第9期 刘国山等：生态产业共生网络均衡模型 ·1227· 其中， 引理8对每个需求市场1∈{1,2，·，s},式 (30) (36)为式(34)的充分条件：如函数g(q)为gi的 k=1 凸函数，则式(36)为式(34)的充分条件 可得以下引理 2.5生态产业共生网络均衡及其性质 引理5对每个分解者企业k∈{b2,…,o},式 定义 (28)为式(27)的必要条件：如函数g(q)为q的 凹函数，则式(28)为式(27)的充要条件 2={qg2e22n22,q3e23n23,ge2n2, 引理6对每个分解者企业k∈{b2,·,o},式 q5e21, (38) (29)为式(28)的充分条件；如函数g(q)为q的 凹函数，则式(29)为式(27)的充分条件. g(q)=(-g(q),-g3(q3),-g(q)g(g).(39) 2.4需求市场的均衡条件 将各企业及需求市场的优化问题的最优条件进行组 需求市场的消费者在购买产品时不仅考虑产 合可构成如下变分不等式： 品价格而且考虑购买产品自身所需支付的交易费 用.设每个需求市场的需求决策变量为 ag@g-q)≥0，g∈n. 0q (40) qi=qi2, (31) 定理1设 其成本函数为 2={glg2∈22，g3∈3，q∈24，g5e2},(41) 7(q)=p2∑+∑c(q2). (32) 则有2=立. j=1 11 证明：仅需证明22C2,23C立及24C立. 需求市场在满足如下产品需求量（式(33）)的前提 关于22，主要包括： 下需最小化成本函数（式(32）)： ∑=d 三-a呼+呼 33) j=1 j= 其中，d代表需求市场l的产品需求。定义满足式 三-三a2+o (33)的非负g的可行域为25.因此，需求市场1 其中第一个等式包含于3，第二个等式包含于2， 的决策优化模型为 则可证明 min g(q5); 22c2. (34) s.t.qi∈2i. 类似可证明23二2及24二2，定理得证. 定义1称*∈立是生态产业共生网络均 由于25为多面体，或是为非线性优化模型 衡解，如满足 (34)最优解的必要条件可表示为如下变分不等式： agig2(ai-)≥0，vg=(ai,2)e的，3) gr(ar,qr)>gr(ar,qr), ∂(q) Vg=(gr,q,)∈2，r∈K. 其中， 定理2如集合2为紧集，则变分不等式(40) =Π3 (36) 存在解. =1 将所有需求市场所对应的变分不等式进行累加可得 定理3在g()关于变量qr,r∈K为凸的 假设下，如∈2是变分不等式(40)的解，那么 aggg-)≥0，vge, 必为生态产业共生网络均衡解 a(q5) (37) 引理7对每个需求市场1∈{1,2，…，s},式 3数值算例 (35)为式(34)的必要条件：如函数g(q)为q的 假设某生态产业共生网络由2个生产者企业、2 凸函数，则式(35)为式(34)的充要条件. 个消费者企业、2个分解者企业和2个需求市场构第 9 期 刘国山等：生态产业共生网络均衡模型 1227 ·· 其中， Ω˜ 4 = Yo k=1 Ω˜ 4 k . (30) 可得以下引理. 引理 5 对每个分解者企业 k ∈ {b2, · · · , o}，式 (28) 为式 (27) 的必要条件；如函数 g 4 k (q 4 ) 为 q 4 k 的 凹函数，则式 (28) 为式 (27) 的充要条件. 引理 6 对每个分解者企业 k ∈ {b2, · · · , o}，式 (29) 为式 (28) 的充分条件；如函数 g 4 k (q 4 ) 为 q 4 k 的 凹函数，则式 (29) 为式 (27) 的充分条件. 2.4 需求市场的均衡条件 需求市场的消费者在购买产品时不仅考虑产 品价格而且考虑购买产品自身所需支付的交易费 用. 设每个需求市场的需求决策变量为 q 5 l = q 32 l , (31) 其成本函数为 g 5 l (q 5 ) = ρ 32Xn j=1 q 32 jl + Xn j=1 c 32 jl (q 32). (32) 需求市场在满足如下产品需求量 (式 (33)) 的前提 下需最小化成本函数 (式 (32))： Xn j=1 q 32 jl = dl . (33) 其中，dl 代表需求市场 l 的产品需求。定义满足式 (33) 的非负 q 5 l 的可行域为 Ω˜ 5 l . 因此，需求市场 l 的决策优化模型为    min q 5 l g 5 l (q 5 ); s.t. q 5 l ∈ Ω˜ 5 l . (34) 由于 Ω˜ 5 为多面体，q˜ 5 l 是为非线性优化模型 (34) 最优解的必要条件可表示为如下变分不等式： ∂g5 l (q 5 ) ∂(q 5 l ) (q 5 l − q˜ 5 l ) > 0, ∀q 5 = (q 5 l , q˜ 5 −l ) ∈ Ω˜ 5 , (35) 其中， Ω˜ 5 = Ys l=1 Ω˜ 5 s . (36) 将所有需求市场所对应的变分不等式进行累加可得 ∂g 5 (q 5 ) ∂(q 5) (q 5 − q˜ 5 ) > 0, ∀q 5 ∈ Ω˜ 5 , (37) 引理 7 对每个需求市场 l ∈ {1, 2, · · · , s}，式 (35) 为式 (34) 的必要条件；如函数 g 5 l (q 5 ) 为 q 5 l 的 凸函数，则式 (35) 为式 (34) 的充要条件. 引理 8 对每个需求市场 l ∈ {1, 2, · · · , s}，式 (36) 为式 (34) 的充分条件；如函数 g 5 l (q 5 ) 为 q 5 l 的 凸函数，则式 (36) 为式 (34) 的充分条件. 2.5 生态产业共生网络均衡及其性质 定义 Ω˜ = {q|q 2 ∈ Ω˜ 2 ∩ Ω 2 , q 3 ∈ Ω˜ 3 ∩ Ω 3 , q 4 ∈ Ω˜ 4 ∩ Ω 4 , q 5 ∈ Ω˜ 5 }, (38) g˜(q) = (−g 2 (q 2 ), −g 3 (q 3 ), −g 4 (q 4 ), g 5 (q 5 )). (39) 将各企业及需求市场的优化问题的最优条件进行组 合可构成如下变分不等式： ∂g˜(q) ∂q (q − q ∗ ) > 0, ∀q ∈ Ω˜ . (40) 定理 1 设 Ω¯ = {q|q 2 ∈ Ω˜ 2 , q 3 ∈ Ω˜ 3 , q 4 ∈ Ω˜ 4 , q 5 ∈ Ω˜ 5 }, (41) 则有 Ω¯ = Ω˜ . 证明：仅需证明 Ω 2 ⊆ Ω˜，Ω 3 ⊆ Ω˜ 及 Ω 4 ⊆ Ω˜ . 关于 Ω 2，主要包括： Xm i=1 q 33 i+ = Xn j=1 β 33 j (α 22 j q 22 j+ + α 23 j q 23 j+), Xm i=1 q 45 i+ = Xo k=1 (α 24 k q 24 k+ + α 34 k q 34 k+). 其中第一个等式包含于 Ω˜ 3，第二个等式包含于 Ω˜ 4， 则可证明 Ω 2 ⊆ Ω˜ . 类似可证明 Ω 3 ⊆ Ω˜ 及 Ω 4 ⊆ Ω˜，定理得证. 定义 1 称 q˜ ∗ ∈ Ω˜ 是生态产业共生网络均 衡解，如满足 g˜r( ˜q ∗ r , q˜ ∗ −r ) > g˜r( ˜qr, q˜ ∗ −r ), ∀q = ( ˜qr, q˜ ∗ −r ) ∈ Ω˜ , r ∈ K. 定理 2 如集合 Ω˜ 为紧集，则变分不等式 (40) 存在解. 定理 3 在 g˜r( ˜q) 关于变量 qr, ∀r ∈ K 为凸的 假设下，如 q˜ ∗ ∈ Ω˜ 是变分不等式 (40) 的解，那么 q˜ ∗ 必为生态产业共生网络均衡解. 3 数值算例 假设某生态产业共生网络由 2 个生产者企业、2 个消费者企业、2 个分解者企业和 2 个需求市场构