A∩(UE,)E4=A∩En A∩(UE,)E=A∩(∪E) 于是由E1的可测性和归纳法假设,我们有 uAn UE =ulAn UE, Ekl A E oe t'(⌒E4)+A⌒|UE ∑'(A∩E) 因此当n=k+1时(5)式成立.因此(5)对任意n成立 定理4设是环R上的测度,是由导出的外测度.R是A-可测集 的全体所成的集类.则有 (i).R是σ-代数 (i).限制在是R上是一个测度 证明()先证明R是一个代数.由于空集和全空间X是-可测集.故 R非空.由-可测集的定义立即可以看出若E是-可测的,则E也是A 可测的,因此R对余运算封闭往证尺对有限并的封闭性.设E1E2∈R”.令 E=E1∪E2注意到E=E∪(E∩E2),利用E1和E2的可测性,对任意AcX 我们有 (AnE)+'(A∩E)≤['(AnE1)+'(AnEF∩E2)+ +(A∩E∩E2) (AnE1)+[(AnE1)∩E2)+ +((A∩E1)∩E2) (AAE1)+(A∩E)=4(A 即E满足卡氏条件(4)式.这表明E=E1∪E2∈R’.因此R是一个代数.为证 R是一个σ-代数,只需再证明R对不相交可数并运算封闭即可(参见第一章习 题第20题)设En}cR,并且E∩E=(≠)令E=∪E,由于尺是代( ) ( ). ( ) , 1 1 1 1 1 1 1 1 U U U k i i c k k i i k k k i i A E E A E A E E A E = + + = + + + = ∩ ∩ = ∩ ∩ ∩ = ∩ 于是由 Ek+1的 ∗ µ -可测性和归纳法假设, 我们有           ∩       + ∩ +          ∩       = ∩                 ∩ + + = ∗ + + = ∗ + = ∗ c k k i i k k i i k i i A E E A E A E E 1 1 1 1 1 1 1 1 U U U µ µ µ ( ). ( ) . 1 1 1 1 ∑ + = ∗ = ∗ + ∗ = ∩                 = ∩ + ∩ k i i k i k i A E A E A E µ µ µ U 因此当n = k +1时(5)式成立. 因此(5)对任意n 成立. ■ 定理 4 设 µ 是环R 上的测度, ∗ µ 是由 µ 导出的外测度. ∗ R 是 ∗ µ -可测集 的全体所成的集类. 则有 (i). ∗ R 是σ -代数. (ii). ∗ µ 限制在是 ∗ R 上是一个测度. 证明 ). (i 先证明 ∗ R 是一个代数. 由于空集∅和全空间 X 是 ∗ µ -可测集. 故 ∗ R 非空. 由 ∗ µ -可测集的定义立即可以看出若 E 是 可测 −∗ µ 的, 则 c E 也是 ∗ µ - 可测的, 因此 ∗ R 对余运算封闭. 往证 ∗ R 对有限并的封闭性. 设 E1 , E2 ∈ ∗ R . 令 E = E1 ∪ E2 .注意到 ( ) E E1 E1 E2 c = ∪ ∩ , 利用 E1 和E2 的可测性, 对任意 A ⊂ X , 我们有 (( ) )] ( ) [ (( ) ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )] 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 c c c c c c c A E E A E A E E A E E A E A E A E A E E + ∩ ∩ = ∩ + ∩ ∩ + + ∩ ∩ ∩ + ∩ ≤ ∩ + ∩ ∩ + ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ µ µ µ µ µ µ µ µ ). ( ) ( ) ( A E1 A E1 A ∗ ∗ c ∗ = µ ∩ + µ ∩ = µ 即 E 满足卡氏条件(4)式. 这表明 E = E1 ∪ E2 ∈ ∗ R . 因此 ∗ R 是一个代数. 为证 ∗ R 是一个σ -代数, 只需再证明 ∗ R 对不相交可数并运算封闭即可(参见第一章习 题第 20 题). 设{En } ⊂ ∗ R , 并且 E E (i j). i ∩ j = ∅ ≠ 令 . 1 U ∞ = = n E En 由于 ∗ R 是代