我们在微积分中碰到的函数,都是定义在区间上的,那里的积分,需涉及区 间及其子区间的长度,如 ∫/(x=mC/()A 其中△k=[xk-,xk],A=max△k需涉及[a,b]与[xk-,xk]的长度 因更多的函数往往只定义在一个R"中的一般集合上,研究f在E上的积分 必然涉及一般集合E及其子集的“长度”或“体积”。再说,即使是定义在区 间上的函数,如果作分划是将函数值接近的分在一起,就必然遇到求不太规则集 合的“长度”或“体积”问题。然而,到目前为止,我们只有开集的“长度”或 “体积”概念。因此,需要将现有的区间“长度”或“体积”概念推广到较为 般的集合上去,这就产生了 Lebesgue测度理论。 定义3.1.1对任意集合E,称mE=inf{|G|G开,且G彐E}为E的 Lebesgue外测度。 此定义的基本思想是:对较为规则的集合如区间、开集就规定其“体积”为 外测度(此事实将在定理3.1.1的4)和推论3.2.3中得到严格论证),对于 不规则的集合E,试图用盖住E的开集G的“体积”取而代之。然而盖住E的开 集G多种多样,其体积也大小不一,但不应比E的“体积”小。取哪一个最好 呢?当然是最小者较为合理。由于对无限个数而言,最小值不一定可达,于是 取下确界最安全。 定理3.1.1任意集合的外测度均满足: 1)非负性mE≥0 2)单调性若A→B,则mA≥mB 3)次可加性m∪E≤∑mE 4)若d(A,B)>0,则m(AUB)=mA+m`B 5)区间I的外测度满足mI=|I我们在微积分中碰到的函数，都是定义在区间上的，那里的积分，需涉及区 间及其子区间的长度，如 () ( ) k n k k b a f x dx = ∑ f ∆ ∫ = → 1 0 lim ξ λ 其中 Δk ＝[x k −1 ,x k ]，λ＝max|Δk |需涉及[a,b]与[x k −1 ,x k ]的长度。 因更多的函数往往只定义在一个 R n 中的一般集合上，研究 f 在 E 上的积分， 必然涉及一般集合 E 及其子集的“长度”或“体积”。再说， 即使是定义在区 间上的函数，如果作分划是将函数值接近的分在一起，就必然遇到求不太规则集 合的“长度”或“体积”问题。然而，到目前为止，我们只有开集的“长度”或 “体积”概念。因此，需要将现有的区间“长度”或“体积”概念推广到较为一 般的集合上去，这就产生了 Lebesgue 测度理论。 定义３.１.１ 对任意集合 E，称 m* E＝inf｛|G|｜G 开，且 G ⊇E｝为 E 的 Lebesgue 外测度。 此定义的基本思想是：对较为规则的集合如区间、开集就规定其“体积”为 外测度(此事实将在定理３.１.１的 4)和推论３.２.３中得到严格论证)，对于 不规则的集合 E，试图用盖住 E 的开集 G 的“体积”取而代之。然而盖住 E 的开 集 G 多种多样，其体积也大小不一，但不应比 E 的“体积”小。取哪一个最好 呢？ 当然是最小者较为合理。由于对无限个数而言，最小值不一定可达，于是 取下确界最安全。 定理３.１.１ 任意集合的外测度均满足： 1)非负性 m* E≥0 2)单调性 若 A ⊃ B，则 m* A≥m* B 3)次可加性 m* U ∞ i=1 E i ≤∑ ∞ i=1 m* E i 4)若 d(A,B)＞0，则 m* (A∪B)＝m* A＋m* B 5)区间 I 的外测度满足 m* I＝|I|