第10卷第5期 智能系统学报 Vol.10 No.5 2015年10月 CAAI Transactions on Intelligent Systems 0ct.2015 D0I:10.11992/is.201411030 网s络出版t地址：htp:/ww.cmki.net/kcms/detail/23.1538.tp.20150930.1556.008.html 多智能体网络系统的能控性代数条件 董洁，纪志坚，王晓晓 (青岛大学自动化工程学院，山东青岛266071) 摘要：能控性是多智能体系统研究的核心问题，主要包括结构可控性和精准可控性。对多智能体系统的模型和能 控性代数条件进行了总结。在相对协议和绝对协议条件下，运用图论和矩阵论的知识系统分析了多智能体系统能 控性的代数条件。按照同质多智能体到异质多智能体的顺序，对现有的多智能体系统模型和代数条件进行了梳理， 并在已有结论的基础上对多智能体系统能控性的代数条件进行了改善，进一步提出了新的代数条件。多智能体能 控性代数条件的改进大大简化了能控性的计算量。 关键词：多智能体系统：结构可控性：精准可控性：相对协议：绝对协议：代数条件：图论：矩阵论 中图分类号：TP273文献标志码：A文章编号：1673-4785(2015)05-0747-08 中文引用格式：董洁，纪志坚，王晓晓.多智能体网络系统的能控性代数条件[J].智能系统学报，2015,10(5)：747-754. 英文引用格式：DONG Jie,JI Zhijian,WANG Xiaoxiao.Algebraic conditions for the controllability of multi-agent systems[J]. CAAI Transactions on Intelligent Systems,2015,10(5):747-754. Algebraic conditions for the controllability of multi-agent systems DONG Jie,JI Zhijian,WANG Xiaoxiao School of Automation Engineering,Qingdao University,Qingdao 266071,China) Abstract:Controllability is a key issue in the study of multi-agent systems,especially structural controllability and exact controllability.This paper summarizes the system model and the algebraic conditions for controllability of multi-agent systems.Based on relative and absolute protocols,the algebraic conditions are analyzed systematically for multi-agent system controllability,using graph theory and matrix theory.Going from homogeneous dynamical multi-agent systems to heterogeneous dynamical multi-agent systems,the existing models and algebraic conditions for multi-agent systems are sorted out.The algebraic conditions for controllability of multi-agent systems are im- proved,and some new algebraic conditions are proposed.The improvement of algebraic controllability conditions for multi-agent system simplifies the calculation greatly. Keywords:multi-agent system:structure controllability:exact controllability:relative protocol;absolute protocol; algebraic condition;graph theory;matrix theory 自然界中普遍存在着群体行为，例如鸟的成群 多智能体技术是近年来新兴的一门控制学科， 结队、鱼和昆虫协作捕食等，都显示出一些群体特 它具有自主性、协调性、自组织能力和推理能力等特 质：相对简单的生物个体可以通过群体共同完成更 点。采用多智能体系统解决问题在鲁棒性、可靠性 为复杂的任务。自然界中的群体行为使得它们能够 和对未知环境的适应性等方面也有很多的潜在优 很好地生存繁衍下去，同时也给人类很大的启发：与 势)。因此，多智能体系统的研究已经成为控制领 单个智能体相比，多智能体系统的合作可以大大提 域的一个热点[24】，并且已经广泛的应用在各个领 高系统的性能，完成更复杂的任务。 域，如智能交通、机器人的编队控制，甚至是军事用 途s. 收稿日期：2014-11-25.网络出版日期：2015-09-30. 智能体系统研究的核心问题是能控性问题，能 基金项目：国家自然科学基金资助项目(61374062) 通信作者：纪志坚.E-mail:jizhijian@pku.ogcn 控性是现代控制理论的一个基本概念，由卡尔曼
第 １０ 卷第 ５ 期 智 能 系 统 学 报 Ｖｏｌ．１０ №．５ ２０１５ 年 １０ 月 ＣＡＡＩ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｔ Ｓｙｓｔｅｍｓ Ｏｃｔ． ２０１５ ＤＯＩ：１０．１１９９２ ／ ｔｉｓ．２０１４１１０３０ 网络出版地址：ｈｔｔｐ： ／ ／ ｗｗｗ．ｃｎｋｉ．ｎｅｔ ／ ｋｃｍｓ／ ｄｅｔａｉｌ ／ ２３．１５３８．ｔｐ．２０１５０９３０．１５５６．００８．ｈｔｍｌ 多智能体网络系统的能控性代数条件 董洁，纪志坚，王晓晓 （青岛大学 自动化工程学院，山东 青岛 ２６６０７１） 摘 要：能控性是多智能体系统研究的核心问题，主要包括结构可控性和精准可控性。 对多智能体系统的模型和能 控性代数条件进行了总结。 在相对协议和绝对协议条件下，运用图论和矩阵论的知识系统分析了多智能体系统能 控性的代数条件。 按照同质多智能体到异质多智能体的顺序，对现有的多智能体系统模型和代数条件进行了梳理， 并在已有结论的基础上对多智能体系统能控性的代数条件进行了改善，进一步提出了新的代数条件。 多智能体能 控性代数条件的改进大大简化了能控性的计算量。 关键词：多智能体系统；结构可控性；精准可控性；相对协议；绝对协议；代数条件；图论；矩阵论 中图分类号：ＴＰ２７３ 文献标志码：Ａ 文章编号：１６７３⁃４７８５（２０１５）０５⁃０７４７⁃０８ 中文引用格式：董洁，纪志坚， 王晓晓． 多智能体网络系统的能控性代数条件［Ｊ］． 智能系统学报， ２０１５， １０（５）： ７４７⁃７５４． 英文引用格式：ＤＯＮＧ Ｊｉｅ， ＪＩ Ｚｈｉｊｉａｎ， ＷＡＮＧ Ｘｉａｏｘｉａｏ． Ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｃｏｎｔｒｏｌｌａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｍｕｌｔｉ⁃ａｇｅｎｔ ｓｙｓｔｅｍｓ［ Ｊ］． ＣＡＡＩ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｔ Ｓｙｓｔｅｍｓ， ２０１５， １０（５）： ７４７⁃７５４． Ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｃｏｎｔｒｏｌｌａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｍｕｌｔｉ⁃ａｇｅｎｔ ｓｙｓｔｅｍｓ ＤＯＮＧ Ｊｉｅ， ＪＩ Ｚｈｉｊｉａｎ， ＷＡＮＧ Ｘｉａｏｘｉａｏ （Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ａｕｔｏｍａｔｉｏｎ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ， Ｑｉｎｇｄａｏ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ， Ｑｉｎｇｄａｏ ２６６０７１， Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｃｏｎｔｒｏｌｌａｂｉｌｉｔｙ ｉｓ ａ ｋｅｙ ｉｓｓｕｅ ｉｎ ｔｈｅ ｓｔｕｄｙ ｏｆ ｍｕｌｔｉ⁃ａｇｅｎｔ ｓｙｓｔｅｍｓ， ｅｓｐｅｃｉａｌｌｙ ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌ ｃｏｎｔｒｏｌｌａｂｉｌｉｔｙ ａｎｄ ｅｘａｃｔ ｃｏｎｔｒｏｌｌａｂｉｌｉｔｙ． Ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｓｕｍｍａｒｉｚｅｓ ｔｈｅ ｓｙｓｔｅｍ ｍｏｄｅｌ ａｎｄ ｔｈｅ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ｃｏｎｔｒｏｌｌａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｍｕｌｔｉ⁃ａｇｅｎｔ ｓｙｓｔｅｍｓ． Ｂａｓｅｄ ｏｎ ｒｅｌａｔｉｖｅ ａｎｄ ａｂｓｏｌｕｔｅ ｐｒｏｔｏｃｏｌｓ， ｔｈｅ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ａｒｅ ａｎａｌｙｚｅｄ ｓｙｓｔｅｍａｔｉｃａｌｌｙ ｆｏｒ ｍｕｌｔｉ⁃ａｇｅｎｔ ｓｙｓｔｅｍ ｃｏｎｔｒｏｌｌａｂｉｌｉｔｙ， ｕｓｉｎｇ ｇｒａｐｈ ｔｈｅｏｒｙ ａｎｄ ｍａｔｒｉｘ ｔｈｅｏｒｙ． Ｇｏｉｎｇ ｆｒｏｍ ｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓ ｄｙｎａｍｉｃａｌ ｍｕｌｔｉ⁃ａｇｅｎｔ ｓｙｓｔｅｍｓ ｔｏ ｈｅｔｅｒｏｇｅｎｅｏｕｓ ｄｙｎａｍｉｃａｌ ｍｕｌｔｉ⁃ａｇｅｎｔ ｓｙｓｔｅｍｓ， ｔｈｅ ｅｘｉｓｔｉｎｇ ｍｏｄｅｌｓ ａｎｄ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ｍｕｌｔｉ⁃ａｇｅｎｔ ｓｙｓｔｅｍｓ ａｒｅ ｓｏｒｔｅｄ ｏｕｔ． Ｔｈｅ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ｃｏｎｔｒｏｌｌａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｍｕｌｔｉ⁃ａｇｅｎｔ ｓｙｓｔｅｍｓ ａｒｅ ｉｍ⁃ ｐｒｏｖｅｄ， ａｎｄ ｓｏｍｅ ｎｅｗ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ａｒｅ ｐｒｏｐｏｓｅｄ． Ｔｈｅ ｉｍｐｒｏｖｅｍｅｎｔ ｏｆ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｃｏｎｔｒｏｌｌａｂｉｌｉｔｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ｍｕｌｔｉ⁃ａｇｅｎｔ ｓｙｓｔｅｍ ｓｉｍｐｌｉｆｉｅｓ ｔｈｅ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｇｒｅａｔｌｙ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｍｕｌｔｉ⁃ａｇｅｎｔ ｓｙｓｔｅｍ； ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｃｏｎｔｒｏｌｌａｂｉｌｉｔｙ； ｅｘａｃｔ ｃｏｎｔｒｏｌｌａｂｉｌｉｔｙ； ｒｅｌａｔｉｖｅ ｐｒｏｔｏｃｏｌ； ａｂｓｏｌｕｔｅ ｐｒｏｔｏｃｏｌ； ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ； ｇｒａｐｈ ｔｈｅｏｒｙ； ｍａｔｒｉｘ ｔｈｅｏｒｙ 收稿日期：２０１４⁃１１⁃２５． 网络出版日期：２０１５ 基金项目：国家自然科学基金资助项目（６１３７４ ⁃０ ０ ９ ６ ⁃ ２ ３ ） ０． 自然界中普遍存在着群体行为，例如鸟的成 通信作者：纪志坚． Ｅ⁃ｍａｉｌ：ｊｉｚｈｉｊｉａｎ＠ ｐｋｕ．ｏｒｇ．ｃｎ． 群 结队、鱼和昆虫协作捕食等，都显示出一些群体特 质：相对简单的生物个体可以通过群体共同完成更 为复杂的任务。 自然界中的群体行为使得它们能够 很好地生存繁衍下去，同时也给人类很大的启发：与 单个智能体相比，多智能体系统的合作可以大大提 高系统的性能，完成更复杂的任务。 多智能体技术是近年来新兴的一门控制学科， 它具有自主性、协调性、自组织能力和推理能力等特 点。 采用多智能体系统解决问题在鲁棒性、可靠性 和对未知环境的适应性等方面也有很多的潜在优 势［１］ 。 因此，多智能体系统的研究已经成为控制领 域的一个热点［２⁃４］ ，并且已经广泛的应用在各个领 域，如智能交通、机器人的编队控制，甚至是军事用 途［５⁃１１］ 。 智能体系统研究的核心问题是能控性问题，能 控性是现代控制理论的一个基本概念，由卡尔曼 ．
·748 智能系统学报 第10卷 (Klaman)在20世纪60年代首次提出[)。多智能 更全面的内容见文献[29]。 体系统的能控性是指基于系统内部智能体之间的相 一个无向图G=(V,E)包括一个顶点集V= 互连接关系，通过对多智能体内部的领航者施加外 {1,2,…,n}和一个边集E={(,y)1:,y∈ 部控制输入，使得跟随者由任意给定的初始状态到 V!,边是指在图G里不同的无序节点对。如果节点 达期望的最终状态。能控性能使每个智能体的状态 ,∈V,并且互为邻居，那么它们之间的关系可以 达到人们预定的结果，使系统发挥最大的作用，因此 用：~表示。令N:表示节点i的邻居集，N:= 多智能体系统能控性的研究具有非常重要的意义。 西：心}。路径…是一个1~k=1,2, Tanner在2004年最早提出了多智能体网络系统的 …,s的有限序列。如果在任意2个不同的节点对之 能控性概念，叙述了单输人线性系统领航-跟随者 间都有路径，那么就说G是连通的。完备图是指图 的经典可控性，即领航者接受外部控制信号，对跟随 中任意2个节点都是相邻的关系。图G=(V,E)是 者发布指令，从而影响跟随者的运动。但是这种结 无向图，其中：∈V,与节点，邻接的节点数就是v 构的引入也带来了新的问题，如领航者的选取，领航 的度数。不含圈和重边的无向图称为简单图。各顶 者的丢失问题等)。文献[14]提出了控制协议，介 点的度均相同的无向简单图称为正则图。 绍了多智能体网络系统能控的代数条件和图论条 图G的度矩阵D(G)是一个对称矩阵，它的对 件。近年来，越来越多的研究者开始从图论的角度 角线元素就是节点的度数。图G的邻接矩阵A(G) 研究多智能体的能控性[s6),拓展了多智能体系统 表达了图G中各顶点之间的相邻关系，任意一个无 能控性的理论研究范围。多智能体网络系统的能控 向图都可以由邻接矩阵A(G)来表示，它是一个只 性不仅在理论方面具有重要研究价值，同时也具有 含有元素0和元素1的对称矩阵，如果节点：和 重要的实践意义，例如可以借助多智能体网络研究 是相邻的，则a:是1，否则就是0。图的拉普拉斯矩 编队控制，即通过调整领航者的行为来驱动跟随者 阵L(G)是一个实对称矩阵，它定义为度矩阵与邻 达到理想的位置[小。很多现实中的网络，如社交网 接矩阵之差：L(G)=D(G)-A(G),经过计算可得： 络、电网、食物网和神经网络等都存在内在节点间的 (di, i=j 动态关系，但是文献[13-18]没有考虑到节点之间具 L(G)= -1,i≠jand3edge(,y) 有内在动力的情况。因此，从理论和实践的角度来 otherwise 看，异构动态多智能体网络系统的可控性研究具有 极其重要的意义和价值90)。Cai基于高阶异质多 相对协议下多智能体网络系统的可 智能体系统的分析建立了复杂异质多智能体系统模 控性 型，并且提出了系统不能控的2个充分条件221。 多智能体网络系统的相对协议是u:= J等研究了具有状态时间延迟和切换拓扑的多智能 体系统的能控性22。Li山研究了含多个领航者和 公传)。本节基于相对协议，总结了多智能 时滞情况下切换离散时间多智能体系统的能控性， 体网络系统能控性的模型和代数条件，同时提出了 提出系统的能控性仅仅是由领航者与跟随者之间的 一些新的代数条件。 交互信息所决定的2]。在绝对协议下，文献[26 2.1同质多智能体网络系统的能控性 27]研究了在广播控制信号下多智能体系统的能控 将按照从一阶同质多智能体网络系统到高阶同 性。与领航者-跟随者结构相比，广播信号在现实 质多智能体网络系统的方式，对能控性代数条件进 生活中应用更为广泛。文献[28]研究了一致性协 行总结。 议下单智能体的能控性。本文基于相对协议和绝对 2.1.1一阶同质多智能体网络系统的能控性 协议，总结了多智能体网络系统的模型和能控性的 采用多智能体系统如下： 代数条件。阐述了图论的基本知识，叙述了在相对 协议下，多智能体网络系统的模型和能控性的代数条 t=∑0(x-x),i=1,2,…,n,n+1,…l jeN 件。总结了在绝对协议下多智能体网络系统的模型和 (1) 能控性的代数条件，指出了该领域新的研究方向。 式中：x:代表智能体i的状态，心，代表G的边权重，n 和1分别是领航者和跟随者的数目。假设图G代表 1图论的准备知识 该系统的通信拓扑图，其相应的拉普拉斯矩阵为L。 本文使用的通信结构均为无向图，关于无向图 定义一个含有n个跟随者，l个领航者的多智能体
（Ｋｌａｍａｎ）在 ２０ 世纪 ６０ 年代首次提出［１２］ 。 多智能 体系统的能控性是指基于系统内部智能体之间的相 互连接关系，通过对多智能体内部的领航者施加外 部控制输入，使得跟随者由任意给定的初始状态到 达期望的最终状态。 能控性能使每个智能体的状态 达到人们预定的结果，使系统发挥最大的作用，因此 多智能体系统能控性的研究具有非常重要的意义。 Ｔａｎｎｅｒ 在 ２００４ 年最早提出了多智能体网络系统的 能控性概念，叙述了单输入线性系统领航－跟随者 的经典可控性，即领航者接受外部控制信号，对跟随 者发布指令，从而影响跟随者的运动。 但是这种结 构的引入也带来了新的问题，如领航者的选取，领航 者的丢失问题等［１３］ 。 文献［１４］提出了控制协议，介 绍了多智能体网络系统能控的代数条件和图论条 件。 近年来，越来越多的研究者开始从图论的角度 研究多智能体的能控性［１５⁃１６］ ，拓展了多智能体系统 能控性的理论研究范围。 多智能体网络系统的能控 性不仅在理论方面具有重要研究价值，同时也具有 重要的实践意义，例如可以借助多智能体网络研究 编队控制，即通过调整领航者的行为来驱动跟随者 达到理想的位置［１７］ 。 很多现实中的网络，如社交网 络、电网、食物网和神经网络等都存在内在节点间的 动态关系，但是文献［１３⁃１８］没有考虑到节点之间具 有内在动力的情况。 因此，从理论和实践的角度来 看，异构动态多智能体网络系统的可控性研究具有 极其重要的意义和价值［１９⁃２０］ 。 Ｃａｉ 基于高阶异质多 智能体系统的分析建立了复杂异质多智能体系统模 型，并且提出了系统不能控的 ２ 个充分条件［２１⁃２８］ 。 Ｊｉ 等研究了具有状态时间延迟和切换拓扑的多智能 体系统的能控性［２２⁃２４］ 。 Ｌｉｕ 研究了含多个领航者和 时滞情况下切换离散时间多智能体系统的能控性， 提出系统的能控性仅仅是由领航者与跟随者之间的 交互信息所决定的［２５］ 。 在绝对协议下，文献［ ２６⁃ ２７］研究了在广播控制信号下多智能体系统的能控 性。 与领航者－跟随者结构相比，广播信号在现实 生活中应用更为广泛。 文献［２８］ 研究了一致性协 议下单智能体的能控性。 本文基于相对协议和绝对 协议，总结了多智能体网络系统的模型和能控性的 代数条件。 阐述了图论的基本知识，叙述了在相对 协议下，多智能体网络系统的模型和能控性的代数条 件。 总结了在绝对协议下多智能体网络系统的模型和 能控性的代数条件，指出了该领域新的研究方向。 １ 图论的准备知识 本文使用的通信结构均为无向图，关于无向图 更全面的内容见文献［２９］。 一个无向图 Ｇ ＝ （Ｖ，Ｅ） 包括一个顶点集 Ｖ ＝ ｛ｖ１ ，ｖ２ ，…，ｖｎ ｝ 和一个边集 Ｅ ＝ ｛（ｖｉ，ｖｊ） ｜ ｖｉ，ｖｊ ∈ Ｖ｝， 边是指在图 Ｇ 里不同的无序节点对。 如果节点 ｖｉ，ｖｊ ∈ Ｖ ，并且互为邻居，那么它们之间的关系可以 用 ｖｉ ～ ｖｊ 表示。 令 Ｎｉ 表示节点 ｉ 的邻居集， Ｎｉ ＝ {ｊ｜ ｖｉ ～ ｖｊ } 。 路径 ｖｉ０ ｖｉ１…ｖｉ ｓ 是一个 ｖｉｋ－１ ～ ｖｉｋ ，ｋ ＝ １，２， …，ｓ 的有限序列。 如果在任意 ２ 个不同的节点对之 间都有路径，那么就说 Ｇ 是连通的。 完备图是指图 中任意 ２ 个节点都是相邻的关系。 图 Ｇ ＝ （Ｖ，Ｅ） 是 无向图，其中 ｖｉ ∈ Ｖ ，与节点 ｖｉ 邻接的节点数就是 ｖｉ 的度数。 不含圈和重边的无向图称为简单图。 各顶 点的度均相同的无向简单图称为正则图。 图 Ｇ 的度矩阵 Ｄ（Ｇ） 是一个对称矩阵，它的对 角线元素就是节点的度数。 图 Ｇ 的邻接矩阵 Ａ（Ｇ） 表达了图 Ｇ 中各顶点之间的相邻关系，任意一个无 向图都可以由邻接矩阵 Ａ（Ｇ） 来表示，它是一个只 含有元素 ０ 和元素 １ 的对称矩阵，如果节点 ｖｉ 和 ｖｊ 是相邻的，则 ａｉｊ 是 １，否则就是 ０。 图的拉普拉斯矩 阵 Ｌ（Ｇ） 是一个实对称矩阵，它定义为度矩阵与邻 接矩阵之差： Ｌ（Ｇ）＝ Ｄ（Ｇ） － Ａ（Ｇ）， 经过计算可得： Ｌ(Ｇ) ＝ ｄｉ， ｉ ＝ ｊ － １， ｉ ≠ ｊ ａｎｄ∃ｅｄｇｅ（ｖｉ，ｖｊ） ０， ｏｔｈｅｒｗｉｓｅ ì î í ï ï ï ï ２ 相对协议下多智能体网络系统的可 控性 多 智 能 体 网 络 系 统 的 相 对 协 议 是 ｕｉ ＝ ∑ ｊ∈Ｎｉ ｘｊ － ｘｉ ( ) 。 本节基于相对协议，总结了多智能 体网络系统能控性的模型和代数条件，同时提出了 一些新的代数条件。 ２．１ 同质多智能体网络系统的能控性 将按照从一阶同质多智能体网络系统到高阶同 质多智能体网络系统的方式，对能控性代数条件进 行总结。 ２．１．１ 一阶同质多智能体网络系统的能控性 采用多智能体系统如下： ｘ · ｉ ＝ ∑ ｊ∈Ｎｉ ｗｉｊ（ｘｊ － ｘｉ），ｉ ＝ １，２，…，ｎ，ｎ ＋ １，…，ｌ （１） 式中：ｘｉ 代表智能体 ｉ 的状态，ｗｉｊ代表 Ｇ 的边权重，ｎ 和 ｌ 分别是领航者和跟随者的数目。 假设图 Ｇ 代表 该系统的通信拓扑图，其相应的拉普拉斯矩阵为 Ｌ。 定义一个含有 ｎ 个跟随者，ｌ 个领航者的多智能体， ·７４８· 智 能 系 统 学 报 第 １０ 卷
第5期 董洁，等：多智能体网络系统的能控性代数条件 .749. 令x=[x1名2…x],x,=[x1x2… x], 则有 系统(1)可以写成如下形式： [LgL]=[A听0]=Av Lx 所以vL=Av「。这说明向量v是L的左特征向量， 并且对应于所有领航者的最后！项全为零元素。因 式中：x和x,分别代表跟随者和领航者状态的迭加 此定理1成立。 向量，Lr∈R和Lu∈R分别对应于系统跟随者和 2.1.2高阶同质多智能体网络系统的能控性 领航者的编号，L表示从跟随者到领航者的通信连 采用文献[21,32]的多智能体网络系统模型： 接关系，L,表示从领航者到跟随者的通信连接关 x=F∑0，x-x)+Bu,i=1,2,…,n(4) 系。只要系统中的领航者能驱动跟随者到达期望的 状态，那么系统就是可控的。本文研究的能控性问 式中：x:eR,F∈R,0g∈R,BeRm,:∈R；x 题是领航者对跟随者的控制能力，即系统(3)的能 表示智能体i的状态；心，表示图G的边权重，代表了 控性问题。 节点i和j之间的连接强度；B是控制输入矩阵。如 果输入“：=0，那么智能体i就是跟随者，反之就是 x1=-LuXI-LnxI (3) 如果存在输人信号u(t),能使系统在规定的时 领航者。定义x=[xx…x]T∈R",u= 间内从任意的初始状态x,(0)被驱使到理想状态 [u;…u]T∈Rm,则系统(4)就可以写成 x(T),则系统(3)是能控的。 x=(-L☒F)x+(A☒B)u (5) 定义1【0】如果将矩阵L划分成式(2)的形 假设前g个智能体是领航者，那么 式，最后l个智能体为领航者，当且仅当（亿，L)可 A=diag(1,…,1,0,…,0) 控，则系统就是能控的。 a-q 引理13训给定系统=-Lg-L,可以得 注释2文献[21,32]的状态方程为X=-FXL+ 出以下的说法是等同的： BU。为了使分析一致，将X=-FXLT+BU进行拉直 1)系统是能控的： 处理转化成式(5)进行分析。 2)能控性矩阵 引理2实矩阵A、B、CD的维数兼容，那么有 [-Ln LoLn -LiLa …（-1)"LgLa] 以下结论)： 是行满秩的： 1)(A+B)⑧☒C=A⑧C+B☒C 3)对于系统所有的特征值入∈R,矩阵对 2)(A⑧B)(C⑧D)=(AC)⑧(BD) [入I-LgL]都是行满秩的，也就是说如果L= 3)(A⑧B)T=A'⑧B 入v则vLa≠0，其中v是矩阵Lr的特征值入所对 4)A为m×m的矩阵，它的特征值A1,入2，…，入m 应的非零的左特征向量。 所对应的左特征向量分别是1，，…，am,B为n× 注释1学术界已经广泛研究了一阶动力学多 n的矩阵，它的特征值142，…，4n所对应的左特 智能体网络系统的模型，例如文献[13-18]。而系统 征向量分别是B,B2,…,B.。则A☒B的特征值是 (1)是一般的加权系统模型。 入4(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n),对应的左特征向 命题1系统(3)是能控的，也就是[LgLa] 量是x,⑧p,0 是可控的，那么当且仅当矩阵L和矩阵L没有相同 定理22]要使系统(5)能控，那么以下2个 的特征值。 条件必须同时成立。 定理1系统(3)是可控的，即矩阵对[LL] 1)[FB]是一个能控矩阵对： 是可控的，那么矩阵L不存在与领航者节点所对应 2)矩阵L不存在前q项全是零元素的左特征 向量元素全为0的左特征向量。 向量。 证明根据引理1，如果矩阵L,中存在与特征 证明根据PBH判据，如果系统(5)是不可控 值入所对应的左特征向量y,∈C,使得vLa=0成 的，那么矩阵L⑧F中存在与特征值入相对应的左 立，那么矩阵对[LgL]是不可控的。构造一个向 特征值向量，使得(A②B)=0成立。假设矩阵 量veCm,令v=[0],那么下式成立： L和F对应的左特征向量分别是：∈C和B∈C, 由引理2可知，v=a⑧B和(a'⑧B)(A☒B)=0同 Ly Lu 时成立，所以得到
令 ｘｆ ＝ ｘ１ ｘ２ … ｘｎ [ ] Ｔ ，ｘｌ ＝ ｘｎ＋１ ｘｎ＋２ … ｘｎ＋ｌ [ ] Ｔ ， 系统（１）可以写成如下形式： ｘ · ＝ ｘ · ｆ ｘ · ｌ é ë ê ê ê ù û ú ú ú ＝ － Ｌｘ ＝ － Ｌｆｆ Ｌｆｌ Ｌｌｆ Ｌｌｌ é ë ê ê ù û ú ú ｘｆ ｘｌ é ë ê ê ù û ú ú （２） 式中：ｘｆ 和 ｘｌ 分别代表跟随者和领航者状态的迭加 向量，Ｌｆｆ∈Ｒ ｎ×ｎ和 Ｌｌｌ∈Ｒ ｌ×ｌ分别对应于系统跟随者和 领航者的编号，Ｌｌｆ表示从跟随者到领航者的通信连 接关系，Ｌｆｌ 表示从领航者到跟随者的通信连接关 系。 只要系统中的领航者能驱动跟随者到达期望的 状态，那么系统就是可控的。 本文研究的能控性问 题是领航者对跟随者的控制能力，即系统（３） 的能 控性问题。 ｘ · ｆ ＝ － Ｌｆｆｘｆ － Ｌｆｌｘｌ （３） 如果存在输入信号 ｕ（ｔ），能使系统在规定的时 间内从任意的初始状态 ｘｆ（ ０） 被驱使到理想状态 ｘｆ（Ｔ），则系统（３）是能控的。 定义 １ ［３０］ 如果将矩阵 Ｌ 划分成式（２） 的形 式，最后 ｌ 个智能体为领航者，当且仅当 Ｌｆｆ，Ｌｆｌ ( ) 可 控，则系统就是能控的。 引理 １ ［３１］ 给定系统 ｘ · ｆ ＝ －Ｌｆｆ ｘｆ －Ｌｆｌ ｘｌ，可以得 出以下的说法是等同的： １）系统是能控的； ２）能控性矩阵 ［－Ｌｆｌ ＬｆｆＬｆｌ －Ｌ ２ ｆｆＬｆｌ … （－１） ｎＬ ｎ－１ ｆｆ Ｌｆｌ］ 是行满秩的； ３） 对 于 系 统 所 有 的 特 征 值 λ ∈ Ｒ， 矩 阵 对 ［λＩ－Ｌｆｆ Ｌｆｌ］都是行满秩的，也就是说如果 ｖ ＴＬｆｆ ＝ λｖ Ｔ 则 ｖ ＴＬｆｌ≠０，其中 ｖ 是矩阵 Ｌｆｆ的特征值 λ 所对 应的非零的左特征向量。 注释 １ 学术界已经广泛研究了一阶动力学多 智能体网络系统的模型，例如文献［１３⁃１８］。 而系统 （１）是一般的加权系统模型。 命题 １ 系统（３）是能控的，也就是［Ｌｆｆ Ｌｆｌ］ 是可控的，那么当且仅当矩阵 Ｌ 和矩阵 Ｌｆｆ没有相同 的特征值。 定理 １ 系统（３）是可控的，即矩阵对［Ｌｆｆ Ｌｆｌ］ 是可控的，那么矩阵 Ｌ 不存在与领航者节点所对应 向量元素全为 ０ 的左特征向量。 证明 根据引理 １，如果矩阵 Ｌｆｆ中存在与特征 值 λ 所对应的左特征向量 ｖｆ∈Ｃ ｎ ，使得 ｖ Ｔ ｆ Ｌｆｌ ＝ ０ 成 立，那么矩阵对［Ｌｆｆ Ｌｆｌ］是不可控的。 构造一个向 量 ｖ∈Ｃ ｎ＋ｌ ，令 ｖ Ｔ ＝ ｖ Ｔ [ ｆ ０] ，那么下式成立： ｖ ＴＬ ＝ ｖ Ｔ [ ｆ ０] Ｌｆｆ Ｌｆｌ Ｌｌｆ Ｌｌｌ é ë ê ê ù û ú ú ＝ ｖ Ｔ ｆ Ｌｆｆ ｖ Ｔ ｆ Ｌｆｌ [ ] 则有 ｖ Ｔ ｆ Ｌｆｆ ｖ Ｔ ｆ Ｌｆｌ [ ] ＝ λｖ Ｔ [ ｆ ０] ＝ λｖ Ｔ 所以 ｖ Ｔ Ｌ ＝λｖ Ｔ 。 这说明向量 ｖ 是 Ｌ 的左特征向量， 并且对应于所有领航者的最后 ｌ 项全为零元素。 因 此定理 １ 成立。 ２．１．２ 高阶同质多智能体网络系统的能控性 采用文献［２１，３２］的多智能体网络系统模型： ｘ · ｉ ＝ Ｆ∑ ｊ∈Ｎｉ ｗｉｊ（ｘｊ － ｘｉ） ＋ Ｂｕｉ，ｉ ＝ １，２，…，ｎ （４） 式中：ｘｉ∈Ｒ ｄ ，Ｆ∈Ｒ ｄ×ｄ ，ｗｉｊ∈Ｒ，Ｂ∈Ｒ ｄ×ｍ ，ｕｉ∈Ｒ ｍ ； ｘｉ 表示智能体 ｉ 的状态；ｗｉｊ表示图 Ｇ 的边权重，代表了 节点 ｉ 和 ｊ 之间的连接强度；Ｂ 是控制输入矩阵。 如 果输入 ｕｉ ＝ ０，那么智能体 ｉ 就是跟随者，反之就是 领航者。 定义 ｘ ＝ ［ｘ Ｔ １ ｘ Ｔ ２ … ｘ Ｔ ｎ ］ Ｔ ∈ Ｒ ｄ×ｎ ， ｕ ＝ ［ｕ Ｔ １ ｕ Ｔ ２ … ｕ Ｔ ｎ ］ Ｔ∈Ｒ ｍ×ｎ ，则系统（４）就可以写成 ｘ · ＝ （ － Ｌ Ｆ）ｘ ＋ （Λ Ｂ）ｕ （５） 假设前 ｑ 个智能体是领航者，那么 Λ ＝ ｄｉａｇ（１，}…，１， ｑ ０}，…，０ ｎ－ｑ ） 注释 ２ 文献［２１，３２］的状态方程为 Ｘ · ＝ －ＦＸＬ Ｔ ＋ ＢＵ。 为了使分析一致，将 Ｘ · ＝ －ＦＸＬ Ｔ ＋ＢＵ 进行拉直 处理转化成式（５）进行分析。 引理 ２ 实矩阵 Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ 的维数兼容，那么有 以下结论［３３］ ： １）（Ａ＋Ｂ）Ｃ＝ＡＣ＋ＢＣ ２）（ＡＢ）（ＣＤ）＝ （ＡＣ）（ＢＤ） ３）（ＡＢ） Ｔ ＝Ａ ＴＢ Ｔ ４）Ａ 为 ｍ×ｍ 的矩阵，它的特征值 λ１ ，λ２ ，…，λｍ 所对应的左特征向量分别是 α１ ，α２ ，…，αｍ ，Ｂ 为 ｎ× ｎ 的矩阵，它的特征值 μ１ ，μ２ ，…，μｎ 所对应的左特 征向量分别是 β１ ，β２ ，…，βｎ 。 则 ＡＢ 的特征值是 λｉμｊ（ｉ ＝ １，２，…，ｍ；ｊ ＝ １，２，…，ｎ），对应的左特征向 量是 αｉβｊ。 定理 ２ ［２１］ 要使系统（５） 能控，那么以下 ２ 个 条件必须同时成立。 １）［Ｆ Ｂ］是一个能控矩阵对； ２）矩阵 Ｌ 不存在前 ｑ 项全是零元素的左特征 向量。 证明 根据 ＰＢＨ 判据，如果系统（５）是不可控 的，那么矩阵 ＬＦ 中存在与特征值 λ 相对应的左 特征值向量 ｖ，使得 ｖ Ｔ （ΛＢ） ＝ ０ 成立。 假设矩阵 Ｌ 和 Ｆ 对应的左特征向量分别是 α∈Ｃ ｎ 和 β∈Ｃ ｄ ， 由引理 ２ 可知，ｖ ＝αβ 和（α Ｔβ Ｔ ） （ΛＢ）＝ ０ 同 时成立，所以得到 第 ５ 期 董洁，等：多智能体网络系统的能控性代数条件 ·７４９·
·750· 智能系统学报 第10卷 (A)☒(B'B)=0 (6) 1)[FB]是一个能控矩阵对： 要使式(6)成立，则有以下2种情况： 2)矩阵(C-L)⑧F的所有特征值各不相同。 1)如果a'A=0,也就是说矩阵L存在这样的左 2.2.2复杂异质多智能体网络系统的能控性 特征向量，其前q项都是零元素；或者 文献[21]的复杂异质多智能体网络系统写成 2)BB=0,即[FB]是不可控的。 分析以上2种情况，可知定理2成立。 =∑0，F(x-x)+B,4,i=1,2,…,n(11) 2.2异质多智能体网络系统的能控性 式中：xeR,0geR,FeR,W,∈R,B,∈R。 按照从简单异质多智能体网络系统到复杂异质 将标量w,与F合并为一项，那么方程(11)可以变 多智能体网络系统的顺序对能控性的线性代数条件 形为 进行总结。 N 2.2.1简单异质多智能体网络系统的能控性 =∑M,(x-x)+B,,i=1,2,…,n(12) 1)领航-跟随者框架下简单异质多智能体网络 将方程(12)与方程(1)相比较，如果把方阵 系统的模型与文献[19]相似： M∈R看作是拓扑图G的边权重，那么系统的邻 接矩阵为 t,=cFx,+F∑0，(x-x)+Bu,i=1,2,,n 0 M Min (7) Ma 0 4 M2n W= (13) 式中：x:eR,c,∈R,F∈Rd,0g∈R,B∈Rm,u,∈ R。c:Fx:表示节点i之间的内部动态关系。如果 M M2 0 输入：=0，那么智能体i就是跟随者，否则就是领 系统对应的拉普拉斯矩阵为 航者。定义X=[xx…x]T∈R,U= ∑My -Mn … -Mi [u…]TeRm,则系统(7)可以写成： -M21 ∑M -M2 x=[(C-L)☒F]x+(A☒B)u(8) L= (14) 如果系统的前q个智能体是领航者，那么C= diag(c1,c2,…,cn),M=diag(1,…,1.0,…,0)。 -M -M2 ∑M 定理3]要使系统(8)能控，那么以下2个 注释3文献[19]中，c:∈R表示节点i之间的 条件必须同时成立。 异质动态关系，文献[21]中F∈R表示节点i之 1)[FB]是一个能控矩阵对； 间的异质动态关系。文献[21]的异质多智能体网络 2)(C-L)不存在前g项都为零的左特征向量。 系统的能控性是非常复杂的，所以对于这样一个异质 证明定理3的证明过程与定理2相似。 网络系统，只得到了系统不能控的2个充分条件。 2)广播信号下简单异质多智能体网络系统的 命题321】如果方程(11)表示的加权矩阵图 模型与文献[20]中相似，系统模型为 是双向的，即M4=M(i,k=1,2,…,n),并且矩 阵对的集合{[MkB]i,k=1,2,…,n}是不能控 =cFx +Fw(x)+Bu,i=1,2..n j=1 的，那么多智能体系统(10)就是不能控的。 (9) 命题42如果文献[21]中异质多智能体系 式中：x,∈R,C:∈R,F∈R,wg∈R,B∈Rm,u∈R。 统的拓扑图G是结构不能控的，那么整个系统都是 cFx:表示节点i之间的内部动态关系。由于系统(9) 不能控的。 中所有的智能体都接收相同的控制信号，所以称为 2.3一般多智能体网络系统的能控性 广播控制信号。定义X=[xx…x]T∈R 采用文献[25]的一般动力学多智能体网络系 U=[u…u]TeRm,则系统(9)可以写成如 统模型： 下形式： x:=Ax+Cu+6Bu,i=1,2,…,n(15) X=[(C-L)⑧F]X+(I.☒B)U(10) 式中：x:∈R”代表智能体i的状态，u:∈R是智能体 命题29)如果系统(10)是能控的，那么当且 i的耦合变量，w,∈R?是智能体i的外部输入。A= 仅当以下2个条件同时满足： R9,B∈RP9,C∈R
（α ＴΛ） （β ＴＢ） ＝ ０ （６） 要使式（６）成立，则有以下 ２ 种情况： １）如果 α ＴΛ＝ ０，也就是说矩阵 Ｌ 存在这样的左 特征向量，其前 ｑ 项都是零元素；或者 ２）β ＴＢ＝ ０，即［Ｆ Ｂ］是不可控的。 分析以上 ２ 种情况，可知定理 ２ 成立。 ２．２ 异质多智能体网络系统的能控性 按照从简单异质多智能体网络系统到复杂异质 多智能体网络系统的顺序对能控性的线性代数条件 进行总结。 ２．２．１ 简单异质多智能体网络系统的能控性 １）领航－跟随者框架下简单异质多智能体网络 系统的模型与文献［１９］相似： ｘ · ｉ ＝ ｃｉＦｘｉ ＋ Ｆ∑ Ｎ ｊ ＝ １ ｗｉｊ（ｘｊ － ｘｉ） ＋ Ｂｕｉ，ｉ ＝ １，２，…，ｎ （７） 式中：ｘｉ∈Ｒ ｄ ，ｃｉ∈Ｒ，Ｆ∈Ｒ ｄ×ｄ ，ｗｉｊ∈Ｒ，Ｂ∈Ｒ ｄ×ｍ ，ｕｉ∈ Ｒ ｍ 。 ｃｉＦｘｉ 表示节点 ｉ 之间的内部动态关系。 如果 输入 ｕｉ ＝ ０，那么智能体 ｉ 就是跟随者，否则就是领 航者。 定 义 Ｘ ＝ ［ｘ Ｔ １ ｘ Ｔ ２ … ｘ Ｔ ｎ ］ Ｔ ∈ Ｒ ｄｎ ， Ｕ ＝ ［ｕ Ｔ １ ｕ Ｔ ２ … ｕ Ｔ ｎ ］ Ｔ∈Ｒ ｍｎ ，则系统（７）可以写成： ｘ · ＝ ［（Ｃ － Ｌ） Ｆ］ｘ ＋ （Λ Ｂ）ｕ （８） 如果系统的前 ｑ 个智能体是领航者，那么 Ｃ ＝ ｄｉａｇ（ｃ１ ，ｃ２ ，…，ｃｎ ），Λ＝ ｄｉａｇ（１，}…，１， ｑ ０}，…，０ ｎ－ｑ ）。 定理 ３ ［１９］ 要使系统（８） 能控，那么以下 ２ 个 条件必须同时成立。 １）［Ｆ Ｂ］是一个能控矩阵对； ２）（Ｃ－Ｌ）不存在前 ｑ 项都为零的左特征向量。 证明 定理 ３ 的证明过程与定理 ２ 相似。 ２）广播信号下简单异质多智能体网络系统的 模型与文献［２０］中相似，系统模型为 ｘ · ｉ ＝ ｃｉＦｘｉ ＋ Ｆ∑ Ｎ ｊ ＝ １ ｗｉｊ（ｘｊ － ｘｉ） ＋ Ｂｕ，ｉ ＝ １，２，…，ｎ （９） 式中：ｘｉ∈Ｒ ｄ ，ｃｉ∈Ｒ，Ｆ∈Ｒ ｄ×ｄ ，ｗｉｊ∈Ｒ，Ｂ∈Ｒ ｄ×ｍ ，ｕ∈Ｒ ｍ 。 ｃｉＦｘｉ 表示节点 ｉ 之间的内部动态关系。 由于系统（９） 中所有的智能体都接收相同的控制信号，所以称 ｕ 为 广播控制信号。 定义 Ｘ ＝ ［ｘ Ｔ １ ｘ Ｔ ２ … ｘ Ｔ ｎ ］ Ｔ ∈Ｒ ｄｎ ， Ｕ＝［ｕ Ｔ １ ｕ Ｔ ２ … ｕ Ｔ ｎ ］ Ｔ∈Ｒ ｍｎ ，则系统（９）可以写成如 下形式： Ｘ · ＝ ［（Ｃ － Ｌ） Ｆ］Ｘ ＋ （Ｉｎ Ｂ）Ｕ （１０） 命题 ２ ［１９］ 如果系统（１０）是能控的，那么当且 仅当以下 ２ 个条件同时满足： １）［Ｆ Ｂ］是一个能控矩阵对； ２）矩阵（Ｃ－Ｌ）Ｆ 的所有特征值各不相同。 ２．２．２ 复杂异质多智能体网络系统的能控性 文献［２１］的复杂异质多智能体网络系统写成 ｘ · ｉ ＝ ∑ Ｎ ｊ ＝ １ ｗｉｊＦｉｊ（ｘｊ － ｘｉ） ＋ Ｂｉｕｉ，ｉ ＝ １，２，…，ｎ （１１） 式中：ｘｉ∈Ｒ ｄ ，ｗｉｊ∈Ｒ，Ｆｉｊ∈Ｒ ｄ×ｄ ，ｕｉ ∈Ｒ ｍ ，Ｂｉ ∈Ｒ ｄ×ｍ 。 将标量 ｗｉｊ与 Ｆｉｊ合并为一项，那么方程（１１）可以变 形为 ｘ · ｉ ＝ ∑ Ｎ ｊ ＝ １ Ｍｉｊ（ｘｊ － ｘｉ） ＋ Ｂｉｕｉ，ｉ ＝ １，２，…，ｎ （１２） 将方程（１２） 与方程（ １） 相比较，如果把方阵 Ｍｉｊ∈Ｒ ｄ×ｄ看作是拓扑图 Ｇ 的边权重，那么系统的邻 接矩阵为 Ｗ ＝ ０ Ｍ１２ … Ｍ１ｎ Ｍ２１ ０ … Ｍ２ｎ ︙ ︙ ︙ ︙ Ｍｎ１ Ｍｎ２ … ０ é ë ê ê ê ê êê ù û ú ú ú ú úú （１３） 系统对应的拉普拉斯矩阵为 Ｌ ＝ ∑ ｎ ｊ ＝ １ Ｍ１ｊ － Ｍ１２ … － Ｍ１ｎ － Ｍ２１ ∑ ｎ ｊ ＝ １ Ｍ２ｊ … － Ｍ２ｎ ︙ ︙ ︙ ︙ － Ｍｎ１ － Ｍｎ２ … ∑ ｎ ｊ ＝ １ Ｍｎｊ é ë ê ê ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú ú ú （１４） 注释 ３ 文献［１９］中，ｃｉ∈Ｒ 表示节点 ｉ 之间的 异质动态关系，文献［２１］中 Ｆｉｊ∈Ｒ ｄ×ｄ表示节点 ｉ 之 间的异质动态关系。 文献［２１］的异质多智能体网络 系统的能控性是非常复杂的，所以对于这样一个异质 网络系统，只得到了系统不能控的 ２ 个充分条件。 命题 ３ ［２１］ 如果方程（１１） 表示的加权矩阵图 是双向的，即 Ｍｉｋ ＝ Ｍｋｉ（∀ｉ，ｋ ＝ １，２，…，ｎ），并且矩 阵对的集合{ [Ｍｉｋ Ｂｉ] ｉ，ｋ ＝ １，２，…，ｎ} 是不能控 的，那么多智能体系统（１０）就是不能控的。 命题 ４ ［２１］ 如果文献［２１］ 中异质多智能体系 统的拓扑图 Ｇ 是结构不能控的，那么整个系统都是 不能控的。 ２．３ 一般多智能体网络系统的能控性 采用文献［２５］ 的一般动力学多智能体网络系 统模型： ｘ · ｉ ＝ Ａｘｉ ＋ Ｃｕｉ ＋ δｉＢｕｌ， ｉ ＝ １，２，…，ｎ （１５） 式中：ｘｉ∈Ｒ ｐ 代表智能体 ｉ 的状态，ｕｉ∈Ｒ ｓ 是智能体 ｉ 的耦合变量，ｕｌ∈Ｒ ｑ 是智能体 ｉ 的外部输入。 Ａ ＝ Ｒ ｐ×ｐ ，Ｂ∈Ｒ ｐ×ｑ ，Ｃ∈Ｒ ｐ×ｓ 。 ·７５０· 智 能 系 统 学 报 第 １０ 卷
第5期 董洁，等：多智能体网络系统的能控性代数条件 ·751. 每个智能体i的耦合变量4，∈R是由邻居间的 M=(U☒L)M=(U☒L)M⑧B)=(UM☒B 耦合扩散变量决定的。也就是说，系统的相对协议为 由于(L,M)是不能控的，并且U⑧L,是非奇 w=K∑(x-x) (16) jeN 异的，因此矩阵对(i,M)也是不能控的。考虑到 令x=col(x1,x2,…,xn),u=col(u1,42,…,m）, 的块对角结构，那么就一定会存在一个数s,1≤s≤ 则系统(15)可以写成矩阵形式： n,使与它相对应的矩阵对(A-入，CK,(UM),⑧B) x =Lx Mu (17) 是不能控的。用(M),表示矩阵M的第s行。因此， 式中：L=I⑧A-L⑧(CK),M=M☒B,M∈Rm。m 1)(UM),=0,也就是说(L,M)是不能控的： 是领航者的数目。 2)假如(U'M).≠0，那么(A-入CK,B)是不能 1,i= 控的。 Mi= (0,其他 因此矛盾，故结论成立，定理证明完毕。 定理4](i,M)是能控的，当且仅当以下2 注释4定理4的证明比较复杂，是一个新的 个条件同时成立： 证明方法，并且有一定的参考价值。 1)(L,M)是能控的： 3绝对协议下多智能体网络系统的能 2)对于矩阵L的每一个特征值入，矩阵对(A- ACK,B)都是可控的。 控性 证明（必要性）只证明矩阵(L,M)能控的必 在绝对协议4，=∑x,下，总结动力学多智能体 要条件，(A-λCK,B)能控的必要条件可以用相似的 jeN 方法来证明。假设(L,M)是不能控的，则存在非零 网络系统能控性的代数条件，并且提出了一些新的 向量x∈R"使得xL=入xP和x'M=0成立。令(0， 代数条件。 y)∈C×C是矩阵(A-入CK,B)的左特征向量，那么 31一阶同质多智能体网络系统的能控性 L☒(A-ACK)=L☒A-AL☒CK(18) 采用文献[26]的多智能体网络系统模型，它由 由xL=Ax,可得x'L/A=x,即L/入=In。所以式 广播信号控制： (18)可转化成1/A{L☒(A-ACK)}=1/入{L☒A- x=∑x+u,i=1,2,…,n (20) AL⑧CK}=I⑧A-L⑧CK=i。由引理2，(0，x⑧y) 式中：x:表示智能体i的状态，N:={ju,~;j≠}是 是的一个左特征向量，则有 节点：的邻居集，是控制输入。多智能体系统 (x☒y)"M=(xM)☒(y"B)=0(19) (20)的所有智能体都接受相同的控制信号，即，称 通过PBH判据可知，(L,M)是不可控的。 这个信号为广播信号。 (充分性)假设(L,M)是不能控的。由于L是 系统(20)可以写成如矩阵形式如下： 对称矩阵，总能找到一个正交矩阵U使L=UDU x =Ax bu (21) 成立]，即 式中：A∈R为多智能体系统的邻接矩阵，b= U'LU=diag(入1，入2，…，入n) [11…1]∈R。 式中：入：是矩阵L的特征值。引入2个矩阵L和 命题5]当且仅当以下2个条件同时成立， M: 系统(21)是能控的。 1)矩阵A的特征值各不相同： i=(U☒1)L(U☒I)= 2)A的特征向量都不与b正交。 (U☒I)(I,⑧A-L⑧CK)(U⑧I)= 注释5命题5证明过程见文献[13]。但是命 (U⑧I)Ln☒A)-(U☒I)(L☒CK)(U☒L)= 题5只要满足条件2)系统就是能控的，即条件2)是 ((U☒A)-(U'L☒CK)(U☒L,)= 系统能控的充要条件，条件1)是系统能控的必要 (U☒A)(U☒I)-(U'L⑧CK)(U⑧I,)= 条件。 (I.☒U'A)-(U'LU☒CK)= 定理5当且仅当矩阵A的所有特征向量都不 (In☒A)-(diag(A1,A2,…,入n)☒CK)= 正交于b,则系统(21)是能控的，并且如果系统 blockdiag(A-A,CK,…,A-入.CK) (21)是能控的，那么矩阵A的特征值各不相同。 和 证明假设向量”是矩阵A的特征向量，在
每个智能体 ｉ 的耦合变量 ｕｉ∈Ｒ ｓ 是由邻居间的 耦合扩散变量决定的。 也就是说，系统的相对协议为 ｕｉ ＝ Ｋ∑ ｊ∈Ｎｉ （ｘｊ － ｘｉ） （１６） 令 ｘ ＝ ｃｏｌ（ｘ１ ，ｘ２ ，…，ｘｎ ），ｕ ＝ ｃｏｌ（ｕ１ ，ｕ２ ，…，ｕｍ ）， 则系统（１５）可以写成矩阵形式： ｘ · ＝ Ｌ ＾ ｘ ＋ Ｍ ＾ ｕ （１７） 式中：Ｌ ＾ ＝ ＩｎＡ－Ｌ（ＣＫ），Ｍ ＾ ＝ ＭＢ，Ｍ∈Ｒ ｎ×ｍ 。 ｍ 是领航者的数目。 Ｍｉｌ ＝ １， ｉ ＝ ｖｌ ０， 其他 { 定理 ４ ［２５］ （Ｌ ＾ ，Ｍ ＾ ）是能控的，当且仅当以下 ２ 个条件同时成立： １）（Ｌ，Ｍ）是能控的； ２）对于矩阵 Ｌ 的每一个特征值 λ，矩阵对（Ａ－ λＣＫ，Ｂ）都是可控的。 证明 （必要性）只证明矩阵（Ｌ，Ｍ）能控的必 要条件，（Ａ－λＣＫ，Ｂ）能控的必要条件可以用相似的 方法来证明。 假设（Ｌ，Ｍ）是不能控的，则存在非零 向量 ｘ∈Ｒ ｎ 使得 ｘ ＴＬ ＝ λｘ Ｔ 和 ｘ ＴＭ ＝ ０ 成立。 令（θ， ｙ）∈Ｃ×Ｃ ｐ 是矩阵（Ａ－λＣＫ，Ｂ）的左特征向量，那么 Ｌ （Ａ － λＣＫ） ＝ Ｌ Ａ － λＬ ＣＫ （１８） 由 ｘ ＴＬ ＝ λｘ Ｔ ，可得 ｘ ＴＬ ／ λ ＝ ｘ Ｔ ，即 Ｌ ／ λ ＝ Ｉｎ 。 所以式 （１８）可转化成 １ ／ λ｛Ｌ（Ａ－λＣＫ）｝ ＝ １ ／ λ｛ＬＡ－ λＬＣＫ｝ ＝ ＩｎＡ－ＬＣＫ＝Ｌ ＾ 。 由引理 ２，（θ，ｘｙ） 是 Ｌ ＾ 的一个左特征向量，则有 （ｘ ｙ） ＨＭ ＾ ＝ （ｘ ＴＭ） （ｙ Ｈ Ｂ） ＝ ０ （１９） 通过 ＰＢＨ 判据可知，（Ｌ ＾ ，Ｍ ＾ ）是不可控的。 （充分性）假设（Ｌ ＾ ，Ｍ ＾ ）是不能控的。 由于 Ｌ 是 对称矩阵，总能找到一个正交矩阵 Ｕ 使 Ｌ ＝ ＵＤＵ Ｔ 成立［３３］ ，即 Ｕ ＴＬＵ ＝ ｄｉａｇ（λ１ ，λ２ ，…，λｎ ） 式中：λｉ 是矩阵 Ｌ 的特征值。 引入 ２ 个矩阵 Ｌ ＾ 和 Ｍ ～ ： Ｌ ～ ＝ （Ｕ Ｔ Ｉｐ）Ｌ ＾ （Ｕ Ｉｐ） ＝ （Ｕ Ｔ Ｉｐ）（Ｉｐ Ａ － Ｌ ＣＫ）（Ｕ Ｉｐ） ＝ （（Ｕ Ｔ Ｉｐ）（Ｉｎ Ａ） － （Ｕ Ｔ Ｉｐ）（Ｌ ＣＫ））（Ｕ Ｉｐ）＝ （（Ｕ Ｔ Ａ） － （Ｕ ＴＬ ＣＫ））（Ｕ Ｉｐ） ＝ （Ｕ Ｔ Ａ）（Ｕ Ｉｐ） － （Ｕ ＴＬ ＣＫ）（Ｕ Ｉｐ） ＝ （Ｉｎ Ｕ ＴＡ） － （Ｕ ＴＬＵ ＣＫ） ＝ （Ｉｎ Ａ） － （ｄｉａｇ（λ１ ，λ２ ，…，λｎ ） ＣＫ） ＝ ｂｌｏｃｋｄｉａｇ（Ａ － λ１ＣＫ，…，Ａ － λｎＣＫ） 和 Ｍ ～ ＝ （Ｕ Ｔ Ｉｐ）Ｍ ＾ ＝ （Ｕ Ｔ Ｉｐ）（ＭＢ）＝ （Ｕ ＴＭ） Ｂ 由于（Ｌ ＾ ，Ｍ ＾ ） 是不能控的，并且 Ｕ ＴＩｐ 是非奇 异的，因此矩阵对（Ｌ ～ ，Ｍ ～ ）也是不能控的。 考虑到 Ｌ ～ 的块对角结构，那么就一定会存在一个数 ｓ，１≤ｓ≤ ｎ，使与它相对应的矩阵对（Ａ－λｓＣＫ，（Ｕ ＴＭ）ｓＢ） 是不能控的。 用（Ｍ）ｓ 表示矩阵 Ｍ 的第 ｓ 行。 因此， １）（Ｕ ＴＭ）ｓ ＝ ０，也就是说（Ｌ，Ｍ）是不能控的； ２）假如（Ｕ ＴＭ）ｓ≠０，那么（Ａ－λｓＣＫ，Ｂ）是不能 控的。 因此矛盾，故结论成立，定理证明完毕。 注释 ４ 定理 ４ 的证明比较复杂，是一个新的 证明方法，并且有一定的参考价值。 ３ 绝对协议下多智能体网络系统的能 控性 在绝对协议 ｕｉ ＝∑ ｊ∈Ｎｉ ｘｊ 下，总结动力学多智能体 网络系统能控性的代数条件，并且提出了一些新的 代数条件。 ３．１ 一阶同质多智能体网络系统的能控性 采用文献［２６］的多智能体网络系统模型，它由 广播信号控制： ｘ · ｉ ＝ ∑ ｊ∈Ｎｉ ｘｊ ＋ ｕ，ｉ ＝ １，２，…，ｎ （２０） 式中：ｘｉ 表示智能体 ｉ 的状态，Ｎｉ ＝ ｛ｊ ｜ ｖｉ ～ ｖｊ；ｊ≠ｉ｝是 节点 ｖｉ 的邻居集，ｕ 是控制输入。 多智能体系统 （２０）的所有智能体都接受相同的控制信号，即 ｕ，称 这个信号为广播信号。 系统（２０）可以写成如矩阵形式如下： ｘ · ＝ Ａｘ ＋ ｂｕ （２１） 式中： Ａ∈Ｒ ｎ×ｎ 为 多 智 能 体 系 统 的 邻 接 矩 阵， ｂ ＝ ［１ １ … １］ Ｔ∈Ｒ ｎ 。 命题 ５ ［１３］ 当且仅当以下 ２ 个条件同时成立， 系统（２１）是能控的。 １）矩阵 Ａ 的特征值各不相同； ２）Ａ 的特征向量都不与 ｂ 正交。 注释 ５ 命题 ５ 证明过程见文献［１３］。 但是命 题 ５ 只要满足条件 ２）系统就是能控的，即条件 ２）是 系统能控的充要条件，条件 １） 是系统能控的必要 条件。 定理 ５ 当且仅当矩阵 Ａ 的所有特征向量都不 正交于 ｂ，则系统 （ ２１） 是能控的，并且如果系统 （２１）是能控的，那么矩阵 Ａ 的特征值各不相同。 证明 假设向量 ｖ 是矩阵 Ａ 的特征向量，在 第 ５ 期 董洁，等：多智能体网络系统的能控性代数条件 ·７５１·
·752 智能系统学报 第10卷 PBH判据的条件下，如果系统(21)是能控的，那么 式中：x:∈R,c:∈R,F∈R,B∈Rm,和W∈R"。 rank(入，I-A,b)=n成立。将PBH判据和对称的状 c,Fx:表示异质多智能体系统中节点i之间的动态 态矩阵结合起来，如果系统是不能控的，那么矩阵A 关系。如果输入u:=0,那么智能体i就是跟随者， 存在一个特征向量使得（入I-A,b)=0成立，则有 反之是领航者。 (入，I-A)p=0 令x=[xx…x]T∈R以及W= byT=0 […u]T∈Rm,则系统(23)可以写成 简化成 如下形式： (Ay=入：y x=[(C+A)☒F]x+(A☒B)u(24) (bv=0 式中：C=diag(c1,c2,…,cn),A∈R“是系统的邻接 因此，要使系统实现全控，A的所有特征向量不 矩阵。如果前g个智能体是领航者，那么A= 能与b正交，也就是说，如果矩阵A存在特征向量 diag(1,…,1,0,…,0)。 与b垂直，则系统(21)是不能控的。所以矩阵A的 n-g 定理6假设F是对称的，如果系统(24)是能 所有特征向量都不正交于b是系统(21)能控的充 控的，那么必须同时满足以下2个条件： 要条件。另一方面，A是一个实对称矩阵，因此存在 1)[FB]是一个能控矩阵对； 矩阵U使得A=UDU成立[别，U是A的特征向 2)矩阵(C+A)不存在前q个元素都是零元素 量，那么 的左特征向量。 [AI-A,b]=[A I-UDU,b]= 证明假设系统(24)是不能控的，根据PBH U[A,U-DU,Ub]= 判据，(C+A)⑧F就存在左特征向量v使得'(A☒ U[(AI-D)U,Ub] B)=0成立。根据引理2，矩阵(C+A)和矩阵F分 向量y,是特征值入：所对应的特征向量，即v=(", 别存在特征向量y和2使得P=⑧2和(1⑧ ”2,…,”)。由于U是非奇异矩阵，所以它不影响 )(I⑧B)≠0成立，那么 [(,1-D)Ub]的秩，只需考虑[（入，1-D)UU'b] (A)☒(B)≠0 (25) 是否满秩。将[(A,I-D)UUb]展开： 当且仅当以下2个条件同时满足时，式(25) 入：-入1 0 0… 0 成立。 0 入：-入， 0 0 1)A≠0，也就是说(C+A)不存在前g项都是 零元素的左特征向量： 0 0 0 0 2)B≠0，也就是说[FB]是一个能控矩阵对。 显然，定理6成立。 0 0 0 4结束语 b (-A) b 本文探究了多智能体网络系统的能控性问题， b (入：-A2)2 v,b 分别在相对协议和绝对协议下总结了多智能体网络 系统的部分模型和能控性的线性代数条件。相对协 b 0 b 议下，主要在Leader-Follower模型下利用已有的能 控性代数条件对一阶系统和高阶系统的能控性代数 b :-入n)nvb 条件进行了总结和改进，并且还总结了一般多智能 (22) 体网络系统模型下能控性的充分必要条件。在绝对 从式(22)可以看出，要使系统(21)是能控的. 协议下，研究了广播信号下能控性的充分必要条件， 则矩阵A的所有特征值各不相同。 使能控性的充要条件得到了简化。此外，本文不仅 3.2高阶异质多智能体网络系统的能控性 讨论了同质多智能体网络系统的能控性，还讨论了 给定多智能体系统模型： 异质多智能体网络系统的能控性问题。由于自然现 x=c,Fx+F∑x+Bu,i=1,2,…,n(23) 象和实际应用中，不同生物群体之间动力学具有较 大的差别，异质多智能体网络系统的能控性问题是
ＰＢＨ 判据的条件下，如果系统（２１）是能控的，那么 ｒａｎｋ（λｉ Ｉ－Ａ，ｂ）＝ ｎ 成立。 将 ＰＢＨ 判据和对称的状 态矩阵结合起来，如果系统是不能控的，那么矩阵 Ａ 存在一个特征向量使得（λｉ Ｉ－Ａ，ｂ）ｖ Ｔ ＝ ０ 成立，则有 （λｉ Ｉ － Ａ）ｖ Ｔ ＝ ０ ｂｖ Ｔ ＝ ０ { 简化成 Ａｖ ＝ λｉ ｖ ｂ Ｔ ｖ ＝ ０ { 因此，要使系统实现全控，Ａ 的所有特征向量不 能与 ｂ 正交，也就是说，如果矩阵 Ａ 存在特征向量 与 ｂ 垂直，则系统（２１）是不能控的。 所以矩阵 Ａ 的 所有特征向量都不正交于 ｂ 是系统（２１）能控的充 要条件。 另一方面，Ａ 是一个实对称矩阵，因此存在 矩阵 Ｕ 使得 Ａ ＝ ＵＤＵ Ｔ 成立［３３］ ，Ｕ 是 Ａ 的特征向 量，那么 λｉ [ Ｉ － Ａ，ｂ] ＝ λｉ Ｉ － ＵＤＵ Ｔ [ ，ｂ] ＝ Ｕ λｉＵ Ｔ － ＤＵ Ｔ ，Ｕ Ｔ [ ｂ] ＝ Ｕ λｉ ( Ｉ － Ｄ) Ｕ Ｔ ，Ｕ Ｔ [ ｂ] 向量ｖｉ 是特征值λｉ 所对应的特征向量，即ｖ ＝ （ｖ１， ｖ２，…，ｖｎ）。 由于 Ｕ 是非奇异矩阵， 所以它不影响 ［（λｉ Ｉ － Ｄ）Ｕ Ｔ Ｕ Ｔ ｂ］ 的秩，只需考虑［（λｉ Ｉ － Ｄ）Ｕ Ｔ Ｕ Ｔ ｂ］ 是否满秩。 将 λｉ ( Ｉ－Ｄ) Ｕ Ｔ Ｕ Ｔ [ ｂ] 展开： λｉ － λ１ ０ ０ … ０ ０ λｉ － λ２ ０ … ０ ︙ ︙ ︙ ︙ ０ ０ ０ … ０ ︙ ︙ ︙ ︙ ０ ０ ０ … λｉ － λｎ æ è ç ç ç ç ç ç ç ç ö ø ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ｖ Ｔ １ ｖ Ｔ ２ ︙ ｖ Ｔ ｉ ︙ ｖ Ｔ ｎ æ è ç ç ç ç ç ç ç ç ö ø ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ é ë ê ê ê ê ê ê ê ê ê · ｖ Ｔ １ ｂ ｖ Ｔ ２ ｂ ︙ ｖ Ｔ ｉ ｂ ︙ ｖ Ｔ ｎ ｂ æ è ç ç ç ç ç ç ç ç ö ø ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ù û ú ú ú ú ú ú ú ú ú ＝ （λｉ － λ１ ）１ （λｉ － λ２ ）２ ︙ ０ ︙ （λｉ － λｎ ） ｎ æ è ç ç ç ç ç ç ç ç ö ø ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ｖ Ｔ １ ｂ ｖ Ｔ ２ ｂ ︙ ｖ Ｔ ｉ ｂ ︙ ｖ Ｔ ｎ ｂ æ è ç ç ç ç ç ç ç ç ö ø ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ù û ú ú ú ú ú ú ú ú ú é ë ê ê ê ê ê ê ê ê ê （２２） 从式（２２）可以看出，要使系统（２１）是能控的， 则矩阵 Ａ 的所有特征值各不相同。 ３．２ 高阶异质多智能体网络系统的能控性 给定多智能体系统模型： ｘ · ｉ ＝ ｃｉＦｘｉ ＋ Ｆ∑ ｊ∈Ｎｉ ｘｊ ＋ Ｂｕｉ，ｉ ＝ １，２，…，ｎ （２３） 式中：ｘｉ∈Ｒ ｄ ，ｃｉ∈Ｒ，Ｆ∈Ｒ ｄ×ｄ ，Ｂ∈Ｒ ｄ×ｍ ，和 ｕｉ∈Ｒ ｍ 。 ｃｉＦｘｉ 表示异质多智能体系统中节点 ｉ 之间的动态 关系。 如果输入 ｕｉ ＝ ０，那么智能体 ｉ 就是跟随者， 反之是领航者。 令 ｘ ＝ ［ｘ Ｔ １ ｘ Ｔ ２ … ｘ Ｔ ｎ ］ Ｔ ∈ Ｒ ｄ×ｎ 以 及 ｕ ＝ ［ｕ Ｔ １ ｕ Ｔ ２ … ｕ Ｔ ｎ ］ Ｔ∈Ｒ ｍ×ｎ ，则系统（ ２３） 可以写成 如下形式： ｘ · ＝ ［（Ｃ ＋ Ａ） Ｆ］ｘ ＋ （Λ Ｂ）ｕ （２４） 式中：Ｃ＝ ｄｉａｇ（ｃ１ ，ｃ２ ，…，ｃｎ ），Ａ∈Ｒ ｎ×ｎ是系统的邻接 矩阵。 如 果 前 ｑ 个 智 能 体 是 领 航 者， 那 么 Λ ＝ ｄｉａｇ（１，}…，１， ｑ ０}，…，０ ｎ－ｑ ）。 定理 ６ 假设 Ｆ 是对称的，如果系统（２４）是能 控的，那么必须同时满足以下 ２ 个条件： １）［Ｆ Ｂ］是一个能控矩阵对； ２）矩阵（Ｃ＋Ａ）不存在前 ｑ 个元素都是零元素 的左特征向量。 证明 假设系统（２４） 是不能控的，根据 ＰＢＨ 判据，（Ｃ＋Ａ）Ｆ 就存在左特征向量 ｖ 使得 ｖ Ｔ （Λ Ｂ）＝ ０ 成立。 根据引理 ２，矩阵（Ｃ＋Ａ）和矩阵 Ｆ 分 别存在特征向量 ｖ１ 和 ｖ２ 使得 Ｐ ＝ ｖ１ ｖ２ 和（ ｖ Ｔ １ ｖ Ｔ ２ ）（ＩｎＢ）≠０ 成立，那么 （ｖ Ｔ １Λ） （ｖ Ｔ ２Ｂ） ≠ ０ （２５） 当且仅当以下 ２ 个条件同时满足时，式（ ２５） 成立。 １）ｖ Ｔ １Λ≠０，也就是说（Ｃ＋Ａ）不存在前 ｑ 项都是 零元素的左特征向量； ２）ｖ Ｔ ２Ｂ≠０，也就是说［Ｆ Ｂ］是一个能控矩阵对。 显然，定理 ６ 成立。 ４ 结束语 本文探究了多智能体网络系统的能控性问题， 分别在相对协议和绝对协议下总结了多智能体网络 系统的部分模型和能控性的线性代数条件。 相对协 议下，主要在 Ｌｅａｄｅｒ⁃Ｆｏｌｌｏｗｅｒ 模型下利用已有的能 控性代数条件对一阶系统和高阶系统的能控性代数 条件进行了总结和改进，并且还总结了一般多智能 体网络系统模型下能控性的充分必要条件。 在绝对 协议下，研究了广播信号下能控性的充分必要条件， 使能控性的充要条件得到了简化。 此外，本文不仅 讨论了同质多智能体网络系统的能控性，还讨论了 异质多智能体网络系统的能控性问题。 由于自然现 象和实际应用中，不同生物群体之间动力学具有较 大的差别，异质多智能体网络系统的能控性问题是 ·７５２· 智 能 系 统 学 报 第 １０ 卷
第5期 董洁，等：多智能体网络系统的能控性代数条件 ·753. 未来研究的一个重要方向，所以本文对异质多智能 cal systems[J].Journal of the Society for Industrial and 体网络系统能控性研究结果也具有很大的实际意义。 Applied Mathematics Series A:Control,1963,1(2): 152-192. 参考文献： [13]TANNER H G.On the controllability of nearest neighbor [1]LIM H,KANG Y,KIM J,et al.Formation control of leader interconnections[C]//Proceedings of the 43rd IEEE Con- ference on Decision and Control.Atlantis,Paradise Island, following unmanned ground vehicles using nonlinear model Bahamas,2004:2467-2472. predictive control C]//IEEE/ASME International Confer- [14]RAHMANI A,MESBAHI M.On the controlled agreement ence on Advanced Intelligent Mechatronics.Singapore, problem[C]//Proceedings of the 2006 American Control 2009:945-950. Conference.Minneapolis,USA,2006:1376-1381. [2]JADBABAIE A,LIN J,MORSE A S.Coordination of [15]RAHMANI A,JI M,MESBAHI M,et al.Controllability groups of mobile autonomous agents using nearest neighbor of multi-agent systems from a graph-theoretic perspective rules[J].IEEE Transactions on Automatic Control,2003, [J].SIAM Journal on Control and Optimization,2009,48 48(6):988-1001. (1):162-186 [3]FAX JA.Optimal and cooperative control of vehicle forma- [16]JI M,EGERSTEDT M.A graph-theoretic characterization tions M].Pasadena:California Institute Technology, of controllability for multi-agent systems[C//Proceedings 2001:1-11 of the IEEE American Control Conference.New York, [4]OLFATI-SABER R,MURRAY R M.Consensus problems in USA.2007:4588-4593. networks of agents with switching topology and time-delays [17]JI Z J,WANG Z D,LIN H,et al.Interconnection topolo- [J].IEEE Transactions on Automatic Control,2004,49 gies for multi-agent coordination under leader-follower (9):1520-1533. framework[J].Automatica,2009,45(12):2857-2863. [5]刘金琨，尔联洁.多智能体技术应用综述[J].控制与决 [18]DAVISON E J.Connectability and structural controllability 策，2001,16(2)：133-140,180. of composite systems[J].Automatica,1977,13(2):109- LIU Jinkun,ER Lianjie.Overview of application of multia- 123. gent technology[]]Control and Decision,2001,16(2): [19]XIANG L Y,ZHU JJ H,CHE F,et al.Controllability of 133-140.180. weighted and directed networks with nonidentical node dy- [6]FAX J A,MURRAY R M.Information flow and cooperative namics[OL/EB ]2014-01-20 ]http://www.hindawi. control of vehicle formations[J].IEEE Transactions on Au- com/journals/mpe/2013/405034. tomatic Control,2004,49(9):1465-1476. [20]王晓晓，纪志坚.广播信号下非一致多智能体系统的能 [7]OGREN P,FIORELLI E,LEONARD N E.Cooperative 控性[J].智能系统学报，2014,9(4)：401-406 control of mobile sensor networks:adaptive gradient climb- WANG Xiaoxiao,JI Zhijian.Controllability of non-identi- ing in a distributed environment[.IEEE Transactions on cal multi-agent systems under a broadcasting control signal Automatic Control,2004.49(8):1292-1302 [J.CAAI Transactions on Intelligent Systems,2014,9 [8]MU S M,CHU T G,WANG L.Coordinated collective mo- (4):401-406. tion in a motile particle group with a leader[J].Physica A: [21]CAI N,CAO J W,LIU M H,et al.On controllability Statistical Mechanics and its Applications,2005,351(2- problems of high-order dynamical multi-agent systems[]. 4)：211-226. Arabian Journal for Science and Engineering,2014,39 [9]HONG Y G.HU J P,GAO L X.Tracking control for multi- (5):4261-4267. agent consensus with an active leader and variable topology [22]LIU B,CHU T G.WANG L,et al.Controllability of a [J].Automatica,2006,42(7):1177-1182. leader-follower dynamic network with switching topology [10]SHI H,WANG L,CHU T G.Virtual leader approach to [J].IEEE Transactions on Automatic Control,2008,53 coordinated control of multiple mobile agents with asym- (4):1009-1013. metric interactions[].Physica D:Nonlinear Phenomena, [23]JI Z J,WANG Z D,LIN H,et al.Controllability of multi- 2006,213(1):51-65. agent systems with time-delay in state and switching topolo- [11]LANE D M,MCFADZEAN A G.Distributed problem sol- gy[J].International Journal of Control,2010,83(2): ving and real-time mechanisms in robot architectures[]. 371-386. Engineering Applications of Artificial Intelligence,1994,7 [24]ZHANG S,CAO M,CAMLIBEL M K.Upper and lower (2)：105-117. bounds for controllable subspaces of networks of diffusively [12]KALMAN R E.Mathematical description of linear dynami- coupled agents[J].IEEE Transactions on Automatic Con-
未来研究的一个重要方向，所以本文对异质多智能 体网络系统能控性研究结果也具有很大的实际意义。 参考文献： ［１］ＬＩＭ Ｈ， ＫＡＮＧ Ｙ， ＫＩＭ Ｊ， ｅｔ ａｌ． Ｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｃｏｎｔｒｏｌ ｏｆ ｌｅａｄｅｒ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｕｎｍａｎｎｅｄ ｇｒｏｕｎｄ ｖｅｈｉｃｌｅｓ ｕｓｉｎｇ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｍｏｄｅｌ ｐｒｅｄｉｃｔｉｖｅ ｃｏｎｔｒｏｌ ［ Ｃ］ ／ ／ ＩＥＥＥ／ ＡＳＭＥ Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｃｏｎｆｅｒ⁃ ｅｎｃｅ ｏｎ Ａｄｖａｎｃｅｄ Ｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｔ Ｍｅｃｈａｔｒｏｎｉｃｓ． Ｓｉｎｇａｐｏｒｅ， ２００９： ９４５⁃９５０． ［２ ］ ＪＡＤＢＡＢＡＩＥ Ａ， ＬＩＮ Ｊ， ＭＯＲＳＥ Ａ Ｓ． Ｃｏｏｒｄｉｎａｔｉｏｎ ｏｆ ｇｒｏｕｐｓ ｏｆ ｍｏｂｉｌｅ ａｕｔｏｎｏｍｏｕｓ ａｇｅｎｔｓ ｕｓｉｎｇ ｎｅａｒｅｓｔ ｎｅｉｇｈｂｏｒ ｒｕｌｅｓ［Ｊ］． ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ａｕｔｏｍａｔｉｃ Ｃｏｎｔｒｏｌ， ２００３， ４８（６）： ９８８⁃１００１． ［３］ＦＡＸ Ｊ Ａ． Ｏｐｔｉｍａｌ ａｎｄ ｃｏｏｐｅｒａｔｉｖｅ ｃｏｎｔｒｏｌ ｏｆ ｖｅｈｉｃｌｅ ｆｏｒｍａ⁃ ｔｉｏｎｓ ［ Ｍ ］． Ｐａｓａｄｅｎａ： Ｃａｌｉｆｏｒｎｉａ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ， ２００１： １⁃１１． ［４］ＯＬＦＡＴＩ⁃ＳＡＢＥＲ Ｒ， ＭＵＲＲＡＹ Ｒ Ｍ． Ｃｏｎｓｅｎｓｕｓ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｉｎ ｎｅｔｗｏｒｋｓ ｏｆ ａｇｅｎｔｓ ｗｉｔｈ ｓｗｉｔｃｈｉｎｇ ｔｏｐｏｌｏｇｙ ａｎｄ ｔｉｍｅ⁃ｄｅｌａｙｓ ［ Ｊ］． ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ａｕｔｏｍａｔｉｃ Ｃｏｎｔｒｏｌ， ２００４， ４９ （９）： １５２０⁃１５３３． ［５］刘金琨， 尔联洁． 多智能体技术应用综述［ Ｊ］． 控制与决 策， ２００１， １６（２）： １３３⁃１４０， １８０． ＬＩＵ Ｊｉｎｋｕｎ， ＥＲ Ｌｉａｎｊｉｅ． Ｏｖｅｒｖｉｅｗ ｏｆ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ ｍｕｌｔｉａ⁃ ｇｅｎｔ ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ［ Ｊ］． Ｃｏｎｔｒｏｌ ａｎｄ Ｄｅｃｉｓｉｏｎ， ２００１， １６（ ２）： １３３⁃１４０， １８０． ［６］ＦＡＸ Ｊ Ａ， ＭＵＲＲＡＹ Ｒ Ｍ． Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｆｌｏｗ ａｎｄ ｃｏｏｐｅｒａｔｉｖｅ ｃｏｎｔｒｏｌ ｏｆ ｖｅｈｉｃｌｅ ｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ［Ｊ］． ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ａｕ⁃ ｔｏｍａｔｉｃ Ｃｏｎｔｒｏｌ， ２００４， ４９（９）： １４６５⁃１４７６． ［７］ ＯＧＲＥＮ Ｐ， ＦＩＯＲＥＬＬＩ Ｅ， ＬＥＯＮＡＲＤ Ｎ Ｅ． Ｃｏｏｐｅｒａｔｉｖｅ ｃｏｎｔｒｏｌ ｏｆ ｍｏｂｉｌｅ ｓｅｎｓｏｒ ｎｅｔｗｏｒｋｓ： ａｄａｐｔｉｖｅ ｇｒａｄｉｅｎｔ ｃｌｉｍｂ⁃ ｉｎｇ ｉｎ ａ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｅｄ ｅｎｖｉｒｏｎｍｅｎｔ［ Ｊ］． ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ａｕｔｏｍａｔｉｃ Ｃｏｎｔｒｏｌ， ２００４， ４９（８）： １２９２⁃１３０２． ［８］ＭＵ Ｓ Ｍ， ＣＨＵ Ｔ Ｇ， ＷＡＮＧ Ｌ． Ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅｄ ｃｏｌｌｅｃｔｉｖｅ ｍｏ⁃ ｔｉｏｎ ｉｎ ａ ｍｏｔｉｌｅ ｐａｒｔｉｃｌｅ ｇｒｏｕｐ ｗｉｔｈ ａ ｌｅａｄｅｒ［Ｊ］． Ｐｈｙｓｉｃａ Ａ： Ｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌ Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ ａｎｄ ｉｔｓ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ， ２００５， ３５１ （ ２⁃ ４）： ２１１⁃２２６． ［９］ＨＯＮＧ Ｙ Ｇ， ＨＵ Ｊ Ｐ， ＧＡＯ Ｌ Ｘ． Ｔｒａｃｋｉｎｇ ｃｏｎｔｒｏｌ ｆｏｒ ｍｕｌｔｉ⁃ ａｇｅｎｔ ｃｏｎｓｅｎｓｕｓ ｗｉｔｈ ａｎ ａｃｔｉｖｅ ｌｅａｄｅｒ ａｎｄ ｖａｒｉａｂｌｅ ｔｏｐｏｌｏｇｙ ［Ｊ］． Ａｕｔｏｍａｔｉｃａ， ２００６， ４２（７）： １１７７⁃１１８２． ［１０］ ＳＨＩ Ｈ， ＷＡＮＧ Ｌ， ＣＨＵ Ｔ Ｇ． Ｖｉｒｔｕａｌ ｌｅａｄｅｒ ａｐｐｒｏａｃｈ ｔｏ ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅｄ ｃｏｎｔｒｏｌ ｏｆ ｍｕｌｔｉｐｌｅ ｍｏｂｉｌｅ ａｇｅｎｔｓ ｗｉｔｈ ａｓｙｍ⁃ ｍｅｔｒｉｃ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎｓ［Ｊ］． Ｐｈｙｓｉｃａ Ｄ： Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ｐｈｅｎｏｍｅｎａ， ２００６， ２１３（１）： ５１⁃６５． ［１１］ＬＡＮＥ Ｄ Ｍ， ＭＣＦＡＤＺＥＡＮ Ａ Ｇ． Ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｅｄ ｐｒｏｂｌｅｍ ｓｏｌ⁃ ｖｉｎｇ ａｎｄ ｒｅａｌ⁃ｔｉｍｅ ｍｅｃｈａｎｉｓｍｓ ｉｎ ｒｏｂｏｔ ａｒｃｈｉｔｅｃｔｕｒｅｓ［ Ｊ］． Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ ｏｆ Ａｒｔｉｆｉｃｉａｌ Ｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｃｅ， １９９４， ７ （２）： １０５⁃１１７． ［１２］ＫＡＬＭＡＮ Ｒ Ｅ． Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｄｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ ｏｆ ｌｉｎｅａｒ ｄｙｎａｍｉ⁃ ｃａｌ ｓｙｓｔｅｍｓ［ Ｊ］． Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ ｔｈｅ Ｓｏｃｉｅｔｙ ｆｏｒ Ｉｎｄｕｓｔｒｉａｌ ａｎｄ Ａｐｐｌｉｅｄ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ Ｓｅｒｉｅｓ Ａ： Ｃｏｎｔｒｏｌ， １９６３， １ （ ２）： １５２⁃１９２． ［１３］ＴＡＮＮＥＲ Ｈ Ｇ． Ｏｎ ｔｈｅ ｃｏｎｔｒｏｌｌａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｎｅａｒｅｓｔ ｎｅｉｇｈｂｏｒ ｉｎｔｅｒｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎｓ［Ｃ］ ／ ／ Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ ｏｆ ｔｈｅ ４３ｒｄ ＩＥＥＥ Ｃｏｎ⁃ ｆｅｒｅｎｃｅ ｏｎ Ｄｅｃｉｓｉｏｎ ａｎｄ Ｃｏｎｔｒｏｌ． Ａｔｌａｎｔｉｓ， Ｐａｒａｄｉｓｅ Ｉｓｌａｎｄ， Ｂａｈａｍａｓ， ２００４： ２４６７⁃２４７２． ［１４］ＲＡＨＭＡＮＩ Ａ， ＭＥＳＢＡＨＩ Ｍ． Ｏｎ ｔｈｅ ｃｏｎｔｒｏｌｌｅｄ ａｇｒｅｅｍｅｎｔ ｐｒｏｂｌｅｍ［ Ｃ］ ／ ／ Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ ｏｆ ｔｈｅ ２００６ Ａｍｅｒｉｃａｎ Ｃｏｎｔｒｏｌ Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ． Ｍｉｎｎｅａｐｏｌｉｓ， ＵＳＡ， ２００６： １３７６⁃１３８１． ［１５］ＲＡＨＭＡＮＩ Ａ， ＪＩ Ｍ， ＭＥＳＢＡＨＩ Ｍ， ｅｔ ａｌ． Ｃｏｎｔｒｏｌｌａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｍｕｌｔｉ⁃ａｇｅｎｔ ｓｙｓｔｅｍｓ ｆｒｏｍ ａ ｇｒａｐｈ⁃ｔｈｅｏｒｅｔｉｃ ｐｅｒｓｐｅｃｔｉｖｅ ［ Ｊ］． ＳＩＡＭ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｎ Ｃｏｎｔｒｏｌ ａｎｄ Ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ， ２００９， ４８ （１）： １６２⁃１８６． ［１６］ ＪＩ Ｍ， ＥＧＥＲＳＴＥＤＴ Ｍ． Ａ ｇｒａｐｈ⁃ｔｈｅｏｒｅｔｉｃ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ｃｏｎｔｒｏｌｌａｂｉｌｉｔｙ ｆｏｒ ｍｕｌｔｉ⁃ａｇｅｎｔ ｓｙｓｔｅｍｓ［Ｃ］ ／ ／ Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ ｏｆ ｔｈｅ ＩＥＥＥ Ａｍｅｒｉｃａｎ Ｃｏｎｔｒｏｌ Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ． Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ， ＵＳＡ， ２００７： ４５８８⁃４５９３． ［１７］ＪＩ Ｚ Ｊ， ＷＡＮＧ Ｚ Ｄ， ＬＩＮ Ｈ， ｅｔ ａｌ． Ｉｎｔｅｒｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｔｏｐｏｌｏ⁃ ｇｉｅｓ ｆｏｒ ｍｕｌｔｉ⁃ａｇｅｎｔ ｃｏｏｒｄｉｎａｔｉｏｎ ｕｎｄｅｒ ｌｅａｄｅｒ⁃ｆｏｌｌｏｗｅｒ ｆｒａｍｅｗｏｒｋ［Ｊ］． Ａｕｔｏｍａｔｉｃａ， ２００９， ４５（１２）： ２８５７⁃２８６３． ［１８］ＤＡＶＩＳＯＮ Ｅ Ｊ． Ｃｏｎｎｅｃｔａｂｉｌｉｔｙ ａｎｄ ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌ ｃｏｎｔｒｏｌｌａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｃｏｍｐｏｓｉｔｅ ｓｙｓｔｅｍｓ［Ｊ］． Ａｕｔｏｍａｔｉｃａ， １９７７， １３（２）： １０９⁃ １２３． ［１９］ＸＩＡＮＧ Ｌ Ｙ， ＺＨＵ Ｊ Ｊ Ｈ， ＣＨＥ Ｆ， ｅｔ ａｌ． Ｃｏｎｔｒｏｌｌａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｗｅｉｇｈｔｅｄ ａｎｄ ｄｉｒｅｃｔｅｄ ｎｅｔｗｏｒｋｓ ｗｉｔｈ ｎｏｎｉｄｅｎｔｉｃａｌ ｎｏｄｅ ｄｙ⁃ ｎａｍｉｃｓ ［ ＯＬ／ ＥＢ］． ［ ２０１４⁃０１⁃２０ ］． ｈｔｔｐ： ／ ／ ｗｗｗ． ｈｉｎｄａｗｉ． ｃｏｍ／ ｊｏｕｒｎａｌｓ／ ｍｐｅ ／ ２０１３ ／ ４０５０３４． ［２０］王晓晓， 纪志坚． 广播信号下非一致多智能体系统的能 控性［Ｊ］． 智能系统学报， ２０１４， ９（４）： ４０１⁃４０６． ＷＡＮＧ Ｘｉａｏｘｉａｏ， ＪＩ Ｚｈｉｊｉａｎ． Ｃｏｎｔｒｏｌｌａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｎｏｎ⁃ｉｄｅｎｔｉ⁃ ｃａｌ ｍｕｌｔｉ⁃ａｇｅｎｔ ｓｙｓｔｅｍｓ ｕｎｄｅｒ ａ ｂｒｏａｄｃａｓｔｉｎｇ ｃｏｎｔｒｏｌ ｓｉｇｎａｌ ［Ｊ］． ＣＡＡＩ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｔ Ｓｙｓｔｅｍｓ， ２０１４， ９ （４）： ４０１⁃４０６． ［２１］ ＣＡＩ Ｎ， ＣＡＯ Ｊ Ｗ， ＬＩＵ Ｍ Ｈ， ｅｔ ａｌ． Ｏｎ ｃｏｎｔｒｏｌｌａｂｉｌｉｔｙ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｏｆ ｈｉｇｈ⁃ｏｒｄｅｒ ｄｙｎａｍｉｃａｌ ｍｕｌｔｉ⁃ａｇｅｎｔ ｓｙｓｔｅｍｓ［ Ｊ］． Ａｒａｂｉａｎ Ｊｏｕｒｎａｌ ｆｏｒ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ， ２０１４， ３９ （５）： ４２６１⁃４２６７． ［２２］ＬＩＵ Ｂ， ＣＨＵ Ｔ Ｇ， ＷＡＮＧ Ｌ， ｅｔ ａｌ． Ｃｏｎｔｒｏｌｌａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ａ ｌｅａｄｅｒ⁃ｆｏｌｌｏｗｅｒ ｄｙｎａｍｉｃ ｎｅｔｗｏｒｋ ｗｉｔｈ ｓｗｉｔｃｈｉｎｇ ｔｏｐｏｌｏｇｙ ［Ｊ］． ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ａｕｔｏｍａｔｉｃ Ｃｏｎｔｒｏｌ， ２００８， ５３ （４）： １００９⁃１０１３． ［２３］ＪＩ Ｚ Ｊ， ＷＡＮＧ Ｚ Ｄ， ＬＩＮ Ｈ， ｅｔ ａｌ． Ｃｏｎｔｒｏｌｌａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｍｕｌｔｉ⁃ ａｇｅｎｔ ｓｙｓｔｅｍｓ ｗｉｔｈ ｔｉｍｅ⁃ｄｅｌａｙ ｉｎ ｓｔａｔｅ ａｎｄ ｓｗｉｔｃｈｉｎｇ ｔｏｐｏｌｏ⁃ ｇｙ［ Ｊ］． Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｃｏｎｔｒｏｌ， ２０１０， ８３ （ ２）： ３７１⁃３８６． ［２４］ ＺＨＡＮＧ Ｓ， ＣＡＯ Ｍ， ＣＡＭＬＩＢＥＬ Ｍ Ｋ． Ｕｐｐｅｒ ａｎｄ ｌｏｗｅｒ ｂｏｕｎｄｓ ｆｏｒ ｃｏｎｔｒｏｌｌａｂｌｅ ｓｕｂｓｐａｃｅｓ ｏｆ ｎｅｔｗｏｒｋｓ ｏｆ ｄｉｆｆｕｓｉｖｅｌｙ ｃｏｕｐｌｅｄ ａｇｅｎｔｓ［Ｊ］． ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ａｕｔｏｍａｔｉｃ Ｃｏｎ⁃ 第 ５ 期 董洁，等：多智能体网络系统的能控性代数条件 ·７５３·
·754· 智能系统学报 第10卷 tol.2014.59(3):745-750. [32]CAI N,CAO J W,KHAN M J.A controllability synthesis [25]LIU B,SU H S,LI R,et al.Switching controllability of problem for dynamic multi-agent systems with linear high- discrete-time multi-agent systems with multiple leaders and order protocol[J].International Journal of Control,Auto- time-delays[J].Applied Mathematics and Computation, mation and Systems,2014,12(6):1366-1371. 2014,228:571-588. [33]HORN R A,Johnson C R.Matrix analysis M].Cam- [26]YOON M G,ROWLINSON P,CVETKOVI D,et al.Con- bridge:Cambridge University Press,1985:11-14. 作者简介： trollability of multi-agent dynamical systems with a broad- 董洁，女，1990年生，硕士研究生， casting control signal[J].Asian Journal of Control,2014, 主要研究方向为多智能体系统。 16(4):1066-1072 [27]NI W,WANG X L,XIONG C.Consensus controllability, observability and robust design for leader-following linear multi-agent systems[J].Automatica,2013,49(7):2199- 2205. 纪志坚，男，1973年生，博士，教授， [28]Yoon M G.Single agent control for cyclic consensus sys- 博士生导师，主要研究方向为群体系统 tems[]].International Journal of Control,Automation and 动力学与协调控制、复杂网络、切换动 Systems,2013,11(2):243-249. 力系统的分析与控制、系统生物以及基 [29]GODSIL C,ROYLE G.Algebraic Graph Theory[M].New 于网络的控制系统等。主持国家自然 York:Springer,2001:163-171. 科学基金项目3项。发表学术论文70 [30]CAI N,ZHONG Y S.Formation controllability of high-or- 余篇，其中被SCI检索23篇，EI检索50余篇。 der linear time-invariant swarm systems[J].IET Control 王晓晓，女，1989年生，硕士研究 Theory Application,2010,4(4):646-654. 生，主要研究方向为多智能体系统。 [31]CHEN C T.Linear system theory and design M].New York:Oxford University Press,1999:6. 第五届模式识别应用和方法国际会议 5th International Conference on Pattern Recognition Applications and Methods 24-26 February,2016,Rome,Italy The International Conference on Pattern Recognition Applications and Methods would like to become a major point of contact between researchers,engineers and practitioners on the areas of Pattern Recognition,both from theoretical and application perspectives. Contributions describing applications of Pattern Recognition techniques to real-world problems,interdisciplinary research,experi- mental and or theoretical studies yielding new insights that advance Pattern Recognition methods are especially encouraged. Conference Areas 1)Theory and Methods: 2）Applications.. Website:http://www.icpram.org
ｔｒｏｌ， ２０１４， ５９（３）： ７４５⁃７５０． ［２５］ＬＩＵ Ｂ， ＳＵ Ｈ Ｓ， ＬＩ Ｒ， ｅｔ ａｌ． Ｓｗｉｔｃｈｉｎｇ ｃｏｎｔｒｏｌｌａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｄｉｓｃｒｅｔｅ⁃ｔｉｍｅ ｍｕｌｔｉ⁃ａｇｅｎｔ ｓｙｓｔｅｍｓ ｗｉｔｈ ｍｕｌｔｉｐｌｅ ｌｅａｄｅｒｓ ａｎｄ ｔｉｍｅ⁃ｄｅｌａｙｓ［ Ｊ］． Ａｐｐｌｉｅｄ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ， ２０１４， ２２８： ５７１⁃５８８． ［２６］ＹＯＯＮ Ｍ Ｇ， ＲＯＷＬＩＮＳＯＮ Ｐ， ＣＶＥＴＫＯＶＩ Ｄ， ｅｔ ａｌ． Ｃｏｎ⁃ ｔｒｏｌｌａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｍｕｌｔｉ⁃ａｇｅｎｔ ｄｙｎａｍｉｃａｌ ｓｙｓｔｅｍｓ ｗｉｔｈ ａ ｂｒｏａｄ⁃ ｃａｓｔｉｎｇ ｃｏｎｔｒｏｌ ｓｉｇｎａｌ［Ｊ］． Ａｓｉａｎ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｃｏｎｔｒｏｌ， ２０１４， １６（４）： １０６６⁃１０７２． ［２７］ＮＩ Ｗ， ＷＡＮＧ Ｘ Ｌ， ＸＩＯＮＧ Ｃ． Ｃｏｎｓｅｎｓｕｓ ｃｏｎｔｒｏｌｌａｂｉｌｉｔｙ， ｏｂｓｅｒｖａｂｉｌｉｔｙ ａｎｄ ｒｏｂｕｓｔ ｄｅｓｉｇｎ ｆｏｒ ｌｅａｄｅｒ⁃ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｌｉｎｅａｒ ｍｕｌｔｉ⁃ａｇｅｎｔ ｓｙｓｔｅｍｓ［Ｊ］． Ａｕｔｏｍａｔｉｃａ， ２０１３， ４９（７）： ２１９９⁃ ２２０５． ［２８］Ｙｏｏｎ Ｍ Ｇ． Ｓｉｎｇｌｅ ａｇｅｎｔ ｃｏｎｔｒｏｌ ｆｏｒ ｃｙｃｌｉｃ ｃｏｎｓｅｎｓｕｓ ｓｙｓ⁃ ｔｅｍｓ［Ｊ］． Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｃｏｎｔｒｏｌ， Ａｕｔｏｍａｔｉｏｎ ａｎｄ Ｓｙｓｔｅｍｓ， ２０１３， １１（２）： ２４３⁃２４９． ［２９］ＧＯＤＳＩＬ Ｃ， ＲＯＹＬＥ Ｇ． Ａｌｇｅｂｒａｉｃ Ｇｒａｐｈ Ｔｈｅｏｒｙ［Ｍ］． Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ： Ｓｐｒｉｎｇｅｒ， ２００１： １６３⁃１７１． ［３０］ＣＡＩ Ｎ， ＺＨＯＮＧ Ｙ Ｓ． Ｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｃｏｎｔｒｏｌｌａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｈｉｇｈ⁃ｏｒ⁃ ｄｅｒ ｌｉｎｅａｒ ｔｉｍｅ⁃ｉｎｖａｒｉａｎｔ ｓｗａｒｍ ｓｙｓｔｅｍｓ ［ Ｊ］． ＩＥＴ Ｃｏｎｔｒｏｌ Ｔｈｅｏｒｙ ＆ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ， ２０１０， ４（４）： ６４６⁃６５４． ［３１］ ＣＨＥＮ Ｃ Ｔ． Ｌｉｎｅａｒ ｓｙｓｔｅｍ ｔｈｅｏｒｙ ａｎｄ ｄｅｓｉｇｎ ［ Ｍ］． Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ： Ｏｘｆｏｒｄ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｐｒｅｓｓ， １９９９： ６． ［３２］ＣＡＩ Ｎ， ＣＡＯ Ｊ Ｗ， ＫＨＡＮ Ｍ Ｊ． Ａ ｃｏｎｔｒｏｌｌａｂｉｌｉｔｙ ｓｙｎｔｈｅｓｉｓ ｐｒｏｂｌｅｍ ｆｏｒ ｄｙｎａｍｉｃ ｍｕｌｔｉ⁃ａｇｅｎｔ ｓｙｓｔｅｍｓ ｗｉｔｈ ｌｉｎｅａｒ ｈｉｇｈ⁃ ｏｒｄｅｒ ｐｒｏｔｏｃｏｌ［ Ｊ］． Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｃｏｎｔｒｏｌ， Ａｕｔｏ⁃ ｍａｔｉｏｎ ａｎｄ Ｓｙｓｔｅｍｓ， ２０１４， １２（６）： １３６６⁃１３７１． ［３３］ ＨＯＲＮ Ｒ Ａ， Ｊｏｈｎｓｏｎ Ｃ Ｒ． Ｍａｔｒｉｘ ａｎａｌｙｓｉｓ ［ Ｍ］． Ｃａｍ⁃ ｂｒｉｄｇｅ： Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｐｒｅｓｓ， １９８５： １１⁃１４． 作者简介： 董洁，女，１９９０ 年生，硕士研究生， 主要研究方向为多智能体系统。 纪志坚，男，１９７３ 年生，博士，教授， 博士生导师，主要研究方向为群体系统 动力学与协调控制、复杂网络、切换动 力系统的分析与控制、系统生物以及基 于网络的控制系统等。 主持国家自然 科学基金项目 ３ 项。发表学术论文 ７０ 余篇，其中被 ＳＣＩ 检索 ２３ 篇，ＥＩ检索 ５０ 余篇。 王晓晓，女， １９８９ 年生，硕士研究 生，主要研究方向为多智能体系统。 第五届模式识别应用和方法国际会议 ５ｔｈ Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ ｏｎ Ｐａｔｔｅｒｎ Ｒｅｃｏｇｎｉｔｉｏｎ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ ａｎｄ Ｍｅｔｈｏｄｓ ２４⁃２６ Ｆｅｂｒｕａｒｙ， ２０１６， Ｒｏｍｅ， Ｉｔａｌｙ Ｔｈｅ Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ ｏｎ Ｐａｔｔｅｒｎ Ｒｅｃｏｇｎｉｔｉｏｎ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ ａｎｄ Ｍｅｔｈｏｄｓ ｗｏｕｌｄ ｌｉｋｅ ｔｏ ｂｅｃｏｍｅ ａ ｍａｊｏｒ ｐｏｉｎｔ ｏｆ ｃｏｎｔａｃｔ ｂｅｔｗｅｅｎ ｒｅｓｅａｒｃｈｅｒｓ， ｅｎｇｉｎｅｅｒｓ ａｎｄ ｐｒａｃｔｉｔｉｏｎｅｒｓ ｏｎ ｔｈｅ ａｒｅａｓ ｏｆ Ｐａｔｔｅｒｎ Ｒｅｃｏｇｎｉｔｉｏｎ， ｂｏｔｈ ｆｒｏｍ ｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌ ａｎｄ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｐｅｒｓｐｅｃｔｉｖｅｓ． Ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｏｎｓ ｄｅｓｃｒｉｂｉｎｇ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ ｏｆ Ｐａｔｔｅｒｎ Ｒｅｃｏｇｎｉｔｉｏｎ ｔｅｃｈｎｉｑｕｅｓ ｔｏ ｒｅａｌ⁃ｗｏｒｌｄ ｐｒｏｂｌｅｍｓ， ｉｎｔｅｒｄｉｓｃｉｐｌｉｎａｒｙ ｒｅｓｅａｒｃｈ， ｅｘｐｅｒｉ⁃ ｍｅｎｔａｌ ａｎｄ ／ ｏｒ ｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌ ｓｔｕｄｉｅｓ ｙｉｅｌｄｉｎｇ ｎｅｗ ｉｎｓｉｇｈｔｓ ｔｈａｔ ａｄｖａｎｃｅ Ｐａｔｔｅｒｎ Ｒｅｃｏｇｎｉｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄｓ ａｒｅ ｅｓｐｅｃｉａｌｌｙ ｅｎｃｏｕｒａｇｅｄ． Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ Ａｒｅａｓ １） Ｔｈｅｏｒｙ ａｎｄ Ｍｅｔｈｏｄｓ； ２） Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ． Ｗｅｂｓｉｔｅ： ｈｔｔｐ：／ ／ ｗｗｗ．ｉｃｐｒａｍ．ｏｒｇ ／ ·７５４· 智 能 系 统 学 报 第 １０ 卷
