第六章常微分方程 (其中P(1)为多项式,d1,d2为常数)的方程, 可以直接用比较系数法求解 例8:求方程 +@x=Hsin Bt (3.25) 其中H,O,B为常数 解:此方程对应的齐次方程x+cx=0的通解为 1.x(t)=c cos @t +a, sin ot Br 2.若B=O,则iB是特征根,并且是单重根,此时,从而方程通解是 x(t=(cga )cos af+a sn at 例9:求方程x-x=t2+1+te的一个特解 解:考察以下两个方程 用比较系数法分别求出这两个方程的特解:y1=-t 于是这两个解之和就是原方程的一个解 y=yty2 2+(---) 6-3-2 Euler方程 形如 d"y d"-y d y tan-I-,,y 的方程称为 Euler(欧拉)方程其中a,a2,an为常数 从解的存在唯一性条件看,对于这种方程,由于系数分别在(0,+∞)和 (-∞,0)中连续,因此应当分别考虑x>0和x<0的情形为方便计,我们只 考虑x>0的情形。且以二阶为例 day d Tax +a2y=0 (1)观察待定法 由方程特点观察,方程可能有形如幂函数的解,可令解为:y=x2 再代入方程,得:(4(-1)+a1A+a2)x2=0 特征方程:(2-1)+a1A+a2=0 ●特征根与解的对应关系 单实根:A→x2 第六章常微分方程第六章 常微分方程 第六章 常微分方程 (其中 P(t) 为多项式,d1 ,d2 为常数.)的方程, 可以直接用比较系数法求解 例 8:求方程 '' x + x = Hsin t 2   (3.25) 其中 H,, 为常数. 解:此方程对应的齐次方程 '' x + x = 2  0 的通解为 x = c1 cost + c2 sin t . 1. x t c t c t H ( ) = cos + sin + sin t + 1 2   2 2    . 2. 若  = , 则 i 是特征根, 并且是单重根,此时 , 从而方程通解是 x t c H ( ) = ( 1 − t) cos t + c2 sin t 2   . 例 9:求方程 '' x x t t e t − = + + 2 2 1 的一个特解. 解:考察以下两个方程: '' x − x = t + 2 1, '' x x t e t − = 2 . 用比较系数法分别求出这两个方程的特解: 1 2 2 2 2 3 4 9 y t y t e t = − − , = ( − ) . 于是这两个解之和就是原方程的一个解: y = y1+ y2 = :− − + − 2 2 2 3 4 9 t t e t ( ) . 6-3-2 Euler 方程 形如 ... 1 0 1 1 1 + 1 + + − + = − − − a y dt d y a t dt d y a t dx d y x n n n n n n n n 的方程称为 Euler(欧拉)方程.其中 a1 ,a2 ,...,an 为常数. 从解的存在唯一性条件看, 对于这种方程, 由于系数分别在 (0, + ) 和 (−, 0) 中连续，因此应当分别考虑 x  0 和 x  0 的情形. 为方便计，我们只 考虑 x  0 的情形。且以二阶为例: 1 2 0 2 2 2 + + a y = d x d y a x dx d y x . (1) 观察待定法 ⚫ 由方程特点观察，方程可能有形如幂函数的解，可令解为：  y = x , 再代入方程, 得： ( ( −1)+ 1 + 2 ) = 0    a  a x , 特征方程： ( −1)+ a1 + a2 = 0 ⚫ 特征根与解的对应关系： 单实根：    x ;