第10卷第6期 智能系统学报 Vol.10 No.6 2015年12月 CAAI Transactions on Intelligent Systems Dec.2015 D0:10.11992/is.201507044 网络出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/23.1538.tp.20151111.1633.002.html 基于集对逻辑的近似推理方法研究 杨亚锋 (华北理工大学轻工学院，河北唐山063000) 摘要：借鉴模糊推理的基本方法，以集对逻辑为基础，给出了集对蕴含式的定义，进一步针对其联系数形式的真值 进行研究，讨论了单论域上集对推理的基本模式与方法。然后，提出了集对关系的概念，将单论域推理方法延伸至 具有集对关系的联系域上，证明了一些基本定理。该成果对于集对分析理论的发展与完善有着一定的参考价值与 指导意义。 关键词：集对分析：集对逻辑：模糊推理：联系度：集对关系，集对推理 中图分类号：TP18:0159文献标志码：A文章编号：1673-4785(2015)06-0921-06 中文引用格式：杨亚锋.基于集对逻辑的近似推理方法研究[J].智能系统学报，2015,10(6)：921-926. 英文引用格式：YANG Yafeng..Research on approximate inference method based on set pair logic[J].CAAI Transactions on Intelli- gent Systems,2015.10(6):921-926. Research on approximate inference method based on set pair logic YANG Yafeng (Qinggong College,North China University of Science and Technology,Tangshan 063000,China) Abstract:Based on set pair logic,in this study,we define the set pair implication type according to the basic fuzzy inference method.We then discuss the basic mode and method for the single domain by analyzing the value of a connection number.Furthermore,we propose the concept of set pair relation and expand the inference method to in- clude the connection domain.In addition,we prove some basic theorems.The results provide certain reference val- ues and guidance for the development and improvement of the set pair analysis theory. Keywords:set pair analysis;set pair logic;fuzzy inference;connection degree;set pair relation;set pair infer- ence 传统的二值逻辑中，命题的真值只有2种可能， 范围，更客观地反映了事物特征。基于模糊逻辑的 是与非，而事实上对事物的描述从来没有如此确定。 模糊推理方法目前已在众多领域取得了显著的成 对于同一命题，不同的人有不同的看法，不同的环境 效24.1983年，考虑模糊隶属函数的对立方 中有不同的特性，没有绝对的对与错、是与非。1965 面一非隶属度，K.T.Atanassov提出了直觉模糊集 年，L.A.Zadeh提出了模糊数学的理论与方法，为解 的概念[1。直觉模糊集及其推理方法已成为目前 决这个问题提供了一个工具，进而模糊逻辑[口将模 研究的热点之一[6)。1996年，史开泉教授提出双 糊命题映射到闭区间[0,1]上，扩充了命题真值的 枝模糊集理论[910)，将隶属函数扩展为模糊接吻函 数S(x)∈[-1,1]，进一步扩大了模糊集的研究领 收稿日期：2015-07-23.网络出版日期：2015-11-11 域。通过分解定理说明了双枝模糊集与普通集的转 基金项目：国家自然科学基金资助项目(61370168)：河北省自然科学基 金资助项目(F2014209238):唐山市科技局指令基金资助项 化关系。刘刚等]在双枝模糊集基础上，建立了 目(14130249B). 双枝模糊逻辑的框架，对单枝模糊逻辑进行了合理 通信作者：杨亚锋.E-mail:www1673@163.com
第 １０ 卷第 ６ 期 智 能 系 统 学 报 Ｖｏｌ．１０ №．６ ２０１５ 年 １２ 月 ＣＡＡＩ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｔ Ｓｙｓｔｅｍｓ Ｄｅｃ． ２０１５ ＤＯＩ：１０．１１９９２ ／ ｔｉｓ．２０１５０７０４４ 网络出版地址：ｈｔｔｐ： ／ ／ ｗｗｗ．ｃｎｋｉ．ｎｅｔ ／ ｋｃｍｓ／ ｄｅｔａｉｌ ／ ２３．１５３８．ｔｐ．２０１５１１１１．１６３３．００２．ｈｔｍｌ 基于集对逻辑的近似推理方法研究 杨亚锋 （华北理工大学 轻工学院，河北 唐山 ０６３０００） 摘 要：借鉴模糊推理的基本方法，以集对逻辑为基础，给出了集对蕴含式的定义，进一步针对其联系数形式的真值 进行研究，讨论了单论域上集对推理的基本模式与方法。 然后，提出了集对关系的概念，将单论域推理方法延伸至 具有集对关系的联系域上，证明了一些基本定理。 该成果对于集对分析理论的发展与完善有着一定的参考价值与 指导意义。 关键词：集对分析；集对逻辑；模糊推理；联系度；集对关系，集对推理 中图分类号： ＴＰ１８；Ｏ１５９ 文献标志码：Ａ 文章编号：１６７３⁃４７８５（２０１５）０６⁃０９２１⁃０６ 中文引用格式：杨亚锋． 基于集对逻辑的近似推理方法研究［Ｊ］． 智能系统学报， ２０１５， １０（６）： ９２１⁃９２６． 英文引用格式：ＹＡＮＧ Ｙａｆｅｎｇ． Ｒｅｓｅａｒｃｈ ｏｎ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅ ｉｎｆｅｒｅｎｃｅ ｍｅｔｈｏｄ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｓｅｔ ｐａｉｒ ｌｏｇｉｃ［Ｊ］． ＣＡＡＩ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ｉｎｔｅｌｌｉ⁃ ｇｅｎｔ Ｓｙｓｔｅｍｓ， ２０１５， １０（６）： ９２１⁃９２６． Ｒｅｓｅａｒｃｈ ｏｎ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅ ｉｎｆｅｒｅｎｃｅ ｍｅｔｈｏｄ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｓｅｔ ｐａｉｒ ｌｏｇｉｃ ＹＡＮＧ Ｙａｆｅｎｇ （Ｑｉｎｇｇｏｎｇ Ｃｏｌｌｅｇｅ， Ｎｏｒｔｈ Ｃｈｉｎａ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ， Ｔａｎｇｓｈａｎ ０６３０００， Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｂａｓｅｄ ｏｎ ｓｅｔ ｐａｉｒ ｌｏｇｉｃ， ｉｎ ｔｈｉｓ ｓｔｕｄｙ， ｗｅ ｄｅｆｉｎｅ ｔｈｅ ｓｅｔ ｐａｉｒ ｉｍｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｔｙｐｅ ａｃｃｏｒｄｉｎｇ ｔｏ ｔｈｅ ｂａｓｉｃ ｆｕｚｚｙ ｉｎｆｅｒｅｎｃｅ ｍｅｔｈｏｄ． Ｗｅ ｔｈｅｎ ｄｉｓｃｕｓｓ ｔｈｅ ｂａｓｉｃ ｍｏｄｅ ａｎｄ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ｔｈｅ ｓｉｎｇｌｅ ｄｏｍａｉｎ ｂｙ ａｎａｌｙｚｉｎｇ ｔｈｅ ｖａｌｕｅ ｏｆ ａ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｎｕｍｂｅｒ． Ｆｕｒｔｈｅｒｍｏｒｅ， ｗｅ ｐｒｏｐｏｓｅ ｔｈｅ ｃｏｎｃｅｐｔ ｏｆ ｓｅｔ ｐａｉｒ ｒｅｌａｔｉｏｎ ａｎｄ ｅｘｐａｎｄ ｔｈｅ ｉｎｆｅｒｅｎｃｅ ｍｅｔｈｏｄ ｔｏ ｉｎ⁃ ｃｌｕｄｅ ｔｈｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｏｍａｉｎ． Ｉｎ ａｄｄｉｔｉｏｎ， ｗｅ ｐｒｏｖｅ ｓｏｍｅ ｂａｓｉｃ ｔｈｅｏｒｅｍｓ． Ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｐｒｏｖｉｄｅ ｃｅｒｔａｉｎ ｒｅｆｅｒｅｎｃｅ ｖａｌ⁃ ｕｅｓ ａｎｄ ｇｕｉｄａｎｃｅ ｆｏｒ ｔｈｅ ｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔ ａｎｄ ｉｍｐｒｏｖｅｍｅｎｔ ｏｆ ｔｈｅ ｓｅｔ ｐａｉｒ ａｎａｌｙｓｉｓ ｔｈｅｏｒｙ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ： ｓｅｔ ｐａｉｒ ａｎａｌｙｓｉｓ； ｓｅｔ ｐａｉｒ ｌｏｇｉｃ； ｆｕｚｚｙ ｉｎｆｅｒｅｎｃｅ； ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｅｇｒｅｅ； ｓｅｔ ｐａｉｒ ｒｅｌａｔｉｏｎ； ｓｅｔ ｐａｉｒ ｉｎｆｅｒ⁃ ｅｎｃｅ 收稿日期：２０１５⁃０７⁃２３． 网络出版日期：２０１５⁃１１⁃１１． 基金项目：国家自然科学基金资助项目（６１３７０１６８）；河北省自然科学基 金资助项目（Ｆ２０１４２０９２３８）；唐山市科技局指令基金资助项 目（１４１３０２４９Ｂ）． 通信作者：杨亚锋． Ｅ⁃ｍａｉｌ： ｗｗｗ１６７３＠ １６３．ｃｏｍ． 传统的二值逻辑中，命题的真值只有 ２ 种可能， 是与非，而事实上对事物的描述从来没有如此确定。 对于同一命题，不同的人有不同的看法，不同的环境 中有不同的特性，没有绝对的对与错、是与非。 １９６５ 年，Ｌ．Ａ．Ｚａｄｅｈ 提出了模糊数学的理论与方法，为解 决这个问题提供了一个工具，进而模糊逻辑［１］ 将模 糊命题映射到闭区间［０，１］上，扩充了命题真值的 范围，更客观地反映了事物特征。 基于模糊逻辑的 模糊推理方法目前已在众多领域取得了显著的成 效［２⁃４］ 。 １９８３ 年， 考 虑 模 糊 隶 属 函 数 的 对 立 方 面———非隶属度，Ｋ．Ｔ．Ａｔａｎａｓｓｏｖ 提出了直觉模糊集 的概念［５］ 。 直觉模糊集及其推理方法已成为目前 研究的热点之一［６⁃８］ 。 １９９６ 年，史开泉教授提出双 枝模糊集理论［９⁃１０］ ，将隶属函数扩展为模糊接吻函 数 Ｓ（ｘ） ∈ ［ － １，１］， 进一步扩大了模糊集的研究领 域。 通过分解定理说明了双枝模糊集与普通集的转 化关系。 刘刚等［１１⁃１２］在双枝模糊集基础上，建立了 双枝模糊逻辑的框架，对单枝模糊逻辑进行了合理
.922. 智能系统学报 第10卷 的扩充。作者认为，在很多情况下，不易判断命题是 u(AAB)=(A)∧(B)= 否为真或假，事物本身带有极大的不确定性。命题 mina(A),a(B)+(1-mina(A),a(B) 的真度、伪度和不确定度三者同时存在，并形成一个 maxc(A),c(B))i+maxc(A),c(B)j 相互作用、相互转化的系统。为了更为客观、全面、 (A)=(A)=c(A)+b(A)i+a(A)j 系统地刻画事物，作者以集对分析理论[13中的联 1.2运算定律 系数为基本工具，提出了集对逻辑的定义，并证明了 约定：A,B,C∈S 其主要运算律)。本文以集对逻辑的基本方法为 (A)=a(A)+b(A)i+c(A)j 主要工具，提出一种新的近似推理模式与方法。 (B)=a(B)+b(B)i+c(B)j 1集对逻辑 u(C)=a(C)+b(C)i+c(C)j 下面给出集对逻辑命题定律： 1.1基本概念 定律1幂等律 对于一个命题A,如果得到其为真、假、不确定 μ(A∧A)=u(A),(AVA)=u(A) 的程度分别为a、b、c,则可将A的真值表示为联系 定律2交换律 数的形式，记作：u=a+bi+c。具有该种形式真值 u(AA B)=u(B AA),u(A VB)=u(B VA) 的命题成为集对命题。 定律3吸收律 定义1设集对命题的集合S,若映射u:S→ u(A V(AA B))=u(A)(AA (A VB))=(A) {uu=a+bi+g满足： 定律4结合律 u(A VB)=u(A)Vu(B) ((AA B)AC)=u(AA(BAC)) u(AA B)=u(A)A u(B) ((A V B)VC)=u(A V(B V C)) (A)=u(A) 定律5分配律 则称映射u为S上的真值函数，u(A)称为集对命 (A V(BA C))=u((AVB)A(A VC)) 题A的真值。当给定集对命题A以具体的真值时， (AA(BV C))=u((AA B)V(AA C)) 称为给集对命题A赋值。 定律6在分配格(S,V,∧)中有最大元1和 定义2对于集对公式A和B,当且仅当对A、 最小元j,且满足 B中所含集对命题的一切赋值都有u(A)=u(B) (A)Vj=u(A),u(A)Aj=j 时，称A、B为等值公式，并记作A=B。 u(A)V1=1,(A)A1=u(A)》 定义3如果集对命题A的真值为u(A)=1, 定律7对合律，u(A)=(A) 则称A为S-真命题。 定律8摩根律 定义4如果集对命题A的真值为u(A)=i,则 称A为S-不确定命题。 (AA B)=u(A V B),u(A V B)=u(AA B) 定义5如果集对命题A的真值为(A)=j,则 2集对推理 称A为S假命题。 定义6对于集对命题A,如果其真度为 2.1基本概念 a(A),伪度为c(A)j,则其不确定度为b(A)=1- 形如“A:x是a”的陈述句称为判断句，x称为 语言变元，是论域X中的任一特定对象。若A所表 a(A)-c(A),且命题A的真值为 示的概念是集对的，即其真值可用联系数来表示，则 (A)=a(A)+b(A)i+c(A)j (1) 式中：0≤a(A),b(A),c(A)≤1，且满足归一化条 称判断句A为集对判断句，其真值记为 (A)=a(A)+b(A)i+c(A)j 件a(A)+b(A)+c(A)=1。 设A,B∈S,u(A)=a(A)+b(A)i+c(A)j和 定义7对于判断句“A:x是a”和“B:x是 b”,称“若A,则B”为推理句，记作A→B。若A、B u(B)=a(B)+b(B)i+c(B)j,针对集对真值的真 度和伪度分别进行双枝模糊逻辑的演算规则，则：析 均为集对判断句，则称为集对推理。 定义8集对判断句的蕴含关系为 取式、合取式和否定式的真值如下： (A VB)=u(A)V u(B)= u(A→B)=u(A)Vu(B)= maxa(A),a(B)+(1-maxa(A),a(B)- maxc(A),a(B)+(1-maxc(A),a(B) minc(A),c(B))i+minc(A),c(B)j mina(A),c(B))i+mina(A),c(B)j
的扩充。 作者认为，在很多情况下，不易判断命题是 否为真或假，事物本身带有极大的不确定性。 命题 的真度、伪度和不确定度三者同时存在，并形成一个 相互作用、相互转化的系统。 为了更为客观、全面、 系统地刻画事物，作者以集对分析理论［１３⁃１４］ 中的联 系数为基本工具，提出了集对逻辑的定义，并证明了 其主要运算律［１５］ 。 本文以集对逻辑的基本方法为 主要工具，提出一种新的近似推理模式与方法。 １ 集对逻辑 １．１ 基本概念 对于一个命题 Ａ， 如果得到其为真、假、不确定 的程度分别为 ａ、ｂ、ｃ， 则可将 Ａ 的真值表示为联系 数的形式，记作： μ ＝ ａ ＋ ｂｉ ＋ ｃｊ。 具有该种形式真值 的命题成为集对命题。 定义 １ 设集对命题的集合 Ｓ， 若映射 μ：Ｓ → ｛μ μ ＝ ａ ＋ ｂｉ ＋ ｃｊ｝ 满足： μ（Ａ ∨ Ｂ） ＝ μ（Ａ） ∨ μ（Ｂ） μ（Ａ ∧ Ｂ） ＝ μ（Ａ） ∧ μ（Ｂ） μ（Ａ － ） ＝ μ（Ａ） 则称映射 μ 为 Ｓ 上的真值函数， μ（Ａ） 称为集对命 题 Ａ 的真值。 当给定集对命题 Ａ 以具体的真值时， 称为给集对命题 Ａ 赋值。 定义 ２ 对于集对公式 Ａ 和 Ｂ， 当且仅当对 Ａ、 Ｂ 中所含集对命题的一切赋值都有 μ（Ａ） ≡ μ（Ｂ） 时，称 Ａ、 Ｂ 为等值公式，并记作 Ａ ＝ Ｂ。 定义 ３ 如果集对命题 Ａ 的真值为 μ（Ａ） ＝ １， 则称 Ａ 为 Ｓ⁃真命题 。 定义 ４ 如果集对命题 Ａ 的真值为 μ（Ａ） ＝ ｉ， 则 称 Ａ 为 Ｓ⁃不确定命题 。 定义 ５ 如果集对命题 Ａ 的真值为 μ（Ａ） ＝ ｊ， 则 称 Ａ 为 Ｓ⁃假命题 。 定义 ６ 对 于 集 对 命 题 Ａ， 如 果 其 真 度 为 ａ（Ａ）， 伪度为 ｃ（Ａ）ｊ， 则其不确定度为 ｂ（Ａ） ＝ １ － ａ（Ａ） － ｃ（Ａ）， 且命题 Ａ 的真值为 μ（Ａ） ＝ ａ（Ａ） ＋ ｂ（Ａ）ｉ ＋ ｃ（Ａ）ｊ （１） 式中： ０ ≤ ａ（Ａ），ｂ（Ａ），ｃ（Ａ） ≤ １， 且满足归一化条 件 ａ（Ａ） ＋ ｂ（Ａ） ＋ ｃ（Ａ） ＝ １。 设 Ａ，Ｂ ∈ Ｓ， μ（Ａ） ＝ ａ（Ａ） ＋ ｂ（Ａ）ｉ ＋ ｃ（Ａ）ｊ 和 μ（Ｂ） ＝ ａ（Ｂ） ＋ ｂ（Ｂ）ｉ ＋ ｃ（Ｂ）ｊ， 针对集对真值的真 度和伪度分别进行双枝模糊逻辑的演算规则，则：析 取式、合取式和否定式的真值如下： μ（Ａ ∨ Ｂ） ＝ μ（Ａ） ∨ μ（Ｂ） ＝ ｍａｘ｛ａ（Ａ），ａ（Ｂ）｝ ＋ （１ － ｍａｘ｛ａ（Ａ），ａ（Ｂ）｝ － ｍｉｎ｛ｃ（Ａ），ｃ（Ｂ）｝）ｉ ＋ ｍｉｎ｛ｃ（Ａ），ｃ（Ｂ）｝ｊ μ（Ａ ∧ Ｂ） ＝ μ（Ａ） ∧ μ（Ｂ） ＝ ｍｉｎ｛ａ（Ａ），ａ（Ｂ）｝ ＋ （１ － ｍｉｎ｛ａ（Ａ），ａ（Ｂ）｝ － ｍａｘ｛ｃ（Ａ），ｃ（Ｂ）｝）ｉ ＋ ｍａｘ｛ｃ（Ａ），ｃ（Ｂ）｝ｊ μ（Ａ － ） ＝ μ（Ａ） ＝ ｃ（Ａ） ＋ ｂ（Ａ）ｉ ＋ ａ（Ａ）ｊ １．２ 运算定律 约定： Ａ，Ｂ，Ｃ ∈ Ｓ μ（Ａ） ＝ ａ（Ａ） ＋ ｂ（Ａ）ｉ ＋ ｃ（Ａ）ｊ μ（Ｂ） ＝ ａ（Ｂ） ＋ ｂ（Ｂ）ｉ ＋ ｃ（Ｂ）ｊ μ（Ｃ） ＝ ａ（Ｃ） ＋ ｂ（Ｃ）ｉ ＋ ｃ（Ｃ）ｊ 下面给出集对逻辑命题定律： 定律 １ 幂等律 μ（Ａ ∧ Ａ） ＝ μ（Ａ），μ（Ａ ∨ Ａ） ＝ μ（Ａ） 定律 ２ 交换律 μ（Ａ ∧ Ｂ） ＝ μ（Ｂ ∧ Ａ），μ（Ａ ∨ Ｂ） ＝ μ（Ｂ ∨ Ａ） 定律 ３ 吸收律 μ（Ａ ∨ （Ａ ∧ Ｂ）） ＝ μ（Ａ），μ（Ａ ∧ （Ａ ∨ Ｂ）） ＝ μ（Ａ） 定律 ４ 结合律 μ（（Ａ ∧ Ｂ） ∧ Ｃ） ＝ μ（Ａ ∧ （Ｂ ∧ Ｃ）） μ（（Ａ ∨ Ｂ） ∨ Ｃ） ＝ μ（Ａ ∨ （Ｂ ∨ Ｃ）） 定律 ５ 分配律 μ（Ａ ∨ （Ｂ ∧ Ｃ）） ＝ μ（（Ａ ∨ Ｂ） ∧ （Ａ ∨ Ｃ）） μ（Ａ ∧ （Ｂ ∨ Ｃ）） ＝ μ（（Ａ ∧ Ｂ） ∨ （Ａ ∧ Ｃ）） 定律 ６ 在分配格 （Ｓ，∨，∧） 中有最大元 １ 和 最小元 ｊ， 且满足 μ（Ａ） ∨ ｊ ＝ μ（Ａ），μ（Ａ） ∧ ｊ ＝ ｊ μ（Ａ） ∨ １ ＝ １，μ（Ａ） ∧ １ ＝ μ（Ａ） 定律 ７ 对合律， μ（Ａ ＝ ） ＝ μ（Ａ） 定律 ８ 摩根律 μ（Ａ ∧ Ｂ） ＝ μ（Ａ － ∨ Ｂ － ），μ（Ａ ∨ Ｂ） ＝ μ（Ａ － ∧ Ｂ － ） ２ 集对推理 ２．１ 基本概念 形如“ Ａ ： ｘ 是 ａ ”的陈述句称为判断句， ｘ 称为 语言变元，是论域 Ｘ 中的任一特定对象。 若 Ａ 所表 示的概念是集对的，即其真值可用联系数来表示，则 称判断句 Ａ 为集对判断句，其真值记为 μ（Ａ） ＝ ａ（Ａ） ＋ ｂ（Ａ）ｉ ＋ ｃ（Ａ）ｊ 定义 ７ 对于判断句“ Ａ ： ｘ 是 ａ ”和“ Ｂ ： ｘ 是 ｂ” ，称“若 Ａ， 则 Ｂ ”为推理句，记作 Ａ → Ｂ。 若 Ａ、Ｂ 均为集对判断句，则称为集对推理。 定义 ８ 集对判断句的蕴含关系为 μ（Ａ → Ｂ） ＝ μ（Ａ） ∨ μ（Ｂ） ＝ ｍａｘ｛ｃ（Ａ），ａ（Ｂ）｝ ＋ （１ － ｍａｘ｛ｃ（Ａ），ａ（Ｂ）｝ － ｍｉｎ｛ａ（Ａ），ｃ（Ｂ）｝）ｉ ＋ ｍｉｎ｛ａ（Ａ），ｃ（Ｂ）｝ｊ ·９２２· 智 能 系 统 学 报 第 １０ 卷
第6期 杨亚锋：基于集对逻辑的近似推理方法研究 ·923. 集对判断句分别从肯定、否定、不确定3个 mina(A),0)i+mina(A),0j= 方面描述了命题的特征，是一种更为客观的推 1+(1-1-0)i+0j=1 理形式，是对模糊推理及双枝模糊推理的补充 即u(A→B)=1,因此A一B为S-真。 与完善。 4)若B对x为S-假命题，即u(B)=j,则 2.2单论域集对推理 (A→B)= (A)=a(A)+b(A)i c(A)j,u(B)= maxc(A),a(B)+(1-max c(A),a(B)- a(B)+b(B)i+c(B)j则对于以上给出的集对蕴含 mina(A),c(B))i+mina(A),c(B)j= 式，有： max{c(A),0}+(1-maxc(A),0}- 定义9如果A→B的真值为u(A→B)=1,则 mina(A),1)i+mina(A),1j= 称A→B对x集对真，简记为S-真。 c(A)+(1-c(A)-a(A))i+a(A)=u(A) 定义10如果A→B的真值为u(A→B)=i, 则称A→B对x集对不确定，简记为S-不确定。 即u(A→B)=μ(A)=u(A)因此A→B与A互逆。 定义11如果A→B的真值为u(A→B)=j, 定律10若u(A)=a(A)+b(A)i+c(A)j, 则称A→B对x集对假，简记为S-假。 u(B)=a(B)+b(B)i+c(B)j,且A对x为S-不确 定律9若对于集对命题A,B,其真值分别为 定命题，则有： 1)若B对x为S真命题，则A→B为S-真； (A)=a(A)+b(A)i+c(A)j 2)若B对x为S假命题，则A→B为S不确定。 (B)=a(B)+b(B)i+c(B)j 3)若B对x为S-不确定命题，则A→B为S-不 则有以下性质成立： 1)若A对x为S-真命题，则A→B与B等值： 确定。 2)若A对x为S假命题，则A→B对x必为S真： 证明：由题意u(A)=i,根据定义知， 3)若B对x为S真命题，则A→B对x必为S真： u(A→B)= maxc(A),a(B)+(1-max c(A),a(B) 4)若B对x为S-假命题，则A→B与A互逆。 证明根据定义知 mina(A),c(B))i+mina(A),c(B)j= max{0,a(B)}+(1-max{0,a(B)}- 1)若A对x为S-真命题，即u(A)=1,则 u(A→B)= min0,c(B))i+min0,c(B)j= a(B)+(1-a(B))i maxc(A),a(B)+(1-maxc(A),a(B)- 当a(B)=1,(A→B)=1,A→B为S-真； mina(A),c(B))i+mina(A),c(B)j= 当a(B)=0,u(A→B)=i,A→B为S-不确定。 max{0,a(B)}+(1-max{0,a(B)}- 得证。 min1,c(B))i+min1,c(B)j= 定律11复合蕴含规则。设A,B,C∈S,且 a(B)+(1-a(B)-c(B)})i+c(B)j=u(B) (A)=a(A)+b(A)i+c(A)j 即u(A→B)=u(B),因此A→B与B等值。 u(B)=a(B)+b(B)i+c(B)j 2)若A对x为S假命题，即u(A)=j,则 u(C)=a(C)+b(C)i+c(C)j (A→B)= 若A→B对x为S-真，B→C对x为S-真，则A→C maxc(A),a(B)+(1-maxc(A),a(B)- 对x为S-真。 mina(A),c(B))i+mina(A),c(B)j= 证明由蕴含式A→B对x为S-真，知： max1,a(B)}+(1-max{1,a(B)}- min0,c(B))i+min0,c(B)j= u(A→B)=u(A)Vu(B)=1,则u(A)和 1+(1-1-0)i+0i=1 u(B)必定至少有一个为1。若u(B)=1,则 即u(A→B)=1,因此A→B为S-真。 由定律9知u(C)=1,于是得到u(A→C)= 3)若B对x为S真命题，即u(B)=1,则 1,即A→C对x为S-真。若u(A)=1,又有 u(A→B)= B→C对x为S-真，则必有u(C)=1,即得A→ maxc(A),a(B)+(1-maxc(A),a(B)- C对x为S-真。证毕。 mina(A),c(B))i+mina(A),c(B)j= 对于集对蕴含式推理的一般情况，见表1。 max{c(A),1}+(1-max{c(A),1}-
集对判断句分别从肯定、否定、不确定 ３ 个 方面描述了命题的特征，是一种更为客观的推 理形式，是对模糊推理及双枝模糊推理的补充 与完善。 ２．２ 单论域集对推理 设 μ（Ａ） ＝ ａ（Ａ） ＋ ｂ（Ａ）ｉ ＋ ｃ（Ａ）ｊ，μ（Ｂ） ＝ ａ（Ｂ） ＋ｂ（Ｂ）ｉ ＋ ｃ（Ｂ）ｊ 则对于以上给出的集对蕴含 式，有： 定义 ９ 如果 Ａ → Ｂ 的真值为 μ（Ａ → Ｂ） ＝ １， 则 称 Ａ → Ｂ 对 ｘ 集对真，简记为 Ｓ⁃真。 定义 １０ 如果 Ａ → Ｂ 的真值为 μ（Ａ → Ｂ） ＝ ｉ， 则称 Ａ → Ｂ 对 ｘ 集对不确定，简记为 Ｓ⁃不确定。 定义 １１ 如果 Ａ → Ｂ 的真值为 μ（Ａ → Ｂ） ＝ ｊ， 则称 Ａ → Ｂ 对 ｘ 集对假，简记为 Ｓ⁃假。 定律 ９ 若对于集对命题 Ａ，Ｂ， 其真值分别为 μ（Ａ） ＝ ａ（Ａ） ＋ ｂ（Ａ）ｉ ＋ ｃ（Ａ）ｊ μ（Ｂ） ＝ ａ（Ｂ） ＋ ｂ（Ｂ）ｉ ＋ ｃ（Ｂ）ｊ 则有以下性质成立： １）若 Ａ 对 ｘ 为 Ｓ⁃真命题，则 Ａ → Ｂ 与 Ｂ 等值； ２）若Ａ 对ｘ 为Ｓ⁃假命题，则Ａ →Ｂ 对ｘ 必为Ｓ⁃真； ３）若Ｂ 对ｘ 为Ｓ⁃真命题，则Ａ →Ｂ 对ｘ 必为Ｓ⁃真； ４）若 Ｂ 对 ｘ 为 Ｓ⁃假命题， 则 Ａ → Ｂ 与 Ａ 互逆。 证明 根据定义知， １）若 Ａ 对 ｘ 为 Ｓ⁃真 命题，即 μ（Ａ） ＝ １， 则 μ（Ａ → Ｂ） ＝ ｍａｘ｛ｃ（Ａ），ａ（Ｂ）｝ ＋ （１ － ｍａｘ｛ｃ（Ａ），ａ（Ｂ）｝ － ｍｉｎ｛ａ（Ａ），ｃ（Ｂ）｝）ｉ ＋ ｍｉｎ｛ａ（Ａ），ｃ（Ｂ）｝ｊ ＝ ｍａｘ｛０，ａ（Ｂ）｝ ＋ （１ － ｍａｘ｛０，ａ（Ｂ）｝ － ｍｉｎ｛１，ｃ（Ｂ）｝）ｉ ＋ ｍｉｎ｛１，ｃ（Ｂ）｝ｊ ＝ ａ（Ｂ） ＋ （１ － ａ（Ｂ） － ｃ（Ｂ）｝）ｉ ＋ ｃ（Ｂ）ｊ ＝ μ（Ｂ） 即 μ（Ａ → Ｂ） ＝ μ（Ｂ）， 因此 Ａ → Ｂ 与 Ｂ 等值。 ２）若 Ａ 对 ｘ 为 Ｓ⁃假命题， 即 μ（Ａ） ＝ ｊ， 则 μ（Ａ → Ｂ） ＝ ｍａｘ｛ｃ（Ａ），ａ（Ｂ）｝ ＋ （１ － ｍａｘ｛ｃ（Ａ），ａ（Ｂ）｝ － ｍｉｎ｛ａ（Ａ），ｃ（Ｂ）｝）ｉ ＋ ｍｉｎ｛ａ（Ａ），ｃ（Ｂ）｝ｊ ＝ ｍａｘ｛１，ａ（Ｂ）｝ ＋ （１ － ｍａｘ｛１，ａ（Ｂ）｝ － ｍｉｎ｛０，ｃ（Ｂ）｝）ｉ ＋ ｍｉｎ｛０，ｃ（Ｂ）｝ｊ ＝ １ ＋ （１ － １ － ０）ｉ ＋ ０ｊ ＝ １ 即 μ（Ａ → Ｂ） ＝ １， 因此 Ａ → Ｂ 为 Ｓ⁃真 。 ３）若 Ｂ 对 ｘ 为 Ｓ⁃真 命题，即 μ（Ｂ） ＝ １， 则 μ（Ａ → Ｂ） ＝ ｍａｘ｛ｃ（Ａ），ａ（Ｂ）｝ ＋ （１ － ｍａｘ｛ｃ（Ａ），ａ（Ｂ）｝ － ｍｉｎ｛ａ（Ａ），ｃ（Ｂ）｝）ｉ ＋ ｍｉｎ｛ａ（Ａ），ｃ（Ｂ）｝ｊ ＝ ｍａｘ｛ｃ（Ａ），１｝ ＋ （１ － ｍａｘ｛ｃ（Ａ），１｝ － ｍｉｎ｛ａ（Ａ），０｝）ｉ ＋ ｍｉｎ｛ａ（Ａ），０｝ｊ ＝ １ ＋ （１ － １ － ０）ｉ ＋ ０ｊ ＝ １ 即 μ（Ａ → Ｂ） ＝ １， 因此 Ａ → Ｂ 为 Ｓ⁃真 。 ４）若 Ｂ 对 ｘ 为 Ｓ⁃假命题， 即 μ（Ｂ） ＝ ｊ， 则 μ（Ａ → Ｂ） ＝ ｍａｘ｛ｃ（Ａ），ａ（Ｂ）｝ ＋ （１ － ｍａｘ｛ｃ（Ａ），ａ（Ｂ）｝ － ｍｉｎ｛ａ（Ａ），ｃ（Ｂ）｝）ｉ ＋ ｍｉｎ｛ａ（Ａ），ｃ（Ｂ）｝ｊ ＝ ｍａｘ｛ｃ（Ａ），０｝ ＋ （１ － ｍａｘ｛ｃ（Ａ），０｝ － ｍｉｎ｛ａ（Ａ），１｝）ｉ ＋ ｍｉｎ｛ａ（Ａ），１｝ｊ ＝ ｃ（Ａ） ＋ （１ － ｃ（Ａ） － ａ（Ａ））ｉ ＋ ａ（Ａ） ＝ μ（Ａ） 即 μ（Ａ → Ｂ） ＝ μ（Ａ） ＝ μ（Ａ － ） 因此 Ａ → Ｂ 与 Ａ 互逆。 定律 １０ 若 μ（Ａ） ＝ ａ（Ａ） ＋ ｂ（Ａ）ｉ ＋ ｃ（Ａ）ｊ， μ（Ｂ） ＝ ａ（Ｂ） ＋ ｂ（Ｂ）ｉ ＋ ｃ（Ｂ）ｊ， 且 Ａ 对 ｘ 为 Ｓ⁃不确 定命题，则有： １）若 Ｂ 对 ｘ 为 Ｓ⁃真命题，则 Ａ → Ｂ 为 Ｓ⁃真； ２）若Ｂ 对ｘ 为Ｓ⁃假命题，则Ａ →Ｂ 为Ｓ⁃不确定。 ３）若 Ｂ 对 ｘ 为 Ｓ⁃不确定命题，则 Ａ → Ｂ 为 Ｓ⁃不 确定。 证明：由题意 μ（Ａ） ＝ ｉ， 根据定义知， μ（Ａ → Ｂ） ＝ ｍａｘ｛ｃ（Ａ），ａ（Ｂ）｝ ＋ （１ － ｍａｘ｛ｃ（Ａ），ａ（Ｂ）｝ － ｍｉｎ｛ａ（Ａ），ｃ（Ｂ）｝）ｉ ＋ ｍｉｎ｛ａ（Ａ），ｃ（Ｂ）｝ｊ ＝ ｍａｘ｛０，ａ（Ｂ）｝ ＋ （１ － ｍａｘ｛０，ａ（Ｂ）｝ － ｍｉｎ｛０，ｃ（Ｂ）｝）ｉ ＋ ｍｉｎ｛０，ｃ（Ｂ）｝ｊ ＝ ａ（Ｂ） ＋ （１ － ａ（Ｂ））ｉ 当 ａ（Ｂ） ＝ １， μ（Ａ → Ｂ） ＝ １， Ａ → Ｂ 为 Ｓ⁃真； 当 ａ（Ｂ） ＝ ０， μ（Ａ → Ｂ） ＝ ｉ， Ａ → Ｂ 为 Ｓ⁃不确定。 得证。 定律 １１ 复合蕴含规则。 设 Ａ，Ｂ，Ｃ ∈ Ｓ， 且 μ（Ａ） ＝ ａ（Ａ） ＋ ｂ（Ａ）ｉ ＋ ｃ（Ａ）ｊ μ（Ｂ） ＝ ａ（Ｂ） ＋ ｂ（Ｂ）ｉ ＋ ｃ（Ｂ）ｊ μ（Ｃ） ＝ ａ（Ｃ） ＋ ｂ（Ｃ）ｉ ＋ ｃ（Ｃ）ｊ 若 Ａ → Ｂ 对 ｘ 为 Ｓ⁃真， Ｂ → Ｃ 对 ｘ 为 Ｓ⁃真，则 Ａ → Ｃ 对 ｘ 为 Ｓ⁃真。 证明 由 蕴 含 式 Ａ → Ｂ 对 ｘ 为 Ｓ⁃真 ， 知： μ（ Ａ → Ｂ） ＝ μ（ Ａ） ∨ μ（ Ｂ） ＝ １， 则 μ（ Ａ） 和 μ（ Ｂ） 必定至少有一个为 １。 若 μ（ Ｂ） ＝ １， 则 由定律 ９ 知 μ（ Ｃ） ＝ １， 于是得到 μ（ Ａ → Ｃ） ＝ １， 即 Ａ → Ｃ 对 ｘ 为 Ｓ⁃真 。 若 μ（ Ａ） ＝ １， 又有 Ｂ →Ｃ 对 ｘ 为 Ｓ⁃真 ，则必有 μ（ Ｃ） ＝ １， 即得 Ａ → Ｃ 对 ｘ 为 Ｓ⁃真 。 证毕。 对于集对蕴含式推理的一般情况，见表 １。 第 ６ 期 杨亚锋：基于集对逻辑的近似推理方法研究 ·９２３·
.924. 智能系统学报 第10卷 表1集对推理与态势 (A,)=a(A,)+b(A,)i+c(A,)j Table 1 Set pair inference and posture a(A,)=a(B,)+b(B,)i+c(B,)j 序号划分等级集对势a,b,c大小关系集对推理 则双论域集对蕴含句A,→B,的真值定义为 1均势一级微均势a=c,b>a S微均 u(A.→B,)= 2均势二级弱均势a=c,b=a s弱均 (A.)V(u(A)Au(B,))= 3均势三级强均势a=c,a>b>0S强均 maxc(A,)mina(A,),a(B.)+ 4均势四级准均势a=c,b=0 S-准均 (1 maxc(A,)mina(A,),a(B) 5同势一级准同势a>c,b=0 S准同 mina(A,)maxc(A,),c(B))i+ 6同势二级强同势a>c,c>b S强同 mina(A,)maxc(A,),c(B,)j 7同势三级弱同势a>c,a>b>cS弱同 定义15如果集对蕴含式A.→B,的真值为 8同势四级微同势a>c,b>a S微同 u(A→B,)=1,则称A,→B,为集对真，简记为 9反势一级准反势aa,bc S微反 定义17如果集对蕴含式A一B,的真值为 13不确定同一势 c =0,a>b S不确定同 (A→B,)=广，则称A.一→B,为集对假，简记为S假。 S.不确定不 14不确定不确定势 c=0,a≤b 确定 定律12若u(A)=a(A)+b(A)i+c(A)j和 u(A)=a(B,)+b(B,)i+c(B,j,则以下性质成立： 注：序号1-12是在a≠0，c≠0条件下形成的集对势： 当c=0,b≠0，a≠0时为集对的不确定势。集对推理与集 1)若A对x为S真命题，则集对蕴含式A,→ 对势形成了一一对应关系。 B,与B,等值： 基于集对命题逻辑的推理将传统推理的结果细 2)若A对x为S-假命题，则集对蕴含式A→ 分为更多可能的结果，更加客观地反映了事物的不 B,必为S真； 确定性。 3)若A,对x为S-不确定命题，则集对蕴含式 2.3双论域集对推理 A.→B、必为S-不确定； 上节给出的推理规则是在同一个论域中展开 4)若B,对x为S-真命题，则集对蕴含式A.→ 的，而在现实生活中往往会见到形如“x是a,则y B,与A.等值或互逆； 是b”的集对推理句，涉及2个变元x和y,它们分 5)若B对x为S-假命题，则集对蕴含式A,→ 别属于X与Y这2个不同论域。若描述为“A,:x B,与A互逆。 是a,B,:y是b”,则可记作A→B,。此时，以上 证明根据定义 推理规则便不再适用。为了解决这个问题，这里给 1)若A,对x为S-真命题，即u(A)=1,则 出集对关系和联系域的概念。 u(A.→B,)= 定义12给定2个不同的论域X与Y,对于任 (A)V(u(A)A u(B))= 意x∈X,y∈Y,在XUY的某个问题背景下得到 maxc(A,),mina(A,),a(B,)+ 它们的联系度为u(x,y)=a+bi+gj,若a+b≥0.5， (1 maxc(A,)mina(A,),a(B,) 则称x和y具有集对关系：如果对于Hx∈X, mina(A,),maxc(A,),c(B,))i+ Hy∈Y都具有集对关系，则称X与Y具有集对关 mina(A,)maxc(A,),c(B,)j= 系。 max 0,min1,a(B,)+ 集对关系具有自反性和对称性。 (1-max{0,min{1,a(B,)}}- 定义13由X×Y中所有具有集对关系的元素 min1,max0,c(B,))i+ (x,y)组成的论域称为X与Y的联系域，记作 min1,max0,c(B,)j= X×Y。 a(B,)+(1-a(B,)-c(B,)i+c(B,j=u(B,) 双论域集对推理在联系域X×Y中展开。 即u(A,→B,)=u(B,),因此集对蕴含式A,一→ 定义14在X×Y中，若A和B,的真值为 B,与B,等值
表 １ 集对推理与态势 Ｔａｂｌｅ １ Ｓｅｔ ｐａｉｒ ｉｎｆｅｒｅｎｃｅ ａｎｄ ｐｏｓｔｕｒｅ 序号 划分 等级 集对势 ａ，ｂ，ｃ 大小关系 集对推理 １ 均势 一级 微均势 ａ ＝ ｃ，ｂ ＞ ａ Ｓ⁃微均 ２ 均势 二级 弱均势 ａ ＝ ｃ，ｂ ＝ ａ Ｓ⁃弱均 ３ 均势 三级 强均势 ａ ＝ ｃ，ａ ＞ ｂ ＞ ０ Ｓ⁃强均 ４ 均势 四级 准均势 ａ ＝ ｃ，ｂ ＝ ０ Ｓ⁃准均 ５ 同势 一级 准同势 ａ ＞ ｃ，ｂ ＝ ０ Ｓ⁃准同 ６ 同势 二级 强同势 ａ ＞ ｃ，ｃ ＞ ｂ Ｓ⁃强同 ７ 同势 三级 弱同势 ａ ＞ ｃ，ａ ＞ ｂ ＞ ｃ Ｓ⁃弱同 ８ 同势 四级 微同势 ａ ＞ ｃ，ｂ ＞ ａ Ｓ⁃微同 ９ 反势 一级 准反势 ａ ＜ ｃ，ｂ ＝ ０ Ｓ⁃准反 １０ 反势 二级 强反势 ａ ＜ ｃ，０ ＜ ｂ ＜ ａ Ｓ⁃强反 １１ 反势 三级 弱反势ａ ＜ ｃ，ｂ ＞ ａ，ｂ ＜ ｃ Ｓ⁃弱反 １２ 反势 四级 微反势 ａ ＜ ｃ，ｂ ＞ ｃ Ｓ⁃微反 １３ 不确定同一势 ｃ ＝ ０，ａ ＞ ｂ Ｓ⁃不确定同 １４ 不确定不确定势 ｃ ＝ ０，ａ ≤ ｂ Ｓ⁃ 不 确 定 不 确定 注：序号 １～ １２ 是在 ａ ≠ ０，ｃ ≠ ０ 条件下形成的集对势； 当 ｃ ＝ ０，ｂ ≠ ０，ａ ≠ ０ 时为集对的不确定势。 集对推理与集 对势形成了一一对应关系。 基于集对命题逻辑的推理将传统推理的结果细 分为更多可能的结果，更加客观地反映了事物的不 确定性。 ２．３ 双论域集对推理 上节给出的推理规则是在同一个论域中展开 的，而在现实生活中往往会见到形如“ ｘ 是 ａ， 则 ｙ 是 ｂ ”的集对推理句，涉及 ２ 个变元 ｘ 和 ｙ， 它们分 别属于 Ｘ 与 Ｙ 这 ２ 个不同论域。 若描述为“ Ａｘ ： ｘ 是 ａ， Ｂｙ ： ｙ 是 ｂ ”，则可记作 Ａｘ → Ｂｙ。 此时，以上 推理规则便不再适用。 为了解决这个问题，这里给 出集对关系和联系域的概念。 定义 １２ 给定 ２ 个不同的论域 Ｘ 与 Ｙ， 对于任 意 ｘ ∈ Ｘ， ｙ ∈ Ｙ， 在 Ｘ ∪ Ｙ 的某个问题背景下得到 它们的联系度为 μ（ｘ，ｙ） ＝ ａ ＋ ｂｉ ＋ ｃｊ， 若 ａ ＋ ｂ≥０．５， 则称 ｘ 和 ｙ 具有集对关系； 如果对于 ∀ｘ ∈ Ｘ， ∀ｙ ∈Ｙ 都具有集对关系，则称 Ｘ 与 Ｙ 具有集对关 系。 集对关系具有自反性和对称性。 定义 １３ 由 Ｘ × Ｙ 中所有具有集对关系的元素 （ｘ，ｙ） 组成的论域称为 Ｘ 与 Ｙ 的 联 系 域， 记 作 Ｘ ×＿ Ｙ。 双论域集对推理在联系域 Ｘ ×＿ Ｙ 中展开。 定义 １４ 在 Ｘ ×＿ Ｙ 中，若 Ａｘ 和 Ｂｙ 的真值为 μ（Ａｘ） ＝ ａ（Ａｘ） ＋ ｂ（Ａｘ）ｉ ＋ ｃ（Ａｘ）ｊ μ（Ａｙ） ＝ ａ（Ｂｙ） ＋ ｂ（Ｂｙ）ｉ ＋ ｃ（Ｂｙ）ｊ 则双论域集对蕴含句 Ａｘ → Ｂｙ 的真值定义为 μ（Ａｘ → Ｂｙ） ＝ μ（Ａｘ） ∨ （μ（Ａｘ） ∧ μ（Ｂｙ）） ＝ ｍａｘ｛ｃ（Ａｘ），ｍｉｎ｛ａ（Ａｘ），ａ（Ｂｙ）｝｝ ＋ （１ － ｍａｘ｛ｃ（Ａｘ），ｍｉｎ｛ａ（Ａｘ），ａ（Ｂｙ）｝｝ － ｍｉｎ｛ａ（Ａｘ），ｍａｘ｛ｃ（Ａｘ），ｃ（Ｂｙ）｝｝）ｉ ＋ ｍｉｎ｛ａ（Ａｘ），ｍａｘ｛ｃ（Ａｘ），ｃ（Ｂｙ）｝｝ｊ 定义 １５ 如果集对蕴含式 Ａｘ → Ｂｙ 的真值为 μ（ Ａｘ → Ｂｙ） ＝ １， 则称 Ａｘ → Ｂｙ 为集对真，简记为 Ｓ⁃真 。 定义 １６ 如果集对蕴含式 Ａｘ → Ｂｙ 的真值为 μ（Ａｘ → Ｂｙ） ＝ ｉ， 则称 Ａｘ → Ｂｙ 为集对不确定，简记为 Ｓ⁃不确定。 定义 １７ 如果集对蕴含式 Ａｘ → Ｂｙ 的真值为 μ（Ａｘ → Ｂｙ） ＝ ｊ， 则称Ａｘ →Ｂｙ 为集对假，简记为Ｓ⁃假。 定律 １２ 若 μ（Ａｘ） ＝ ａ（Ａｘ） ＋ ｂ（Ａｘ）ｉ ＋ ｃ（Ａｘ）ｊ 和 μ（Ａｙ） ＝ ａ（Ｂｙ） ＋ ｂ（Ｂｙ）ｉ ＋ ｃ（Ｂｙ）ｊ， 则以下性质成立： １）若 Ａｘ 对 ｘ 为 Ｓ⁃真命题，则集对蕴含式 Ａｘ → Ｂｙ 与 Ｂｙ 等值； ２）若 Ａｘ 对 ｘ 为 Ｓ⁃假命题，则集对蕴含式 Ａｘ → Ｂｙ 必为 Ｓ⁃真； ３）若 Ａｘ 对 ｘ 为 Ｓ⁃不确定命题，则集对蕴含式 Ａｘ →Ｂｙ 必为 Ｓ⁃不确定； ４）若 Ｂｙ 对 ｘ 为 Ｓ⁃真命题，则集对蕴含式 Ａｘ → Ｂｙ 与 Ａｘ 等值或互逆； ５）若 Ｂｙ 对 ｘ 为 Ｓ⁃假命题，则集对蕴含式 Ａｘ → Ｂｙ 与 Ａｘ 互逆。 证明 根据定义 １）若 Ａｘ 对 ｘ 为 Ｓ⁃真命题，即 μ（Ａｘ） ＝ １， 则 μ（Ａｘ → Ｂｙ） ＝ μ（Ａｘ） ∨ （μ（Ａｘ） ∧ μ（Ｂｙ）） ＝ ｍａｘ｛ｃ（Ａｘ），ｍｉｎ｛ａ（Ａｘ），ａ（Ｂｙ）｝｝ ＋ （１ － ｍａｘ｛ｃ（Ａｘ），ｍｉｎ｛ａ（Ａｘ），ａ（Ｂｙ）｝｝ － ｍｉｎ｛ａ（Ａｘ），ｍａｘ｛ｃ（Ａｘ），ｃ（Ｂｙ）｝｝）ｉ ＋ ｍｉｎ｛ａ（Ａｘ），ｍａｘ｛ｃ（Ａｘ），ｃ（Ｂｙ）｝｝ｊ ＝ ｍａｘ｛０，ｍｉｎ｛１，ａ（Ｂｙ）｝｝ ＋ （１ － ｍａｘ｛０，ｍｉｎ｛１，ａ（Ｂｙ）｝｝ － ｍｉｎ｛１，ｍａｘ｛０，ｃ（Ｂｙ）｝｝）ｉ ＋ ｍｉｎ｛１，ｍａｘ｛０，ｃ（Ｂｙ）｝｝ｊ ＝ ａ（Ｂｙ） ＋ （１ － ａ（Ｂｙ） － ｃ（Ｂｙ））ｉ ＋ ｃ（Ｂｙ）ｊ ＝ μ（Ｂｙ） 即 μ（Ａｘ → Ｂｙ） ＝ μ（Ｂｙ）， 因此集对蕴含式 Ａｘ → Ｂｙ 与 Ｂｙ 等值。 ·９２４· 智 能 系 统 学 报 第 １０ 卷
第6期 杨亚锋：基于集对逻辑的近似推理方法研究 .925. 2)若A对x为S-假命题，即u(A)=j,则 a(A)+(1-a(A.)-c(A))i+c(A)j=u(A) (A→B,)= 当a(A)≤c(A),有 (A,)V(u(A,)Au(B,))= u(A.→B,)= maxc(A,),mina(A,),a(B,)+ c(A)+(1-a(A.)-c(A)i+a(A)j=u(A) (1 maxc(A,),mina(A,),a(B,) 因此，集对蕴含式A,一B,与A,等值或互逆。 mina(A,)maxc(A,),c(B,))i+ 5)若B,对x为S-假命题，即u(B,)=j,则 mina(A,),maxc(A,),c(B,)j= u(A.→B,)= max1,min0,a(B,) (A,)V((A,)A u(B,))= (1-max{1,min{0,a(B,)}}- maxc(A,)mina(A,),a(B,)+ min0,max1,c(B,))i+ (1-max{c(A.),min{a(A),a(B,)}}- min 0,max1,c(B,)= mina(A,)maxc(A,),c(B))i+ 1+0i+0i=1 mina(A,)maxc(A,),c(B)j= 即u(A.→B,)=1,因此集对蕴含式A.→B,为 max c(A,),mina(A,),0+ S-真。 (1-max{c(A.),min{a(A.),0}}- 3)若A,对x为S不确定命题，u(A)=i,则 mina(A,)maxc(A,),1)i+ (A.→B,）= mina(A,)max c(A,),1= u(A.)V((A)Au(B,))= c(A)+(1-c(A.-a(A))i+a(A)j=u(A) maxc(A,),mina(A,),a(B,)+ 即u(A,→B,)=u(A),则集对蕴含式A.→B,与A (1-max{c(A.),min{a(A),a(B,)}}- 互逆。 mina(A,)maxc(A,),c(B,))i+ mina(A,)maxc(A,),c(B,)j= 3结束语 max0,min0,a(B,)+ 本文基于集对逻辑的基本方法，给出了集对蕴 (1-max{0,min{0,a(B,)}- 含式的定义，以此建立了的单论域的集对推理形式： min0,max0,c(B,))i+ 然后定义了一种集对关系，以及集对关系形成的论 min0,max0,c(B,)j= 域—联系域，给出了联系域上的双论域集对推理 0+1i+0i=i 形式。集对推理模式的建立对于集对分析理论的逐 即u(A.一B,)=i,因此集对蕴含式A,→B,必 步完善及其在各领域中的应用提供了一个新的思路 为S不确定。 与工具，是对经典逻辑和模糊逻辑的一种补充和完 4)若B,对x为S-真命题，即u(B)=1,则 善。集对逻辑及其推理方法针对不确定性问题展开 (Ax→B,)= 研究，从肯定、犹豫和否定3个方面描述人们对事物 (A,)V((A,)Au(B,))= 的复杂认知。用三维联系数刻画命题的真值，更具 maxc(A,)mina(A,),a(B,)+ 一般性。集对逻辑及其推理方法的研究仍处于初步 (1 -maxc(A,),mina(A,),a(B,)- 阶段，仍需要进一步研究。 mina(A,)maxc(A,),c(B,))i+ 参考文献： mina(A,)maxc(A,),c(B)j= maxc(A,)mina(A,),1+ [1]ZADEH L A.Fuzzy sets J].Information and Control, (1-max{c(A),mina(A.),1}}- 1965,8(3):338-353. mina(A,)maxc(A,),0)i+ [2]张胜礼.带有矛盾否定、对立否定和中介否定的模糊推 理[J].模式识别与人工智能，2014,27(7)：599-610. mina(A,),maxc(A,),0j= ZHANG Shengli.Fuzzy reasoning with contradictory,oppo- maxc(A,),a(A,)+(1-maxc(A,),a(A,) site and medium negation[J].Pattern Recognition and Arti- mina(A,),c(A,))i+mina(A,),c(A,)j ficial Intelligence,2014,27(7):599-610. 当a(A)≥c(A),有 [3]王国俊，段景瑶.适宜于展开模糊推理的两类模糊度量 (Ax→B,)= 空间[J].中国科学：信息科学，2014,44(5)：623-632
２）若 Ａｘ 对 ｘ 为 Ｓ⁃假命题，即 μ（Ａｘ） ＝ ｊ， 则 μ（Ａｘ → Ｂｙ） ＝ μ（Ａｘ） ∨ （μ（Ａｘ） ∧ μ（Ｂｙ）） ＝ ｍａｘ｛ｃ（Ａｘ），ｍｉｎ｛ａ（Ａｘ），ａ（Ｂｙ）｝｝ ＋ （１ － ｍａｘ｛ｃ（Ａｘ），ｍｉｎ｛ａ（Ａｘ），ａ（Ｂｙ）｝｝ － ｍｉｎ｛ａ（Ａｘ），ｍａｘ｛ｃ（Ａｘ），ｃ（Ｂｙ）｝｝）ｉ ＋ ｍｉｎ｛ａ（Ａｘ），ｍａｘ｛ｃ（Ａｘ），ｃ（Ｂｙ）｝｝ｊ ＝ ｍａｘ｛１，ｍｉｎ｛０，ａ（Ｂｙ）｝｝ ＋ （１ － ｍａｘ｛１，ｍｉｎ｛０，ａ（Ｂｙ）｝｝ － ｍｉｎ｛０，ｍａｘ｛１，ｃ（Ｂｙ）｝｝）ｉ ＋ ｍｉｎ｛０，ｍａｘ｛１，ｃ（Ｂｙ）｝｝ｊ ＝ １ ＋ ０ｉ ＋ ０ｊ ＝ １ 即 μ（Ａｘ → Ｂｙ） ＝ １， 因此集对蕴含式 Ａｘ → Ｂｙ 为 Ｓ⁃真。 ３）若 Ａｘ 对 ｘ 为 Ｓ⁃不确定命题， μ（Ａｘ） ＝ ｉ， 则 μ（Ａｘ → Ｂｙ） ＝ μ（Ａｘ） ∨ （μ（Ａｘ） ∧ μ（Ｂｙ）） ＝ ｍａｘ｛ｃ（Ａｘ），ｍｉｎ｛ａ（Ａｘ），ａ（Ｂｙ）｝｝ ＋ （１ － ｍａｘ｛ｃ（Ａｘ），ｍｉｎ｛ａ（Ａｘ），ａ（Ｂｙ）｝｝ － ｍｉｎ｛ａ（Ａｘ），ｍａｘ｛ｃ（Ａｘ），ｃ（Ｂｙ）｝｝）ｉ ＋ ｍｉｎ｛ａ（Ａｘ），ｍａｘ｛ｃ（Ａｘ），ｃ（Ｂｙ）｝｝ｊ ＝ ｍａｘ｛０，ｍｉｎ｛０，ａ（Ｂｙ）｝｝ ＋ （１ － ｍａｘ｛０，ｍｉｎ｛０，ａ（Ｂｙ）｝｝ － ｍｉｎ｛０，ｍａｘ｛０，ｃ（Ｂｙ）｝｝）ｉ ＋ ｍｉｎ｛０，ｍａｘ｛０，ｃ（Ｂｙ）｝｝ｊ ＝ ０ ＋ １ｉ ＋ ０ｊ ＝ ｉ 即 μ（Ａｘ → Ｂｙ） ＝ ｉ， 因此集对蕴含式 Ａｘ → Ｂｙ 必 为 Ｓ⁃不确定。 ４）若 Ｂｙ 对 ｘ 为 Ｓ⁃真命题，即 μ（Ｂｙ） ＝ １， 则 μ（Ａｘ → Ｂｙ） ＝ μ（Ａｘ） ∨ （μ（Ａｘ） ∧ μ（Ｂｙ）） ＝ ｍａｘ｛ｃ（Ａｘ），ｍｉｎ｛ａ（Ａｘ），ａ（Ｂｙ）｝｝ ＋ （１ － ｍａｘ｛ｃ（Ａｘ），ｍｉｎ｛ａ（Ａｘ），ａ（Ｂｙ）｝｝ － ｍｉｎ｛ａ（Ａｘ），ｍａｘ｛ｃ（Ａｘ），ｃ（Ｂｙ）｝｝）ｉ ＋ ｍｉｎ｛ａ（Ａｘ），ｍａｘ｛ｃ（Ａｘ），ｃ（Ｂｙ）｝｝ｊ ＝ ｍａｘ｛ｃ（Ａｘ），ｍｉｎ｛ａ（Ａｘ），１｝｝ ＋ （１ － ｍａｘ｛ｃ（Ａｘ），ｍｉｎ｛ａ（Ａｘ），１｝｝ － ｍｉｎ｛ａ（Ａｘ），ｍａｘ｛ｃ（Ａｘ），０｝｝）ｉ ＋ ｍｉｎ｛ａ（Ａｘ），ｍａｘ｛ｃ（Ａｘ），０｝｝ｊ ＝ ｍａｘ｛ｃ（Ａｘ），ａ（Ａｘ）｝ ＋ （１ － ｍａｘ｛ｃ（Ａｘ），ａ（Ａｘ）｝ － ｍｉｎ｛ａ（Ａｘ），ｃ（Ａｘ）｝）ｉ ＋ ｍｉｎ｛ａ（Ａｘ），ｃ（Ａｘ）｝ｊ 当 ａ（Ａｘ） ≥ ｃ（Ａｘ）， 有 μ（Ａｘ → Ｂｙ） ＝ ａ（Ａｘ） ＋ （１ － ａ（Ａｘ） － ｃ（Ａｘ））ｉ ＋ ｃ（Ａｘ）ｊ ＝ μ（Ａｘ） 当 ａ（Ａｘ） ≤ ｃ（Ａｘ）， 有 μ（Ａｘ → Ｂｙ） ＝ ｃ（Ａｘ） ＋ （１ － ａ（Ａｘ） － ｃ（Ａｘ））ｉ ＋ ａ（Ａｘ）ｊ ＝ μ（Ａｘ） 因此，集对蕴含式 Ａｘ → Ｂｙ 与 Ａｘ 等值或互逆。 ５）若 Ｂｙ 对 ｘ 为 Ｓ⁃假命题，即 μ（Ｂｙ） ＝ ｊ， 则 μ（Ａｘ → Ｂｙ） ＝ μ（Ａｘ） ∨ （μ（Ａｘ） ∧ μ（Ｂｙ）） ＝ ｍａｘ｛ｃ（Ａｘ），ｍｉｎ｛ａ（Ａｘ），ａ（Ｂｙ）｝｝ ＋ （１ － ｍａｘ｛ｃ（Ａｘ），ｍｉｎ｛ａ（Ａｘ），ａ（Ｂｙ）｝｝ － ｍｉｎ｛ａ（Ａｘ），ｍａｘ｛ｃ（Ａｘ），ｃ（Ｂｙ）｝｝）ｉ ＋ ｍｉｎ｛ａ（Ａｘ），ｍａｘ｛ｃ（Ａｘ），ｃ（Ｂｙ）｝｝ｊ ＝ ｍａｘ｛ｃ（Ａｘ），ｍｉｎ｛ａ（Ａｘ），０｝｝ ＋ （１ － ｍａｘ｛ｃ（Ａｘ），ｍｉｎ｛ａ（Ａｘ），０｝｝ － ｍｉｎ｛ａ（Ａｘ），ｍａｘ｛ｃ（Ａｘ），１｝｝）ｉ ＋ ｍｉｎ｛ａ（Ａｘ），ｍａｘ｛ｃ（Ａｘ），１｝｝ ＝ ｃ（Ａｘ） ＋ （１ － ｃ（Ａｘ － ａ（Ａｘ））ｉ ＋ ａ（Ａｘ）ｊ ＝ μ（Ａｘ） 即 μ（Ａｘ →Ｂｙ） ＝ μ（Ａｘ）， 则集对蕴含式 Ａｘ →Ｂｙ 与 Ａｘ 互逆。 ３ 结束语 本文基于集对逻辑的基本方法，给出了集对蕴 含式的定义，以此建立了的单论域的集对推理形式； 然后定义了一种集对关系，以及集对关系形成的论 域———联系域，给出了联系域上的双论域集对推理 形式。 集对推理模式的建立对于集对分析理论的逐 步完善及其在各领域中的应用提供了一个新的思路 与工具，是对经典逻辑和模糊逻辑的一种补充和完 善。 集对逻辑及其推理方法针对不确定性问题展开 研究，从肯定、犹豫和否定 ３ 个方面描述人们对事物 的复杂认知。 用三维联系数刻画命题的真值，更具 一般性。 集对逻辑及其推理方法的研究仍处于初步 阶段，仍需要进一步研究。 参考文献： ［１］ ＺＡＤＥＨ Ｌ Ａ． Ｆｕｚｚｙ ｓｅｔｓ ［ Ｊ］． Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ａｎｄ Ｃｏｎｔｒｏｌ， １９６５， ８（３）： ３３８⁃３５３． ［２］张胜礼． 带有矛盾否定、对立否定和中介否定的模糊推 理［Ｊ］． 模式识别与人工智能， ２０１４， ２７（７）： ５９９⁃６１０． ＺＨＡＮＧ Ｓｈｅｎｇｌｉ． Ｆｕｚｚｙ ｒｅａｓｏｎｉｎｇ ｗｉｔｈ ｃｏｎｔｒａｄｉｃｔｏｒｙ， ｏｐｐｏ⁃ ｓｉｔｅ ａｎｄ ｍｅｄｉｕｍ ｎｅｇａｔｉｏｎ［Ｊ］． Ｐａｔｔｅｒｎ Ｒｅｃｏｇｎｉｔｉｏｎ ａｎｄ Ａｒｔｉ⁃ ｆｉｃｉａｌ Ｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｃｅ， ２０１４， ２７（７）： ５９９⁃６１０． ［３］王国俊， 段景瑶． 适宜于展开模糊推理的两类模糊度量 空间［Ｊ］． 中国科学： 信息科学， ２０１４， ４４（５）： ６２３⁃６３２． 第 ６ 期 杨亚锋：基于集对逻辑的近似推理方法研究 ·９２５·
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