou.Formation control of autono- mous underwater vehicles with consensus algorithms and vir- 刘忠信，男，1975年生，教授.博士 tual structure[J].CAAI transactions on intelligent systems, 生导师，中国人工智能学会智能空天系 2011,6(3):248-253. 统专业委员会委员、中国智能物联系统 [9]CHEN Lei,MA Baoli.A nonlinear formation control of 建模与仿真专业委员会委员，主要研究 wheeled mobile robots with virtual structure approach[C]/ 方向为多智能体系统、复杂动态网络、 Proceedings of the 34th Chinese Control Conference. 计算机控制与管理。 Hangzhou,China,2015:1080-1085. [10]王中林，刘忠信，陈增强，等.一种多智能体领航跟随 陈增强，男，1964年生，教授，博士 编队新型控制器的设计[J].智能系统学报，2014,9 生导师，主要研究方向为智能预测控 (3):298-306. 制、混沌系统与复杂动态网络、多智能 WANG Zhonglin,LIU Zhongxin,CHEN Zengqiang,et al.A 体系统控制。 kind of new type controller for multi-agent leader-follower formation[].CAAI transactions on intelligent systems,2014, 9(3):298-306

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