第六章常微分方程 Ln(D)x=f()的一个特解但对于右端函数f(1)属于某些简单类型时, 可以用观察侍定方法求非齐次的一个特解.下面我们以二阶方程为例说明这 种方法.对于高阶方程也可以类似地求解 考察二解线性常系数方程 2(D)x=+a+bx=f() 假定右端函数具有形式 f(t=P(t)e 其中P(1)是t的一个多项式 比较系数法的出发点是假定方程L2(D)x=P(e有一个形如 x()=Q()e 的解,其中Q()是t的一个多项式.问题是如何确定Q(1)的次数和系数 根据解的概念,将x(1)=Q)e代入方程L2(D)x=P(e 只要的系数设定适当,通过比较两端的多项式的系数就可以最后求出 Q(t),从而求出非齐次的一个特解 由(3.19)得到 将x()=Q()e代入方程L2(Dx=P(k,得 Qv()+(2a+a)Q(t)+(a2+a+b)Q(t)=P(l)(*) 下面分三种情形讨论 (1)当α不是特征根时,即a2+a+b≠0 (*)左端是一个次数与Q()相同的多项式.于是为了使(*)两端多项 式次数相等,Q()应当是一个与P(1)次数相同的多项式 (2).当a是特征根,但非重根时,即a2+aa+b=0,2a+a≠0 (*)左端是一个次数与Q'()相同的多项式.于是为了使(*)两端多 项式次数相等,Q()应当是一个比P(1)次数高一次的多项式 此时可以取 O(0)=tR(t) 这里R(1)是一个次数与P(t)相同的多项式 (3).当a是特征堇根时,即a2+a+b=0,2a+a=0 (*)左端是Q"(t).于是为了使(*)两端多项式次数相等, Q(t)应当是一个比P(1)次数高二次的多项式 此时可以取 Q()=tR(1) 例5:求方程x”+x'=2t2+1的通解 第六章常微分方程第六章 常微分方程 第六章 常微分方程 L (D)x f (t) n = 的一个特解. 但对于 右端函数 f (t) 属于某些简单类型时, 可以用观察侍定方法求非齐次的一个特解. 下面我们以二阶方程为例说明这 种方法. 对于高阶方程也可以类似地求解. 考察二解线性常系数方程 L (D)x 2 = 2 2 d x d t a dx dt + +bx = f (t) 假定右端函数具有形式 t f t P t e  ( ) = ( ) 其中 P(t) 是 t 的一个多项式. 比较系数法的出发点是假定方程 ( ) ( ) t L D x P t e  2 = 有一个形如 t x t Q t e  ( ) = ( ) 的解, 其中 Q(t) 是 t 的一个多项式. 问题是如何确定 Q(t) 的次数和系数. 根据解的概念 , 将 t x t Q t e  ( ) = ( ) 代入方程 ( ) ( ) t L D x P t e  2 = , 只要的系数设定适当，通过比较两端的多项式的系数就可以最后求出 Q(t), 从而求出非齐次的一个特解. 由(3.19)得到 将 t x t Q t e  ( ) = ( ) 代入方程 ( ) ( ) t L D x P t e  2 = , 得 ( ) (2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 Q t +  + a Q t +  + a + b Q t = P t (*) 下面分三种情形讨论. (1) 当  不是特征根时, 即 0 2  + a + b  (*) 左端是 一个次数与 Q(t) 相同的多项式. 于是为了使(*) 两端多项 式次数相等, Q(t) 应当是一个与 P(t) 次数相同的多项式. (2) . 当  是特征根, 但非重根时, 即 0 2  + a + b = , 2 + a  0 (*) 左端是 一个次数与 Q(t) 相同的多项式. 于是为了使(*) 两端多 项式次数相等, Q(t) 应当是一个比 P(t) 次数高一次的多项式. 此时可以取 Q(t) = tR(t), 这里 R(t) 是一个次数与 P(t) 相同的多项式. (3) . 当  是特征堇根时, 即 0 2  + a + b = , 2 + a = 0 (*) 左端是 Q(t). 于是为了使(*) 两端多项式次数相等, Q(t) 应当是一个比 P(t) 次数高二次的多项式. 此时可以取 ( ) ( ) 2 Q t = t R t , 例 5:求方程 2 1 2 x  + x  = t + 的通解