数,故∪E∈R,n21.利用引理223,对任意AcX,我们有 (()-(0) ≥4UE|+(A∩E) (AnE)+'(A∩E (6)式对任意n都成立.在(6)中令n→∞,并利用外测度的次可数可加性,得到 A)≥∑(AnE,)+(A∩E) ≥'(A∩E)+'(A∩E) 上式表明E满足卡氏条件(4)式,因此E=UEn∈R这就证明了R是一个a 代数 (i)为证是R上的测度,只需证明在R上是可数可加 的.设En}∈R,并且E,∩E=0(≠由外测度的次可数可加性,我们有 UE)≤∑(E)另一方面,在(5)中令A=X得到 ∑'(E)='(UE)≤(∪E) 上式中令n→∞,得到 ∑'(E)SA'(UE 因此 UE)=∑'(E) 即在R上是可数可加的.所以是R’上的测度 注1从定理4的证明可以看出,定理4的结论(i)和(i)并不依赖于环R上 的测度μ,只用到了定理1中μ所满足的性质.因此,我们可以定义任何满足 定理1中的(i),(i)和(i)的集函数’为外测度.然后和定义2一样定义'可测 集.则定理4的结论对这样定义的一般的外测度仍成立数, 故 ∈ = U n i Ei 1 ∗ R , n ≥ 1. 利用引理 2.2.3, 对任意 A ⊂ X, 我们有 ( ) ( ). ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 c n i i c n i i c n i i n i i A E A E A E A E A A E A E = ∩ + ∩   + ∩       ≥ ∩           + ∩       = ∩ ∗ = ∗ ∗ = ∗ = ∗ = ∗ ∗ ∑µ µ µ µ µ µ µ U U U (6) (6)式对任意 n 都成立. 在(6)中令n → ∞, 并利用外测度的次可数可加性, 得到 ( ) ( ). ( ) ( ) ( ) 1 c c i i A E A E A A E A E ≥ ∩ + ∩ ≥ ∩ + ∩ ∗ ∗ ∗ ∞ = ∗ ∗ ∑ µ µ µ µ µ 上式表明 E 满足卡氏条件(4)式, 因此 = ∈ ∞ = U n 1 E En ∗ R . 这就证明了 ∗ R 是一个σ - 代数. (ii).为证 ∗ µ 是 ∗ R 上的测度, 只需证明 ∗ µ 在 ∗ R 上是可数可加 的. 设{En } ⊂ ∗ R , 并且 E E (i j). i ∩ j = ∅ ≠ 由外测度的次可数可加性, 我们有 ( ) ( ). 1 1 ∑ ∞ = ∗ ∞ = ∗ ≤ i i i µ UEi µ E 另一方面, 在(5)中令 A=X 得到 ( ) ( ) ( ). 1 1 1 U U ∞ = ∗ = ∗ = ∗ ∑ = ≤ i i n i i n i µ Ei µ E µ E 上式中令n → ∞, 得到 ( ) ( ). 1 1 U ∞ = ∗ ∞ = ∗ ∑ ≤ i i i µ Ei µ E 因此 ∑ ∞ = ∗ ∞ = ∗ = 1 1 ( ) ( ) i i i µ UEi µ E , 即 ∗ µ 在 ∗ R 上是可数可加的. 所以 ∗ µ 是 ∗ R 上的测度. ■ 注 1 从定理.4 的证明可以看出, 定理 4 的结论(i)和(ii) 并不依赖于环R 上 的测度µ , 只用到了定理 1 中 ∗ µ 所满足的性质. 因此, 我们可以定义任何满足 定理 1 中的(, ) i) (ii 和(iii) 的集函数 ∗ µ 为外测度. 然后和定义 2 一样定义 ∗ µ 可测 集. 则定理 4 的结论对这样定义的一般的外测度 ∗ µ 仍成立