第六章常微分方程 解:间方程写作x"+x'=(21+1)e 因为=0是特征方程A+2=0的单根所以应当寻找方程形如 co(o=t(at"+bt+c)e bt -+ 的特解将这个解代入原方程得到 2b)=2t-3 比较两端同次项的系数得到 a=2,2b+6a=0,c+2b=-3 2 解这个方程组得到a==,b=-2,c=1.从而得到原方程的一个特解 2t2+t 又求得相应的齐次方程x+x=0的通解 x(1)=a+ce所以方程通解为 x(n=c+oe+=t'-2t+t 例6:解方程x"-2x+x=4e 解:A=1是特征方程-2A+=0的重根,设特解为 xo(t)=t(at +be 将这个解代入方程得到(6a+2b)e=4te 比较系数得到a=5,b=0.于是得到方程的一个特解Y()=te 相应地齐次方程的通解是x(1)=(a+c21)e.因此原方程的通解为 2 x(1=(c+c2De+t'e 例7:解方程x-x=4c0st, 解1:考虑方程 x-x=4e=4(cost +isnt) 这个方程的解是复值函数,其实部就是题设方程的解 现在首先求解方程x-x=4e=4(cost+isnt),由于虚数i不是 特征方程2-A=0的根,所以对于此方程应当寻求形如 x(1)=(4+iB)e 的特解(A,B为实常数)将这个解,比较系数,得到 2(A+iB)e=4e 由此得到A=2,B=0,于是求出x-x=4e=4(cost+isnt) 的一个特解为 它的实部-2cost,就是题设的一个特解 另外又求得相应的齐次方程x-x=0的通解,x=ce+ce 因此所求之的通解为x=ce+ce-2cost 解2:形如x+ax+bx=P(t)e( d, cosBt+ d 2 sin Bi) 第六章常微分方程第六章 常微分方程 第六章 常微分方程 解: 间方程写作 t x x t e 0  +  = (2 +1) . 因为  = 0 是特征方程 2  +  = 0 的单根,所以应当寻找方程形如 x t t at bt c e at bt ct t = + + = + + 2 0 3 2 0 ( ) ( ) 的特解.将这个解代入原方程得到 3 2 6 2 2 3 2 2 at +( b+ a)t +(c+ b) = t − 比较两端同次项的系数得到 3a = 2,2b + 6a = 0,c + 2b = −3. 解这个方程组得到 a = b = − c = 2 3 , 2, 1. 从而得到原方程的一个特解 0 2 3 2 3 x (t) = t − 2t + t. 又求得相应的齐次方程 '' ' x + x = 0 的通解 x t c c e t ( ) = + − 1 2 .所以方程通解为 x t c c e t ( ) = + − 1 2 + − + 2 3 2 3 2 t t t. 例 6: 解方程 t x  − 2x  + x = 4te . 解:  = 1 是特征方程 2  − 2 +  = 0 的重根, 设特解为 0 2 x t t at b e t ( ) = ( + ) 将这个解代入方程得到 (6at 2b)e 4t e t t + = . 比较系数得到 a = b = 2 3 , 0. 于是得到方程的一个特解 t Y t t e 3 3 2 ( ) = . 相应地齐次方程的通解是 x t c c t e t ( ) = ( 1+ 2 ) . 因此原方程的通解为 x t c c t e t ( ) = ( 1+ 2 ) + 2 3 3 t e t . 例 7:解方程 '' x − x = 4cost, 解 1:考虑方程 '' x x e (cost isin t) it − = 4 = 4 + 这个方程的解是复值函数,其实部就是题设方程的解. 现在首先求解方程 '' x x e (cost isin t) it − = 4 = 4 + , 由于虚数 i 不是 特征方程 2  −  = 0 的根, 所以对于此方程 应当寻求形如 x0 t A iB e it ( ) = ( + ) 的特解( A,B 为实常数).将这个解,比较系数, 得到 −2(A+iB)e = 4e it it . 由此得到 A = 2,B = 0, 于是求出 '' x x e (cost isin t) it − = 4 = 4 + 的一个特解为 x0 t 2e it ( ) = − . 它的实部−2cost ,就是题设的一个特解. 另外又求得相应的齐次方程 '' x − x = 0 的通解, x c e c e t t = + − 1 2 , 因此所求之的通解为 x c e c e t t t = + − − 1 2 2cos . 解 2: 形如 '' ' x a x bx P(t)e (d cos t d sin t) t + + = +  1  2 