第六章常微分方程 因此方程的通解为ccos√4+csin√(c2c∈R 2.=0,此时特征方程有一个二重根=0.方程有两个线性无关解 q(1)=1,2()=t,于是方程为x(1)=c+c1 3.<0.时特征方程有两个单重根λ=±√-/.方程有两个线性无关解 cP,e,且方程通解为x()=ce+ce 例2:求方程x"-x=0的通解 解:特征方程为-1=0.它有四个单根A2=±1,Ax=±i 该方程有四个线性无关解e,e",cost,snt 因此方程通解为x(D)=ce+ce+ c cost+csnt 例3:求方程x"-3x”+3x-x=0通解 解:特征方程-3x2+3-1=0有一个三重根λ=1 于是方程有三个线性无关解e,te,te 所以通解为 x(t)=ce+cte+ote=(a+ct+cte 例4:求方程x4)+2x(2)+x=0通解 解:特征方程+22+1=(42+1)2=0它有一对二重复根± 于是该方程有四个线性无关解cost,sint, t cost,tsnt 所以通解为 x(o=(C1+C3t)cost+(c2+4t)sin t 6-3-2高阶线性常系数非齐次方程的解 现在讨论线性常系数非齐次方程 d x d. d +…+anx=f(1) dt dr 其中a,a为实常数,f(D)是已知连续函数 方程可记成:Ln(D)x=f() 若相应的齐次方程Ln(D)x=0的一般解是:x()=∑cx,(,因此 如果又能够求得Ln(D)x=f()的一个特解Y(),就能够写出其通解: x()=x()+y()=∑ cx.()+ 般情况下可以用常数变异法根据L(Dx=0的通解求出 第六章常微分方程第六章 常微分方程 第六章 常微分方程 因此方程的通解为 c1 cos t + c2 sin t(c1 ,c2 R). 2.  = 0, 此时特征方程有一个二重根  = 0. 方程有两个线性无关解 1 1 2 (t) = , (t) = t, 于是方程为 x(t) = c1 + c2 t. 3.   0,时特征方程有两个单重根  =  − . 方程有两个线性无关解 −t − −t e ,e , 且方程通解为 x(t) c e c e −t − −t = + 1 2 . 例 2: 求方程 (4) x − x = 0 的通解. 解: 特征方程为 4  −1 = 0. 它有四个单根 1,2 1 3,4  =  , = i . 该方程有四个线性无关解 t t e ,e ,cost,sin t − . 因此方程通解为 x t c e c e c t c t t t ( ) = + + cos + sin − 1 2 3 4 . 例 3 :求方程 x  −3x  +3x − x = 0 通解. 解: 特征方程 3 2  − 3 +3 −1 = 0 有一个三重根  = 1 . 于是方程有三个线性无关解 t t t e ,t e ,t e 2 , 所以通解为 x t c e c t e c t e c c t c t e t t t t ( ) = 1 + 2 + 3 = ( + + ) 2 1 2 3 2 . 例 4:求方程 ( ) ( ) 2 0 4 2 x + x + x = 通解. 解:特征方程 2 1 ( 1) 0 4 2 2 2  +  + =  + = .它有一对二重复根 i . 于是该方程有四个线性无关解 cost,sin t,t cost,tsin t . 所以通解为 x(t) (c c t)cost (c c t)sin t = 1 + 3 + 2 + 4 . 6-3-2 高阶线性常系数非齐次方程的解 现在讨论线性常系数非齐次方程 n n n n n n d x d t a d x d t a d x d t + + + +a x = f t − − 1 − 1 1 1 .... ( ) 其中 a1 ,...,an 为实常数, f (t) 是已知连续函数. 方程可记成： L (D)x f (t) n = . 若相应的齐次方程 Ln (D)x = 0 的一般解是： ( )  ( ) = = n i i i x t c x t 1 , 因此, 如果又能够求得 L (D)x f (t) n = 的一个特解 Y(t), 就能够写出其通解: x(t) x(t) Y(t) c x (t) Y(t) n i = + =  i i + =1 一般情况下可以用常数变异法根据 Ln (D)x = 0 的通解求出