D0L:10.13374.issn1001-053x.2013.09.018 第35卷第9期 北京科技大学学报 Vol.35 No.9 2013年9月 Journal of University of Science and Technology Beijing Sep.2013 生态产业共生网络均衡模型 刘国山1)，徐士琴1)☒，孙懿文)，韩继业3) 1)中国人民大学商学院，北京1008722)北京大学经济学院，北京100871 3)中国科学院数学与系统科学研究院，北京100190 ☒通信作者，E-mail:xushiqin85@126.com 摘要建立了生态产业共生网络均衡模型的标号系统，该生态产业系统可有效地减少原材料使用量并降低污染物排放 针对生态产业共生网络多产品（主副产品和废弃物）和多层次（生产者企业、消费者企业、分解者企业和需求市场）的复 杂网络结构，基于标号系统描述了生态产业共生网络各层决策成员的利润优化行为以得到均衡条件，利用变分不等式构 建生态产业共生网络均衡模型.在一定假设条件下，探讨变分不等式问题解的性质并构造数值算例以验证模型的正确性 与合理性 关键词生态学：产业共生：废弃物处理：变分不等式问题：博弈论：标号系统 分类号TF09X70 Eco-industrial symbiosis network equilibrium model LIU Guo-shan1),XU Shi-qin 1),SUN Yi-wen2),HAN Ji-ye3) 1)School of Business,Renmin University of China,Beijing 100872,China 2)School of Economics,Peking University,Beijing 100871,China 3)Academy of Mathematics and Systems Science,Chinese Academy of Sciences,Beijing 100190,China Corresponding author,E-mail:xushigin85@126.com ABSTRACT A symbol system was proposed for the eco-industrial symbiosis network equilibrium model,which is beneficial to decreasing the consumption of virgin materials and reducing emissions generated by industrial activities.In light of the complex eco-industrial symbiosis network structure with multi-products(semi-products,finished products, by-products,wastes and useful materials)and multi-levels(industrial producers,industrial consumers,industrial decom- posers,and demand markets),we described the optimizing behavior of various decision-makers,derived the equilibrium conditions,and established the eco-industrial symbiosis network equilibrium model as a variational inequality problem. The properties of the corresponding variational inequality were discussed under some reasonable assumptions.Finally, the eco-industrial symbiosis network equilibrium model was illustrated with a numerical example to verify its rationality. KEY WORDS ecology;industrial symbiosis;waste disposal;variational inequality problems;game theory;symbol systems 传统的工业生产活动是“资源一产品一废物” 的竞争与共生模式，建立一个相互依存相互共生的 单向流动的生产过程，其主要特征为高物耗、高污 生态工业系统，使某一企业的副产品或废料成为另 染与低效率，是一种不可持续的经济发展模式.目 一企业的原料资源，形成生态产业共生网络. 前，防治工业污染的措施主要集中于对单个企业的 生态产业共生网络的基本组成单位是生态产业 污染物处理上而未考虑污染物的相互利用.作为一 链，但国内外学者对二者的研究侧重不尽相同.国 种新型的生产组织架构，生态产业共生网络通过模 内专家和学者主要集中于生态产业链的物质和能量 拟自然生态系统中的物质循环方式与生物群体之间 流动及效果评价、形成机理和企业链接关系的分 收稿日期：2012-12-26 基金项目：中国人民大学科学研究基金（中央高校基本科研业务费专项资金资助）项目成果(13XNH169)
第 35 卷 第 9 期 北 京 科 技 大 学 学 报 Vol. 35 No. 9 2013 年 9 月 Journal of University of Science and Technology Beijing Sep. 2013 生态产业共生网络均衡模型 刘国山 1)，徐士琴 1) ，孙懿文 2)，韩继业 3) 1) 中国人民大学商学院，北京 100872 2) 北京大学经济学院，北京 100871 3) 中国科学院数学与系统科学研究院，北京 100190 通信作者，E-mail: xushiqin85@126.com 摘 要 建立了生态产业共生网络均衡模型的标号系统, 该生态产业系统可有效地减少原材料使用量并降低污染物排放. 针对生态产业共生网络多产品 (主副产品和废弃物) 和多层次 (生产者企业、消费者企业、分解者企业和需求市场) 的复 杂网络结构，基于标号系统描述了生态产业共生网络各层决策成员的利润优化行为以得到均衡条件，利用变分不等式构 建生态产业共生网络均衡模型. 在一定假设条件下，探讨变分不等式问题解的性质并构造数值算例以验证模型的正确性 与合理性. 关键词 生态学；产业共生；废弃物处理；变分不等式问题；博弈论；标号系统 分类号 TF09; X70 Eco-industrial symbiosis network equilibrium model LIU Guo-shan 1), XU Shi-qin 1) , SUN Yi-wen 2), HAN Ji-ye 3) 1) School of Business, Renmin University of China, Beijing 100872, China 2) School of Economics, Peking University, Beijing 100871, China 3) Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences, Beijing 100190, China Corresponding author, E-mail: xushiqin85@126.com ABSTRACT A symbol system was proposed for the eco-industrial symbiosis network equilibrium model, which is beneficial to decreasing the consumption of virgin materials and reducing emissions generated by industrial activities. In light of the complex eco-industrial symbiosis network structure with multi-products (semi-products, finished products, by-products, wastes and useful materials) and multi-levels (industrial producers, industrial consumers, industrial decomposers, and demand markets), we described the optimizing behavior of various decision-makers, derived the equilibrium conditions, and established the eco-industrial symbiosis network equilibrium model as a variational inequality problem. The properties of the corresponding variational inequality were discussed under some reasonable assumptions. Finally, the eco-industrial symbiosis network equilibrium model was illustrated with a numerical example to verify its rationality. KEY WORDS ecology; industrial symbiosis; waste disposal; variational inequality problems; game theory; symbol systems 传统的工业生产活动是 “资源 — 产品 — 废物” 单向流动的生产过程，其主要特征为高物耗、高污 染与低效率，是一种不可持续的经济发展模式. 目 前，防治工业污染的措施主要集中于对单个企业的 污染物处理上而未考虑污染物的相互利用. 作为一 种新型的生产组织架构，生态产业共生网络通过模 拟自然生态系统中的物质循环方式与生物群体之间 的竞争与共生模式，建立一个相互依存相互共生的 生态工业系统，使某一企业的副产品或废料成为另 一企业的原料资源，形成生态产业共生网络. 生态产业共生网络的基本组成单位是生态产业 链，但国内外学者对二者的研究侧重不尽相同. 国 内专家和学者主要集中于生态产业链的物质和能量 流动及效果评价、形成机理和企业链接关系的分 收稿日期：2012-12-26 基金项目：中国人民大学科学研究基金 (中央高校基本科研业务费专项资金资助) 项目成果 (13XNH169) DOI:10.13374/j.issn1001-053x.2013.09.018
·1222 北京科技大学学报 第35卷 析、稳定性研究等.徐大伟等口以工业代谢为理 衡条件，并通过分析变分不等式问题解的性质得到 论基础提出了简化的生态产业链的梯级循环物质流 生态产业共生网络均衡解与变分不等式解之间的等 模式及其数学表达模型，对建立工业生态系统中生 价关系，从而为进一步研究生态产业共生网络演变 态产业链间梯级循环的物质流关系及揭示物质代谢 的内在因素奠定理论基础 与循环流动机理等具有一定启发作用.李艳双等② 1 生态产业共生网络结构及标号系统描述 进一步分析了政府和管理者的支持对生态产业链稳 定性的影响，设计了配套的管理模式和治理机制， 假定生态产业共生网络由一个原材料市场、m 讨论了生态产业链内外部整体资源的协同利用和利 个生产者企业、n个消费者企业、。个分解者企业 益相关者的协同效用在于提高其稳定性.陈翠芳剧 与s个需求市场组成.假设i、j、k和1分别代 建立了生态产业链稳定性的两方和多方进化博弈模 表待讨论的某生产者企业、某消费者企业、某分解 型，以合肥循环经济示范园为背景分别进行两方和 者企业及某需求市场，其中i∈{1,2，…，m},j∈ 三方利益相关者的进化博弈模拟分析.李继宏【4以 {1,2,…,n},k∈{1,2，…，o},1∈{1,2，…，s}。 协同的角度将协同收益分配问题引至生态产业链， 对所有生产者而言，生产X种主产品（既包括 探讨了包含生态技术水平、生态贡献、投入水平和 由原材料生产的“新主产品”，也包括对分解者提供 承担风险四个影响因素的分配因子的实际应用 的有用材料进行重新加工得到的“再制造主产品”) 国外学者的研究主要集中于生态产业共生网 并流向消费者企业.同时，伴随其生产过程将产生 络的运行、稳定性及生态效率等方面.Hardy与 Y种副产品及W种废弃物，其流向分别为消费者 Graedel同通过对生态工业园共生网络的内部结构 企业（即进行副产品交换）和分解者企业（供其进行 进行研究，认为随着共生网络内部企业之间关联程 有用材料的提取).对所有消费者而言，对从生产者 度的提高，共生网络对外部环境造成的影响和其稳 企业购买的主产品进行深加工得到U种最终产品 定性未必会得到改善.Salmi间利用反事实分析方 (简称“产品”)并流向需求市场：而伴随产物为消 法研究产业共生和生态效率之间的关系，将“复合 费者企业产生的V种副产品和Z种废弃物，分别 利用体”与现实的发展路径进行比较，发现前者即 流向生产者企业（即进行副产品交换）和分解者企 产业共生可显著提高生态效率 业（供其进行有用材料的提取）.分解者企业对来自 过去虽然已有不少学者致力于生态产业共生 生产者企业和消费者企业的废弃物进行检测分离进 网络（或生态产业链）的研究，但多停留于定性阶 而提取G种有用材料并返至生产者企业进行再制 造.为简化过于复杂的数学模型并提供规范科学统 段，以均衡角度探讨生态产业共生网络的研究尚少 生态产业共生网络作为基于价值变化的复杂网络结 一化的标号系统，将研究对象简化为单产品，即令 X=U=Y=V=Z=W=G=1.生态产业共生 构，维持其平稳运行，一方面追求网络总体效益最 网络结构如图1所示. 大化，另一方面应考虑网络中各企业间的竞争合作 关系，这使得研究生态产业共生网络均衡问题显得 由于生态产业共生网络所涉及的变量组及函 尤为必要. 数组相当庞杂，为此需要建立方便规范使用的标号 规则，如表1所示 变分不等式作为一种描述平衡问题的方法，已 被广泛应用于研究交通网络均衡)、供应链网络均 原材料市场 生产者企业 5 衡8-12、金融网络均衡13！及知识网络均衡问题14 消费者企业 3 虽然我们已研究了生态产业链的均衡问题，但由于 生态产业共生网络的网络复杂性，全面而系统地对 1一原材料 2 2一主产品 其进行描述显得尤为困难.鉴于此领域正逐渐成为 3一副产品 研究热点，非常有必要提炼一个既能清晰描述网络 4一废弃物 分解者企业 需求市场 结构且方便规范化使用的标号规则 一有用材料 图1生态产业共生网络结构 因此，本文拟建立一套描述生态产业共生网络 Fig.1 Structure of the eco-industrial symbiosis network 均衡模型所需的标号系统，尽可能全面地考虑各参 数、决策变量、交易价格、成本函数等，从而为深入 根据表1可对i∈{1,2，…，m}、j∈{1,2， 分析生态产业共生网络均衡提供有效的研究工具. …,n}、k∈{1,2，…，o}及1∈{1,2，…，s}定义 利用变分不等式理论探讨生态产业共生网络各层均 如下产量（涉及新主产品/再制造主产品/产品）及交
· 1222 · 北 京 科 技 大 学 学 报 第 35 卷 析、稳定性研究等. 徐大伟等 [1] 以工业代谢为理 论基础提出了简化的生态产业链的梯级循环物质流 模式及其数学表达模型，对建立工业生态系统中生 态产业链间梯级循环的物质流关系及揭示物质代谢 与循环流动机理等具有一定启发作用. 李艳双等 [2] 进一步分析了政府和管理者的支持对生态产业链稳 定性的影响，设计了配套的管理模式和治理机制， 讨论了生态产业链内外部整体资源的协同利用和利 益相关者的协同效用在于提高其稳定性. 陈翠芳 [3] 建立了生态产业链稳定性的两方和多方进化博弈模 型，以合肥循环经济示范园为背景分别进行两方和 三方利益相关者的进化博弈模拟分析. 李继宏 [4] 以 协同的角度将协同收益分配问题引至生态产业链， 探讨了包含生态技术水平、生态贡献、投入水平和 承担风险四个影响因素的分配因子的实际应用. 国外学者的研究主要集中于生态产业共生网 络的运行、稳定性及生态效率等方面. Hardy 与 Graedel [5] 通过对生态工业园共生网络的内部结构 进行研究，认为随着共生网络内部企业之间关联程 度的提高，共生网络对外部环境造成的影响和其稳 定性未必会得到改善. Salmi [6] 利用反事实分析方 法研究产业共生和生态效率之间的关系，将 “复合 利用体” 与现实的发展路径进行比较，发现前者即 产业共生可显著提高生态效率. 过去虽然已有不少学者致力于生态产业共生 网络 (或生态产业链) 的研究，但多停留于定性阶 段，以均衡角度探讨生态产业共生网络的研究尚少. 生态产业共生网络作为基于价值变化的复杂网络结 构，维持其平稳运行，一方面追求网络总体效益最 大化，另一方面应考虑网络中各企业间的竞争合作 关系，这使得研究生态产业共生网络均衡问题显得 尤为必要. 变分不等式作为一种描述平衡问题的方法，已 被广泛应用于研究交通网络均衡[7]、供应链网络均 衡[8−12]、金融网络均衡 [13] 及知识网络均衡问题 [14] . 虽然我们已研究了生态产业链的均衡问题，但由于 生态产业共生网络的网络复杂性，全面而系统地对 其进行描述显得尤为困难. 鉴于此领域正逐渐成为 研究热点，非常有必要提炼一个既能清晰描述网络 结构且方便规范化使用的标号规则. 因此，本文拟建立一套描述生态产业共生网络 均衡模型所需的标号系统，尽可能全面地考虑各参 数、决策变量、交易价格、成本函数等，从而为深入 分析生态产业共生网络均衡提供有效的研究工具. 利用变分不等式理论探讨生态产业共生网络各层均 衡条件，并通过分析变分不等式问题解的性质得到 生态产业共生网络均衡解与变分不等式解之间的等 价关系，从而为进一步研究生态产业共生网络演变 的内在因素奠定理论基础. 1 生态产业共生网络结构及标号系统描述 假定生态产业共生网络由一个原材料市场、m 个生产者企业、n 个消费者企业、o 个分解者企业 与 s 个需求市场组成. 假设 i、j、k 和 l 分别代 表待讨论的某生产者企业、某消费者企业、某分解 者企业及某需求市场，其中 i ∈ {1, 2, · · · , m}，j ∈ {1, 2, · · · , n}，k ∈ {1, 2, · · · , o}，l ∈ {1, 2, · · · , s}。 对所有生产者而言，生产 X 种主产品 (既包括 由原材料生产的 “新主产品”，也包括对分解者提供 的有用材料进行重新加工得到的 “再制造主产品”) 并流向消费者企业. 同时，伴随其生产过程将产生 Y 种副产品及 W 种废弃物，其流向分别为消费者 企业 (即进行副产品交换) 和分解者企业 (供其进行 有用材料的提取). 对所有消费者而言，对从生产者 企业购买的主产品进行深加工得到 U 种最终产品 (简称 “产品”) 并流向需求市场；而伴随产物为消 费者企业产生的 V 种副产品和 Z 种废弃物，分别 流向生产者企业 (即进行副产品交换) 和分解者企 业 (供其进行有用材料的提取). 分解者企业对来自 生产者企业和消费者企业的废弃物进行检测分离进 而提取 G 种有用材料并返至生产者企业进行再制 造. 为简化过于复杂的数学模型并提供规范科学统 一化的标号系统，将研究对象简化为单产品，即令 X = U = Y = V = Z = W = G = 1. 生态产业共生 网络结构如图 1 所示. 由于生态产业共生网络所涉及的变量组及函 数组相当庞杂，为此需要建立方便规范使用的标号 规则，如表 1 所示. 图 1 生态产业共生网络结构 Fig.1 Structure of the eco-industrial symbiosis network 根据表 1 可对 i ∈ {1, 2, · · · , m}、j ∈ {1, 2, · · · , n}、k ∈ {1, 2, · · · , o} 及 l ∈ {1, 2, · · · , s} 定义 如下产量 (涉及新主产品/再制造主产品/产品) 及交
第9期 刘国山等：生态产业共生网络均衡模型 ,1223· 表1生态产业共生网络标号规则 Table 1 Rules of marking symbols in the eco-industrial symbiosis network a三1，代表原材料市场 a∈{1,2，…，5代表 a=2,代表生产者企业 企业层级 a=3,代表消费者企业 a=4,代表分解者企业 a=5,代表需求市场 b=1,代表原材料 286 b∈{1,2，…，5} b=2,代表主产品 代表产品种类 b=3,代表副产品 b=4,代表废弃物 b=5,代表有用材料 销售主产品、副产品和（或）废弃物的 c∈{2,3,4,5} 企业标号，或接收原材料、主产品、副 产品和（或）废弃物的企业或市场标号 a=1,代表原材料市场 a∈{1,2，…，5} a=2,代表生产者企业 代表企业层级 a=3,代表消费者企业 a=4,代表分解者企业 a=5,代表需求市场 b=1,代表原材料 哈 b∈{1,2.…，5} b=2,代表主产品 代表产品种类 b=3,代表副产品 b=4,代表废弃物 b=5,代表有用材料 cd代表是从经济实体 c=1,d=1,代表原材料市场 c到经济实体d的交 c=2,d=2,代表生产者企业 易，c∈{1,2，…，5} c=3,d=3,代表消费者企业 d∈{1,2，·，5} c=4,d=4,代表分解者企业 c=5,d=5,代表需求市场 易量（涉及原材料/新主产品/再制造主产品/产 为了表述方便，将产量和同一流向的所有交易 品/副产品/废弃物/有用材料) 量构成的向量表示为 g':生产者企业i从原材料市场采购的原材料 q1={q1}ie1,2.…,m 数量： g22 =op)ie(1.2....m)je1.2....n) 暗：由生产者企业i到消费者企业j的新主产 q23={q}ieL,2,mj{1,2n 品交易量： q24={9}e1,2…,m,ke12…,o, :由生产者企业i到消费者企业j的副产品 g25={}ie,2…me12…m 交易量： :由生产者企业i到分解者企业k的废弃物 q22={a7}je2…mhe1,2 q3={a}e1,2…nie1.2…m 交易量： q5={q}ke1,2…,o,i∈1,2，…，m 蹈：由生产者企业i到消费者企业j的再制 q2={3}e1,2…m,93={暗}c1.2…,m 造主产品交易量： 94={}e.2…,mq5={暗}e1,2…,m q登：消费者企业方在需求市场1的产品销售 q2={}e2-,98={}je1.2…m 量： q经：由消费者企业j到生产者企业i的副产品 q4={q鳞，12…m,g5={}ke12-o叶 将各企业同流向的交易总量记为 交易量： q张：由消费者企业j到分解者企业k的废弃 听-言始听-三喘呢-0 物交易量： q:由分解者企业k到生产者企业i的有用材 异赠 料交易量. 赠-会蜡-会”赠-三咏
第 9 期 刘国山等：生态产业共生网络均衡模型 1223 ·· 表 1 生态产业共生网络标号规则 Table 1 Rules of marking symbols in the eco-industrial symbiosis network x ab c a ∈ {1, 2, · · · , 5} 代表 企业层级 a = 1，代表原材料市场 a = 2，代表生产者企业 a = 3，代表消费者企业 a = 4，代表分解者企业 a = 5，代表需求市场 b ∈ {1, 2, · · · , 5} 代表产品种类 b = 1，代表原材料 b = 2，代表主产品 b = 3，代表副产品 b = 4，代表废弃物 b = 5，代表有用材料 c ∈ {2, 3, 4, 5} 销售主产品、副产品和 (或) 废弃物的 企业标号，或接收原材料、主产品、副 产品和 (或) 废弃物的企业或市场标号 x ab cd a ∈ {1, 2, · · · , 5} 代表企业层级 a = 1，代表原材料市场 a = 2，代表生产者企业 a = 3，代表消费者企业 a = 4，代表分解者企业 a = 5，代表需求市场 b ∈ {1, 2, · · · , 5} 代表产品种类 b = 1，代表原材料 b = 2，代表主产品 b = 3，代表副产品 b = 4，代表废弃物 b = 5，代表有用材料 cd 代表是从经济实体 c 到经济实体 d 的交 易，c ∈ {1, 2, · · · , 5} d ∈ {1, 2, · · · , 5} c = 1, d = 1，代表原材料市场 c = 2, d = 2，代表生产者企业 c = 3, d = 3，代表消费者企业 c = 4, d = 4，代表分解者企业 c = 5, d = 5，代表需求市场 易量 (涉及原材料/新主产品/再制造主产品/产 品/副产品/废弃物/有用材料). q 11 i ：生产者企业 i 从原材料市场采购的原材料 数量； q 22 ij ：由生产者企业 i 到消费者企业 j 的新主产 品交易量； q 23 ij ：由生产者企业 i 到消费者企业 j 的副产品 交易量； q 24 ik ：由生产者企业 i 到分解者企业 k 的废弃物 交易量； q 25 ij ：由生产者企业 i 到消费者企业 j 的再制 造主产品交易量； q 32 jl ：消费者企业 j 在需求市场 l 的产品销售 量； q 33 ji ：由消费者企业 j 到生产者企业 i 的副产品 交易量； q 34 jk：由消费者企业 j 到分解者企业 k 的废弃 物交易量； q 45 ki：由分解者企业 k 到生产者企业 i 的有用材 料交易量. 为了表述方便，将产量和同一流向的所有交易 量构成的向量表示为 q 11 = {q 11 i }i∈{1,2,...,m}, q 22 = {q 22 ij }i∈{1,2,...,m},j∈{1,2,...,n}, q 23 = {q 23 ij }i∈{1,2,...,m},j∈{1,2,...,n}, q 24 = {q 24 ik }i∈{1,2,··· ,m},k∈{1,2,··· ,o}, q 25= {q 25 ij }i∈{1,2,··· ,m},j∈{1,2,··· ,n} , q 32= {q 32 jl }j∈{1,2,··· ,n},l∈{1,2,··· ,s} , q 33 = {q 33 ji }j∈{1,2,··· ,n},i∈{1,2,··· ,m}, q 45= {q 45 ki }k∈{1,2,··· ,o},i∈{1,2,··· ,m} , q 22 j = {q 22 ij }i∈{1,2,··· ,m}, q 23 j = {q 23 ij }i∈{1,2,··· ,m} , q 24 k = {q 24 ik }i∈{1,2,··· ,m} , q 25 j = {q 25 ij }i∈{1,2,··· ,m} , q 32 l = {q 32 jl }j∈{1,2,··· ,n}, q 33 i = {q 33 ji }j∈{1,2,··· ,n} , q 34 k = {q 34 jk}j∈{1,2,··· ,n} , q 45 i = {q 45 ki }k∈{1,2,··· ,o} . 将各企业同流向的交易总量记为 q 22 j+ = Pm i=1 q 22 ij , q23 j+= Pm i=1 q 23 ij , q24 k+= Pm i=1 q 24 ik , q 25 j+= Pm i=1 q 25 ij , q 32 l+ = Pn j=1 q 32 jl , q33 i+= Pn j=1 q 33 ji , q34 k+= Pn j=1 q 34 jk
.1224· 北京科技大学学报 第35卷 =卫原 下面给出生态产业共生网络中所涉及参数的 k=1 确切定义，如表2所示 表2生态产业共生网络中各参数的定义 Table 2 Definition of parameters in the eco-industrial symbiosis network 对生产者企业i∈{1,2，…，m小： a 由原材料到新主产品的转化率，a1∈(0,1] a 由消费者企业的副产品到生产者企业的再制造主产品的转化率，α3∈(0,1刂 5 由分解者企业提取的有用材料到生产者企业的再制造主产品的转化率，a5∈(0，刂 生产单位新主产品产生的副产品数量，3∈(0,1刂 昭4 生产单位新主产品产生的废弃物数量，4∈(0,1】 对消费者企业j∈{1,2，…，n小： a 由单位新主产品到消费者企业深加工的产品的转化率，a∈(0，刂 a 由生产者企业的副产品到消费者企业的产品的转化率，a3∈(0，刂 由再制造主产品到消费者企业的产品的转化率，∈(0，刂 33 生产单位产品产生的副产品数量，3∈(0，刂 生产单位产品产生的废弃物数量，4∈(0，刂 对分解者企业k∈{L,2,·,o}: a 由生产者企业的废弃物到有用材料的转化率，∈(0，刂 4 由消费者企业的废弃物到有用材料的转化率，4∈(0，】 依据编号规则可定义对应各产量的生产成本 物的交易成本，c张=张(q24): 及对应各交易量的交易成本 c:消费者企业方与需求市场1关于其产品的 :生产者企业i关于由原材料进行生产新主 交易成本，=c(q2): 产品的成本，f1=f1(q,a): c强：消费者企业j与生产者企业i关于副产品 f3:生产者企业i由从消费者企业获取的副产 (消费者企业产生)的交易成本，c=c(q3): 品进行加工的成本，3=f3(g,a3): c:消费者企业j与分解者企业i关于其废弃 f5:生产者企业i对分解者企业提供的有用材 物的交易成本，c=c(g34): 料重加工的再制造成本，5=f5(q掉，a): c短：分解者企业k与生产者企业i关于有用 :消费者企业方对生产者企业新主产品进 材料的交易成本，c短=c短(q5) 行深加工的生产成本，=？(q驿，a)； 下面将对生产者企业、消费者企业、分解者企 :消费者企业方关于由生产者企业的副产 业与需求市场进行逐层研究，分别对生态产业共生 品进行生产的成本，=(g异，)： 网络的各层成员的决策进行描述，推导满足决策行 5:消费者企业方关于由生产者企业的再制 为的均衡条件，建立对应的变分不等式模型 造主产品进行生产的成本，=(g,a); :分解者企业k对生产者企业的废弃物进 2生态产业共生网络均衡模型 行分离检测的成本，4=4(4，a4): 首先，有必要引入研究假设： 4:分解者企业k对消费者企业的废弃物进 (1)每个生产者企业决定各自的采购数量： 行分离检测的成本，f1=4(q件，a) (②)除原材料的市场价格和需求市场价格外， c:生产者企业i从原材料市场处购买原材料 其他交易价格均由整个生态产业共生网络的平衡条 的采购成本，c1=c1(q1): 件所确定，称之为平衡交易价格： c酱：生产者企业i与消费者企业j关于其新主 (3)生产成本由每个企业的特性所决定： 产品的交易成本，c酱=c号(q2): (4)消费者企业的副产品和废弃物分离检测后 号：生产者企业i与消费者企业j关于副产品 提取的有用材料仅用于生产者企业再制造且不再产 (生产者企业产生)的交易成本，路=号(q): 生副产品和废弃物： :生产者企业i与消费者企业关于其再制 (⑤)再制造主产品与新主产品同质且在同一流 造主产品的交易成本，c蹈=c(q25): 通渠道中销售： :生产者企业i与分解者企业k关于其废弃 (⑥)消费者企业对再制造主产品进行深加工不
· 1224 · 北 京 科 技 大 学 学 报 第 35 卷 q 45 i+= Po k=1 q 45 ki . 下面给出生态产业共生网络中所涉及参数的 确切定义，如表 2 所示. 表 2 生态产业共生网络中各参数的定义 Table 2 Definition of parameters in the eco-industrial symbiosis network 对生产者企业 i ∈ {1, 2, · · · , m}： α 11 i 由原材料到新主产品的转化率，α 11 i ∈ (0, 1] α 33 i 由消费者企业的副产品到生产者企业的再制造主产品的转化率，α 33 i ∈ (0, 1] α 45 i 由分解者企业提取的有用材料到生产者企业的再制造主产品的转化率，α 45 i ∈ (0, 1] β 23 i 生产单位新主产品产生的副产品数量，β 23 i ∈ (0, 1] β 24 i 生产单位新主产品产生的废弃物数量，β 24 i ∈ (0, 1] 对消费者企业 j ∈ {1, 2, · · · , n}： α 22 j 由单位新主产品到消费者企业深加工的产品的转化率，α 22 j ∈ (0, 1] α 23 j 由生产者企业的副产品到消费者企业的产品的转化率，α 23 j ∈ (0, 1] α 25 j 由再制造主产品到消费者企业的产品的转化率，α 25 j ∈ (0, 1] β 33 j 生产单位产品产生的副产品数量，β 33 j ∈ (0, 1] β 34 j 生产单位产品产生的废弃物数量，β 34 j ∈ (0, 1] 对分解者企业 k ∈ {1, 2, · · · , o}： α 24 k 由生产者企业的废弃物到有用材料的转化率，α 24 k ∈ (0, 1] α 34 k 由消费者企业的废弃物到有用材料的转化率，α 34 k ∈ (0, 1] 依据编号规则可定义对应各产量的生产成本 及对应各交易量的交易成本. f 11 i ：生产者企业 i 关于由原材料进行生产新主 产品的成本，f 11 i = f 11 i ¡ q 11 i , α11 i ¢ ; f 33 i ：生产者企业 i 由从消费者企业获取的副产 品进行加工的成本，f 33 i = f 33 i ¡ q 33 i+, α33 i ¢ ； f 45 i ：生产者企业 i 对分解者企业提供的有用材 料重加工的再制造成本，f 45 i = f 45 i ¡ q 45 i+, α45 i ¢ ; f 22 j ：消费者企业 j 对生产者企业新主产品进 行深加工的生产成本，f 22 j = f 22 j ¡ q 22 j+, α22 j ¢ ; f 23 j ：消费者企业 j 关于由生产者企业的副产 品进行生产的成本，f 23 j = f 23 j ¡ q 23 j+, α23 j ¢ ; f 25 j ：消费者企业 j 关于由生产者企业的再制 造主产品进行生产的成本，f 25 j = f 25 j ¡ q 25 j+, α25 j ¢ ; f 24 k ：分解者企业 k 对生产者企业的废弃物进 行分离检测的成本，f 24 k = f 24 k ¡ q 24 k+, α24 k ¢ ; f 34 k ：分解者企业 k 对消费者企业的废弃物进 行分离检测的成本，f 34 k = f 34 k ¡ q 34 k+, α34 k ¢ . c 11 i ：生产者企业 i 从原材料市场处购买原材料 的采购成本，c 11 i = c 11 i ¡ q 11¢ ； c 22 ij ：生产者企业 i 与消费者企业 j 关于其新主 产品的交易成本，c 22 ij = c 22 ij ¡ q 22¢ ； c 23 ij ：生产者企业 i 与消费者企业 j 关于副产品 (生产者企业产生) 的交易成本，c 23 ij = c 23 ij ¡ q 23¢ ； c 25 ij ：生产者企业 i 与消费者企业 j 关于其再制 造主产品的交易成本，c 25 ij = c 25 ij ¡ q 25¢ ； c 24 ik：生产者企业 i 与分解者企业 k 关于其废弃 物的交易成本，c 24 ik = c 24 ik ¡ q 24¢ ； c 32 jl ：消费者企业 j 与需求市场 l 关于其产品的 交易成本，c 32 jl = c 32 jl ¡ q 32¢ ； c 33 ji ：消费者企业 j 与生产者企业 i 关于副产品 (消费者企业产生) 的交易成本，c 32 ji = c 33 ji ¡ q 33¢ ； c 34 jk：消费者企业 j 与分解者企业 i 关于其废弃 物的交易成本，c 34 jk = c 34 jk ¡ q 34¢ ； c 45 ki ：分解者企业 k 与生产者企业 i 关于有用 材料的交易成本，c 45 ki = c 45 ki ¡ q 45¢ . 下面将对生产者企业、消费者企业、分解者企 业与需求市场进行逐层研究，分别对生态产业共生 网络的各层成员的决策进行描述，推导满足决策行 为的均衡条件，建立对应的变分不等式模型. 2 生态产业共生网络均衡模型 首先，有必要引入研究假设： (1) 每个生产者企业决定各自的采购数量； (2) 除原材料的市场价格和需求市场价格外， 其他交易价格均由整个生态产业共生网络的平衡条 件所确定，称之为平衡交易价格； (3) 生产成本由每个企业的特性所决定； (4) 消费者企业的副产品和废弃物分离检测后 提取的有用材料仅用于生产者企业再制造且不再产 生副产品和废弃物； (5) 再制造主产品与新主产品同质且在同一流 通渠道中销售； (6) 消费者企业对再制造主产品进行深加工不
第9期 刘国山等：生态产业共生网络均衡模型 1225· 再产生副产品和废弃物： (⑦)所有企业均为理性经济人即追求自身利益 =22胖+2o4 (7) =1 k=1 k=1 最大化。 定义满足上述要求的q的可行域为22.式(6) 记q=(q,q3,q,q)为模型的决策变量.为 与式（⑦）仅整体上要求供需平衡，属于宽松约束.对 便于建立模型，将决策变量q按决策主体改写为 每个企业i∈{1,2，·，m,其决策的优化模型为 9=(91,2,…,gm+n+o+g).同时，假设涉及的所 有函数均二次连续可微.对任意决策者r∈K= max g2(q2); (8) {1,2,…,m+n+o+s}的决策g,据具体情境定 s.t.q2∈22，q∈2 义同层的其他决策者或整个系统其他决策者的决策 组合为9-r… 由于22与22均为多面体，虽（满足子= (强，q2:)∈2，蛋∈2)为非线性优化模型(8)最 2.1生产者企业的利润优化行为和均衡条件 设p1表示生产者企业从原材料市场处采购的 优解的必要条件可表示为如下变分不等式： 单位原材料价格，22表示生产者企业售予消费者 企业关于新主产品的单位价格，p3表示生产者企 -0g42(q-)≥0 a(q2) 业售予消费者企业关于其副产品的单位价格，p24 q∈2，q2=(qi,2)∈22. (9) 表示生产者企业售予分解者企业其废弃物的单位价 格，p25表示生产者企业售予消费者企业关于再制 在函数g(q)为q的凹函数的情况下，式（⑨） 造主产品的单位价格.对每个生产者企业而言，决 也为充要条件.设 策变量为q?=(q,g3,q5).因此，对生产者企业 i而言，从理性经济人的研究假设出发，以实现利 (10) 润最大化为目标，其利润最大化的目标函数为 则可将所有生产者企业的变分不等式整合为 听a)-暗+2号+正嘘- -0gg(g2-)≥0. a(q2) (11) p--p破-g)- 其中，g2(q2)=(g1(q2),9(q2),…,9品(q2).同时， 可得以下引理. g)-g)-[(,a)+ 引理1对每个生产者企业i∈{1,2，…，m}, 式（⑨）为式（⑧）的必要条件：如函数9(q)为q的 (g,a3)+5(g,a45)] (1) 凹函数，则式（⑨）为式（⑧）的充要条件. 需满足约束条件： 引理2对每个生产者企业i∈{1,2，…，m, 式(11)为式(9)的充分条件；如函数g(q)为q '9”=∑（新主产品产销平衡 (2) 的凹函数，则式(11)为式（⑧）的充分条件. 证明：仅需证明第一个结论即可.对于每个 a-∑暗剧产品产销平衡， (3) 企业i∈{1,2，…，m}而言，取q2=(q,记)∈ 1 2n22,代入式(11)便可得到式(9)成立.定理得 证. 4ag-∑（废弃物产销平衡）， (4) k=1 2.2消费者企业的利润优化行为和均衡条件 a带+a-∑后（再制造主产品产销平衡. 设2表示消费者企业售予需求市场关于产品 的单位价格，33表示消费者企业售予生产者企业 j=1 (5) 其副产品的单位价格，34表示消费者企业售予分 定义满足上述条件且非负的的可行域为 解者企业其废弃物的单位价格.消费者企业方的决 .由于所有生产者企业共享副产品和有用材料， 策变量为q=(g,g,q),其利润最大化的目标 需满足 函数为 -学+ (6) =++- =1 l=1 1 11
第 9 期 刘国山等：生态产业共生网络均衡模型 1225 ·· 再产生副产品和废弃物； (7) 所有企业均为理性经济人即追求自身利益 最大化。 记 q = ¡ q 2 , q 3 , q 4 , q 5 ¢ 为模型的决策变量. 为 便于建立模型，将决策变量 q 按决策主体改写为 q˜ = ( ˜q1, q˜2, · · · , q˜m+n+o+s). 同时，假设涉及的所 有函数均二次连续可微. 对任意决策者 r ∈ K = {1, 2, · · · , m + n + o + s} 的决策 q˜r，据具体情境定 义同层的其他决策者或整个系统其他决策者的决策 组合为 q˜−r. 2.1 生产者企业的利润优化行为和均衡条件 设 ρ 11 表示生产者企业从原材料市场处采购的 单位原材料价格，ρ 22 表示生产者企业售予消费者 企业关于新主产品的单位价格，ρ 23 表示生产者企 业售予消费者企业关于其副产品的单位价格，ρ 24 表示生产者企业售予分解者企业其废弃物的单位价 格，ρ 25 表示生产者企业售予消费者企业关于再制 造主产品的单位价格. 对每个生产者企业 i 而言，决 策变量为 q 2 i = (q 11 i , q 33 i , q 45 i ). 因此，对生产者企业 i 而言，从理性经济人的研究假设出发，以实现利 润最大化为目标，其利润最大化的目标函数为 g 2 i (q 2 ) = Xn j=1 ρ 22q 22 ij + Xn j=1 ρ 23q 23 ij + Xo k=1 ρ 25q 25 ik − ρ 11q 11 i − Xn j=1 ρ 33q 33 ji − Xo k=1 ρ 45q 45 ki − c 11 i (q 11)− Xn j=1 c 33 ji (q 33) − Xo k=1 c 45 ki (q 45) − h f 11 i ¡ q 11 i , α11 i ¢ + f 33 i ¡ q 33 i+, α33 i ¢ + f 45 i ¡ q 45 i+, α45 i ¢ i . (1) 需满足约束条件: α 11 i q 11 i = Xn j=1 q 22 ij (新主产品产销平衡), (2) β 23 i α 11 i q 11 i = Xn j=1 q 23 ij (副产品产销平衡), (3) β 24 i α 11 i q 11 i = Xo k=1 q 24 ik (废弃物产销平衡), (4) α 33 i q 33 i+ + α 45 i q 45 i+ = Xn j=1 q 25 ij (再制造主产品产销平衡). (5) 定义满足上述条件且非负的 q 2 i 的可行域为 Ω˜ 2 i . 由于所有生产者企业共享副产品和有用材料， 需满足 Xm i=1 q 33 i+ = Xn j=1 β 33 j (α 22 j q 22 j+ + α 23 j q 23 j+), (6) Xm i=1 q 45 i+ = Xo k=1 α 24 k q 24 k+ + Xo k=1 α 34 k q 34 k+. (7) 定义满足上述要求的 q 2 的可行域为 Ω 2 . 式 (6) 与式 (7) 仅整体上要求供需平衡，属于宽松约束. 对 每个企业 i ∈ {1, 2, · · · , m}，其决策的优化模型为 max q 2 i g 2 i (q 2 ); s.t. q 2 ∈ Ω 2 , q 2 i ∈ Ω˜ 2 i . (8) 由于 Ω 2 与 Ω˜ 2 i 均为多面体，q˜ 2 i (满足 q˜ 2 = ( ˜q 2 i , q 2 −i ) ∈ Ω 2 , q˜ 2 i ∈ Ω˜ 2 i ) 为非线性优化模型 (8) 最 优解的必要条件可表示为如下变分不等式： −∂g2 i (q 2 ) ∂(q 2 i ) (q 2 i − q˜ 2 i ) > 0, ∀q 2 i ∈ Ω˜ 2 i , q 2 = (q 2 i , q˜ 2 −i ) ∈ Ω 2 . (9) 在函数 g 2 i (q 2 ) 为 q 2 i 的凹函数的情况下，式 (9) 也为充要条件. 设 Ω˜ 2 = Ym i=1 Ω˜ 2 i , (10) 则可将所有生产者企业的变分不等式整合为 −∂g2 i (q 2 ) ∂(q 2) (q 2 − q˜ 2 ) > 0. (11) 其中，g 2 (q 2 ) = (g 2 1 (q 2 ), g2 2 (q 2 ), · · · , g2 m(q 2 )). 同时， 可得以下引理. 引理 1 对每个生产者企业 i ∈ {1, 2, · · · , m}， 式 (9) 为式 (8) 的必要条件；如函数 g 2 i (q 2 ) 为 q 2 i 的 凹函数，则式 (9) 为式 (8) 的充要条件. 引理 2 对每个生产者企业 i ∈ {1, 2, · · · , m}， 式 (11) 为式 (9) 的充分条件；如函数 g 2 i (q 2 ) 为 q 2 i 的凹函数，则式 (11) 为式 (8) 的充分条件. 证明 : 仅需证明第一个结论即可. 对于每个 企业 i ∈ {1, 2, · · · , m} 而言，取 q 2 = (q 2 i , q˜ 2 −i ) ∈ Ω˜ 2 ∩ Ω 2 , 代入式 (11) 便可得到式 (9) 成立. 定理得 证. 2.2 消费者企业的利润优化行为和均衡条件 设 ρ 32 表示消费者企业售予需求市场关于产品 的单位价格，ρ 33 表示消费者企业售予生产者企业 其副产品的单位价格，ρ 34 表示消费者企业售予分 解者企业其废弃物的单位价格. 消费者企业 j 的决 策变量为 q 3 j = (q 22 j , q 23 j , q 25 j )，其利润最大化的目标 函数为 g 3 j (q 3 ) = Xs l=1 ρ 32q 32 jl + Xm i=1 ρ 33q 33 ji + Xo k=1 ρ 34q 34 jk−
·1226 北京科技大学学报 第35卷 略-云产暗-暗-- 与21节相似，可得如下引理。 引理3对每个消费者企业j∈{1,2，·，n}, 式(20)为式(19)的必要条件：如函数g(q)为q 三9-∑w- 的凹函数，则式(20)为式(19)的充要条件. 引理4对每个消费者企业j∈{1,2，…，n}, [(驿，)+f(,)+(,】 式(22)为式(20)的充分条件：如函数g（(q)为q (12) 的凹函数，则式(22)为式(19)的充分条件. 需满足约束条件： 2.3分解者企业的利润优化行为和均衡条件 驿+学弹+弹=∑（产品产销平衡）， 设p5表示分解者企业售予生产者企业单位有 =1 用材料的价格.分解者企业k的决策变量为q= (13) (q,q),其利润最大化的目标函数为 ”(o驿+醉)=∑》副产品产销平衡 i=1 (14) a）-∑p5g-P2-∑pg- 0 -1 =1 1 (a子驿+驿)-∑（废弃物产销平衡）. k=1 (15) 三a-2g-儿区(a+ 定义满足上述要求且非负的q的可行域为2？.对 所有消费者企业同样满足： f4(g4,a4)] (23) 需满足产销平衡条件： (16) j=1 i=1 a2q4+a24-∑9 (24) i=1 ∑-∑ag, (17) 1=1 1=1 定义满足式(24)的非负q的可行域为2.对所有 ∑原-a0+a5 分解者企业，需满足条件： (18) i=l (25) 定义满足上述要求的关于g的可行域为23 =1 因此对每个消费者企业方∈{1,2，·，n},其决策的 优化模型为 上-29a”+agq (26) k=1 j=1 max g(q3); (19) 定义满足上述要求的q的可行域为2。对于每个 s.t.q3∈23，g∈2 分解者企业k,其决策的优化模型为 由于23与2均为多面体，为上述非线性 max g(q); qk (27) 优化模型最优解的必要条件可表示为如下变分不等 s.t.q∈24，qk∈24 式： 由于24与2均为多面体，为非线性优化 -g(g-≥0，g=g,定，）e0,ge9 模型(27)最优解的必要条件可表示为如下变分不 (20) 等式： 设 3=Π明， (21) -g(a-的≥0，q=(,)e0 ∂(q) 则可将消费者企业需满足的变分不等式整合 q味∈2处 (28) 为 将所有分解者企业的变分不等式进行累加可得 -0gg2(g-g)≥0，g2enn3.(2 a(q3) -gg2(g-)≥0，g:qeD4np4.(29) a(g)
· 1226 · 北 京 科 技 大 学 学 报 第 35 卷 Xm i=1 ρ 22q 22 ij − Xm i=1 ρ 23q 23 ij − Xm i=1 ρ 25q 25 ij − Xm i=1 c 22 ij (q 22)− Xm i=1 c 23 ij (q 23) − Xm i=1 c 25 ij (q 25)− £ f 22 j ¡ q 22 j+, α22 j ¢ + f 23 j ¡ q 23 j+, α23 j ¢ + f 25 j ¡ q 25 j+, α25 j ¢¤ . (12) 需满足约束条件： α 22 j q 22 j+ + α 23 j q 23 j+ + α 25 j q 25 j+ = Xs l=1 q 32 jl (产品产销平衡), (13) β 33 j (α 22 j q 22 j+ + α 23 j q 23 j+) = Xm i=1 q 33 ji (副产品产销平衡), (14) β 34 j (α 22 j q 22 j+ + α 23 j q 23 j+) = Xo k=1 q 34 jk(废弃物产销平衡). (15) 定义满足上述要求且非负的 q 3 j 的可行域为 Ω˜ 3 j . 对 所有消费者企业同样满足： Xn j=1 q 22 j+ = Xm i=1 α 11 i q 11 i , (16) Xn j=1 q 23 j+ = Xm i=1 β 23 i α 11 i q 11 i , (17) Xn j=1 q 25 j+ = Xm i=1 (α 33 i q 33 i+ + α 45 i q 45 i+). (18) 定义满足上述要求的关于 q 3 的可行域为 Ω 3 . 因此对每个消费者企业 j ∈ {1, 2, · · · , n}，其决策的 优化模型为 max q 3 j g 3 j (q 3 ); s.t. q 3 ∈ Ω 3 , q 3 j ∈ Ω˜ 3 j . (19) 由于 Ω 3 与 Ω˜ 3 j 均为多面体，q˜ 3 j 为上述非线性 优化模型最优解的必要条件可表示为如下变分不等 式： −∂g3 j (q 3 ) ∂(q 3 j ) (q 3 j −q˜ 3 j )>0, ∀q 3 = (q 3 j , q˜ 3 −j ) ∈ Ω 3 , q 3 j ∈ Ω˜ 3 j . (20) 设 Ω˜ 3 = Yn j=1 Ω˜ 3 j , (21) 则可将消费者企业需满足的变分不等式整合 为 −∂g3 (q 3 ) ∂(q 3) (q 3 j − q 3 j ) > 0, ∀q 3 ∈ Ω˜ 3 ∩ Ω 3 . (22) 与 2.1 节相似，可得如下引理。 引理 3 对每个消费者企业 j ∈ {1, 2, · · · , n}， 式 (20) 为式 (19) 的必要条件；如函数 g 3 j (q 3 ) 为 q 3 j 的凹函数，则式 (20) 为式 (19) 的充要条件. 引理 4 对每个消费者企业 j ∈ {1, 2, · · · , n}， 式 (22) 为式 (20) 的充分条件；如函数 g 3 j (q 3 ) 为 q 3 j 的凹函数，则式 (22) 为式 (19) 的充分条件. 2.3 分解者企业的利润优化行为和均衡条件 设 ρ 45 表示分解者企业售予生产者企业单位有 用材料的价格. 分解者企业 k 的决策变量为 q 4 k = (q 24 k , q 34 k )，其利润最大化的目标函数为 g 4 k (q 4 ) = Xm i=1 ρ 45q 45 ki − Xm i=1 ρ 24q 24 ik − Xn j=1 ρ 34q 34 jk− Xm i=1 c 24 ik (q 24)− Xn j=1 c 34 jk(q 34) − h f 24 k ¡ q 24 k+, α24 k ¢ + f 34 k ¡ q 34 k+, α34 k ¢ ¤. (23) 需满足产销平衡条件: α 24 k q 24 k+ + α 34 k q 34 k+ = Xm i=1 q 45 ki . (24) 定义满足式 (24) 的非负 q 4 k 的可行域为 Ω˜ 4 k . 对所有 分解者企业，需满足条件： Xo k=1 q 24 k+ = Xm i=1 β 24 i α 11 i q 11 i , (25) Xo k=1 q 34 k+ = Xn j=1 β 34 j (α 22 j q 22 j+ + α 23 j q 23 j+). (26) 定义满足上述要求的 q 4 的可行域为 Ω 4。对于每个 分解者企业 k，其决策的优化模型为 max q 4 k g 4 k (q 4 ); s.t. q 4 ∈ Ω 4 , q 4 k ∈ Ω˜ 4 . (27) 由于 Ω 4 与 Ω˜ 4 k 均为多面体，q˜ 4 k 为非线性优化 模型 (27) 最优解的必要条件可表示为如下变分不 等式： −∂g4 k (q 4 ) ∂(q 4 k ) (q 4 k − q˜ 4 k ) > 0, q 4 = (q 4 k , q˜ 4 −k ) ∈ Ω 4 , q 4 k ∈ Ω˜ 4 k . (28) 将所有分解者企业的变分不等式进行累加可得 −∂g 4 (q 4 ) ∂(q 4) (q 4 − q˜ 4 ) > 0, ∀q 4 : q 4 ∈ Ω˜ 4 ∩ Ω 4 . (29)
第9期 刘国山等：生态产业共生网络均衡模型 ·1227· 其中， 引理8对每个需求市场1∈{1,2，·，s},式 (30) (36)为式(34)的充分条件：如函数g(q)为gi的 k=1 凸函数，则式(36)为式(34)的充分条件 可得以下引理 2.5生态产业共生网络均衡及其性质 引理5对每个分解者企业k∈{b2,…,o},式 定义 (28)为式(27)的必要条件：如函数g(q)为q的 凹函数，则式(28)为式(27)的充要条件 2={qg2e22n22,q3e23n23,ge2n2, 引理6对每个分解者企业k∈{b2,·,o},式 q5e21, (38) (29)为式(28)的充分条件；如函数g(q)为q的 凹函数，则式(29)为式(27)的充分条件. g(q)=(-g(q),-g3(q3),-g(q)g(g).(39) 2.4需求市场的均衡条件 将各企业及需求市场的优化问题的最优条件进行组 需求市场的消费者在购买产品时不仅考虑产 合可构成如下变分不等式： 品价格而且考虑购买产品自身所需支付的交易费 用.设每个需求市场的需求决策变量为 ag@g-q)≥0，g∈n. 0q (40) qi=qi2, (31) 定理1设 其成本函数为 2={glg2∈22，g3∈3，q∈24，g5e2},(41) 7(q)=p2∑+∑c(q2). (32) 则有2=立. j=1 11 证明：仅需证明22C2,23C立及24C立. 需求市场在满足如下产品需求量（式(33）)的前提 关于22，主要包括： 下需最小化成本函数（式(32）)： ∑=d 三-a呼+呼 33) j=1 j= 其中，d代表需求市场l的产品需求。定义满足式 三-三a2+o (33)的非负g的可行域为25.因此，需求市场1 其中第一个等式包含于3，第二个等式包含于2， 的决策优化模型为 则可证明 min g(q5); 22c2. (34) s.t.qi∈2i. 类似可证明23二2及24二2，定理得证. 定义1称*∈立是生态产业共生网络均 由于25为多面体，或是为非线性优化模型 衡解，如满足 (34)最优解的必要条件可表示为如下变分不等式： agig2(ai-)≥0，vg=(ai,2)e的，3) gr(ar,qr)>gr(ar,qr), ∂(q) Vg=(gr,q,)∈2，r∈K. 其中， 定理2如集合2为紧集，则变分不等式(40) =Π3 (36) 存在解. =1 将所有需求市场所对应的变分不等式进行累加可得 定理3在g()关于变量qr,r∈K为凸的 假设下，如∈2是变分不等式(40)的解，那么 aggg-)≥0，vge, 必为生态产业共生网络均衡解 a(q5) (37) 引理7对每个需求市场1∈{1,2，…，s},式 3数值算例 (35)为式(34)的必要条件：如函数g(q)为q的 假设某生态产业共生网络由2个生产者企业、2 凸函数，则式(35)为式(34)的充要条件. 个消费者企业、2个分解者企业和2个需求市场构
第 9 期 刘国山等：生态产业共生网络均衡模型 1227 ·· 其中， Ω˜ 4 = Yo k=1 Ω˜ 4 k . (30) 可得以下引理. 引理 5 对每个分解者企业 k ∈ {b2, · · · , o}，式 (28) 为式 (27) 的必要条件；如函数 g 4 k (q 4 ) 为 q 4 k 的 凹函数，则式 (28) 为式 (27) 的充要条件. 引理 6 对每个分解者企业 k ∈ {b2, · · · , o}，式 (29) 为式 (28) 的充分条件；如函数 g 4 k (q 4 ) 为 q 4 k 的 凹函数，则式 (29) 为式 (27) 的充分条件. 2.4 需求市场的均衡条件 需求市场的消费者在购买产品时不仅考虑产 品价格而且考虑购买产品自身所需支付的交易费 用. 设每个需求市场的需求决策变量为 q 5 l = q 32 l , (31) 其成本函数为 g 5 l (q 5 ) = ρ 32Xn j=1 q 32 jl + Xn j=1 c 32 jl (q 32). (32) 需求市场在满足如下产品需求量 (式 (33)) 的前提 下需最小化成本函数 (式 (32))： Xn j=1 q 32 jl = dl . (33) 其中，dl 代表需求市场 l 的产品需求。定义满足式 (33) 的非负 q 5 l 的可行域为 Ω˜ 5 l . 因此，需求市场 l 的决策优化模型为 min q 5 l g 5 l (q 5 ); s.t. q 5 l ∈ Ω˜ 5 l . (34) 由于 Ω˜ 5 为多面体，q˜ 5 l 是为非线性优化模型 (34) 最优解的必要条件可表示为如下变分不等式： ∂g5 l (q 5 ) ∂(q 5 l ) (q 5 l − q˜ 5 l ) > 0, ∀q 5 = (q 5 l , q˜ 5 −l ) ∈ Ω˜ 5 , (35) 其中， Ω˜ 5 = Ys l=1 Ω˜ 5 s . (36) 将所有需求市场所对应的变分不等式进行累加可得 ∂g 5 (q 5 ) ∂(q 5) (q 5 − q˜ 5 ) > 0, ∀q 5 ∈ Ω˜ 5 , (37) 引理 7 对每个需求市场 l ∈ {1, 2, · · · , s}，式 (35) 为式 (34) 的必要条件；如函数 g 5 l (q 5 ) 为 q 5 l 的 凸函数，则式 (35) 为式 (34) 的充要条件. 引理 8 对每个需求市场 l ∈ {1, 2, · · · , s}，式 (36) 为式 (34) 的充分条件；如函数 g 5 l (q 5 ) 为 q 5 l 的 凸函数，则式 (36) 为式 (34) 的充分条件. 2.5 生态产业共生网络均衡及其性质 定义 Ω˜ = {q|q 2 ∈ Ω˜ 2 ∩ Ω 2 , q 3 ∈ Ω˜ 3 ∩ Ω 3 , q 4 ∈ Ω˜ 4 ∩ Ω 4 , q 5 ∈ Ω˜ 5 }, (38) g˜(q) = (−g 2 (q 2 ), −g 3 (q 3 ), −g 4 (q 4 ), g 5 (q 5 )). (39) 将各企业及需求市场的优化问题的最优条件进行组 合可构成如下变分不等式： ∂g˜(q) ∂q (q − q ∗ ) > 0, ∀q ∈ Ω˜ . (40) 定理 1 设 Ω¯ = {q|q 2 ∈ Ω˜ 2 , q 3 ∈ Ω˜ 3 , q 4 ∈ Ω˜ 4 , q 5 ∈ Ω˜ 5 }, (41) 则有 Ω¯ = Ω˜ . 证明：仅需证明 Ω 2 ⊆ Ω˜，Ω 3 ⊆ Ω˜ 及 Ω 4 ⊆ Ω˜ . 关于 Ω 2，主要包括： Xm i=1 q 33 i+ = Xn j=1 β 33 j (α 22 j q 22 j+ + α 23 j q 23 j+), Xm i=1 q 45 i+ = Xo k=1 (α 24 k q 24 k+ + α 34 k q 34 k+). 其中第一个等式包含于 Ω˜ 3，第二个等式包含于 Ω˜ 4， 则可证明 Ω 2 ⊆ Ω˜ . 类似可证明 Ω 3 ⊆ Ω˜ 及 Ω 4 ⊆ Ω˜，定理得证. 定义 1 称 q˜ ∗ ∈ Ω˜ 是生态产业共生网络均 衡解，如满足 g˜r( ˜q ∗ r , q˜ ∗ −r ) > g˜r( ˜qr, q˜ ∗ −r ), ∀q = ( ˜qr, q˜ ∗ −r ) ∈ Ω˜ , r ∈ K. 定理 2 如集合 Ω˜ 为紧集，则变分不等式 (40) 存在解. 定理 3 在 g˜r( ˜q) 关于变量 qr, ∀r ∈ K 为凸的 假设下，如 q˜ ∗ ∈ Ω˜ 是变分不等式 (40) 的解，那么 q˜ ∗ 必为生态产业共生网络均衡解. 3 数值算例 假设某生态产业共生网络由 2 个生产者企业、2 个消费者企业、2 个分解者企业和 2 个需求市场构
·1228 北京科技大学学报 第35卷 成，即m=n=0=s=2.不失一般性，设成本函 f24(21,a4)-[(g+】2+a(g影+)： 数为数量变量的二次函数形式且不考虑量纲. 生产者企业i关于由原材料进行生产新主产品 市场需求为 的成本为 f(g,a)-2.5(ag)2+2ag, d1=-2p1-1.5p2+100,d2=-2p2-1.5p1+100. 设交易成本为01可.各转化率参数分别设定为 f(g2,a)=2.5(ag)2+2ag: a1=0.7,a3=0.4,a45=0.5,2=0.2,4=0.1, 生产者企业i由从消费者企业获取的副产品进 行加工的成本为 a2=0.8 (g,a)=2[a(g滑+g1】2+a(g+q), a23=0.4,a25=0.8,g3=0.1,34=0.1, f(g,a3)=2[a(g+q)]+a(q8+g): a24=0.5,a4=0.6. 生产者企业i对分解者企业提供的有用材料重 应用Lingo9.0软件包进行求解（结果保留 加工的再制造成本为 小数点后三位)，生产者企业的决策变量q= f5(g,a45)=3[a5(g+g)】2+a45(g+q), (g,g3,g),其均衡值分别为： f5(g2,a4)-3[a5(q8+g)]2+a4(g8+q): g1*=0.000,i=1,2:qg3*=0.000,g2*=1.407: 消费者企业方对生产者企业新主产品进行深加 g45*=1.235,i=1,2. 工的生产成本为 消费者企业的决策变量q=(q,,q),其均衡 (qǚ，a)-2[a(gǚ+]+a平(gǚ+)， 值分别为： f(降，)-2[(q瞪+)]+（造+路： q2*=0.000,j=1,2:g写*=0.000，j=1,2: 消费者企业关于由生产者企业的副产品进行 g25*=0.617,g25*=1.180. 生产的成本为 f(g路，a3)=[a(gǚ+q强)]+a(gǚ+g强) 分解者企业的决策变量q=(q,4),其均衡值分 别为： f(g路，a)=[(g8+品)]+a(g路+路) g4*=0.000,k=1,2:94=1.235,∀k=1,2 消费者企业j关于由生产者企业的再制造主产 需求市场的决策变量g2,其均衡值分别为： 品进行生产的成本为 (g2,a2)=3[a2(g+g)]+a2(g2+q), 9g2=8.326,1=1,2. 4 结论 (92,2）-3[5(g品+)】+a2(g品+2)： (1)建立了生态产业共生网络的标号系统，描 分解者企业k对生产者企业的废弃物进行分离 述生态产业共生网络各企业优化行为的同时，为研 检测的成本为 究生态产业系统提供了科学规范的研究工具. f4(g4,a2)=a(g+1】+a24(g1+), (2)利用该标号规则，以由生产者企业、消费 者企业、分解者企业和需求市场组成的生态产业 f4(g4,a24)=[a24(g+g)]+a24(g+g): 共生网络为研究对象，分析了整个生态产业共生网 络不同决策者的独立行为及决策者之间相互影响的 分解者企业k对消费者企业的废弃物进行分离 竞争行为，给出生态产业共生网络均衡的确切定义 检测的成本为 并建立了描述生态产业共生网络均衡的变分不等式 f4(g群，a4)=[a4(g+g)]+a(g+g), 模型
· 1228 · 北 京 科 技 大 学 学 报 第 35 卷 成，即 m = n = o = s = 2. 不失一般性，设成本函 数为数量变量的二次函数形式且不考虑量纲. 生产者企业 i 关于由原材料进行生产新主产品 的成本为 f 11 1 ¡ q 11 1 , α11 1 ¢ = 2.5 ¡ α 11 1 q 11 1 ¢2 + 2α 11 1 q 11 1 , f 11 2 ¡ q 11 2 , α11 2 ¢ = 2.5 ¡ α 11 2 q 11 2 ¢2 + 2α 11 2 q 11 2 ; 生产者企业 i 由从消费者企业获取的副产品进 行加工的成本为 f 33 1 ¡ q 33 1+, α33 1 ¢ = 2 £ α 33 1 (q 33 11 + q 33 21) ¤2 + α 33 1 (q 33 11 + q 33 21), f 33 2 ¡ q 33 2+, α33 2 ¢ = 2 £ α 33 2 (q 33 12 + q 33 22) ¤2 + α 33 2 (q 33 12 + q 33 22); 生产者企业 i 对分解者企业提供的有用材料重 加工的再制造成本为 f 45 1 ¡ q 45 1+, α45 1 ¢ = 3 £ α 45 1 (q 45 11 + q 45 21) ¤2 + α 45 1 (q 45 11 + q 45 21), f 45 2 ¡ q 45 2+, α45 2 ¢ = 3 £ α 45 2 (q 45 12 + q 45 22) ¤2 + α 45 2 (q 45 12 + q 45 22); 消费者企业 j 对生产者企业新主产品进行深加 工的生产成本为 f 22 1 ¡ q 22 1+, α22 1 ¢ = 2 £ α 22 1 (q 22 11 + q 22 21) ¤2 + α 22 1 (q 22 11 + q 22 21), f 22 2 ¡ q 22 2+, α22 2 ¢ = 2 £ α 22 2 (q 22 12 + q 22 22) ¤2 + α 22 2 (q 22 12 + q 22 22); 消费者企业 j 关于由生产者企业的副产品进行 生产的成本为 f 23 1 ¡ q 23 1+, α23 1 ¢ = £ α 23 1 (q 23 11 + q 23 21) ¤2 + α 23 1 (q 23 11 + q 23 21), f 23 2 ¡ q 23 2+, α23 2 ¢ = £ α 23 2 (q 23 12 + q 23 22) ¤2 + α 23 2 (q 23 12 + q 23 22); 消费者企业 j 关于由生产者企业的再制造主产 品进行生产的成本为 f 25 1 ¡ q 25 1+, α25 1 ¢ = 3 £ α 25 1 (q 25 11 + q 25 21) ¤2 + α 25 1 (q 25 11 + q 25 21), f 25 2 ¡ q 25 2+, α25 2 ¢ = 3 £ α 25 2 (q 25 12 + q 25 22) ¤2 + α 25 2 (q 25 12 + q 25 22); 分解者企业 k 对生产者企业的废弃物进行分离 检测的成本为 f 24 1 ¡ q 24 1+, α24 1 ¢ = £ α 24 1 (q 24 11 + q 24 21) ¤2 + α 24 1 (q 24 11 + q 24 21), f 24 2 ¡ q 24 2+, α24 2 ¢ = £ α 24 2 (q 24 12 + q 24 22) ¤2 + α 24 2 (q 24 12 + q 24 22); 分解者企业 k 对消费者企业的废弃物进行分离 检测的成本为 f 34 1 ¡ q 34 1+, α34 1 ¢ = £ α 34 1 (q 34 11 + q 34 21) ¤2 + α 34 1 (q 34 11 + q 34 21), f 34 2 ¡ q 34 2+, α34 2 ¢ = £ α 34 2 (q 34 12 + q 34 22) ¤2 + α 34 2 (q 34 12 + q 34 22); 市场需求为 d1 = −2ρ1 − 1.5ρ2 + 100, d2 = −2ρ2 − 1.5ρ1 + 100. 设交易成本为 0 [15] . 各转化率参数分别设定为 α 11 i = 0.7, α33 i = 0.4, α45 i = 0.5, β23 i = 0.2, β24 i = 0.1, α 22 j = 0.8, α 23 j = 0.4, α25 j = 0.8, β33 j = 0.1, β34 j = 0.1, α 24 k = 0.5, α34 k = 0.6. 应用 Lingo 9.0 软件包进行求解 (结果保留 小数点后三位)， 生产者企业的决策变量 q 2 i = (q 11 i , q33 i , q45 i )，其均衡值分别为： q 11∗ i = 0.000, ∀i = 1, 2; q 33∗ 1 = 0.000, q33∗ 2 = 1.407 : q 45∗ i = 1.235, ∀i = 1, 2. 消费者企业的决策变量 q 3 j = (q 22 j , q23 j , q25 j )，其均衡 值分别为： q 22∗ j = 0.000, ∀j = 1, 2; q 23∗ j = 0.000, ∀j = 1, 2; q 25∗ 1 = 0.617, q25∗ 2 = 1.180. 分解者企业的决策变量 q 4 k = (q 24 k , q34 k )，其均衡值分 别为： q 24∗ k = 0.000, ∀k = 1, 2; q 34∗ k = 1.235, ∀k = 1, 2. 需求市场的决策变量 q 32 l ，其均衡值分别为： q 32∗ l = 8.326, ∀l = 1, 2. 4 结论 (1) 建立了生态产业共生网络的标号系统，描 述生态产业共生网络各企业优化行为的同时，为研 究生态产业系统提供了科学规范的研究工具. (2) 利用该标号规则，以由生产者企业、消费 者企业、分解者企业和需求市场组成的生态产业 共生网络为研究对象，分析了整个生态产业共生网 络不同决策者的独立行为及决策者之间相互影响的 竞争行为，给出生态产业共生网络均衡的确切定义 并建立了描述生态产业共生网络均衡的变分不等式 模型
第9期 刘国山等：生态产业共生网络均衡模型 ·1229· (③)在生产成本及交易成本均为凸函数的假设 terfactual analysis of a mining community.J Clean Prod. 下，证明了变分不等式的解也为生态产业共生网络 2007,15(17):1696 均衡解并构造数值算例以验证模型. [7]Dafermos S.Traffic equilibrium and variational inequali- 以后的研究将利用此数学模型继续探讨生态 ties.Transp Sci,1980,14(1):42 产业园区的形成和发展；尝试以交通网络均衡角度 [8]Liu Z G,Nagurney A.Multiperiod competitive supply 进一步研究衍生的复杂网络的有效求解方法 chain networks with inventorying and a transportation network equilibrium reformulation.Optim Eng,2012, 13(3):471 参考文献 [9]Nagurney A,Toyasaki F.Reverse supply chain manage ment and electronic waste recycling:a multitiered network [1]Xu D W,Wang Z Y,Li Y W.Study on descend mutual- equilibrium framework for e-cycling.Transp Res Part E. circular material flow of industrial eco-chain based on in- 2005,41(1):1 dustrial metabolism.Environ Sci Technol,2005,28(2): [10 Nagurney A.On the relationship between supply chain 43 and transportation network equilibria:a supernetwork (徐大伟，王子彦，李亚伟.基于工业代谢的工业生态链梯 equivalence with computations.Transp Res Part E,2006. 级循环物质流研究.环境科学与技术，2005,28(2)：43) 42(4),293 [2]Li Y S,Yu S J,Wang J H.Analysis of stable factors of [11]Nagurney A,Cruz J,Toyasaki F.Statics and dynamics of ecological-industrial chain and management countermea- global supply chain networks with environmental decision- sures research.J Hebei Univ Technol,2008,37(5):48 making//Game Theory and Equilibria.Berlin:Springer, (李艳双，于树江，王军花.生态产业链稳定性因素分析及 管理对策研究.河北工业大学学报，2008,37（⑤）：48) 2008:803 [3 Chen CF.Research on the Stability of Ecological Industry [12]Cruz J M.Dynamics of supply chain networks with corpo- Chain Based on Evolutionary Game [Dissertation].Hefei: rate social responsibility through integrated environmen- Hefei University of Technology,2010 tal decision-making.Eur J Oper Res,2008,184(3):1005 (陈翠芳.基于进化博弈的生态工业链稳定性研究[学位论 [13]Daniel P.Variational inequalities for evolutionary finan- 文].合肥：合肥工业大学，2010) cial equilibrium /Innovations in Financial and Eco. [4]Li J H.Research on synergistic profit allocation of eco- nomic Networks.Cheltenham:Edward Elgar Publishing, industrial chain network structure.J Xidian Univ Soc 2003 Sci Ed2011,21(3):56 [14]Nagurney A,Dong J.Management of knowledge inten- (李继宏.生态产业链网结构的协同收益分配研究.西安电 sive systems as supernetworks:modeling,analysis,com- 子科技大学学报：社会科学版，2011,21(3)：56) putations,and applications.Math Comput Modell,2005, 5]Hardy C,Graedel TE.Industrial ecosystems as food webs. 42(3/4):397 J Ind Ecol,2002,6(1:29 [15]Yang G.Wang Z,Li X.The optimization of the closed-loop [6]Salmi O.Eco-efficiency and industrial symbiosis-a coun- supply chain network.Transp Res Part E,2009,45(1):16
第 9 期 刘国山等：生态产业共生网络均衡模型 1229 ·· (3) 在生产成本及交易成本均为凸函数的假设 下，证明了变分不等式的解也为生态产业共生网络 均衡解并构造数值算例以验证模型. 以后的研究将利用此数学模型继续探讨生态 产业园区的形成和发展; 尝试以交通网络均衡角度 进一步研究衍生的复杂网络的有效求解方法. 参 考 文 献 [1] Xu D W, Wang Z Y, Li Y W. Study on descend mutualcircular material flow of industrial eco-chain based on industrial metabolism. Environ Sci Technol, 2005, 28(2): 43 (徐大伟, 王子彦, 李亚伟. 基于工业代谢的工业生态链梯 级循环物质流研究. 环境科学与技术, 2005, 28(2): 43) [2] Li Y S, Yu S J, Wang J H. Analysis of stable factors of ecological-industrial chain and management countermeasures research. J Hebei Univ Technol, 2008, 37(5): 48 (李艳双, 于树江, 王军花. 生态产业链稳定性因素分析及 管理对策研究. 河北工业大学学报, 2008, 37(5): 48) [3] Chen C F. Research on the Stability of Ecological Industry Chain Based on Evolutionary Game [Dissertation]. Hefei: Hefei University of Technology, 2010 (陈翠芳. 基于进化博弈的生态工业链稳定性研究 [学位论 文]. 合肥: 合肥工业大学, 2010) [4] Li J H. Research on synergistic profit allocation of ecoindustrial chain network structure. J Xidian Univ Soc Sci Ed, 2011, 21(3): 56 (李继宏. 生态产业链网结构的协同收益分配研究. 西安电 子科技大学学报: 社会科学版, 2011, 21(3): 56) [5] Hardy C, Graedel T E. Industrial ecosystems as food webs. J Ind Ecol, 2002, 6(1): 29 [6] Salmi O. Eco-efficiency and industrial symbiosis-a counterfactual analysis of a mining community. J Clean Prod, 2007, 15(17): 1696 [7] Dafermos S. Traffic equilibrium and variational inequalities. Transp Sci, 1980, 14(1): 42 [8] Liu Z G, Nagurney A. Multiperiod competitive supply chain networks with inventorying and a transportation network equilibrium reformulation. Optim Eng, 2012, 13(3): 471 [9] Nagurney A, Toyasaki F. Reverse supply chain management and electronic waste recycling: a multitiered network equilibrium framework for e-cycling. Transp Res Part E, 2005, 41(1): 1 [10] Nagurney A. On the relationship between supply chain and transportation network equilibria: a supernetwork equivalence with computations. Transp Res Part E, 2006, 42(4), 293 [11] Nagurney A, Cruz J, Toyasaki F. Statics and dynamics of global supply chain networks with environmental decisionmaking // Game Theory and Equilibria. Berlin: Springer, 2008: 803 [12] Cruz J M. Dynamics of supply chain networks with corporate social responsibility through integrated environmental decision-making. Eur J Oper Res, 2008, 184(3): 1005 [13] Daniel P. Variational inequalities for evolutionary financial equilibrium // Innovations in Financial and Economic Networks. Cheltenham: Edward Elgar Publishing, 2003 [14] Nagurney A, Dong J. Management of knowledge intensive systems as supernetworks: modeling, analysis, computations, and applications. Math Comput Modell, 2005, 42(3/4): 397 [15] Yang G, Wang Z, Li X. The optimization of the closed-loop supply chain network. Transp Res Part E, 2009, 45(1): 16