定义1410:f(x),g(x),h(x)∈F|x当h(x)(x)且h(x)g(x)时, 称h(x)为(x)和g(x)的公因子;若对任c(x)∈Fxc(x)x) 且c(x)g(x)时必有c(x)h(x,则称h(x)为x)和g(x)的最大 公因子,记为h(x)=GCDf(x),g(x),简记为(f(x),g(x) 定理14.11:在多项式环Fx中,1(x) GCD((x),g(x),则g2(x)=GCD(f(x),g(x),当 且仅当g1(x)=ag2(x),这里a∈F。 证明(1)根据最大公因子的定义有 g(x)|g2(x),g2(x)g1(x) 因此由1410得g1(x)=g2(x,这里a∈F (2)对(x),g(x)的任意公因子d(x),设法证明 d(x)g2(x)▪ 定义14.10：f(x),g(x),h(x)F[x],当h(x)|f(x) 且h(x)|g(x)时， 称h(x)为f(x)和g(x)的公因子;若对任c(x)F[x],c(x)|f(x), 且c(x)|g(x)时必有c(x)|h(x),则称h(x)为f(x)和g(x)的最大 公因子,记为h(x)=GCD(f(x),g(x))，简记为(f(x),g(x))。 ▪ 定理 1 4 . 1 1 :在多项式环 F[x]中 , g1 (x)= GCD(f(x),g(x)),则g2 (x)=GCD(f(x),g(x)),当 且仅当g1 (x)=ag2 (x),这里aF* 。 证明:(1)根据最大公因子的定义,有 g1 (x)|g2 (x), g2 (x)|g1 (x) 因此由14.10得g1 (x)=ag2 (x),这里aF* (2)对f(x),g(x)的任意公因子d(x),设法证明 d(x)|g2 (x)