第三章测度理论 本章先介绍集合的外测度定义与性质,然后引入可测集的定义、讨论可测集 的性质,最后研究了可测集的构造。其目的在于为改造积分定义时对分割、求和 所涉及的不太规则集合求相应的“长度”、“面积”、“体积”。 §3.1外测度 本节仍设X是一固定的非空集P(X)是X的全体子集所成的集类 外测度设C是一个非空集类,AX.若{An}是C中的有限或无穷序列, 使得Ac∪4(或A∈∪An)则称{4n}是A的一个C覆盖由于有限并总可以 写成可数并(只要令A,=A(m>k),则∪4=UA)因此我们不妨只考虑由可 数个集构成的覆盖 设是环R上的测度.对每个AcX,令 A)=inf2(An):{4n}是A的R覆盖} 若A无R覆盖,则令4'(4)=+0.这样定义的是定义在P(X)上的非负值集 函数称为由导出的外测度 定理1设是环R上的测度.为由导出的外测度.则满足 (1).4()=0 (i)单调性:若ACB,则*(A)≤'(B) (i)次可数可加性:对X中的任意一列集{An}成立 (∪4)≤∑A(A) (1) 证明由于{∞}是空集②的一个R覆盖,故4'()≤山(∞)=0.因此 μ'(∞)=0.设A∈B,则B的每个R覆盖也是A的R覆盖.这蕴涵 (A)≤4'(B)下面证明4具有次可数可加性.设{An}是X的一列子集.不妨 设r'(An)<+∞0,n≥1(否则(1)显然成立)现在任意给定E>0.由的定义,对 每个n≥1,存在An的一个R覆盖{Cnk}21,使得 (Cnk)≤(A)第三章 测度理论 本章先介绍集合的外测度定义与性质，然后引入可测集的定义、讨论可测集 的性质，最后研究了可测集的构造。其目的在于为改造积分定义时对分割、求和 所涉及的不太规则集合求相应的“长度”、“面积”、“体积”。 §３.１ 外测度 本节仍设 X 是一固定的非空集,P (X )是 X 的全体子集所成的集类. 外测度 设C 是一个非空集类, A ⊂ X. 若{ } An 是C 中的有限或无穷序列, 使得 U k n A An =1 ⊂ (或 U ∞ = ⊂ n 1 A An ), 则称{ } An 是 A 的一个C 覆盖. 由于有限并总可以 写成可数并(只要令 A A (n k), n = k > 则U U ∞ = = = 1 n 1 n k n An A ). 因此我们不妨只考虑由可 数个集构成的覆盖. 设µ 是环R 上的测度. 对每个 A ⊂ X , 令 ( ) inf{ ( ) :{ } }. 1 A A An 是A的R 覆盖 n ∑ n ∞ = ∗ µ = µ 若 A 无R 覆盖, 则令 ( ) = +∞. ∗ µ A 这样定义的 ∗ µ 是定义在P (X ) 上的非负值集 函数. 称 ∗ µ 为由µ 导出的外测度. 定理 1 设µ 是环R 上的测度. ∗ µ 为由µ 导出的外测度. 则 ∗ µ 满足: (i). (∅) = 0. ∗ µ (ii).单调性: 若 A ⊂ B, 则µ ∗ (A) ≤ (B). ∗ µ (iii).次可数可加性: 对 X 中的任意一列集{ } An 成立 ( ) ( ). 1 1 n n n An ∑ A ∞ = ∗ ∞ = ∗ µ U ≤ µ (1) 证 明 由 于 {∅} 是空集 ∅ 的一个 R 覆 盖 , 故 (∅) ≤ (∅) = 0. ∗ µ µ 因 此 (∅) = 0. ∗ µ 设 A ⊂ B, 则 B 的每个 R 覆盖也是 A 的 R 覆 盖 . 这蕴涵 (A) (B). ∗ ∗ µ ≤ µ 下面证明 ∗ µ 具有次可数可加性. 设{ } An 是 X 的一列子集. 不妨 设 ( ) < +∞, ≥ 1 ∗ µ An n (否则(1)显然成立). 现在任意给定ε > 0 . 由 ∗ µ 的定义, 对 每个n ≥ 1, 存在 An的一个R 覆盖{ } , Cn,k k≥1 使得 ( ) ( ) . 1 , n n k Cn k A 2 ∑ ≤ + ∞ = ∗ ε µ µ (2)