第10卷第6期 智能系统学报 Vol.10 No.6 2015年12月 CAAI Transactions on Intelligent Systems Dee.2015 D0L:10.11992/is.201507055 网s络出版地址：http:/www.cnki.net/kcms/detail/23.1538.p.20151110.1354.018.html 决策形势背景的命题推演 马丽12，米据生 (1.河北师范大学数学与信息科学学院，河北石家庄050024：2.石家庄经济学院信息工程学院，河北石家庄 050031) 摘要：在形势背景的基础上，通过弱化形式概念构成的条件，定义了比形式概念更为广泛的认知基本单位，即命 题。基于一些基本概念如必然命题和充分命题，给出了命题的一些相关性质及各种命题间的关系，以及获取一些新 命题的有效方式。通过确定一个命题的程度即确定度，探讨了基于决策形式背景中的命题推理方法，为形势背景上 的不确定推理提供了一种新的认知框架。 关键词：概念格：决策形式背景；确定度；必然命题：充分命题 中图分类号：TP18文献标志码：A文章编号：1673-4785(2015)06-0934-04 中文引用格式：马丽，米据生.决策形势背景的命题推演[J].智能系统学报，2015,10(6)：934-937. 英文引用格式：MAi,MI Jusheng.Propositions reasoning of decision formal contexts[J].CAAI Transactions on Intelligent Sys- tems,2015,10(6):934-937. Propositions reasoning of decision formal contexts MA Li'2,MI Jusheng' (1.College of Mathematics and Information Science,Hebei Normal University,Shijiazhuang 050024,China;2.College of Information and Engineering,Shijiazhuang University of Economics,Shijiazhuang 050031,China) Abstract:With respect to formal context,by weakening the composition condition of a formal concept,this paper proposes that the basic unit of cognition,i.e.,proposition,is wider than the current formal concept.Using the con- cepts of necessary proposition and sufficient proposition as a basis,we provide some related properties of a proposi- tion and the relationship between various propositions,and propose an effective way to obtain some new proposi- tions.Using the degree of determination of a proposition,this paper discusses the propositional reasoning in a deci- sion formal context,and provides a new framework for uncertain reasoning in a formal context. Keywords:concept lattice;decision formal context;determine degree;necessary proposition;sufficient proposi- tion 形式概念分析)是由德国的数学家R.Wile教 成概念格的过程实际上是一种概念聚类的过程。 授在1982年首次提出来的，作为一种进行数据分析 作为形式概念分析理论中的一种核心的数据结构， 和知识发现的有效的数学工具，用于概念的发现、排 概念格逐渐成为数据分析和规则提取的一种有效工 序和显示，所有概念连同它们之间的泛化和特化关 具。不确定性知识表示及推理是人工智能领域中的 系构成了概念格，也称为Galois格。从数据集中生 一个重要的课题。近年来，不确定性推理已发展为 知识发现的一个新的分支，它包括定性推理和定量 收稿日期：2015-07-23.网络出版日期：2015-11-10. 推理。定量不确定性推理方法通过对命题的数值计 基金项目：国家自然科学基金资助项目(61170107.61300153). 通信作者：马丽.E-mail:sumasoft@163.com. 算提供了因果关系的数值趋势。它首先需要表示和 测量不确定信息。不同的信息表示方法和不同的测
第 １０ 卷第 ６ 期 智 能 系 统 学 报 Ｖｏｌ．１０ №．６ ２０１５ 年 １２ 月 ＣＡＡＩ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｔ Ｓｙｓｔｅｍｓ Ｄｅｃ． ２０１５ ＤＯＩ：１０．１１９９２ ／ ｔｉｓ．２０１５０７０５５ 网络出版地址：ｈｔｔｐ： ／ ／ ｗｗｗ．ｃｎｋｉ．ｎｅｔ ／ ｋｃｍｓ／ ｄｅｔａｉｌ ／ ２３．１５３８．ｔｐ．２０１５１１１０．１３５４．０１８．ｈｔｍｌ 决策形势背景的命题推演 马丽１，２ ，米据生１ （１．河北师范大学 数学与信息科学学院，河北 石家庄 ０５００２４； ２． 石家庄经济学院 信息工程学院，河北 石家庄 ０５００３１） 摘 要：在形势背景的基础上，通过弱化形式概念构成的条件，定义了比形式概念更为广泛的认知基本单位，即命 题。 基于一些基本概念如必然命题和充分命题，给出了命题的一些相关性质及各种命题间的关系，以及获取一些新 命题的有效方式。 通过确定一个命题的程度即确定度，探讨了基于决策形式背景中的命题推理方法，为形势背景上 的不确定推理提供了一种新的认知框架。 关键词：概念格； 决策形式背景； 确定度； 必然命题； 充分命题 中图分类号：ＴＰ１８ 文献标志码：Ａ 文章编号：１６７３⁃４７８５（２０１５）０６⁃０９３４⁃０４ 中文引用格式：马丽，米据生． 决策形势背景的命题推演［Ｊ］． 智能系统学报， ２０１５， １０（６）： ９３４⁃９３７． 英文引用格式：ＭＡ Ｌｉ， ＭＩ Ｊｕｓｈｅｎｇ． Ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎｓ ｒｅａｓｏｎｉｎｇ ｏｆ ｄｅｃｉｓｉｏｎ ｆｏｒｍａｌ ｃｏｎｔｅｘｔｓ［ Ｊ］． ＣＡＡＩ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｔ Ｓｙｓ⁃ ｔｅｍｓ， ２０１５， １０（６）： ９３４⁃９３７． Ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎｓ ｒｅａｓｏｎｉｎｇ ｏｆ ｄｅｃｉｓｉｏｎ ｆｏｒｍａｌ ｃｏｎｔｅｘｔｓ ＭＡ Ｌｉ １，２ ， ＭＩ Ｊｕｓｈｅｎｇ １ （１． Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｓｃｉｅｎｃｅ， Ｈｅｂｅｉ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ， Ｓｈｉｊｉａｚｈｕａｎｇ ０５００２４， Ｃｈｉｎａ； ２． Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ａｎｄ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ， Ｓｈｉｊｉａｚｈｕａｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｅｃｏｎｏｍｉｃｓ， Ｓｈｉｊｉａｚｈｕａｎｇ ０５００３１， Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｗｉｔｈ ｒｅｓｐｅｃｔ ｔｏ ｆｏｒｍａｌ ｃｏｎｔｅｘｔ， ｂｙ ｗｅａｋｅｎｉｎｇ ｔｈｅ ｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｏｆ ａ ｆｏｒｍａｌ ｃｏｎｃｅｐｔ， ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｐｒｏｐｏｓｅｓ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｂａｓｉｃ ｕｎｉｔ ｏｆ ｃｏｇｎｉｔｉｏｎ， ｉ．ｅ．， ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ， ｉｓ ｗｉｄｅｒ ｔｈａｎ ｔｈｅ ｃｕｒｒｅｎｔ ｆｏｒｍａｌ ｃｏｎｃｅｐｔ． Ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｃｏｎ⁃ ｃｅｐｔｓ ｏｆ ｎｅｃｅｓｓａｒｙ ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ ａｎｄ ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ ａｓ ａ ｂａｓｉｓ， ｗｅ ｐｒｏｖｉｄｅ ｓｏｍｅ ｒｅｌａｔｅｄ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｏｆ ａ ｐｒｏｐｏｓｉ⁃ ｔｉｏｎ ａｎｄ ｔｈｅ ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐ ｂｅｔｗｅｅｎ ｖａｒｉｏｕｓ ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎｓ， ａｎｄ ｐｒｏｐｏｓｅ ａｎ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ ｗａｙ ｔｏ ｏｂｔａｉｎ ｓｏｍｅ ｎｅｗ ｐｒｏｐｏｓｉ⁃ ｔｉｏｎｓ． Ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｄｅｇｒｅｅ ｏｆ ｄｅｔｅｒｍｉｎａｔｉｏｎ ｏｆ ａ ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ， ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｄｉｓｃｕｓｓｅｓ ｔｈｅ ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎａｌ ｒｅａｓｏｎｉｎｇ ｉｎ ａ ｄｅｃｉ⁃ ｓｉｏｎ ｆｏｒｍａｌ ｃｏｎｔｅｘｔ， ａｎｄ ｐｒｏｖｉｄｅｓ ａ ｎｅｗ ｆｒａｍｅｗｏｒｋ ｆｏｒ ｕｎｃｅｒｔａｉｎ ｒｅａｓｏｎｉｎｇ ｉｎ ａ ｆｏｒｍａｌ ｃｏｎｔｅｘｔ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ： ｃｏｎｃｅｐｔ ｌａｔｔｉｃｅ； ｄｅｃｉｓｉｏｎ ｆｏｒｍａｌ ｃｏｎｔｅｘｔ； ｄｅｔｅｒｍｉｎｅ ｄｅｇｒｅｅ； ｎｅｃｅｓｓａｒｙ ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ； ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ ｐｒｏｐｏｓｉ⁃ ｔｉｏｎ 收稿日期：２０１５⁃０７⁃２３． 网络出版日期：２０１５⁃１１⁃１０ 基金项目：国家自然科学基金资助项目（ ６１１７０１０７， ． ６１３００１５３）. 形式概念分析［１］是由德国的数学家 Ｒ．Ｗｉｌｌｅ 教 授在 １９８２ 年首次提出来的，作为一种进行数据分析 和知识发现的有效的数学工具，用于概念的发现、排 序和显示，所有概念连同它们之间的泛化和特化关 系构成了概念格，也称为 Ｇａｌｏｉｓ 格。 从数据集中生 成概念格的过程实际上是一种概念聚类的过程［２］ 通信作者：马丽． Ｅ⁃ｍａｉｌ：ｓｕｍａｓｏｆｔ＠ １６３．ｃｏｍ． 。 作为形式概念分析理论中的一种核心的数据结构， 概念格逐渐成为数据分析和规则提取的一种有效工 具。 不确定性知识表示及推理是人工智能领域中的 一个重要的课题。 近年来，不确定性推理已发展为 知识发现的一个新的分支，它包括定性推理和定量 推理。 定量不确定性推理方法通过对命题的数值计 算提供了因果关系的数值趋势。 它首先需要表示和 测量不确定信息。 不同的信息表示方法和不同的测
第6期 马丽，等：决策形势背景的命题推演 ·935. 量方法决定了不同的不确定性推理[0]。所有方 B2),则“≤”是L(U,A,I)上的偏序关系。 法的共同点是使用一个度量来衡量假设。在本文 性质1)假设K=(U,A,I)是一个形式背 中，通过定义比形式概念更广泛的命题，基于一些基 景，如果X,X,X2CU,并且B,B1,B2CA,则 本概念如必然命题和充分命题，以及命题的确定度， 1)X1CX2→X2CX1;B1CB2→B2CB 讨论了命题的一些相关性质以及获得新命题的一些 2)XCXd,B≤B·; 可行方法。探讨了基于决策形式背景中的命题推理 3)XCB9台BCX·→XX B C I: 方法。 4)X=X9·,B3=B99; 1基本概念 5)(X1UX2)·=XnX,(B,UB2)9= B3 0B:,(Xx)XUX;(B nB)2 以下给出有关形式概念分析的一些基本概念和 BUB。在形式背景(U,A,I)下，HBSA,记 性质，有关细节的描述在文献[1-3]。 Ig=1∩(U×B),那么(U,B,I)也是一个形式背 定义1设(P,≤)和(Q,<)是2个偏序 景，对于运算X“(XCU),在(U,A,I)下用XA表 集，若存在映射f:P→Q与g:Q→P,对于 示，在(U,B,1)下用XB表示。显然，I=1, VP1P2∈P和q1,92∈Q,满足以下3个条件： XA=X°，XB=XA∩B=X·∩B,XBCX°。 1)P1≤P2→f(P2)<f（P1); 定义4称五元组K=(U,A,D,I,J)为一个决 2)91<92→g(92)≤g(91); 策形式背景，其中(U,A,I)和(U,D,J)为形式背 3)P1≤g(fP))和q1<f(g(91): 景，U为非空有限对象集，A为非空有限条件属性 集，D为非空有限决策属性集，且A∩D≠⑦。 则映射对(f,g)称为偏序集(P,≤)和(Q,<)之 间的Galois连接。 2命题及性质 在文献[2]中，给出了(f,g)是(P,≤)和(Q, 本节主要给出通过属性关系定义的各种命题及 <)之间的Galois连接的充要条件为对于任意p∈ 其性质。 P,q∈Q,有p≤g(q)9<f八p)。 定义5设K=(U,A,D,I,J)为一个决策形式 定义2设U为非空有限对象集合，A为非空 背景，B二A,C≤D,XCU,若BCXA,则称B为 有限属性集合，1为U到A之间的一个二元关系，即 X的必要条件属性，若X·A二B,则称B为X的充分 I二U×A,则称三元组K=(U,A,I)为一个形式背 条件属性；若CCX”,则称C为X的必要决策属 景。Hx∈U,a∈A,x具有属性a表示为(x,a)∈ 性，若XD二C,则称C为X的的充分决策属性。 I,x不具有属性a表示为(x,a)I。 定理1设K=(U,A,D,I,J)为一个决策形式 设K=(U,A,I)为一个形式背景，对于BCA, 背景，XSU,B1,B2SA,C1,C2CD,则有性质： X二U,可定义一组对偶算子如下： 1)X4是X的必要条件属性，X*D是X的必要 B9={x∈UI(x,a)eI,Ha∈B}, 决策属性： X◆={a∈Al(x,a)∈I,Hx∈X}。 2)B为BA的必要条件属性，C为C如的必要 易证(*，)形成偏序集(P(U),二)和 决策属性； (P(A),S)之间的Galois连接。B表示具有B中 3)B,UB2为BM∩BA的必要条件属性， 全部属性的对象的集合，X·表示X中全部对象具 C,UC2为C0∩C0的必要决策属性； 有的共同属性的集合。 4)B,∩B,为B41UB9A的必要条件属性， Hx∈U,记{x}°为x”,Va∈A,记{a}为 C,∩C,为C”UC”的必要决策属性。 a。若x∈U,x·≠☑且x'≠A:Ha∈A, 证明由性质1中2)易证定理1中1)、2)成 a≠⑦且a≠U,则形势背景为正则的。若无特 立，由性质1中2)和性质1中5)易证定理1中3) 别说明，所提到的形势背景都是正则的。 成立，由性质1中2)和性质1中6)易证定理1中 定义3若X·=B且B=X,就称(X,B)为 4)成立。 形式背景K的一个概念[6]。其中X称为概念的外 定义6设K=(U,A,D,I,J)为一个决策形式 延，B称为概念的内涵。 背景，X≤U,BCA,CCD,称(X,B)为条件命 用L(U,A,I)表示形式背景K=(U,A,I)的全体 题，(X,C)为决策命题。若B二XA,则称(X,B) 概念，记(X1,B)≤(X2,B2)当且仅当X1二X2(B,2 为必然条件命题，表示“X具有条件属性B”,否则
量方法决定了不同的不确定性推理［ ７⁃１０ ］ 。 所有方 法的共同点是使用一个度量来衡量假设。 在本文 中，通过定义比形式概念更广泛的命题，基于一些基 本概念如必然命题和充分命题，以及命题的确定度， 讨论了命题的一些相关性质以及获得新命题的一些 可行方法。 探讨了基于决策形式背景中的命题推理 方法。 １ 基本概念 以下给出有关形式概念分析的一些基本概念和 性质，有关细节的描述在文献［１⁃３］。 定义 １ 设 （Ｐ， ≤） 和 （Ｑ， ≺＿ ） 是 ２ 个偏序 集， 若 存 在 映 射 ｆ：Ｐ → Ｑ 与 ｇ：Ｑ → Ｐ ， 对 于 ∀ｐ１ ，ｐ２ ∈Ｐ 和 ∀ｑ１ ，ｑ２ ∈ Ｑ ， 满足以下 ３ 个条件： １） ｐ１ ≤ ｐ２⇒ｆ（ｐ２ ） ≺＿ ｆ（ｐ１ ）； ２） ｑ１ ≺＿ ｑ２⇒ｇ（ｑ２ ） ≤ ｇ（ｑ１ ）； ３） ｐ１ ≤ ｇ（ｆ（ｐ１ ）） 和 ｑ１ ≺＿ ｆ（ｇ（ｑ１ ））； 则映射对（ ｆ，ｇ ）称为偏序集 （Ｐ， ≤） 和 （Ｑ， ≺＿ ） 之 间的 Ｇａｌｏｉｓ 连接。 在文献［２］中，给出了（ ｆ，ｇ ）是 （Ｐ，≤） 和 （Ｑ， ≺＿ ） 之间的 Ｇａｌｏｉｓ 连接的充要条件为对于任意 ｐ ∈ Ｐ ， ｑ ∈ Ｑ ，有 ｐ ≤ ｇ（ｑ）⇔ｑ ≺＿ ｆ（ｐ）。 定义 ２ 设 Ｕ 为非空有限对象集合， Ａ 为非空 有限属性集合， Ｉ 为 Ｕ 到 Ａ 之间的一个二元关系，即 Ｉ ⊆ Ｕ × Ａ ，则称三元组 Ｋ ＝ （Ｕ，Ａ，Ｉ） 为一个形式背 景。 ∀ｘ ∈Ｕ ， ａ ∈Ａ ， ｘ 具有属性 ａ 表示为 （ｘ，ａ） ∈ Ｉ ， ｘ 不具有属性 ａ 表示为 （ｘ，ａ） ∉ Ｉ。 设 Ｋ ＝ （Ｕ，Ａ，Ｉ） 为一个形式背景，对于 Ｂ ⊆ Ａ ， Ｘ ⊆ Ｕ ，可定义一组对偶算子如下： Ｂ ◁ ＝ ｛ｘ ∈ Ｕ ｜ （ｘ，ａ） ∈ Ｉ，∀ａ ∈ Ｂ｝ ， Ｘ ∗ ＝ ｛ａ ∈ Ａ ｜ （ｘ，ａ） ∈ Ｉ，∀ｘ ∈ Ｘ｝ 。 易证 （∗，◁） 形 成 偏 序 集 （Ｐ（Ｕ）， ⊆） 和 （Ｐ（Ａ）， ⊆） 之间的 Ｇａｌｏｉｓ 连接。 Ｂ ◁ 表示具有 Ｂ 中 全部属性的对象的集合， Ｘ ∗ 表示 Ｘ 中全部对象具 有的共同属性的集合。 ∀ｘ ∈Ｕ ，记 {ｘ} ∗ 为 ｘ ∗ ， ∀ａ∈Ａ ，记 {ａ} ◁ 为 ａ ◁ 。 若 ∀ｘ ∈ Ｕ ， ｘ ∗ ≠ ∅ 且 ｘ ∗ ≠ Ａ ； ∀ａ ∈ Ａ ， ａ ◁ ≠ ∅ 且 ａ ◁ ≠ Ｕ ，则形势背景为正则的。 若无特 别说明，所提到的形势背景都是正则的。 定义 ３ 若 Ｘ ∗ ＝ Ｂ 且 Ｂ ◁ ＝ Ｘ ，就称（ Ｘ，Ｂ ）为 形式背景 Ｋ 的一个概念［ ６ ］ 。 其中 Ｘ 称为概念的外 延， Ｂ 称为概念的内涵。 用 Ｌ（Ｕ，Ａ，Ｉ） 表示形式背景 Ｋ ＝ （Ｕ，Ａ，Ｉ） 的全体 概念，记 （Ｘ１，Ｂ１） ≤ （Ｘ２，Ｂ２） 当且仅当 Ｘ１ ⊆ Ｘ２（Ｂ１ ⊇ Ｂ２） ，则“ ≤ ”是 Ｌ（Ｕ，Ａ，Ｉ） 上的偏序关系。 性质 １ ［ １ ］ 假设 Ｋ ＝ （Ｕ，Ａ，Ｉ） 是一个形式背 景，如果 Ｘ，Ｘ１ ，Ｘ２ ⊆ Ｕ ，并且 Ｂ，Ｂ１ ，Ｂ２ ⊆ Ａ ，则 １）Ｘ１ ⊆ Ｘ２⇒Ｘ ∗ ２ ⊆ Ｘ ∗ １ ；Ｂ１ ⊆ Ｂ２⇒Ｂ ◁ ２ ⊆ Ｂ ◁ １ ２）Ｘ ⊆ Ｘ ∗◁ ，Ｂ ⊆ Ｂ ◁∗ ； ３）Ｘ ⊆ Ｂ ◁⇔Ｂ ⊆ Ｘ ∗⇔Ｘ × Ｂ ⊆ Ｉ； ４） Ｘ ∗ ＝ Ｘ ∗◁∗ ，Ｂ ◁ ＝ Ｂ ◁∗◁ ； ５） （Ｘ１ ∪ Ｘ２ ） ∗ ＝ Ｘ ∗ １ ∩ Ｘ ∗ ２ ， （Ｂ１ ∪ Ｂ２ ） ◁ ＝ Ｂ ◁ １ ∩Ｂ ◁ ２ ，（Ｘ１ ∩ Ｘ２ ） ∗ ⊇ Ｘ ∗ １ ∪ Ｘ ∗ ２ ，（Ｂ１ ∩ Ｂ２ ） ◁ ⊇ Ｂ ◁ １ ∪ Ｂ ◁ ２ 。 在形式背景 （Ｕ，Ａ，Ｉ） 下， ∀Ｂ ⊆ Ａ ，记 ＩＢ ＝Ｉ ∩ （Ｕ × Ｂ） ，那么 （Ｕ，Ｂ，ＩＢ ） 也是一个形式背 景，对于运算 Ｘ ∗ （Ｘ ⊆ Ｕ） ，在 （Ｕ，Ａ，Ｉ） 下用 Ｘ ∗Ａ 表 示，在 （Ｕ，Ｂ，ＩＢ ） 下用 Ｘ ∗Ｂ 表示。 显然， ＩＡ ＝ Ｉ ， Ｘ ∗Ａ ＝Ｘ ∗ ， Ｘ ∗Ｂ ＝ Ｘ ∗Ａ ∩ Ｂ ＝ Ｘ ∗ ∩ Ｂ ， Ｘ ∗Ｂ ⊆ Ｘ ∗ 。 定义 ４ 称五元组 Ｋ ＝ （Ｕ，Ａ，Ｄ，Ｉ，Ｊ） 为一个决 策形式背景，其中 （Ｕ，Ａ，Ｉ） 和 （Ｕ，Ｄ，Ｊ） 为形式背 景， Ｕ 为非空有限对象集， Ａ 为非空有限条件属性 集， Ｄ 为非空有限决策属性集，且 Ａ ∩ Ｄ ≠ ∅。 ２ 命题及性质 本节主要给出通过属性关系定义的各种命题及 其性质。 定义 ５ 设 Ｋ ＝ （Ｕ，Ａ，Ｄ，Ｉ，Ｊ） 为一个决策形式 背景， Ｂ⊆Ａ ， Ｃ⊆Ｄ ， Ｘ⊆Ｕ ，若 Ｂ⊆Ｘ ∗Ａ ，则称 Ｂ 为 Ｘ 的必要条件属性，若 Ｘ ∗Ａ ⊆ Ｂ ，则称 Ｂ 为 Ｘ 的充分 条件属性；若 Ｃ ⊆ Ｘ ∗Ｄ ， 则称 Ｃ 为 Ｘ 的必要决策属 性，若 Ｘ ∗Ｄ ⊆ Ｃ ，则称 Ｃ 为 Ｘ 的的充分决策属性。 定理 １ 设 Ｋ ＝ （Ｕ，Ａ，Ｄ，Ｉ，Ｊ） 为一个决策形式 背景， Ｘ ⊆ Ｕ ， Ｂ１ ，Ｂ２ ⊆ Ａ ， Ｃ１ ，Ｃ２ ⊆ Ｄ ，则有性质： １） Ｘ ∗Ａ 是 Ｘ 的必要条件属性， Ｘ ∗Ｄ 是 Ｘ 的必要 决策属性； ２） Ｂ 为 Ｂ ◁Ａ 的必要条件属性， Ｃ 为 Ｃ ◁Ｄ 的必要 决策属性； ３） Ｂ１ ∪ Ｂ２ 为 Ｂ ◁Ａ １ ∩ Ｂ ◁Ａ ２ 的必要条件属性， Ｃ１ ∪Ｃ２ 为 Ｃ ◁Ｄ １ ∩ Ｃ ◁Ｄ ２ 的必要决策属性； ４） Ｂ１ ∩ Ｂ２ 为 Ｂ ◁Ａ １ ∪ Ｂ ◁Ａ ２ 的必要条件属性， Ｃ１ ∩Ｃ２ 为 Ｃ ◁Ｄ １ ∪ Ｃ ◁Ｄ ２ 的必要决策属性。 证明 由性质 １ 中 ２） 易证定理 １ 中 １）、２）成 立，由性质 １ 中 ２） 和性质 １ 中 ５）易证定理 １ 中 ３） 成立，由性质 １ 中 ２） 和性质 １ 中 ６）易证定理 １ 中 ４）成立。 定义 ６ 设 Ｋ ＝ （Ｕ，Ａ，Ｄ，Ｉ，Ｊ） 为一个决策形式 背景， Ｘ ⊆ Ｕ ， Ｂ ⊆ Ａ ， Ｃ ⊆ Ｄ ，称 （Ｘ，Ｂ） 为条件命 题， （Ｘ，Ｃ） 为决策命题。 若 Ｂ ⊆ Ｘ ∗Ａ ，则称 （Ｘ，Ｂ） 为必然条件命题，表示“ Ｘ 具有条件属性 Ｂ ”，否则 第 ６ 期 马丽，等：决策形势背景的命题推演 ·９３５·
·936· 智能系统学报 第10卷 称为不确定条件命题：若C二X”,则称(X,C)为 必然决策命题，表示“X具有决策属性C”否则称为 XnB」=D(X,B)。若(X,B)为必然命题， |X| 不确定决策命题。 则BCX·,又X°=Xa·,所以BX·,即(X, 定义7设K=(U,A,D,I,J)为一个决策形式 B)为必然命题。 背景，XCU,BCA,CCD,若BCXA,且CC 2)由性质B=B·与命题确定度定义，有 X·”,则称(X,B)→(X,C)为必然蕴含命题，简记 D(X.)1-D(X. 为(X,(B,C〉)。 X 为了统一，将所有特殊命题统称为命题。 B)。若(X,B)为必然命题，则有B二X·,故有 定义8设(X1,B)和(X2,B2)为两命题，若 XCB9,有B9·二X··=X·,即(X,B9·)也 X1SX2且B,CB2,则称(X1,B1)为(X2,B2)的子 为必然命题。 命题，(X2,B2)为(X,B)的拓命题。 定理5设(X,B)为一个不确定命题，则有 定理2设(X,B)为一个命题，则有 1)D(XUB9,B)≥D(X,B); 1)(X,B)是(X,B)的子命题； 2)D(X,BUX)≥oD(X,B); 2)(X,B·)是(X,B)的拓命题； 3)D(XUB,BUX·)≥wD(X,B)。 3)(XUB,B)是(X,B)的拓命题； IB9I 4)(X,BUX·)是(X,B)的拓命题： 其中wBUX可，(0≤o≤1)。 5)(X,B∩X)不是(X,B)的子命题，也 证明 不是(X,B)拓命题。 1)DOXU)-1.DX. B3 证明由性质1和定义8易证。 3 命题的确定度 B=XnB≤1，放DXUB,B)≥Dx,B。 B3 定义9设(X,B)为一个命题，称 2)由性质XCX,D(X,BUX)= D(X.B)=IxnBs Ix(BUx)1Ix0(B0x)1- |(BUX)9| B0x x 1B9nX可，而oD(X,B)=u x n B x n B 为命题(X,B)的确定度。 |B9 定理3命题(X,B)的确定度具有以下性质： 1B Ix0B3 1)0≤D(X,B)≤1： IxnBI |BUX· |B9| 2)(X,B)为必然命题当且仅当有D(X,B)=1; 1B9Ur可，又 x O B x O B 3)若B9CX1CX2,则D(X2,B)≤ D(X1,B)。 BnX可产BU可，故有D(X,BU X)≥oD(X,B)。 证明由定义9易证(1)，(3)。下证(2)成立。 D(X UB3,B UX')= 若(X,B)为必然命题，则有B二X·,由性质1 可知XdCB9,又X二X,故有XCB,则X I(XU8)(BUX)31- (BU X) ∩B=X,由定义9有D(X,B)=1。 (xUB)n(B3nx) 若D(X,B)=1,则|X∩B9|=|X|,所以X≤ |(B9∩X·4)| B9,由性质1可知B9·二X·,又BCB9·,所以 1(x08x)(B30x3)1- 有B二X·,由定义6可知(X,B)为必然命题。 (BOx) 定理4设(X,B)为一个命题，则有 I(X0B)U(B30x)1- 1)D(X,B)≤D(X,B),若(X,B)为必 (B0x) 然命题，则(X,B)也为必然命题； 1(B(xUx)1 2)D(X,B9·)=D(X,B),若(X,B)为必然命 1(B0x)1 题，则(X,B9·)也为必然命题。 B30X41=1 证明1)由X二X·与命题确定度定义，有 |B9∩X DXs,B)=X:gng1≤XnB x OB IB9I ≤ |X| 而oD(X,B)=0 B3
称为不确定条件命题；若 Ｃ ⊆ Ｘ ∗Ｄ ，则称 （Ｘ，Ｃ） 为 必然决策命题，表示“ Ｘ 具有决策属性 Ｃ ”否则称为 不确定决策命题。 定义 ７ 设 Ｋ ＝ （Ｕ，Ａ，Ｄ，Ｉ，Ｊ） 为一个决策形式 背景， Ｘ ⊆ Ｕ ， Ｂ ⊆ Ａ ， Ｃ ⊆ Ｄ ，若 Ｂ ⊆ Ｘ ∗Ａ ，且 Ｃ ⊆ Ｘ ∗Ｄ ，则称 （Ｘ，Ｂ） → （Ｘ，Ｃ） 为必然蕴含命题，简记 为（ Ｘ，〈Ｂ，Ｃ〉 ）。 为了统一，将所有特殊命题统称为命题。 定义 ８ 设 （Ｘ１ ，Ｂ１ ） 和 （Ｘ２ ，Ｂ２ ） 为两命题，若 Ｘ１ ⊆ Ｘ２ 且 Ｂ１ ⊆ Ｂ２ ，则称 （Ｘ１ ，Ｂ１ ） 为 （Ｘ２ ，Ｂ２ ） 的子 命题， （Ｘ２ ，Ｂ２ ） 为 （Ｘ１ ，Ｂ１ ） 的拓命题。 定理 ２ 设 （Ｘ，Ｂ） 为一个命题，则有 １） （Ｘ，Ｂ） 是 （Ｘ ∗◁ ，Ｂ） 的子命题； ２） （Ｘ，Ｂ ◁∗ ） 是 （Ｘ，Ｂ） 的拓命题； ３） （Ｘ ∪ Ｂ ◁ ，Ｂ） 是 （Ｘ，Ｂ） 的拓命题； ４） （Ｘ，Ｂ ∪ Ｘ ∗ ） 是 （Ｘ，Ｂ） 的拓命题； ５） （Ｘ ∗◁ ，Ｂ ∩ Ｘ ∗ ） 不是 （Ｘ，Ｂ） 的子命题，也 不是 （Ｘ，Ｂ） 拓命题。 证明 由性质 １ 和定义 ８ 易证。 ３ 命题的确定度 定义 ９ 设 （Ｘ，Ｂ） 为一个命题，称 Ｄ（Ｘ，Ｂ） ＝ Ｘ ∩ Ｂ ◁ Ｘ 为命题 （Ｘ，Ｂ） 的确定度。 定理 ３ 命题 （Ｘ，Ｂ） 的确定度具有以下性质： １） ０ ≤ Ｄ（Ｘ，Ｂ） ≤ １； ２） （Ｘ，Ｂ） 为必然命题当且仅当有 Ｄ（Ｘ，Ｂ） ＝ １； ３） 若 Ｂ ◁ ⊆ Ｘ１ ⊆ Ｘ２ ， 则 Ｄ（ Ｘ２ ， Ｂ） ≤ Ｄ（ Ｘ１ ， Ｂ） 。 证明 由定义 ９ 易证（１），（３）。 下证（２）成立。 若 （Ｘ，Ｂ） 为必然命题，则有 Ｂ ⊆ Ｘ ∗ ，由性质 １ 可知 Ｘ ∗◁ ⊆ Ｂ ◁ ，又 Ｘ ⊆ Ｘ ∗◁ ，故有 Ｘ ⊆ Ｂ ◁ ，则 Ｘ ∩ Ｂ ◁ ＝ Ｘ ， 由定义 ９ 有 Ｄ（Ｘ，Ｂ） ＝ １。 若 Ｄ（Ｘ，Ｂ） ＝ １，则 Ｘ ∩ Ｂ ◁ ＝ Ｘ ，所以 Ｘ ⊆ Ｂ ◁ ，由性质 １ 可知 Ｂ ◁∗ ⊆ Ｘ ∗ ，又 Ｂ ⊆ Ｂ ◁∗ ，所以 有 Ｂ ⊆ Ｘ ∗ ，由定义 ６ 可知 （Ｘ，Ｂ） 为必然命题。 定理 ４ 设 （Ｘ，Ｂ） 为一个命题，则有 １） Ｄ（Ｘ ∗◁ ，Ｂ） ≤ Ｄ（Ｘ，Ｂ） ，若 （Ｘ ∗◁ ，Ｂ） 为必 然命题，则 （Ｘ，Ｂ） 也为必然命题； ２） Ｄ（Ｘ，Ｂ ◁∗ ） ＝ Ｄ（Ｘ，Ｂ） ，若 （Ｘ，Ｂ） 为必然命 题，则 （Ｘ，Ｂ ◁∗ ） 也为必然命题。 证明 １）由 Ｘ ⊆ Ｘ ∗◁ 与命题确定度定义，有 Ｄ（Ｘ ∗◁ ，Ｂ） ＝ Ｘ ∗◁ ∩ Ｂ ◁ Ｘ ∗◁ ≤ Ｘ ∩ Ｂ ◁ Ｘ ∗◁ ≤ Ｘ ∩ Ｂ ◁ Ｘ ＝ Ｄ（Ｘ，Ｂ）。 若 （Ｘ ∗◁ ，Ｂ） 为必然命题， 则Ｂ ⊆Ｘ ∗◁∗ ，又 Ｘ ∗ ＝ Ｘ ∗◁∗ ，所以 Ｂ ⊆Ｘ ∗ ，即 （Ｘ， Ｂ） 为必然命题。 ２）由性质 Ｂ ◁ ＝ Ｂ ◁∗◁ 与命题确定度定义，有 Ｄ（Ｘ，Ｂ ◁∗ ） ＝ Ｘ ∩ Ｂ ◁∗◁ Ｘ ＝ Ｘ ∩ Ｂ ◁ Ｘ ＝ Ｄ（Ｘ， Ｂ）。 若 （Ｘ，Ｂ） 为必然命题，则有 Ｂ ⊆ Ｘ ∗ ，故有 Ｘ ∗◁ ⊆Ｂ ◁ ，有 Ｂ ◁∗ ⊆ Ｘ ∗◁∗ ＝ Ｘ ∗ ，即 （Ｘ，Ｂ ◁∗ ） 也 为必然命题。 定理 ５ 设 （Ｘ，Ｂ） 为一个不确定命题，则有 １） Ｄ（Ｘ ∪ Ｂ ◁ ，Ｂ） ≥ Ｄ（Ｘ，Ｂ） ； ２） Ｄ（Ｘ，Ｂ ∪ Ｘ ∗ ） ≥ ωＤ（Ｘ，Ｂ） ； ３） Ｄ（Ｘ ∪ Ｂ ◁ ，Ｂ ∪ Ｘ ∗ ） ≥ ωＤ（Ｘ，Ｂ）。 其中 ω ＝ Ｂ ◁ Ｂ ◁ ∪ Ｘ ∗◁ ， （０ ≤ ω ≤ １）。 证明 １） Ｄ（Ｘ ∪Ｂ ◁ ，Ｂ）＝ （Ｘ ∪Ｂ ◁ ） ∩Ｂ ◁ Ｂ ◁ ＝ １，Ｄ（Ｘ， Ｂ） ＝ Ｘ ∩Ｂ ◁ Ｂ ◁ ≤１，故Ｄ（Ｘ ∪Ｂ ◁ ，Ｂ） ≥Ｄ（Ｘ，Ｂ）。 ２ ） 由 性 质 Ｘ ⊆ Ｘ ∗◁ ， Ｄ（Ｘ，Ｂ ∪ Ｘ ∗ ） ＝ Ｘ ∩ （Ｂ ∪ Ｘ ∗ ） ◁ （Ｂ ∪ Ｘ ∗ ） ◁ ＝ Ｘ ∩ （Ｂ ◁ ∩ Ｘ ∗ ◁ ） Ｂ ◁ ∩ Ｘ ∗ ◁ ＝ Ｘ ∩ Ｂ ◁ Ｂ ◁ ∩ Ｘ ∗ ◁ ， 而 ωＤ（Ｘ，Ｂ） ＝ ω Ｘ ∩ Ｂ ◁ Ｂ ◁ ＝ Ｂ ◁ Ｂ ◁ ∪ Ｘ ∗◁ · Ｘ ∩ Ｂ ◁ Ｂ ◁ ＝ Ｘ ∩ Ｂ ◁ Ｂ ◁ ∪ Ｘ ∗◁ ， 又 Ｘ ∩ Ｂ ◁ Ｂ ◁ ∩ Ｘ ∗ ◁ ≥ Ｘ ∩ Ｂ ◁ Ｂ ◁ ∪ Ｘ ∗◁ ， 故 有 Ｄ（Ｘ，Ｂ ∪ Ｘ ∗ ） ≥ ωＤ（Ｘ，Ｂ）。 Ｄ（Ｘ ∪ Ｂ ◁ ，Ｂ ∪ Ｘ ∗ ） ＝ （Ｘ ∪ Ｂ ◁ ） ∩ （Ｂ ∪ Ｘ ∗ ） ◁ （Ｂ ∪ Ｘ ∗ ） ◁ ＝ （Ｘ ∪ Ｂ ◁ ） ∩ （Ｂ ◁ ∩ Ｘ ∗ ◁ ） （Ｂ ◁ ∩ Ｘ ∗ ◁ ） ＝ （Ｘ ∩ Ｂ ◁ ∩ Ｘ ∗ ◁ ） ∪ （Ｂ ◁ ∩ Ｘ ∗ ◁ ） （Ｂ ◁ ∩ Ｘ ∗ ◁ ） ＝ （Ｘ ∩ Ｂ ◁ ） ∪ （Ｂ ◁ ∩ Ｘ ∗ ◁ ） （Ｂ ◁ ∩ Ｘ ∗ ◁ ） ＝ （Ｂ ◁ ∩ （Ｘ ∪ Ｘ ∗ ◁ ） （Ｂ ◁ ∩ Ｘ ∗ ◁ ） ＝ Ｂ ◁ ∩ Ｘ ∗ ◁ Ｂ ◁ ∩ Ｘ ∗ ◁ ＝ １ 而 ωＤ（Ｘ，Ｂ） ＝ ω Ｘ ∩ Ｂ ◁ Ｂ ◁ ＝ Ｂ ◁ Ｂ ◁ ∪ Ｘ ∗◁ · ·９３６· 智 能 系 统 学 报 第 １０ 卷
第6期 马丽，等：决策形势背景的命题推演 .937. Ix O B1 IxOB1B30x 概念更广泛的命题，基于一些基本概念如必然命题 B3B3UXB3UX ≤1，所 和充分命题，确定了一个命题的程度即确定度，并 以有D(XUB,BUX·)≥oD(X,B)。 讨论了命题的一些相关性质以及获得一些新命题的 定理6D((X1UX2)·,B)=D(X°，B)+ 有效方法。探讨了基于决策形式背景中的命题推理 D(X2‘,B)-D(X·UX2‘,B)。 方法，为命题之间的不确定推理提供了一种新的框 证明D((X,UX2)·,B)= 架。在后续的研究中，会讨论更广泛的、更复杂的 I(X1UX2)·nB9| 如不完备的形式背景及模糊形式背景的命题推理。 |B9I 本文的讨论还是一个尝试，相关研究还有待进一步 1X·∩X2·nB9| 深人。 BI 参考文献： I(x,·nB)n(X,nB)L_ |BAI [1]GANTER B,WILLE R.Formal concept analysis:mathe- matical foundations[M].Berlin:Springer,1999. |X·∩B9||X2·nB9| [2]WILLE R.Restruturing lattice theory:an approh based on IB31 hierarhies of conepts[M]//RIVAL I.Ordered Sets.Nether- I(x,·nB)U(X,nB)L lands:Springer,1982:445-470. IB31 [3]BELOHLAVEK R.Fuzzy Galois connections[J].Mathemat- D(X,,B)+D(X2°，B)-D(X,·UX2°，B)。 ical Logic Quarlerly,1999,45(4):497-504. 故有 [4]WEI Ling,QI Jianjun,ZHANG Wenxiu.Attribute reduction D((XUX2)·,B)= theory of concept lattice based on decision formal contexts [J].Science in China Series F:Information Sciences, D(X”,B)+D(X2,B)-D(XUX2°，B) 2008,51(7):910-923. 定理7D((X1∩X2)°，B)≥D(X,°，B)+ [5]WANG Hong,ZHANG Wenxiu.Approaches to knowledge D(X2°，B)-D(X∩X2°，B)。 reduction in generalized consistent decision formal context 证明 [J].Mathematical and Computer Modelling,2008,48(11/ D((X1nX2)°，B)= 12):1677-1684. 1(X1nX2)·nB|、IB9n(X,·UX2)1 [6]LI Jinhai,MEI Changlin,LYU Yuejin.Knowledge reduc- B31 |B9I tion in decision formal contexts[J].Knowledge-Based Sys- tems,2011,24(5):709-715. I(X'0B)(0B)1IX081 [7]CHEN Shuwei,XU Yang,MA Jun.A linguistic truth-val- |B9| B1 ued uncertainty reasoning model based on lattice-valued log- |x·nB(x,·nX,)nB ic M ]//WANG Lipo,JIN Yaochu.Fuzzy Systems and IB9I |B9I Knowledge Discovery.Berlin Heidelberg:Springer-Verlag, D(X,,B)+D(X2,B)-D(X1”∩X2“,B)。 2005,3613:276-284. 所以有D((X1∩X2)·,B)≥D(X,·,B)+D(X2°， [8 BELLAMN R E,ZADEH L A.Decision-making in a fuzzy enviroment[J].Management Science,1970,17(4):B- B)-D(X1°∩X2°，B)。 141-B-164. 定理8设K=(U,A,D,I,J)为一个决策形式背 [9]BOBILLO F,STRACCIA U.Generalized fuzzy rough descrip- 景，XCU,B≤A,CCD,若(X,B)为必然命题，且 tion logics[]].Information Sciences,2012,189:43-62. D(B9,C)≤e,则D(X,C)≤E。(此处0≤E≤1)。 [10]KANEIWA K,KAMIDE N.Paraconsistent computation 证明若(X,B)为必然命题，则由定义6有 tree logic[J].New Generation Computing,2011,29(4): BcX·,所以有XSB,D(X,C)=XnC1≤ 391-408. |c9| 作者简介： IBnC」=D(B,C)≤ed 马丽，女，1977年生副教授，博士 C 生，主要研究方向为形式概念分析、近 似推理，粗糙集等。参与国家自然科学 4 结束语 基金多项。 本文通过弱化形式概念构成的条件，定义了比
Ｘ ∩ Ｂ ◁ Ｂ ◁ ＝ Ｘ ∩ Ｂ ◁ Ｂ ◁ ∪ Ｘ ∗◁ ≤ Ｂ ◁ ∩ Ｘ ∗◁ Ｂ ◁ ∪ Ｘ ∗◁ ≤１， 所 以有 Ｄ（Ｘ ∪ Ｂ ◁ ，Ｂ ∪ Ｘ ∗ ） ≥ ωＤ（Ｘ，Ｂ）。 定理 ６ Ｄ（ （Ｘ１ ∪ Ｘ２ ） ∗ ，Ｂ） ＝ Ｄ（Ｘ１ ∗ ，Ｂ） ＋ Ｄ（Ｘ２ ∗ ，Ｂ） － Ｄ（Ｘ１ ∗ ∪ Ｘ２ ∗ ，Ｂ）。 证明 Ｄ（（Ｘ１ ∪ Ｘ２ ） ∗ ，Ｂ） ＝ （Ｘ１ ∪ Ｘ２ ） ∗ ∩ Ｂ ◁ Ｂ ◁ ＝ Ｘ１ ∗ ∩ Ｘ２ ∗ ∩ Ｂ ◁ Ｂ ◁ ＝ （Ｘ１ ∗ ∩ Ｂ ◁ ） ∩ （Ｘ２ ∗ ∩ Ｂ ◁ ） Ｂ ◁ ＝ Ｘ１ ∗ ∩ Ｂ ◁ Ｂ ◁ ＋ Ｘ２ ∗ ∩ Ｂ ◁ Ｂ ◁ － （Ｘ１ ∗ ∩ Ｂ ◁ ） ∪ （Ｘ２ ∗ ∩ Ｂ ◁ ） Ｂ ◁ ＝ Ｄ（Ｘ１ ∗ ，Ｂ） ＋ Ｄ（Ｘ２ ∗ ，Ｂ） － Ｄ（Ｘ１ ∗ ∪ Ｘ２ ∗ ，Ｂ）。 故有 Ｄ（（Ｘ１ ∪ Ｘ２ ） ∗ ，Ｂ） ＝ Ｄ（Ｘ１ ∗ ，Ｂ） ＋ Ｄ（Ｘ２ ∗ ，Ｂ） － Ｄ（Ｘ１ ∗ ∪ Ｘ２ ∗ ，Ｂ） 定理 ７ Ｄ（（Ｘ１ ∩ Ｘ２ ） ∗ ，Ｂ） ≥ Ｄ（Ｘ１ ∗ ，Ｂ） ＋ Ｄ（Ｘ２ ∗ ，Ｂ） － Ｄ（Ｘ１ ∗ ∩ Ｘ２ ∗ ，Ｂ）。 证明 Ｄ（（Ｘ１ ∩ Ｘ２ ） ∗ ，Ｂ） ＝ （Ｘ１ ∩ Ｘ２ ） ∗ ∩ Ｂ ◁ Ｂ ◁ ≥ Ｂ ◁ ∩ （Ｘ１ ∗ ∪ Ｘ２ ∗ ） Ｂ ◁ ＝ （Ｘ１ ∗ ∩ Ｂ ◁ ） ∪ （Ｘ２ ∗ ∩ Ｂ ◁ ） Ｂ ◁ ＝ Ｘ１ ∗ ∩ Ｂ ◁ Ｂ ◁ ＋ Ｘ２ ∗ ∩ Ｂ ◁ Ｂ ◁ － （Ｘ１ ∗ ∩ Ｘ２ ∗ ） ∩ Ｂ ◁ Ｂ ◁ ＝ Ｄ（Ｘ１ ∗ ，Ｂ） ＋ Ｄ（Ｘ２ ∗ ，Ｂ） － Ｄ（Ｘ１ ∗ ∩ Ｘ２ ∗ ，Ｂ）。 所以有 Ｄ（（Ｘ１ ∩ Ｘ２ ） ∗ ，Ｂ） ≥Ｄ（Ｘ１ ∗ ，Ｂ） ＋ Ｄ（Ｘ２ ∗ ， Ｂ） － Ｄ（Ｘ１ ∗ ∩ Ｘ２ ∗ ，Ｂ）。 定理 ８ 设 Ｋ ＝ （Ｕ，Ａ，Ｄ，Ｉ，Ｊ） 为一个决策形式背 景， Ｘ ⊆Ｕ ， Ｂ ⊆Ａ ， Ｃ ⊆Ｄ ，若 （Ｘ，Ｂ） 为必然命题，且 Ｄ（Ｂ ◁ ，Ｃ） ≤ ε ，则 Ｄ（Ｘ，Ｃ） ≤ ε。 （此处 ０ ≤ ε ≤１）。 证明 若 （Ｘ，Ｂ） 为必然命题，则由定义 ６ 有 Ｂ ⊆Ｘ ∗ ，所以有 Ｘ ⊆ Ｂ ◁ ， Ｄ（Ｘ，Ｃ） ＝ Ｘ ∩ Ｃ ◁ Ｃ ◁ ≤ Ｂ ◁ ∩ Ｃ ◁ Ｃ ◁ ＝ Ｄ（Ｂ ◁ ，Ｃ） ≤ ε 。 ４ 结束语 本文通过弱化形式概念构成的条件， 定义了比 概念更广泛的命题， 基于一些基本概念如必然命题 和充分命题，确定了一个命题的程度即确定度， 并 讨论了命题的一些相关性质以及获得一些新命题的 有效方法。 探讨了基于决策形式背景中的命题推理 方法， 为命题之间的不确定推理提供了一种新的框 架。 在后续的研究中， 会讨论更广泛的、 更复杂的 如不完备的形式背景及模糊形式背景的命题推理。 本文的讨论还是一个尝试， 相关研究还有待进一步 深入。 参考文献： ［１］ ＧＡＮＴＥＲ Ｂ， ＷＩＬＬＥ Ｒ． Ｆｏｒｍａｌ ｃｏｎｃｅｐｔ ａｎａｌｙｓｉｓ： ｍａｔｈｅ⁃ ｍａｔｉｃａｌ ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎｓ［Ｍ］． Ｂｅｒｌｉｎ： Ｓｐｒｉｎｇｅｒ， １９９９． ［２］ＷＩＬＬＥ Ｒ． Ｒｅｓｔｒｕｔｕｒｉｎｇ ｌａｔｔｉｃｅ ｔｈｅｏｒｙ： ａｎ ａｐｐｒｏｈ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｈｉｅｒａｒｈｉｅｓ ｏｆ ｃｏｎｅｐｔｓ［Ｍ］ ／ ／ ＲＩＶＡＬ Ｉ． Ｏｒｄｅｒｅｄ Ｓｅｔｓ． Ｎｅｔｈｅｒ⁃ ｌａｎｄｓ： Ｓｐｒｉｎｇｅｒ， １９８２： ４４５⁃４７０． ［３］ＢＥＬＯＨＬＡＶＥＫ Ｒ． Ｆｕｚｚｙ Ｇａｌｏｉｓ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎｓ［Ｊ］． Ｍａｔｈｅｍａｔ⁃ ｉｃａｌ Ｌｏｇｉｃ Ｑｕａｒｌｅｒｌｙ， １９９９， ４５（４）： ４９７⁃５０４． ［４］ＷＥＩ Ｌｉｎｇ， ＱＩ Ｊｉａｎｊｕｎ， ＺＨＡＮＧ Ｗｅｎｘｉｕ． Ａｔｔｒｉｂｕｔｅ ｒｅｄｕｃｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ ｃｏｎｃｅｐｔ ｌａｔｔｉｃｅ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｄｅｃｉｓｉｏｎ ｆｏｒｍａｌ ｃｏｎｔｅｘｔｓ ［ Ｊ ］． Ｓｃｉｅｎｃｅ ｉｎ Ｃｈｉｎａ Ｓｅｒｉｅｓ Ｆ： Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ， ２００８， ５１（７）： ９１０⁃９２３． ［５］ ＷＡＮＧ Ｈｏｎｇ， ＺＨＡＮＧ Ｗｅｎｘｉｕ． Ａｐｐｒｏａｃｈｅｓ ｔｏ ｋｎｏｗｌｅｄｇｅ ｒｅｄｕｃｔｉｏｎ ｉｎ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｃｏｎｓｉｓｔｅｎｔ ｄｅｃｉｓｉｏｎ ｆｏｒｍａｌ ｃｏｎｔｅｘｔ ［Ｊ］． Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ａｎｄ Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｍｏｄｅｌｌｉｎｇ， ２００８， ４８（１１ ／ １２）： １６７７⁃１６８４． ［６］ ＬＩ Ｊｉｎｈａｉ， ＭＥＩ Ｃｈａｎｇｌｉｎ， ＬＹＵ Ｙｕｅｊｉｎ． Ｋｎｏｗｌｅｄｇｅ ｒｅｄｕｃ⁃ ｔｉｏｎ ｉｎ ｄｅｃｉｓｉｏｎ ｆｏｒｍａｌ ｃｏｎｔｅｘｔｓ［ Ｊ］． Ｋｎｏｗｌｅｄｇｅ⁃Ｂａｓｅｄ Ｓｙｓ⁃ ｔｅｍｓ， ２０１１， ２４（５）： ７０９⁃７１５． ［７］ＣＨＥＮ Ｓｈｕｗｅｉ， ＸＵ Ｙａｎｇ， ＭＡ Ｊｕｎ． Ａ ｌｉｎｇｕｉｓｔｉｃ ｔｒｕｔｈ⁃ｖａｌ⁃ ｕｅｄ ｕｎｃｅｒｔａｉｎｔｙ ｒｅａｓｏｎｉｎｇ ｍｏｄｅｌ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｌａｔｔｉｃｅ⁃ｖａｌｕｅｄ ｌｏｇ⁃ ｉｃ ［ Ｍ］ ／ ／ ＷＡＮＧ Ｌｉｐｏ， ＪＩＮ Ｙａｏｃｈｕ． Ｆｕｚｚｙ Ｓｙｓｔｅｍｓ ａｎｄ Ｋｎｏｗｌｅｄｇｅ Ｄｉｓｃｏｖｅｒｙ． Ｂｅｒｌｉｎ Ｈｅｉｄｅｌｂｅｒｇ： Ｓｐｒｉｎｇｅｒ⁃Ｖｅｒｌａｇ， ２００５， ３６１３： ２７６⁃２８４． ［８］ＢＥＬＬＡＭＮ Ｒ Ｅ， ＺＡＤＥＨ Ｌ Ａ． Ｄｅｃｉｓｉｏｎ⁃ｍａｋｉｎｇ ｉｎ ａ ｆｕｚｚｙ ｅｎｖｉｒｏｍｅｎｔ［ Ｊ］． Ｍａｎａｇｅｍｅｎｔ Ｓｃｉｅｎｃｅ， １９７０， １７ （ ４）： Ｂ⁃ １４１⁃Ｂ⁃１６４． ［９］ＢＯＢＩＬＬＯ Ｆ， ＳＴＲＡＣＣＩＡ Ｕ． Ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｆｕｚｚｙ ｒｏｕｇｈ ｄｅｓｃｒｉｐ⁃ ｔｉｏｎ ｌｏｇｉｃｓ［Ｊ］． Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ， ２０１２， １８９： ４３⁃６２． ［１０］ ＫＡＮＥＩＷＡ Ｋ， ＫＡＭＩＤＥ Ｎ． Ｐａｒａｃｏｎｓｉｓｔｅｎｔ ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ ｔｒｅｅ ｌｏｇｉｃ［Ｊ］． Ｎｅｗ Ｇｅｎｅｒａｔｉｏｎ Ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ， ２０１１， ２９（４）： ３９１⁃４０８． 作者简介： 马丽，女，１９７７ 年生，副教授，博士 生，主要研究方向为形式概念分析、近 似推理，粗糙集等。 参与国家自然科学 基金多项。 第 ６ 期 马丽，等：决策形势背景的命题推演 ·９３７·