第六章常微分方程 第六章常微分方程 6-3高阶线性方程 6-3-1高阶线性常系数方程的解 6-3-2 Euler方程 第二十三讲高阶线性常系数阶线性方程 6-3-1高阶线性常系数齐次方程的解 考察n阶线性常系数齐次方程 x +.+anx=0 di dtl dt 其中a12,an为实常数 或记成 L(Dx=0 由上一段的讨论知道方程L(D)x=0在区间(一∞,+)有n个线性无关解 通解是这些解的线性组合。 (一)特征方程 若L(D)x=0有形如y=e的解,则λ必须是代数方程 L()=x+ax-+…+a=0 之根 这个代数方程称为微分方程L(Dx=0的特征方程 (characteristic quation).特征方程的根称为特征根 (二)特征根与方程L(D)x=0解的对应关系 先以二阶为例说明结果: 微分方程:L2(D)x=y”+qy'+by=0 特征方程:L2()=2+a+b=0 (1),A1,元2是特征方程L2()=0的不等实根 则 是方程L2Dx=0的两个无关解 (2),A1=A2是特征方程L2()=0的重根 第六章常微分方程第六章 常微分方程 第六章 常微分方程 第六章 常微分方程 6-3 高阶线性方程 6-3-1 高阶线性常系数方程的解 6-3-2 Euler 方程 第二十三讲 高阶线性常系数阶线性方程 6-3-1 高阶线性常系数齐次方程的解 考察 n 阶线性常系数齐次方程 n n n n n n d x d t a d x d t a d x d t + + + +a x = − − 1 − 1 1 1 .... 0 其中 a1 ,...,an 为实常数. 或记成 L(D)x = 0 由上一段的讨论知道,方程 L(D)x = 0 在区间 (−,+) 有 n 个线性无关解, 通解是这些解的线性组合。 (一) 特征方程： ⚫ 若 L(D)x = 0 有形如 t y e  = 的解，则  必须是代数方程 L( )= n n  + a  + + an = − 1 1 ... 0 之根。 这个代数方程 称为微分方程 L(D)x = 0 的 特征方程 (characteristic equation). 特征方程的根称为特征根. (二) .特征根与方程 L(D)x = 0 解的对应关系. 先以二阶为例说明结果： 微分方程: L2 (D)x = y  + ay  + by = 0 特征方程： ( ) 0 2 L2  =  + a + b = (1), 1 2  , 是特征方程 L2 () = 0 的不等实根, 则 t t e e 1 2 ,   是方程 L2 (D)x = 0 的两个无关解. (2),  1 =  2 是特征方程 L2 () = 0 的重根;