第10卷第6期 智能系统学报 Vol.10 No.6 2015年12月 CAAI Transactions on Intelligent Systems Dec.2015 D0:10.11992/is.201412013 网s络出版地址：http:/www.cnki.net/kcms/detail/23.1538.p.20151111.1633.008.html 二型直觉模糊粗糙集 王金英，韩晓冰，王艳平 (辽宁工业大学理学院，辽宁锦州121001) 摘要：将二型直觉模糊集和粗糙集理论融合，建立二型直觉模糊粗糙集模型。首先，在二型直觉模糊近似空间中， 定义了一对二型直觉模糊上、下近似算子，并讨论了二型直觉模糊关系退化为普通二型模糊关系和一般等价关系 时，上、下近似算子的具体变化形式。然后，将普通二型模糊集之间包含关系的定义推广到了二型直觉模糊集，在此 基础上研究了二型直觉模糊上、下近似算子的一些性质。最后，定义了自反的、对称的和传递的二型直觉模糊关系， 并讨论了这3种特殊的二型直觉模糊关系与近似算子的特征之间的联系。该结论进一步丰富了二型模糊集理论和 粗糙集理论，为二型直觉模糊信息系统的应用奠定了良好的理论基础。 关键词：直觉模糊集：粗糙集；二型模糊集；二型直觉模糊集：二型直觉模糊粗糙集；近似算子 中图分类号：TP301:0236文献标志码：A文章编号：1673-4785(2015)06-0943-06 中文引用格式：王金英，韩晓冰，王艳平.二型直觉模糊粗糙集[J].智能系统学报，2015,10(6)：943-948. 英文引用格式：WANG Jinying,HAN Xiaobing,WANG Yanping.Type-2 intuitionistic fuzzy rough sets[J].CAAI Transactions on Intelligent Systems,2015,10(6):943-948. Type-2 intuitionistic fuzzy rough sets WANG Jinying,HAN Xiaobing,WANG Yanping (School of science,Liaoning university of technology,Jinzhou Liaoning 121001,China) Abstract:In this study,we integrate the theories of type-2 intuitionistic fuzzy sets and rough sets to construct a type-2-intuitionistic-fuzzy-and-rough-sets model.First,in type-2 intuitionistic fuzzy approximation space,we define a pair of type-2 intuitionistic fuzzy upper and lower approximation operators.We then discuss specific changes in these upper and lower approximation operators for a situation in which the type-2 intuitionistic fuzzy relations degen- erate into common type-2-fuzzy and general-equivalence relations.Next,we generalize the definition of the inclusion relation between general type-2 fuzzy sets as type-2 intuitionistic fuzzy sets.On this basis,we then explored the properties of type-2-intuitionistic-fuzzy upper and lower approximation operators.We then defined reflexive,sym- metric,and transitive type-2 intuitionistic fuzzy relations.Finally,we discuss the relations between these three spe- cial type-2 intuitionistic fuzzy relations and the characteristics of their approximation operators.Conclusions drawn in this study further enrich the theories of type-2 intuitionistic fuzzy and rough sets and establish a good theoretical basis for the application of the type-2 intuitionistic fuzzy information system. Keywords:intuitionistic fuzzy sets;rough sets;type-2 fuzzy sets;type-2 intuitionistic fuzzy sets;type-2 intuitionis- tic fuzzy rough sets;approximation operators 自1965年Zadeh首次提出模糊集[)的概念以 收稿日期：2014-12-15.网络出版日期：2015-11-11. 来，Zadeh本人以及其他一些学者相继给出了模糊 基金项目：辽宁省教育厅基金资助项目(L2012226) 通信作者：王金英.E-mail:ying2000_2004@163.com 集的一些推广形式。其中Atanassov将模糊集推广
第 １０ 卷第 ６ 期 智 能 系 统 学 报 Ｖｏｌ．１０ №．６ ２０１５ 年 １２ 月 ＣＡＡＩ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｔ Ｓｙｓｔｅｍｓ Ｄｅｃ． ２０１５ ＤＯＩ：１０．１１９９２ ／ ｔｉｓ．２０１４１２０１３ 网络出版地址：ｈｔｔｐ： ／ ／ ｗｗｗ．ｃｎｋｉ．ｎｅｔ ／ ｋｃｍｓ／ ｄｅｔａｉｌ ／ ２３．１５３８．ｔｐ．２０１５１１１１．１６３３．００８．ｈｔｍｌ 二型直觉模糊粗糙集 王金英，韩晓冰，王艳平 （辽宁工业大学 理学院，辽宁 锦州 １２１００１） 摘 要：将二型直觉模糊集和粗糙集理论融合，建立二型直觉模糊粗糙集模型。 首先，在二型直觉模糊近似空间中， 定义了一对二型直觉模糊上、下近似算子，并讨论了二型直觉模糊关系退化为普通二型模糊关系和一般等价关系 时，上、下近似算子的具体变化形式。 然后，将普通二型模糊集之间包含关系的定义推广到了二型直觉模糊集，在此 基础上研究了二型直觉模糊上、下近似算子的一些性质。 最后，定义了自反的、对称的和传递的二型直觉模糊关系， 并讨论了这 ３ 种特殊的二型直觉模糊关系与近似算子的特征之间的联系。 该结论进一步丰富了二型模糊集理论和 粗糙集理论，为二型直觉模糊信息系统的应用奠定了良好的理论基础。 关键词：直觉模糊集；粗糙集；二型模糊集；二型直觉模糊集；二型直觉模糊粗糙集；近似算子 中图分类号： ＴＰ３０１；Ｏ２３６ 文献标志码：Ａ 文章编号：１６７３⁃４７８５（２０１５）０６⁃０９４３⁃０６ 中文引用格式：王金英，韩晓冰，王艳平． 二型直觉模糊粗糙集［Ｊ］． 智能系统学报， ２０１５， １０（６）： ９４３⁃９４８． 英文引用格式：ＷＡＮＧ Ｊｉｎｙｉｎｇ， ＨＡＮ Ｘｉａｏｂｉｎｇ， ＷＡＮＧ Ｙａｎｐｉｎｇ． Ｔｙｐｅ⁃２ ｉｎｔｕｉｔｉｏｎｉｓｔｉｃ ｆｕｚｚｙ ｒｏｕｇｈ ｓｅｔｓ［Ｊ］． ＣＡＡＩ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｔ Ｓｙｓｔｅｍｓ， ２０１５， １０（６）： ９４３⁃９４８． Ｔｙｐｅ⁃２ ｉｎｔｕｉｔｉｏｎｉｓｔｉｃ ｆｕｚｚｙ ｒｏｕｇｈ ｓｅｔｓ ＷＡＮＧ Ｊｉｎｙｉｎｇ， ＨＡＮ Ｘｉａｏｂｉｎｇ， ＷＡＮＧ Ｙａｎｐｉｎｇ （Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ ｓｃｉｅｎｃｅ， Ｌｉａｏｎｉｎｇ ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ， Ｊｉｎｚｈｏｕ Ｌｉａｏｎｉｎｇ １２１００１，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ ｔｈｉｓ ｓｔｕｄｙ， ｗｅ ｉｎｔｅｇｒａｔｅ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｉｅｓ ｏｆ ｔｙｐｅ⁃２ ｉｎｔｕｉｔｉｏｎｉｓｔｉｃ ｆｕｚｚｙ ｓｅｔｓ ａｎｄ ｒｏｕｇｈ ｓｅｔｓ ｔｏ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔ ａ ｔｙｐｅ⁃２⁃ｉｎｔｕｉｔｉｏｎｉｓｔｉｃ⁃ｆｕｚｚｙ⁃ａｎｄ⁃ｒｏｕｇｈ⁃ｓｅｔｓ ｍｏｄｅｌ． Ｆｉｒｓｔ， ｉｎ ｔｙｐｅ⁃２ ｉｎｔｕｉｔｉｏｎｉｓｔｉｃ ｆｕｚｚｙ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ ｓｐａｃｅ， ｗｅ ｄｅｆｉｎｅ ａ ｐａｉｒ ｏｆ ｔｙｐｅ⁃２ ｉｎｔｕｉｔｉｏｎｉｓｔｉｃ ｆｕｚｚｙ ｕｐｐｅｒ ａｎｄ ｌｏｗｅｒ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ． Ｗｅ ｔｈｅｎ ｄｉｓｃｕｓｓ ｓｐｅｃｉｆｉｃ ｃｈａｎｇｅｓ ｉｎ ｔｈｅｓｅ ｕｐｐｅｒ ａｎｄ ｌｏｗｅｒ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ｆｏｒ ａ ｓｉｔｕａｔｉｏｎ ｉｎ ｗｈｉｃｈ ｔｈｅ ｔｙｐｅ⁃２ ｉｎｔｕｉｔｉｏｎｉｓｔｉｃ ｆｕｚｚｙ ｒｅｌａｔｉｏｎｓ ｄｅｇｅｎ⁃ ｅｒａｔｅ ｉｎｔｏ ｃｏｍｍｏｎ ｔｙｐｅ⁃２⁃ｆｕｚｚｙ ａｎｄ ｇｅｎｅｒａｌ⁃ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ ｒｅｌａｔｉｏｎｓ． Ｎｅｘｔ， ｗｅ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｉｎｃｌｕｓｉｏｎ ｒｅｌａｔｉｏｎ ｂｅｔｗｅｅｎ ｇｅｎｅｒａｌ ｔｙｐｅ⁃２ ｆｕｚｚｙ ｓｅｔｓ ａｓ ｔｙｐｅ⁃２ ｉｎｔｕｉｔｉｏｎｉｓｔｉｃ ｆｕｚｚｙ ｓｅｔｓ． Ｏｎ ｔｈｉｓ ｂａｓｉｓ， ｗｅ ｔｈｅｎ ｅｘｐｌｏｒｅｄ ｔｈｅ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｏｆ ｔｙｐｅ⁃２⁃ｉｎｔｕｉｔｉｏｎｉｓｔｉｃ⁃ｆｕｚｚｙ ｕｐｐｅｒ ａｎｄ ｌｏｗｅｒ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ． Ｗｅ ｔｈｅｎ ｄｅｆｉｎｅｄ ｒｅｆｌｅｘｉｖｅ， ｓｙｍ⁃ ｍｅｔｒｉｃ， ａｎｄ ｔｒａｎｓｉｔｉｖｅ ｔｙｐｅ⁃２ ｉｎｔｕｉｔｉｏｎｉｓｔｉｃ ｆｕｚｚｙ ｒｅｌａｔｉｏｎｓ． Ｆｉｎａｌｌｙ， ｗｅ ｄｉｓｃｕｓｓ ｔｈｅ ｒｅｌａｔｉｏｎｓ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅｓｅ ｔｈｒｅｅ ｓｐｅ⁃ ｃｉａｌ ｔｙｐｅ⁃２ ｉｎｔｕｉｔｉｏｎｉｓｔｉｃ ｆｕｚｚｙ ｒｅｌａｔｉｏｎｓ ａｎｄ ｔｈｅ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ ｏｆ ｔｈｅｉｒ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ． Ｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎｓ ｄｒａｗｎ ｉｎ ｔｈｉｓ ｓｔｕｄｙ ｆｕｒｔｈｅｒ ｅｎｒｉｃｈ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｉｅｓ ｏｆ ｔｙｐｅ⁃２ ｉｎｔｕｉｔｉｏｎｉｓｔｉｃ ｆｕｚｚｙ ａｎｄ ｒｏｕｇｈ ｓｅｔｓ ａｎｄ ｅｓｔａｂｌｉｓｈ ａ ｇｏｏｄ ｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌ ｂａｓｉｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｔｙｐｅ⁃２ ｉｎｔｕｉｔｉｏｎｉｓｔｉｃ ｆｕｚｚｙ ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｓｙｓｔｅｍ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｉｎｔｕｉｔｉｏｎｉｓｔｉｃ ｆｕｚｚｙ ｓｅｔｓ； ｒｏｕｇｈ ｓｅｔｓ； ｔｙｐｅ⁃２ ｆｕｚｚｙ ｓｅｔｓ； ｔｙｐｅ⁃２ ｉｎｔｕｉｔｉｏｎｉｓｔｉｃ ｆｕｚｚｙ ｓｅｔｓ； ｔｙｐｅ⁃２ ｉｎｔｕｉｔｉｏｎｉｓ⁃ ｔｉｃ ｆｕｚｚｙ ｒｏｕｇｈ ｓｅｔｓ； ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ 收稿日期：２０１４⁃１２⁃１５． 网络出版日期：２０１５⁃１１⁃１１． 基金项目：辽宁省教育厅基金资助项目（Ｌ２０１２２２６）． 通信作者：王金英．Ｅ⁃ｍａｉｌ： ｙｉｎｇ２０００＿２００４＠ １６３．ｃｏｍ． 自 １９６５ 年 Ｚａｄｅｈ 首次提出模糊集［１］ 的概念以 来，Ｚａｄｅｈ 本人以及其他一些学者相继给出了模糊 集的一些推广形式。 其中 Ａｔａｎａｓｓｏｖ 将模糊集推广
·944. 智能系统学报 第10卷 到了直觉模糊集[)以及区间直觉模糊集)，Zadeh 1)A∩B={〈x,uAnB(x),DAnB(x)）Ix∈U, 等将普通模糊集推广到二型模糊集[4。随着信息 其中 技术的发展，Pawlak于1982年提出了粗糙集[6的 anB(x)=(x)AB(x)= 概念，由于模糊集和粗糙集理论在处理不确定性和 [「f(u)Ah.(o)uAw 不精确性问题方面都推广了经典集合论，因此将2 ue程weg 个理论相融合，建立模糊粗糙集成为信息领域研究 vAnB(x)=v(x)Vvg(x)= 的主要方向之一。许多学者致力于这方面的研究， [∫g.()Ak.(p)mVp 分别给出了模糊粗糙集[)、直觉模糊粗糙集8]等 Jee生pe及 概念。目前，一型广义模糊粗糙集理论的发展已达 2)AUB={(x,uB(x),"AuB(x)）1x∈U}, 其中 到了一个相对完善的状态。近年来，人们开始着手 将模糊粗糙集理论进一步推广到二型模糊粗糙 HAUB(x)=(x)Vup(x)= 集[]，与此同时，二型模糊集的概念也被扩展到了 f(u)Ah,(w)/uV w ue程me共 二型直觉模糊集山。然而，关于二型直觉模糊集和 UAuB(x)=DA(x)△B(x)= 粗糙集理论相融合的研究目前尚未见到，基于此，本 「∫g()Nk,(P)mAP 文在二型模糊粗糙集理论的基础上，利用二型直觉 模糊集和二型直觉模糊关系，将文献[10]中给出的 3)A={(x,"(x),(x)〉|x∈U}。 二型模糊粗糙集模型进一步推广到二型直觉模糊粗 定理1【设A,B,C是论域U上的3个二型 糙集模型，同时还讨论了一些相关的性质。 直觉模糊集，则下列各式成立： 1)交换律，AUB=BUA,A∩B=B∩A: 1二型直觉模糊集的基本理论 2)结合律，AU(BUC)=(AUB)UC,An 定义1口二型直觉模糊集。设U为论域，称 (BnC)=(A∩B)∩C; A={(x,(x),D(x)）|x∈U}为U上的一个二型 3)幂等律，AUA=A,A∩A=A; 直觉模糊集。其中 4)对合律，(A)=A; 5)德摩根律，(AUB)=A∩B,(A∩B)= (x)=f(u)u,J∈[0,1] A°UB。 (x)=g(v)/m,J[0,1] 一般地，分配律和吸收律不成立。如果限定所 e 有二型直觉模糊集的主隶属度和主非隶属度均为标 且对Hx∈U满足 准的凸一型模糊集，那么，分配律和吸收律便成 max(f(u)×u)+max(g(v)×v)≤1 re 立[o u(x)表示x对A的隶属程度，，(x)表示x对 定义3山二型直觉模糊关系。设U和W是 A的非隶属程度。 有限非空论域，定义在直积空间U×W上的二型直 为叙述方便，将(x)和(x)分别称为二型 觉模糊子集称为从U到W的二型直觉模糊关系。 直觉模糊集的主隶属度和主非隶属度。 记为 定义2】二型直觉模糊集的基本运算。设 R={〈(x,y),(x,y),D(x,y)〉1x∈U,y∈W A、B是论域U上的2个二型直觉模糊集，令 其中 A={(x,u(x),D(x)〉1x∈U明 uR(x,y）= f,w(u)/u,Jn[0,1] B={〈x,u(x),DB(x)〉Ix∈U 其中 g(x,y）=g.(u)m,J∈[0,1] eJx) u(x)=」f(u)/u,Jc[0,1] 且对H(x,y)∈U×W,满足 ()=8(/a.上e[0,1 max(f,m(u)×u)+max(g(,(u)×v）≤1 ueR.y) c) 特别地，当U=W时，二型直觉模糊关系R称为 g(x)=h.(w)/o,Jc[0,1] U×U上的二型直觉模糊关系。 (x)=k.(p)/p,J≤[0,1] 2 二型直觉模糊粗糙集及其性质 pe 定义运算如下： 定义4设R是U×U上的二型直觉模糊关
到了直觉模糊集［２］ 以及区间直觉模糊集［３］ ，Ｚａｄｅｈ 等将普通模糊集推广到二型模糊集［４⁃５］ 。 随着信息 技术的发展，Ｐａｗｌａｋ 于 １９８２ 年提出了粗糙集［６］ 的 概念，由于模糊集和粗糙集理论在处理不确定性和 不精确性问题方面都推广了经典集合论，因此将 ２ 个理论相融合，建立模糊粗糙集成为信息领域研究 的主要方向之一。 许多学者致力于这方面的研究， 分别给出了模糊粗糙集［７］ 、直觉模糊粗糙集［８⁃９］ 等 概念。 目前，一型广义模糊粗糙集理论的发展已达 到了一个相对完善的状态。 近年来，人们开始着手 将模糊粗糙集理论进一步推广到二型模糊粗糙 集［１０］ ，与此同时，二型模糊集的概念也被扩展到了 二型直觉模糊集［１１］ 。 然而，关于二型直觉模糊集和 粗糙集理论相融合的研究目前尚未见到，基于此，本 文在二型模糊粗糙集理论的基础上，利用二型直觉 模糊集和二型直觉模糊关系，将文献［１０］中给出的 二型模糊粗糙集模型进一步推广到二型直觉模糊粗 糙集模型，同时还讨论了一些相关的性质。 １ 二型直觉模糊集的基本理论 定义 １ ［１１］ 二型直觉模糊集。 设 Ｕ 为论域，称 Ａ ＝ ｛〈ｘ，μＡ（ｘ），ｖＡ（ｘ）〉 ｜ ｘ ∈ Ｕ｝ 为 Ｕ 上的一个二型 直觉模糊集。 其中 μＡ（ｘ） ＝ ∫ ｕ∈Ｊ ｕ ｘ ｆ ｘ（ｕ） ／ ｕ，Ｊ ｕ ｘ ⊆ ［０，１］ ｖＡ（ｘ） ＝ ∫ ｖ∈Ｊ ｖ ｘ ｇｘ（ｖ） ／ ｖ，Ｊ ｖ ｘ ⊆ ［０，１］ 且对 ∀ｘ ∈ Ｕ 满足 ｍａｘ ｕ∈Ｊ ｕ ｘ （ｆ ｘ（ｕ） × ｕ） ＋ ｍａｘ ｖ∈Ｊ ｖ ｘ （ｇｘ（ｖ） × ｖ） ≤ １ μＡ（ｘ） 表示 ｘ 对 Ａ 的隶属程度， ｖＡ（ｘ） 表示 ｘ 对 Ａ 的非隶属程度。 为叙述方便，将 μＡ（ｘ） 和 ｖＡ（ｘ） 分别称为二型 直觉模糊集的主隶属度和主非隶属度。 定义 ２ ［１１］ 二型直觉模糊集的基本运算。 设 Ａ、Ｂ 是论域 Ｕ 上的 ２ 个二型直觉模糊集，令 Ａ ＝ ｛〈ｘ，μＡ（ｘ），ｖＡ（ｘ）〉 ｜ ｘ ∈ Ｕ｝ Ｂ ＝ ｛〈ｘ，μＢ（ｘ），ｖＢ（ｘ）〉 ｜ ｘ ∈ Ｕ｝ 其中 μＡ（ｘ） ＝ ∫ ｕ∈Ｊ ｕ ｘ ｆ ｘ（ｕ） ／ ｕ，Ｊ ｕ ｘ ⊆ ［０，１］ ｖＡ（ｘ） ＝ ∫ ｖ∈Ｊ ｖ ｘ ｇｘ（ｖ） ／ ｖ，Ｊ ｖ ｘ ⊆ ［０，１］ μＢ（ｘ） ＝ ∫ ｗ∈Ｊｗ ｘ ｈｘ（ｗ） ／ ｗ，Ｊ ｗ ｘ ⊆ ［０，１］ ｖＢ（ｘ） ＝ ∫ ｐ∈Ｊ ｐ ｘ ｋｘ（ｐ） ／ ｐ，Ｊ ｐ ｘ ⊆ ［０，１］ 定义运算如下： １） Ａ ∩ Ｂ ＝ ｛〈ｘ，μＡ∩Ｂ（ｘ），ｖＡ∩Ｂ（ｘ）〉 ｜ ｘ ∈ Ｕ｝ ， 其中 μＡ∩Ｂ（ｘ） ＝ μＡ（ｘ）ΔμＢ（ｘ） ＝ ∫ ｕ∈Ｊ ｕ ｘ ∫ ｗ∈Ｊｗ ｘ ｆ ｘ（ｕ） ∧ ｈｘ（ｗ） ／ ｕ ∧ ｗ ｖＡ∩Ｂ（ｘ） ＝ ｖＡ（ｘ） ÑｖＢ（ｘ） ＝ ∫ ｖ∈Ｊ ｖ ｘ ∫ ｐ∈Ｊ ｐ ｘ ｇｘ（ｖ） ∧ ｋｘ（ｐ） ／ ｖ ∨ ｐ ２） Ａ ∪ Ｂ ＝ ｛〈ｘ，μＡ∪Ｂ（ｘ），ｖＡ∪Ｂ（ｘ）〉 ｜ ｘ ∈ Ｕ｝ ， 其中 μＡ∪Ｂ（ｘ） ＝ μＡ（ｘ） ÑμＢ（ｘ） ＝ ∫ ｕ∈Ｊ ｕ ｘ ∫ ｗ∈Ｊｗ ｘ ｆ ｘ（ｕ） ∧ ｈｘ（ｗ） ／ ｕ ∨ ｗ ｖＡ∪Ｂ（ｘ） ＝ ｖＡ（ｘ）ΔｖＢ（ｘ） ＝ ∫ ｖ∈Ｊ ｖ ｘ ∫ ｐ∈Ｊ ｐ ｘ ｇｘ（ｖ） ∧ ｋｘ（ｐ） ／ ｖ ∧ ｐ ３） Ａ ｃ ＝ ｛〈ｘ，ｖＡ（ｘ），μＡ（ｘ）〉 ｜ ｘ ∈ Ｕ｝。 定理 １ ［１１］ 设 Ａ，Ｂ，Ｃ 是论域 Ｕ 上的 ３ 个二型 直觉模糊集，则下列各式成立： １）交换律， Ａ ∪ Ｂ ＝ Ｂ ∪ Ａ ， Ａ ∩ Ｂ ＝ Ｂ ∩ Ａ ； ２）结合律， Ａ ∪ （Ｂ ∪ Ｃ） ＝ （Ａ ∪ Ｂ） ∪ Ｃ ， Ａ ∩ （Ｂ ∩ Ｃ） ＝ （Ａ ∩ Ｂ） ∩ Ｃ ； ３）幂等律， Ａ ∪ Ａ ＝ Ａ ， Ａ ∩ Ａ ＝ Ａ ； ４）对合律， （Ａ ｃ ） ｃ ＝ Ａ ； ５）德摩根律， （Ａ ∪ Ｂ） ｃ ＝ Ａ ｃ ∩Ｂ ｃ ， （Ａ ∩ Ｂ） ｃ ＝ Ａ ｃ ∪ Ｂ ｃ 。 一般地，分配律和吸收律不成立。 如果限定所 有二型直觉模糊集的主隶属度和主非隶属度均为标 准的凸一型模糊集， 那么， 分配律和吸收律便成 立［１０］ 。 定义 ３ ［１１］ 二型直觉模糊关系。 设 Ｕ 和 Ｗ 是 有限非空论域，定义在直积空间 Ｕ × Ｗ 上的二型直 觉模糊子集称为从 Ｕ 到 Ｗ 的二型直觉模糊关系。 记为 Ｒ ＝ ｛〈（ｘ，ｙ），μＲ（ｘ，ｙ），ｖＲ（ｘ，ｙ）〉 ｜ ｘ ∈ Ｕ，ｙ ∈ Ｗ｝ 其中 μＲ（ｘ，ｙ） ＝ ∫ ｕ∈Ｊ ｕ （ｘ，ｙ） ｆ （ｘ，ｙ）（ｕ） ／ ｕ，Ｊ ｕ （ｘ，ｙ） ⊆ ［０，１］ ｖＲ（ｘ，ｙ） ＝ ∫ ｖ∈Ｊ ｖ （ｘ，ｙ） ｇ（ｘ，ｙ）（ｖ） ／ ｖ，Ｊ ｖ （ｘ，ｙ） ⊆ ［０，１］ 且对 ∀（ｘ，ｙ） ∈ Ｕ × Ｗ ，满足 ｍａｘ ｕ∈Ｊ ｕ （ｘ，ｙ） （ｆ （ｘ，ｙ）（ｕ） × ｕ） ＋ ｍａｘ ｖ∈Ｊ ｖ （ｘ，ｙ） （ｇ（ｘ，ｙ）（ｖ） × ｖ） ≤ １ 特别地，当 Ｕ ＝ Ｗ 时，二型直觉模糊关系 Ｒ 称为 Ｕ × Ｕ 上的二型直觉模糊关系。 ２ 二型直觉模糊粗糙集及其性质 定义 ４ 设 Ｒ 是 Ｕ × Ｕ 上的二型直觉模糊关 ·９４４· 智 能 系 统 学 报 第 １０ 卷
第6期 王金英，等：二型直觉模糊粗糙集 .945. 系，称(U,R)是二型直觉模糊近似空间，A是论域 模糊粗糙集。由此可见，本文给出的二型直觉模糊粗 U上的一个二型直觉模糊集，A关于近似空间(U, 糙集是文献[10]中的二型模糊粗糙集的推广。 R)的上近似和下近似分别是定义在U上的二型直 2)当R退化为U×U上的等价关系，A为U上 觉模糊集，具体形式如下 的二型直觉模糊集时，定义4中的二型直觉模糊粗 R(A)={(x,R(x),Ra(x)）|x∈U 糙集退化为如下形式： R(A)={(x,R(x),(x)）1x∈U川 R(A)={(x,R(x),RA(x)）Ix∈U 其中 R(A)={〈x,RA)(x),URa)(x)〉Ix∈U uica)(x)=Vyeu[ua(y)AuR(x,y) 其中 v(x)=A[(y)Veg(x.y)] Ra)(x)=7,e(y） (x)=,[n(y）Vwr(x,y)] vRA)(x)=4,DA(y） ye[x]R m(x)=V,euLv(y)Aug(x.y)] (x)=,A） 称(R(A)、R(A))为A关于(U,R)的二型直觉模 gA(x)=V,回(y） 糊粗糙集。 称(R(A)、R(A))为A关于(U,R)的粗糙二型直 下面讨论特殊情况下的模型形式。 觉模糊集。 1)当R退化为U×U上的普通二型模糊关系， 下面讨论定义4中的二型直觉模糊粗糙近似算子 A退化为U上的普通二型模糊集时，定义4中的二 的性质。为此先将文献[12-13]中有关普通二型模糊 型直觉模糊粗糙集退化为文献[10]中的二型模糊 集之间包含关系的定义推广到二型直觉模糊集。 粗糙集。 定义5设A、B是论域U上的2个二型直觉 这是因为，对Hx,y∈U,此时有 模糊集，规定 a(x)=]f.(u)/u ACB台Hx∈U,ua(x)(x),其中序关系定义为 (x)=(w)(1-w）=n(x),Ec[0,1 u(x)B(x)(x)VvB(x)=v(x) (x,y）=」fn(u)/(1-u)=7r(x,y) 台U(x)△rB(x)=DB(x) ucR:) wc[0,1] 定义5中的的序关系具有如下性质。 且由文献[12]可知下式成立： 定理2设A,B,C是论域U上的3个二型直 (uu(x)△μs(x))=L(x）7u(x) 觉模糊集，若ACB,即Hx∈U,(x)(x)。则有下式成立： 从而有 ua(x)Vμc(x)vB(x)△Uc(x) A[()Vk(x,y)]= (x)Auc(x)<uB(x)Auc(x) va(x)Vvc(x)vg(x)Vvc(x) △[u(y)μR(x,y)]= 证明由定义5可直接验证。 Vyeulu(y)AuR(x,y)]= 定理3设R和R是定义4中的上、下近似算 7R(a)(x) 即 子，A、B是论域U上的2个二型直觉模糊集，则有 下列性质： R(A)={Kx,R(x),T(x)Ix∈U川 为普通二型模糊集。 1)R(A)=R(A),R(A)=R(A); 同理可得 2)AC B=R(A)R(B),R(A)R(B) R(A)={(x,Ra(x),Ta(x)）Ix∈U 3)R C R2 R(A)C R2(A),R2(A)C 为普通二型模糊集。 R(A)。 于是(R(A),R(A)为A关于(U,R)的普通二型 证明1)因为
系，称 （Ｕ，Ｒ） 是二型直觉模糊近似空间， Ａ 是论域 Ｕ 上的一个二型直觉模糊集， Ａ 关于近似空间 （Ｕ， Ｒ） 的上近似和下近似分别是定义在 Ｕ 上的二型直 觉模糊集，具体形式如下 Ｒ － （Ａ） ＝ ｛〈ｘ，μＲ － （Ａ）（ｘ），ｖＲ － （Ａ）（ｘ）〉 ｜ ｘ ∈ Ｕ｝ Ｒ＿ （Ａ） ＝ ｛〈ｘ，μＲ ＿ （Ａ）（ｘ），ｖＲ ＿ （Ａ）（ｘ）〉 ｜ ｘ ∈ Ｕ｝ 其中 μＲ － （Ａ）（ｘ） ＝ Ñｙ∈Ｕ［μＡ（ｙ）ΔμＲ（ｘ，ｙ）］ ｖＲ － （Ａ）（ｘ） ＝ Δ ｙ∈Ｕ ［ｖＡ（ｙ） ÑｖＲ（ｘ，ｙ）］ μＲ ＿ （Ａ）（ｘ） ＝ Δ ｙ∈Ｕ ［μＡ（ｙ） ÑｖＲ（ｘ，ｙ）］ ｖＲ ＿ （Ａ）（ｘ） ＝ Ñｙ∈Ｕ［ｖＡ（ｙ）ΔμＲ（ｘ，ｙ）］ 称 （Ｒ＿ （Ａ）、Ｒ － （Ａ）） 为 Ａ 关于 （Ｕ，Ｒ） 的二型直觉模 糊粗糙集。 下面讨论特殊情况下的模型形式。 １）当 Ｒ 退化为 Ｕ × Ｕ 上的普通二型模糊关系， Ａ 退化为 Ｕ 上的普通二型模糊集时，定义 ４ 中的二 型直觉模糊粗糙集退化为文献［１０］中的二型模糊 粗糙集。 这是因为，对 ∀ｘ，ｙ ∈ Ｕ ，此时有 μＡ（ｘ） ＝ ∫ ｕ∈Ｊ ｕ ｘ ｆ ｘ（ｕ） ／ ｕ ｖＡ（ｘ） ＝ ∫ ｕ∈Ｊ ｕ ｘ ｆ ｘ（ｕ） ／ （１ － ｕ） ＝ ¬ μＡ（ｘ），Ｊ ｕ ｘ ⊆ ［０，１］ μＲ（ｘ，ｙ） ＝ ∫ ｕ∈Ｊ ｕ （ｘ，ｙ） ｆ （ｘ，ｙ）（ｕ） ／ ｕ ｖＲ（ｘ，ｙ） ＝ ∫ ｕ∈Ｊ ｕ （ｘ，ｙ） ｆ （ｘ，ｙ）（ｕ） ／ （１ － ｕ） ＝ ¬ μＲ（ｘ，ｙ） Ｊ ｕ （ｘ，ｙ） ⊆ ［０，１］ 且由文献［１２］可知下式成立： ¬ （μＡ（ｘ）ΔμＢ（ｘ）） ＝ ¬ μＡ（ｘ） Ѭ μＢ（ｘ） ¬ （μＡ（ｘ） ÑμＢ（ｘ）） ＝ ¬ μＡ（ｘ）Δ¬ μＢ（ｘ） 从而有 ｖＲ － （Ａ）（ｘ） ＝ Δ ｙ∈Ｕ ［ｖＡ（ｙ） ÑｖＲ（ｘ，ｙ）］ ＝ Δ ｙ∈Ｕ ［¬ μＡ（ｙ） Ѭ μＲ（ｘ，ｙ）］ ＝ Δ ｙ∈Ｕ ¬ ［μＡ（ｙ）ΔμＲ（ｘ，ｙ）］ ＝ ¬ Ñｙ∈Ｕ［μＡ（ｙ）ΔμＲ（ｘ，ｙ）］ ＝ ¬ μＲ － （Ａ）（ｘ） 即 Ｒ － （Ａ） ＝ ｛〈ｘ，μＲ － （Ａ）（ｘ），¬ μＲ － （Ａ）（ｘ）〉 ｜ ｘ ∈ Ｕ｝ 为普通二型模糊集。 同理可得 Ｒ＿ （Ａ） ＝ ｛〈ｘ，μＲ ＿ （Ａ）（ｘ），¬ μＲ ＿ （Ａ）（ｘ）〉 ｜ ｘ ∈ Ｕ｝ 为普通二型模糊集。 于是 （Ｒ＿ （Ａ），Ｒ － （Ａ）） 为 Ａ 关于 （Ｕ，Ｒ） 的普通二型 模糊粗糙集。 由此可见，本文给出的二型直觉模糊粗 糙集是文献［１０］中的二型模糊粗糙集的推广。 ２）当 Ｒ 退化为 Ｕ × Ｕ 上的等价关系， Ａ 为 Ｕ 上 的二型直觉模糊集时，定义 ４ 中的二型直觉模糊粗 糙集退化为如下形式： Ｒ － （Ａ） ＝ ｛〈ｘ，μＲ － （Ａ）（ｘ），ｖＲ － （Ａ）（ｘ）〉 ｜ ｘ ∈ Ｕ｝ Ｒ＿ （Ａ） ＝ ｛〈ｘ，μＲ ＿ （Ａ）（ｘ），ｖＲ ＿ （Ａ）（ｘ）〉 ｜ ｘ ∈ Ｕ｝ 其中 μＲ － （Ａ）（ｘ） ＝ Ñｙ∈［ｘ］ ＲμＡ（ｙ） ｖＲ － （Ａ）（ｘ） ＝ Δ ｙ∈［ｘ］ Ｒ ｖＡ（ｙ） μＲ ＿ （Ａ）（ｘ） ＝ Δ ｙ∈［ｘ］ Ｒ μＡ（ｙ） ｖＲ ＿ （Ａ）（ｘ） ＝ Ñｙ∈［ｘ］ Ｒ ｖＡ（ｙ） 称 （Ｒ＿ （Ａ）、Ｒ － （Ａ）） 为 Ａ 关于 （Ｕ，Ｒ） 的粗糙二型直 觉模糊集。 下面讨论定义 ４ 中的二型直觉模糊粗糙近似算子 的性质。 为此先将文献［１２⁃１３］中有关普通二型模糊 集之间包含关系的定义推广到二型直觉模糊集。 定义 ５ 设 Ａ、Ｂ 是论域 Ｕ 上的 ２ 个二型直觉 模糊集，规定 Ａ ⊆ Ｂ⇔∀ｘ ∈ Ｕ，μＡ（ｘ） ≺ μＢ（ｘ） 且 ｖＡ（ｘ） ≻ ｖＢ（ｘ） ，其中序关系 ≺， ≻ 定义为 μＡ（ｘ） ≺ μＢ（ｘ）⇔μＡ（ｘ）ΔμＢ（ｘ） ＝ μＡ（ｘ） ⇔μＡ（ｘ） ÑμＢ（ｘ） ＝ μＢ（ｘ） ｖＡ（ｘ） ≻ ｖＢ（ｘ）⇔ｖＡ（ｘ） ÑｖＢ（ｘ） ＝ ｖＡ（ｘ） ⇔ｖＡ（ｘ）ΔｖＢ（ｘ） ＝ ｖＢ（ｘ） 定义 ５ 中的的序关系具有如下性质。 定理 ２ 设 Ａ，Ｂ，Ｃ 是论域 Ｕ 上的 ３ 个二型直 觉模糊集，若 Ａ ⊆ Ｂ ，即 ∀ｘ ∈ Ｕ ， μＡ（ｘ） ≺ μＢ（ｘ） 且 ｖＡ（ｘ） ≻ ｖＢ（ｘ） 。 则有下式成立： μＡ（ｘ） ÑμＣ（ｘ） ≺ μＢ（ｘ） ÑμＣ（ｘ） ｖＡ（ｘ）ΔｖＣ（ｘ） ≻ ｖＢ（ｘ）ΔｖＣ（ｘ） μＡ（ｘ）ΔμＣ（ｘ） ≺ μＢ（ｘ）ΔμＣ（ｘ） ｖＡ（ｘ） ÑｖＣ（ｘ） ≻ ｖＢ（ｘ） ÑｖＣ（ｘ） 证明 由定义 ５ 可直接验证。 定理 ３ 设 Ｒ － 和 Ｒ＿ 是定义 ４ 中的上、下近似算 子， Ａ、Ｂ 是论域 Ｕ 上的 ２ 个二型直觉模糊集，则有 下列性质： １） Ｒ － （Ａ ｃ ） ＝ Ｒ＿ ｃ （Ａ） ， Ｒ＿ （Ａ ｃ ） ＝ Ｒ － ｃ （Ａ） ； ２） Ａ ⊆ Ｂ⇒Ｒ － （Ａ） ⊆ Ｒ － （Ｂ） ， Ｒ＿ （Ａ） ⊆ Ｒ＿ （Ｂ） ； ３ ） Ｒ１ ⊆ Ｒ２⇒ Ｒ１ （Ａ） ⊆ Ｒ２ （Ａ） ， Ｒ２ ＿ （Ａ） ⊆ Ｒ１ ＿ （Ａ） 。 证明 １）因为 第 ６ 期 王金英，等：二型直觉模糊粗糙集 ·９４５·
.946. 智能系统学报 第10卷 Ra(x)=V,eu[ur(y)△μe(x,y)]= R(A∩B)=R(A)∩R(B); V,eu[v(y)Aug(x,y)]= 2)R(A∩B)CR(A)∩R(B), URc)(x),(x)=A[v(y)VuR(x,y)]= R(AUB)2R(A)UR(B)。 ,[(y）Vur(x,)]=a(x) 证明1)对于Hx∈0，有 所以 uicum (x)=Vyeu[uun(y)AuR(x.y)]= R(A)={(x,R4(x),(x)）1x∈U}= Vyeu[(u(y)Vue(y))AuR(x,y)] {Kx,"(x),Ra(x)）Ix∈U川=R(A) V,eu{[u(y)△R(x,y)]7[s(y)△μe(x,y)]}= IV,eulm(y)Aug(x.y)VIV,eulua(y)AuR(x.y)] 同理可得：R(A)=R(A)。 R(A)(x)V(B)(x)=R()RB)(x) 2)若A≤B,即Hx∈U,u(x)g(x),则有 i4um(x）=,[4uay)）Ve(x,）]= uica)(x)=V,eulu(y)AuR(x,y)] A[(v(y)Avg(y))Veg(x.y)]= V,eu[uB(y)AuR(x,y)]=ui()(x) (x)=A[v(y)Vog(x.y) (x)Av((x)=R((x) 之[a）Vw(x,)]=(x) 所以，R(AUB)=R(A)UR(B)。 同理可得：R(A∩B)=R(A)∩R(B)。 所以，R(A)CR(B)。同理可得：R(A)CR(B)。 4)因为A∩BCA,B,由定理3的性质(2)有 3)若R1CR2,即x∈U,R(x,y)U(x,y),那么有 R(x)=7,eU[ua(y）△r,(x,y)] 所以，R(A∩B)CR(A)∩R(B)。 V,eu[u(y)AuR,(x,y)]=uR(4)(x) 同理可得：R(AUB)2R(A)UR(B)。 ((x)=A[v(y)Vug(x.y)] 3 二型直觉模糊关系与近似算子的特 >,A[(y）Vn(x,y）]=a(x) 征联系 所以，R1(A)CR2(A)。 同理可得：R2(A)CR(A)。 定义6设R是论域U×U上的二型直觉模糊 需要指出的是，由于上文中研究的二型直觉模 关系，规定 糊集的运算不满足分配律和吸收律，导致二型直觉 模糊近似算子的一些性质不成立。例如 1)R是自反的oVx∈U,,(x,)=且 R(AUB)=R(A)UR(B) 0石 R(A∩B)=R(A)∩R(B) 2)R是对称的台x,y∈U,R(x,y)=r（y, R(A∩B)SR(A)∩R(B) x)且UR(x,y)=vR(y,x)。 R(AUB)2R(A)UR(B) 3)R是传递的台Hx,y,z∈U,7,U 都不成立。如果限定所有二型直觉模糊集的主隶属 [uR(x,y）△μr(y,z)]'r(x,z)o 述性质便成立，其原因是：上述性质的证明过程需要 定义7对于Hy∈U,二型单值直觉模糊集 使用分配律和吸收律。 1,和其补集1- 分别定义如下： 为了便于研究和计算，假设下文中讨论的所有 [1 [ 二型直觉模糊集都满足如下条件：主隶属度和主非 0x=y, 隶属度都是标准的凸一型模糊集。 u1,(x)= 1 ,(x)= 0x*: 1 定理4设R和R是定义4中的上、下近似算 子，A、B是论域U上的2个二型直觉模糊集，则有 0t=y, 下列性质： 4.(x)= 1 1)R(A UB)=R(A)UR(B), ,X≠y 0
μＲ － （Ａｃ）（ｘ） ＝ Ñｙ∈Ｕ［μＡｃ（ｙ）ΔμＲ（ｘ，ｙ）］ ＝ Ñｙ∈Ｕ［ｖＡ（ｙ）ΔμＲ（ｘ，ｙ）］ ＝ ｖＲ ＿ （Ａ）（ｘ），ｖＲ － （Ａｃ）（ｘ） ＝ Δ ｙ∈Ｕ ［ｖＡｃ（ｙ） ÑｖＲ（ｘ，ｙ）］ ＝ Δ ｙ∈Ｕ ［μＡ（ｙ） ÑｖＲ（ｘ，ｙ）］ ＝ μＲ ＿ （Ａ）（ｘ） 所以 Ｒ － （Ａ ｃ ） ＝ ｛〈ｘ，μＲ － （Ａｃ）（ｘ），ｖＲ － （Ａｃ）（ｘ）〉 ｜ ｘ ∈ Ｕ｝ ＝ ｛〈ｘ，ｖＲ ＿ （Ａ）（ｘ），μＲ ＿ （Ａ）（ｘ）〉 ｜ ｘ ∈ Ｕ｝ ＝ Ｒ＿ ｃ （Ａ） 同理可得： Ｒ＿ （Ａ ｃ ） ＝ Ｒ － ｃ （Ａ） 。 ２）若 Ａ ⊆ Ｂ ，即 ∀ｘ ∈ Ｕ ， μＡ（ｘ） ≺ μＢ（ｘ） 且 ｖＡ（ｘ） ≻ ｖＢ（ｘ） ，则有 μＲ － （Ａ）（ｘ） ＝ Ñｙ∈Ｕ［μＡ（ｙ）ΔμＲ（ｘ，ｙ）］ ≺ Ñｙ∈Ｕ［μＢ（ｙ）ΔμＲ（ｘ，ｙ）］ ＝ μＲ － （Ｂ）（ｘ） ｖＲ － （Ａ）（ｘ） ＝ Δ ｙ∈Ｕ ［ｖＡ（ｙ） ÑｖＲ（ｘ，ｙ）］ ≻ Δ ｙ∈Ｕ ［ｖＢ（ｙ） ÑｖＲ（ｘ，ｙ）］ ＝ ｖＲ － （Ｂ）（ｘ） 所以， Ｒ － （Ａ） ⊆ Ｒ － （Ｂ） 。 同理可得： Ｒ＿ （Ａ） ⊆ Ｒ＿ （Ｂ） 。 ３）若 Ｒ１ ⊆ Ｒ２ ，即 ∀ｘ ∈ Ｕ ， μＲ１ （ｘ，ｙ） ≺ μＲ２ （ｘ， ｙ） 且 ｖＲ１ （ｘ，ｙ） ≻ ｖＲ２ （ｘ，ｙ） ，那么有 μＲ１ （Ａ）（ｘ） ＝ Ñｙ∈Ｕ［μＡ（ｙ）ΔμＲ１ （ｘ，ｙ）］ ≺ Ñｙ∈Ｕ［μＡ（ｙ）ΔμＲ２ （ｘ，ｙ）］ ＝ μＲ２ （Ａ）（ｘ） ｖＲ１ （Ａ）（ｘ） ＝ Δ ｙ∈Ｕ ［ｖＡ（ｙ） ÑｖＲ１ （ｘ，ｙ）］ ≻ Δ ｙ∈Ｕ ［ｖＡ（ｙ） ÑｖＲ２ （ｘ，ｙ）］ ＝ ｖＲ２ （Ａ）（ｘ） 所以， Ｒ１ （Ａ） ⊆ Ｒ２ （Ａ） 。 同理可得： Ｒ２ ＿ （Ａ） ⊆ Ｒ１ ＿ （Ａ） 。 需要指出的是，由于上文中研究的二型直觉模 糊集的运算不满足分配律和吸收律，导致二型直觉 模糊近似算子的一些性质不成立。 例如 Ｒ － （Ａ ∪ Ｂ） ＝ Ｒ － （Ａ） ∪ Ｒ － （Ｂ） Ｒ＿ （Ａ ∩ Ｂ） ＝ Ｒ＿ （Ａ） ∩ Ｒ＿ （Ｂ） Ｒ － （Ａ ∩ Ｂ） ⊆ Ｒ － （Ａ） ∩ Ｒ － （Ｂ） Ｒ＿ （Ａ ∪ Ｂ） ⊇ Ｒ＿ （Ａ） ∪ Ｒ＿ （Ｂ） 都不成立。 如果限定所有二型直觉模糊集的主隶属 度和主非隶属度均为标准的凸一型模糊集，那么上 述性质便成立，其原因是：上述性质的证明过程需要 使用分配律和吸收律。 为了便于研究和计算，假设下文中讨论的所有 二型直觉模糊集都满足如下条件：主隶属度和主非 隶属度都是标准的凸一型模糊集。 定理 ４ 设 Ｒ － 和 Ｒ＿ 是定义 ４ 中的上、下近似算 子， Ａ、Ｂ 是论域 Ｕ 上的 ２ 个二型直觉模糊集，则有 下列性质： １） Ｒ － （Ａ ∪ Ｂ） ＝ Ｒ － （Ａ） ∪ Ｒ － （Ｂ） ， Ｒ＿ （Ａ ∩ Ｂ） ＝ Ｒ＿ （Ａ） ∩ Ｒ＿ （Ｂ） ； ２） Ｒ － （Ａ ∩ Ｂ） ⊆ Ｒ － （Ａ） ∩ Ｒ － （Ｂ） ， Ｒ＿ （Ａ ∪ Ｂ） ⊇ Ｒ＿ （Ａ） ∪ Ｒ＿ （Ｂ） 。 证明 １）对于 ∀ｘ ∈ Ｕ ，有 μＲ － （Ａ∪Ｂ）（ｘ） ＝ Ñｙ∈Ｕ［μＡ∪Ｂ（ｙ）ΔμＲ（ｘ，ｙ）］ ＝ Ñｙ∈Ｕ［ (μＡ（ｙ） ÑμＢ（ｙ） ) ΔμＲ（ｘ，ｙ）］ ＝ Ñｙ∈Ｕ｛［μＡ（ｙ）ΔμＲ（ｘ，ｙ）］ Ñ［μＢ（ｙ）ΔμＲ（ｘ，ｙ）］｝ ＝ ｛Ñｙ∈Ｕ［μＡ（ｙ）ΔμＲ（ｘ，ｙ）］｝ Ñ｛Ñｙ∈Ｕ［μＢ（ｙ）ΔμＲ（ｘ，ｙ）］｝ ＝ μＲ － （Ａ）（ｘ） ÑμＲ － （Ｂ）（ｘ） ＝ μＲ － （Ａ）∪Ｒ － （Ｂ）（ｘ） 类似地，有 ｖＲ － （Ａ∪Ｂ）（ｘ） ＝ Δ ｙ∈Ｕ ［ｖＡ∪Ｂ（ｙ） ÑｖＲ（ｘ，ｙ）］ ＝ Δ ｙ∈Ｕ ［ ｖＡ（ｙ）Δｖ ( Ｂ（ｙ） ) ÑｖＲ（ｘ，ｙ）］ ＝ ｖＲ － （Ａ）（ｘ）ΔｖＲ － （Ｂ）（ｘ） ＝ ｖＲ － （Ａ）∪Ｒ － （Ｂ）（ｘ） 所以， Ｒ － （Ａ ∪ Ｂ） ＝ Ｒ － （Ａ） ∪ Ｒ － （Ｂ） 。 同理可得： Ｒ＿ （Ａ ∩ Ｂ） ＝ Ｒ＿ （Ａ） ∩ Ｒ＿ （Ｂ） 。 ４）因为 Ａ ∩ Ｂ ⊆ Ａ，Ｂ ，由定理 ３ 的性质（２）有 Ｒ － （Ａ ∩ Ｂ） ⊆ Ｒ － （Ａ），Ｒ － （Ｂ） 所以， Ｒ － （Ａ ∩ Ｂ） ⊆ Ｒ － （Ａ） ∩ Ｒ － （Ｂ） 。 同理可得： Ｒ＿ （Ａ ∪ Ｂ） ⊇ Ｒ＿ （Ａ） ∪ Ｒ＿ （Ｂ） 。 ３ 二型直觉模糊关系与近似算子的特 征联系 定义 ６ 设 Ｒ 是论域 Ｕ × Ｕ 上的二型直觉模糊 关系，规定 １） Ｒ 是自反的 ⇔∀ｘ ∈ Ｕ， μＲ（ｘ，ｘ） ＝ １ １ 且 ｖＲ（ｘ，ｘ） ＝ １ ０ 。 ２） Ｒ 是对称的 ⇔∀ｘ，ｙ ∈ Ｕ，μＲ（ｘ，ｙ） ＝ μＲ（ｙ， ｘ） 且 ｖＲ（ｘ，ｙ） ＝ ｖＲ（ｙ，ｘ） 。 ３ ） Ｒ 是 传 递 的 ⇔∀ｘ，ｙ，ｚ ∈ Ｕ， Ñ ｙ∈Ｕ μＲ (ｘ，ｙ) ΔμＲ [ (ｙ，ｚ) ] ≺ μＲ (ｘ，ｚ) 且 Δ ｙ∈Ｕ ｖＲ (ｘ，ｙ) ÑｖＲ [ (ｙ，ｚ) ] ≻ ｖＲ (ｘ，ｚ) 。 定义 ７ 对于 ∀ｙ ∈ Ｕ ，二型单值直觉模糊集 １ｙ 和其补集 １Ｕ－{ｙ} 分别定义如下： μ１ｙ （ｘ） ＝ １ １ ，ｘ ＝ ｙ， １ ０ ，ｘ ≠ ｙ； ì î í ï ï ï ï ｖ１ｙ （ｘ） ＝ １ ０ ，ｘ ＝ ｙ， １ １ ，ｘ ≠ ｙ； ì î í ï ï ï ï μ１Ｕ－{ｙ} （ｘ） ＝ １ ０ ，ｘ ＝ ｙ， １ １ ，ｘ ≠ ｙ； ì î í ï ï ï ï ｖ１Ｕ－{ｙ} （ｘ） ＝ １ １ ，ｘ ＝ ｙ， １ ０ ，ｘ ≠ ｙ ì î í ï ï ï ï ·９４６· 智 能 系 统 学 报 第 １０ 卷
第6期 王金英，等：二型直觉模糊粗糙集 ·947. 定理5设(U,R)是一个二型直觉模糊近似 [ur(x,y)△μr(y,z)]e(x,z)。 列性质成立： 那么有 1)若R是自反的，则R(A)二ACR(A)。 RRa)(x)=V,eU[uRA)(y)△μR(x,y)]= 2)若R是对称的，则x,y∈U,1,)(y)= V,eu[Veu(uA(t)μr(y,t))]△R(x,y)}= L,(x),a(y）=Di4(x)-)(x)= VeulVieu[(ua(t)Aue(y,t))Aue(x,y)]= La-)（y）,"1-t1)（x)="a-)（y)。 V.eV,eu[(t)A(uR(y,t)Aug(x,y))]= Veuu(t)△[V,eu(uR(y,t)μe(x,y))]} 3)若R是传递的，则R(R(A)CR(A),R(A) (x) 且(x,)=0。 1 1 所以，R(R(A))CR(A)。 那么有 同理可得：R(A)CR(R(A)) L(x)=,A[u(y)V(x,y)]UA(x)△uR(x,x)= 描述上比模糊集更细腻，成为模糊集的自然推广，因 "(x)=(x) 此二型直觉模糊集与粗糙集的融合在实际应用中将 会有更好地效果。本文将二型直觉模糊集和粗糙集 所以，R(A)CA。同理可得：ACR(A)。 相融合，建立二型直觉模糊粗糙集模型，同时给出了 即R(A)CACR(A)。 上、下近似算子的一些性质，为二型直觉模糊信息系 2)若R是对称的，则Hx,y∈U,(x,y)= 统的约简奠定了基础，也为二型直觉模糊信息系统 uR(y,x)且UR(x,y)=R(y,x)。 的应用提供了理论保障。 那么有 参考文献： R,)（y)=Veu[u1,(t)4μe(y,t)]= [u,(x)4r(y,x)]V{-[,(t)4r(y,t)]}= [1]ZADEH L A.Fuzzy sets J].Information and Control, 1965,8(3):338-353. [74y,)]1[O4y,0]}= [2]ATANASSOV K T.Intuitionstic fuzzy sets[J].Fuzzy Sets and Systems,1986,20(1):87-96. (,)1。A[=,0] [3]ATANASSOV K T,GARGOV G.Interval valued intuition- stic fuzzy sets[J].Fuzzy Sets and Systems,1989,31(3): [,)哈]△(.)-0]= 343-349. [4]ZADEH L A.The concept of a linguistic variable and its ap- uR(y,x)Alun(y,x)V[ViuuR(y,t)]= plication to approximate reasoning[J].Information Science, uR(y,x) 1975,8(3):199-249. 类似地，有，(x)=Ve[山，(t)4r(x,)]= [5]MENDEL J M,JOHN R I B.Type-2 fuzzy sets made simple (x,y）,所以，，（y)=4,(x)。 [J].IEEE Transactions on Fuzzy Systems,2002,10(2): 同理可得 117-127. 1)(y）=1,(x) [6]PAWLAK Z.Rough sets[J].International Journal of Com- puter Information Sciences,1982,11(5):341-356. 儿-)(x）=L-)（y） [7]DUBOIS D,PRADE H.Rough fuzzy sets and fuzzy rough "-1)（x)=t1-)（y） sets[J].International Journal of General Systems,1990,17 3)若R是传递的，则Hx,y,z∈U,VyeU (2-3):191-209
定理 ５ 设 （Ｕ，Ｒ） 是一个二型直觉模糊近似 空间， Ａ 是论域 Ｕ 上的一个二型直觉模糊集，则下 列性质成立： １）若 Ｒ 是自反的，则 Ｒ＿ （Ａ） ⊆ Ａ ⊆ Ｒ － （Ａ） 。 ２） 若 Ｒ 是对称的，则 ∀ｘ，ｙ ∈ Ｕ，μＲ － （１ｘ ）（ｙ） ＝ μＲ － （１ｙ ）（ｘ），ｖＲ － （１ｘ ）（ｙ） ＝ ｖＲ － （１ｙ ）（ｘ），μＲ ＿ （１Ｕ－{ｙ} ）（ｘ） ＝ μＲ ＿ （１Ｕ－{ｘ} ）（ｙ），ｖＲ ＿ （１Ｕ－{ｙ} ）（ｘ） ＝ ｖＲ ＿ （１Ｘ－{ｘ} ）（ｙ）。 ３）若 Ｒ 是传递的，则 Ｒ － （Ｒ － （Ａ）） ⊆ Ｒ － （Ａ），Ｒ＿ （Ａ） ⊆ Ｒ＿ （Ｒ＿ （Ａ）） 。 证明 １）若 Ｒ 是自反的，则 ∀ｘ ∈ Ｕ，μＲ（ｘ，ｘ） ＝ １ １ 且 ｖＲ（ｘ，ｘ） ＝ １ ０ 。 那么有 μＲ ＿ （Ａ）（ｘ） ＝ Δ ｙ∈Ｕ ［μＡ（ｙ） ÑｖＲ（ｘ，ｙ）］ ≺ μＡ（ｘ） ÑｖＲ（ｘ，ｘ） ＝ μＡ（ｘ） Ñ １ ０ ＝ μＡ（ｘ） 并且 ｖＲ ＿ （Ａ）（ｘ） ＝ Ñｙ∈Ｕ［ｖＡ（ｙ）ΔμＲ（ｘ，ｙ）］ ≻ ｖＡ（ｘ）ΔμＲ（ｘ，ｘ） ＝ ｖＡ（ｘ）Δ １ １ ＝ ｖＡ（ｘ） 所以， Ｒ＿ （Ａ） ⊆ Ａ 。 同理可得： Ａ ⊆ Ｒ － （Ａ） 。 即 Ｒ＿ （Ａ） ⊆ Ａ ⊆ Ｒ － （Ａ） 。 ２） 若 Ｒ 是对称的， 则 ∀ｘ，ｙ ∈ Ｕ，μＲ（ｘ，ｙ） ＝ μＲ（ｙ，ｘ） 且 ｖＲ（ｘ，ｙ） ＝ ｖＲ（ｙ，ｘ） 。 那么有 μＲ － （１ｘ ）（ｙ） ＝ Ñｔ∈Ｕ［μ１ｘ （ｔ）ΔμＲ（ｙ，ｔ）］ ＝ ［μ１ｘ （ｘ）ΔμＲ（ｙ，ｘ）］ Ñ｛Ñｔ≠ｘ［μ１ｘ （ｔ）ΔμＲ（ｙ，ｔ）］｝ ＝ ［ １ １ ΔμＲ（ｙ，ｘ）］ Ñ｛Ñｔ≠ｘ［ １ ０ ΔμＲ（ｙ，ｔ）］｝ ＝ μＲ（ｙ，ｘ） Ñ｛ １ ０ Δ［Ñｔ≠ｘμＲ（ｙ，ｔ）］｝ ＝ ［μＲ（ｙ，ｘ） Ñ １ ０ ］Δ｛μＲ（ｙ，ｘ） Ñ［Ñｔ≠ｘμＲ（ｙ，ｔ）］｝ ＝ μＲ（ｙ，ｘ）Δ｛μＲ（ｙ，ｘ） Ñ［Ñｔ≠ｘμＲ（ｙ，ｔ）］｝ ＝ μＲ（ｙ，ｘ） 类 似 地， 有 μＲ － （１ｙ ）（ｘ） ＝ Ñ ｔ∈Ｕ［μ１ｙ （ｔ）ΔμＲ（ｘ，ｔ）］ ＝ μＲ（ｘ，ｙ）， 所以， μＲ － （１ｘ ）（ｙ） ＝ μＲ － （１ｙ ）（ｘ） 。 同理可得 ｖＲ － （１ｘ ）（ｙ） ＝ ｖＲ － （１ｙ ）（ｘ） μＲ ＿ （１Ｕ－{ｙ} ）（ｘ） ＝ μＲ ＿ （１Ｕ－{ｘ} ）（ｙ） ｖＲ ＿ （１Ｕ－{ｙ} ）（ｘ） ＝ ｖＲ ＿ （１Ｘ－{ｘ} ）（ｙ） ３ ） 若 Ｒ 是 传 递 的， 则 ∀ｘ，ｙ，ｚ ∈ Ｕ， Ñｙ∈Ｕ μＲ (ｘ，ｙ) ΔμＲ [ (ｙ，ｚ) ] ≺ μＲ (ｘ，ｚ) 且 Δ ｙ∈Ｕ ｖＲ (ｘ，ｙ) ÑｖＲ [ (ｙ，ｚ) ] ≻ ｖＲ (ｘ，ｚ) 。 那么有 μＲ － （Ｒ － （Ａ））（ｘ） ＝ Ñｙ∈Ｕ［μＲ － （Ａ）（ｙ）ΔμＲ（ｘ，ｙ）］ ＝ Ñｙ∈Ｕ｛［Ñｔ∈Ｕ（μＡ（ｔ）ΔμＲ（ｙ，ｔ））］ΔμＲ（ｘ，ｙ）｝ ＝ Ñｙ∈Ｕ｛Ñｔ∈Ｕ［（μＡ（ｔ）ΔμＲ（ｙ，ｔ））ΔμＲ（ｘ，ｙ）］｝ ＝ Ñｔ∈ＵÑｙ∈Ｕ［μＡ（ｔ）Δ（μＲ（ｙ，ｔ）ΔμＲ（ｘ，ｙ））］ ＝ Ñｔ∈Ｕ｛μＡ（ｔ）Δ［Ñｙ∈Ｕ（μＲ（ｙ，ｔ）ΔμＲ（ｘ，ｙ））］｝ ≺ Ñｔ∈Ｕ［μＡ（ｔ）ΔμＲ（ｘ，ｔ）］ ＝ μＲ － （Ａ）（ｘ） 类似地，有 ｖＲ － （Ｒ － （Ａ））（ｘ） ＝ Δ ｙ∈Ｕ ［ｖＲ － （Ａ）（ｙ） ÑｖＲ（ｘ，ｙ）］ ≻ ｖＲ － （Ａ）（ｘ） 所以， Ｒ － （Ｒ － （Ａ）） ⊆ Ｒ － （Ａ） 。 同理可得： Ｒ＿ （Ａ） ⊆ Ｒ＿ （Ｒ＿ （Ａ）） ４ 结束语 由于二型模糊系统具有较强的鲁棒性，在鲁棒 控制、信号处理和系统辨识领域具有广泛的应用前 景，因此将二型模糊集与粗糙集融合建模无疑具有 理论意义和实际价值。 直觉模糊集因其在对问题的 描述上比模糊集更细腻，成为模糊集的自然推广，因 此二型直觉模糊集与粗糙集的融合在实际应用中将 会有更好地效果。 本文将二型直觉模糊集和粗糙集 相融合，建立二型直觉模糊粗糙集模型，同时给出了 上、下近似算子的一些性质，为二型直觉模糊信息系 统的约简奠定了基础，也为二型直觉模糊信息系统 的应用提供了理论保障。 参考文献： ［１］ ＺＡＤＥＨ Ｌ Ａ． Ｆｕｚｚｙ ｓｅｔｓ ［ Ｊ］． Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ａｎｄ Ｃｏｎｔｒｏｌ， １９６５， ８（３）： ３３８⁃３５３． ［２］ ＡＴＡＮＡＳＳＯＶ Ｋ Ｔ． Ｉｎｔｕｉｔｉｏｎｓｔｉｃ ｆｕｚｚｙ ｓｅｔｓ［ Ｊ］． Ｆｕｚｚｙ Ｓｅｔｓ ａｎｄ Ｓｙｓｔｅｍｓ， １９８６， ２０（１）： ８７⁃９６． ［３］ＡＴＡＮＡＳＳＯＶ Ｋ Ｔ， ＧＡＲＧＯＶ Ｇ． Ｉｎｔｅｒｖａｌ ｖａｌｕｅｄ ｉｎｔｕｉｔｉｏｎ⁃ ｓｔｉｃ ｆｕｚｚｙ ｓｅｔｓ［Ｊ］． Ｆｕｚｚｙ Ｓｅｔｓ ａｎｄ Ｓｙｓｔｅｍｓ， １９８９， ３１（３）： ３４３⁃３４９． ［４］ＺＡＤＥＨ Ｌ Ａ． Ｔｈｅ ｃｏｎｃｅｐｔ ｏｆ ａ ｌｉｎｇｕｉｓｔｉｃ ｖａｒｉａｂｌｅ ａｎｄ ｉｔｓ ａｐ⁃ ｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｔｏ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅ ｒｅａｓｏｎｉｎｇ［Ｊ］． Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｓｃｉｅｎｃｅ， １９７５， ８（３）： １９９⁃２４９． ［５］ＭＥＮＤＥＬ Ｊ Ｍ， ＪＯＨＮ Ｒ Ｉ Ｂ． Ｔｙｐｅ⁃２ ｆｕｚｚｙ ｓｅｔｓ ｍａｄｅ ｓｉｍｐｌｅ ［Ｊ］． ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ｆｕｚｚｙ Ｓｙｓｔｅｍｓ， ２００２， １０（２）： １１７⁃１２７． ［６］ＰＡＷＬＡＫ Ｚ． Ｒｏｕｇｈ ｓｅｔｓ［ Ｊ］． Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｃｏｍ⁃ ｐｕｔｅｒ ＆ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ， １９８２， １１（５）： ３４１⁃３５６． ［７］ＤＵＢＯＩＳ Ｄ， ＰＲＡＤＥ Ｈ． Ｒｏｕｇｈ ｆｕｚｚｙ ｓｅｔｓ ａｎｄ ｆｕｚｚｙ ｒｏｕｇｈ ｓｅｔｓ［Ｊ］． Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｇｅｎｅｒａｌ Ｓｙｓｔｅｍｓ， １９９０， １７ （２⁃３）： １９１⁃２０９． 第 ６ 期 王金英，等：二型直觉模糊粗糙集 ·９４７·
.948. 智能系统学报 第10卷 [8]CORNELIS C,DE COCK M,KERRE EE.Intuitionistic [14]邓廷权，王占江，汪培培，等.二型模糊集的模糊嫡研 fuzzy rough sets:at the crossroads of imperfect knowledge 究[J].控制与决策，2012,27(3)：408-412. [J].Expert Systems,2003,20(5):260-270. DENG Tingquan,WANG Zhanjiang,WANG Peipei,et al. [9]ZHOU Lei,WU Weizhi.On generalized intuitionistic fuzzy Study on fuzzy entropy of type-2 fuzzy sets[]].Control and rough approximation operators[].Information Sciences, Decision,2012,27(3):408-412. 2008,178(11):2448-2465. 作者简介： [10]赵涛，肖建.二型模糊粗糙集[J].控制与决策，2013， 王金英，女，1981年生，讲师，主要 28(3)：385-390. 研究方向为粗糙集理论、模糊集理论。 ZHAO Tao,XIAO Jian.Type-2 fuzzy rough sets[]]Con- trol and Decision,2013,28(3):385-390. [11]赵涛，肖建.二型直觉模糊集[J].控制理论与应用， 2012,29(9):1215-1222. ZHAO Tao,XIAO Jian.Type-2 intuitionistic fuzzy sets 韩晓冰，女，1988年生，研究生，主 [J].Control Theory Applications,2012.29(9):1215- 要研究方向为粗糙集理论与应用。 1222. [12]KARNIK NN,MENDEL J M.Operations on type-2 fuzzy sets[J].Fuzzy Sets and Systems,2001,122(2):327- 348. [13]MIZUMOTO M,TANAKA K.Some properties of fuzzy sets 王艳平，女，1965年生，教授，主要 研究方向为粗糙集理论、模糊集理论。 of type2[J].Information and Control,1976,31(4):312- 发表学术论文30余篇。 340. 2016第8届SPIE图像处理国际会议 2016 The 8th International Conference on Digital Image Processing (ICDIP 2016) 数字图像处理国际会议自2009年起，已先后在泰国曼谷，新加坡，中国成都，马来西亚吉隆坡，中国北京，希 腊雅典以及美国洛杉矶成功举行，大会已经成为相关专业人员的一个重要交流平台。第八届数字图像处理国际 会议将于2016年5月20日~22日再次在成都举行。 本次大会由新加坡计算机科学与信息技术学会和四川省计算机学会联合举办，四川省计算机学会理事长张 景中院士担任大会的名誉主席，由美国新罕布什尔大学的Yuri Rzhanov教授和北京大学的林宙辰教授联合担任 顾问委员会委员：由美国亚利桑那州立大学的Charles M.Falco教授，中国科学院成都计算机应用研究所所长王晓 宇研究员，成都信息工程大学校长周激流教授联合担任本次大会的大会主席；由新加坡南洋理工大学的Xuog Jiag教授，四川大学计算机学院/软件学院院长章毅教授，电子科技大学信息与软件工程学院院长秦志光教授，西 南交通大学信息科学与技术学院院长潘炜教授担任大会的程序委员会主席。 关于ICDP前7届的会议详情，请查看：htp:/ww.icdip.org/pub.html 会议网站：http:/www.icdip.org/index.html
［８］ ＣＯＲＮＥＬＩＳ Ｃ， ＤＥ ＣＯＣＫ Ｍ， ＫＥＲＲＥ Ｅ Ｅ． Ｉｎｔｕｉｔｉｏｎｉｓｔｉｃ ｆｕｚｚｙ ｒｏｕｇｈ ｓｅｔｓ： ａｔ ｔｈｅ ｃｒｏｓｓｒｏａｄｓ ｏｆ ｉｍｐｅｒｆｅｃｔ ｋｎｏｗｌｅｄｇｅ ［Ｊ］． Ｅｘｐｅｒｔ Ｓｙｓｔｅｍｓ， ２００３， ２０（５）： ２６０⁃２７０． ［９］ＺＨＯＵ Ｌｅｉ， ＷＵ Ｗｅｉｚｈｉ． Ｏｎ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｉｎｔｕｉｔｉｏｎｉｓｔｉｃ ｆｕｚｚｙ ｒｏｕｇｈ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ［ Ｊ］． Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ， ２００８， １７８（１１）： ２４４８⁃２４６５． ［１０］赵涛， 肖建． 二型模糊粗糙集［ Ｊ］． 控制与决策， ２０１３， ２８（３）： ３８５⁃３９０． ＺＨＡＯ Ｔａｏ， ＸＩＡＯ Ｊｉａｎ． Ｔｙｐｅ⁃２ ｆｕｚｚｙ ｒｏｕｇｈ ｓｅｔｓ［Ｊ］． Ｃｏｎ⁃ ｔｒｏｌ ａｎｄ Ｄｅｃｉｓｉｏｎ， ２０１３， ２８（３）： ３８５⁃３９０． ［１１］赵涛， 肖建． 二型直觉模糊集［ Ｊ］． 控制理论与应用， ２０１２， ２９（９）： １２１５⁃１２２２． ＺＨＡＯ Ｔａｏ， ＸＩＡＯ Ｊｉａｎ． Ｔｙｐｅ⁃２ ｉｎｔｕｉｔｉｏｎｉｓｔｉｃ ｆｕｚｚｙ ｓｅｔｓ ［ Ｊ］． Ｃｏｎｔｒｏｌ Ｔｈｅｏｒｙ ＆ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ， ２０１２， ２９（９）： １２１５⁃ １２２２． ［１２］ＫＡＲＮＩＫ Ｎ Ｎ， ＭＥＮＤＥＬ Ｊ Ｍ． Ｏｐｅｒａｔｉｏｎｓ ｏｎ ｔｙｐｅ⁃２ ｆｕｚｚｙ ｓｅｔｓ［Ｊ］． Ｆｕｚｚｙ Ｓｅｔｓ ａｎｄ Ｓｙｓｔｅｍｓ， ２００１， １２２ （ ２）： ３２７⁃ ３４８． ［１３］ＭＩＺＵＭＯＴＯ Ｍ， ＴＡＮＡＫＡ Ｋ． Ｓｏｍｅ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｏｆ ｆｕｚｚｙ ｓｅｔｓ ｏｆ ｔｙｐｅ２［Ｊ］． Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ａｎｄ Ｃｏｎｔｒｏｌ， １９７６， ３１（４）： ３１２⁃ ３４０． ［１４］邓廷权， 王占江， 汪培培， 等． 二型模糊集的模糊熵研 究［Ｊ］． 控制与决策， ２０１２， ２７（３）： ４０８⁃４１２． ＤＥＮＧ Ｔｉｎｇｑｕａｎ， ＷＡＮＧ Ｚｈａｎｊｉａｎｇ， ＷＡＮＧ Ｐｅｉｐｅｉ， ｅｔ ａｌ． Ｓｔｕｄｙ ｏｎ ｆｕｚｚｙ ｅｎｔｒｏｐｙ ｏｆ ｔｙｐｅ⁃２ ｆｕｚｚｙ ｓｅｔｓ［Ｊ］． Ｃｏｎｔｒｏｌ ａｎｄ Ｄｅｃｉｓｉｏｎ， ２０１２， ２７（３）： ４０８⁃４１２． 作者简介： 王金英，女，１９８１ 年生，讲师，主要 研究方向为粗糙集理论、模糊集理论。 韩晓冰，女，１９８８ 年生，研究生，主 要研究方向为粗糙集理论与应用。 王艳平，女，１９６５ 年生，教授，主要 研究方向为粗糙集理论、模糊集理论。 发表学术论文 ３０ 余篇。 ２０１６ 第 ８ 届 ＳＰＩＥ 图像处理国际会议 ２０１６ Ｔｈｅ ８ｔｈ Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ ｏｎ Ｄｉｇｉｔａｌ Ｉｍａｇｅ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ （ ＩＣＤＩＰ ２０１６） 数字图像处理国际会议自 ２００９ 年起，已先后在泰国曼谷，新加坡，中国成都，马来西亚吉隆坡，中国北京，希 腊雅典以及美国洛杉矶成功举行，大会已经成为相关专业人员的一个重要交流平台。 第八届数字图像处理国际 会议将于 ２０１６ 年 ５ 月 ２０ 日～２２ 日再次在成都举行。 本次大会由新加坡计算机科学与信息技术学会和四川省计算机学会联合举办，四川省计算机学会理事长张 景中院士担任大会的名誉主席，由美国新罕布什尔大学的 Ｙｕｒｉ Ｒｚｈａｎｏｖ 教授和北京大学的林宙辰教授联合担任 顾问委员会委员；由美国亚利桑那州立大学的 Ｃｈａｒｌｅｓ Ｍ． Ｆａｌｃｏ 教授，中国科学院成都计算机应用研究所所长王晓 宇研究员，成都信息工程大学校长周激流教授联合担任本次大会的大会主席；由新加坡南洋理工大学的 Ｘｕｄｏｎｇ Ｊｉａｎｇ 教授，四川大学计算机学院／ 软件学院院长章毅教授，电子科技大学信息与软件工程学院院长秦志光教授，西 南交通大学信息科学与技术学院院长潘炜教授担任大会的程序委员会主席。 关于 ＩＣＤＩＰ 前 ７ 届的会议详情，请查看：ｈｔｔｐ： ／ ／ ｗｗｗ．ｉｃｄｉｐ．ｏｒｇ ／ ｐｕｂ．ｈｔｍｌ 会议网站：ｈｔｔｐ： ／ ／ ｗｗｗ．ｉｃｄｉｐ．ｏｒｇ ／ ｉｎｄｅｘ．ｈｔｍｌ ·９４８· 智 能 系 统 学 报 第 １０ 卷
