第六章常微分方程 则e,te是方程L2(D)x=0的两个无关解 (3),=a±1B是特征方程L2()=0的一对共轭复根 则e"Cost,e"Sint是方程L2(Dx=0的两个无关解 其中用到结果 设(1)=l(1)+ⅳv(1),定义它的导数为 dz du d dt dt 如果复值函数(1)=(1)+m(1)是齐次方程L(D)x=0的解,则 实部()和虚部v()都是L(D)x=0的实解 欧拉公式:e=e"(cOs身t+snf) 对n阶方程Ln(D)x=0 (1)设是特征方程L(x)=0的实根 则e“是方程Ln(D)x=0的实解 (2)设a土i6是特征方程的一对单重复根, 则ecos,e"Sn身是方程L(D)x=0的两个无关实解 (3).设是特征方程的k(1<k≤m)重实根 则e,le,…,t"e是方程Ln(D)x=0的个无关实解 (4).设aiB是特征方程的一对k(1<2k≤n)重复根 则e"' cos Br,e"snBt,…,te" cos BI,t' e sin Br 是方程L(Dx=0的2k个无关实解 由此可知:对应特征方程Ln()=0的n个根,包括重根,均能得到方程 Ln(Dx=0的n个线性无关解 例1:设H为实数求方程x"+x=0的通解 解:特征方程为x2+4=0 1y>0此时特征方程有一对单重复根=±i√,方程有两个无关解 第六章常微分方程第六章 常微分方程 第六章 常微分方程 则 t t e te 1 1 ,   是方程 L2 (D)x = 0 的两个无关解. (3),  =   i 是特征方程 L2 () = 0 的一对共轭复根, 则 e Cost e Sin t  t  t , 是方程 L2 (D)x = 0 的两个无关解. 其中用到结果： ⚫ 设 z(t) = u(t) +iv(t) , 定义它的导数为 dz dt du dt i dv dt = + . 如果复值函数 z(t) = u(t) +iv(t) 是齐次方程 L(D)x = 0 的解, 则 实部 u(t) 和虚部 v(t) 都是 L(D)x = 0 的实解. ⚫ 欧拉公式：     t t e = e (cos t +sin t) 对 n 阶方程 Ln (D)x = 0 (1). 设  是特征方程 Ln () = 0 的实根, 则 t e  是方程 Ln (D)x = 0 的实解. (2) 设 i 是特征方程的一对单重复根, 则     t t e cos t,e sin t 是方程 Ln (D)x = 0 的两个无关实解. (3). 设  是特征方程的 k(1 k  n) 重实根, 则 t t k t e ,te ,...,t e −1 是方程 Ln (D)x = 0 的 k 个无关实解. (4). 设 i 是特征方程的一对 k(1  2k  n) 重复根, 则 e t e t t e t t e t t t k t k t         cos , sin , , cos , sin  −1 −1 是方程 Ln (D)x = 0 的 2 k 个无关实解. 由此可知：对应特征方程 Ln () = 0 的 n 个根，包括重根, 均能得到方程 Ln (D)x = 0 的 n 个线性无关解. 例 1:设  为实数,求方程 x  +  x = 0 的通解. 解: 特征方程为 2  + = 0. 1.   0,此时特征方程有一对单重复根  = i  , 方程有两个无关解 i t e  cos t,sin t