由于Cmk,n,k≥1是∪A的一个R覆盖,由(2)得到 (UA,)≤∑∑(Cn)s∑(4)+5)=∑A(4,)+E nel kel 由于E>0是任意的,因此得到 (∪A4)≤∑'(A) 即具有次可数可加性 可测集由导出的外测度定义在X的全体子集所成的集类上但4的 定义域太大,一般不满足可数可加性.因而一般不是测度.下面将证明,可以通 过适当的限制条件挑选出一部分集即所谓“可测集”,这些集构成一个σ-代数 将μ限制在这个σ-代数上,μ'满足可数可加性,因而成为一个测度.而且这 个σ-代数一般要比μ的定义域R要大,于是就扩大了原来测度的定义域 定义2设是环R上的测度,是由导出的外测度.又设EcX.若对 任意AcX,均有 (A)='(A∩E)+'(A∩E) 则称E是‘-可测集.4-可测集的全体所成的集类记为R 等式(3)称为 Caratheodory条件(简称为卡氏条件)由于外测度'具有次可数 可加性,因此对任意AcX成立 (A)=4'(A∩E)∪(A∩E°) (A∩E)+'(A∩E) 所以(3)式等价于 (4)≥'(A∩E)+4'(A∩E) 因此集E是可测的当且仅当对任意AcX,(4)式成立.又由于当(A)=+∞ 时(4)总是成立的,因此若对任意AcX,当(4)<+时(4)式成立,则E是 可测的 显然,空集⑧和全空间X是-可测集.又由的单调性和(4)可以看出若 ‘(E)=0,则E是-可测集 引理3设E1,…,En是互不相交的山可测集则对任意ACX,成立 '(A(E)=∑A(A∩E) 证明用数学归纳法.当n=1时(5)显然成立.假定(5)对n=k时成立.因为 E1…,En是互不相交的.所以由于{ , , 1} Cn,k n k ≥ 是U ∞ n=1 An 的一个R 覆盖, 由(2)得到 ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) . 1 1 1 , 1 1 µ ε ε µ µ µ = + 2 ≤ ∑∑ ≤ ∑ + ∑ ∞ = ∗ ∞ = ∗ ∞ = ∞ = ∞ = ∗ n n n n n n n k n k UAn C A A 由于ε > 0是任意的, 因此得到 ( ) ( ). 1 1 ∑ ∞ = ∗ ∞ = ∗ ≤ n n n µ UAn µ A 即 ∗ µ 具有次可数可加性. ■ 可测集 由 µ 导出的外测度 ∗ µ 定义在 X 的全体子集所成的集类上. 但 ∗ µ 的 定义域太大, 一般不满足可数可加性. 因而一般不是测度. 下面将证明, 可以通 过适当的限制条件挑选出一部分集即所谓“可测集”， 这些集构成一个σ − 代数. 将 ∗ µ 限制在这个σ − 代数 上, ∗ µ 满足可数可加性, 因而成为一个测度. 而且这 个 代数 σ − 一般要比µ 的定义域R 要大, 于是就扩大了原来测度的定义域. 定义 2 设 µ 是环R 上的测度, ∗ µ 是由 µ 导出的外测度. 又设 E ⊂ X. 若对 任意 A ⊂ X , 均有 ). ( ) ( ) ( c A = A∩ E + A∩ E ∗ ∗ ∗ µ µ µ (3) 则称 E 是 ∗ µ -可测集. ∗ µ -可测集的全体所成的集类记为 . ∗ R 等式(3)称为Caratheodory条件(简称为卡氏条件). 由于外测度 ∗ µ 具有次可数 可加性, 因此对任意 A ⊂ X 成立 ( ) ( ). ( ) (( ) ( )) c c A E A E A A E A E ≤ ∩ + ∩ = ∩ ∪ ∩ ∗ ∗ ∗ ∗ µ µ µ µ 所以(3)式等价于 ). ( ) ( ) ( c A ≥ A∩ E + A∩ E ∗ ∗ ∗ µ µ µ (4) 因此集 E 是 ∗ µ -可测的当且仅当对任意 A ⊂ X, (4)式成立. 又由于当 = +∞ ∗ µ (A) 时(4)总是成立的, 因此若对任意 A ⊂ X, 当 < +∞ ∗ µ (A) 时(4)式成立, 则 E 是 ∗ µ -可测的. 显然, 空集∅和全空间 X 是 ∗ µ -可测集. 又由 ∗ µ 的单调性和(4)可以看出若 ( ) = 0, ∗ µ E 则 E 是 ∗ µ -可测集. 引理 3 设 E En , , 1 L 是互不相交的 ∗ µ -可测集. 则对任意 A ⊂ X , 成立 ( ( )) ( ). 1 1 i n i n i A∩ Ei = ∑ A∩ E = ∗ = ∗ µ U µ (5) 证明 用数学归纳法. 当 n = 1时(5)显然成立. 假定(5)对 n = k 时成立. 因为 E En , , 1 L 是互不相交的. 所以