多元累积和控制图及其诊断理论

D0I:10.13374j.isl001-03x.1998.04.013 第20卷第4期 北京科技大学学报 Vol.20 No.4 1998年8月 Journal of University of Science and Technology Beijing Aug.1998 多元累积和控制图及其诊断理论 刘艳永张公绪 北京科技大学管理学院，北京100083 摘要论述了多元累积和控制图的有关内容，提出了2种质量多元累积和控制图的诊断理论，年 与多元T控制图进行了比较，最后通过1个实例对诊断理论的应用加以说明 关键词质量控制/多元累积和控制图；多元选控累积和控制图：2种质量诊断理论；平均链长 分类号C931.1 1954年E S Peng提出了一元累积和控制图，其特点是它不仅利用了当前样本点的信 息，而且充分利用了所有样本点的信息，从而能将微弱的信息累积起来，在诊断过程的小变动 方面比休哈特控制图灵敏，实际应用前景广泛，在现场，多工序、多指标生产线比比皆是，因此 人们很自然地去研究多元累积和控制图问题，而这要比一元累积和控制图问题复杂得多，本 文论述了多元累积和控制图的有关内容，讨论了多元累积和控制图与一元累积和控制图的关 系，应用2种质量诊断理论（张公绪1982,1984）的思想，提出了2种质量多元累积和控制图的 诊断理论，并与多元T控制图进行了比较，最后给出了一个应用实例. 1多元累积和控制图 平均链长(Average Run Length,ARL)是评价控制图优劣的一个重要标准，其含义是当 过程发生变动后，从开始抽样到控制图显示异常所抽取的平均样本数.因此ARL越小，其判 断异常的能力越强，控制图越灵敏，后面我们会经常用到它， 1.1一元累积和公式 一元累积和控制图的理论基础是序贯分析原理.设x,x,…是一来自正态总体M4,) 的样本容量为1的独立观测序列（当样本容量大于1时，方法类似）.为检验过程均值的变化， 需做假设H,:4=4。,H,:4,=4。±ò0，其中ò>0为欲检验的均值的偏移量，正号指向上偏移， 负号指向下偏移.其累积和形式分别为 Ska=max0,Sum-1+Z。-K,Sm=min0.Sm-1+乙n+K. 其中，Zn=(c,一4，)/o,K为参考值，初始值0≤SoS。<h,h为决策值.当Smh或S<- h时，说明过程发生了偏移.由序贯分析原理可得K=6/2,h=-la/6,α为犯【类错误的 概率.对于累积和控制图，K与h的选取原则是：当过程乏控时，其ARL尽量大；当过程异常 时，其ARL尽量小.根据经验，常取K=0.5,h=4或4.5，这可使得检验效率很高，同时使犯I 类错误的概率较小 199710-29收稿刘艳永男，33岁，讲师，博士 ·国家自然科学基金资助课题

DOI: 10. 13374 /j . issn1001 -053x. 1998. 04. 013

Vol.20 No.4 刘艳永等：多元积累和控制图及其诊断理论 ·405 124,己知时的多元累积和控制图 Woodall&Ncube首先研究了多元累积和控制图u.设X,X,…是来自多元正态总体N, (仙，S)的一独立观测序列，当过程受控时均值向量4=4。，而当过程异常时4=4，分布的协 方差Σ保持不变且已知.为此做假设H:4=4H:u=4,他们将p个变元分别独立考虑，得 到如下累积和形式： S..max0,S.-+Z-K),L=min(o,L=+Z+k)i=1,2..p 其中，乙n=(m-4)10,K=6,/2,0≤Sh,或Lh 其中，a=(4,-4)S-/D,K=D/2为参考值，D=[(41-4)Σ-'(41-4为4与41 间的马氏距离，初始值0≤SH时，挖制图显示异常.Pignatiello& Runger的累积和MC2的形式为：MC2,=max0,MC2.,+T-K3,初始值0≤MC2,H时，控制图显示异常， 多元累积和控制图COT与MC2在构造过程中都借用了Hotelling的T统计量，将T,(或 T)的值与参考值K相比较后进行累积，从而将微弱的变化信息累积起来，可以很快地发现过 程的变动情况.它们的另一特点是ARL的大小依赖于4,4，与仅仅通过D来表现，即与4，具 有相同马氏距离的4，其ARL相同.与多元T控制图相比较，它们的ARL小得多，表1给出 了COT,MC2与T控制图的部分ARL数据，从中可以看出COT与MC2的性能几乎相同. 从应用的角度看，COT与MC2比Healy和Woodall与Ncube"的多元累积和控制图更 为实用，因为不需要事先知道有关均值的变化情况，只需要了解均值是否发生变化及其变化 量.然而，当COT与MC?图显示异常时，不能指出是哪个（哪些）变量所引起的，换言之，即不 能进行诊断，这就是本文所要解决的.出于COT与MC2控制图在构造与性状上基本相同，因 此我们以MC2为研究对象

·406· 北京科技大学学报 1998年第1期 表1多元积累和COT,MC2与T控制图部分ARL数据 p=2 p=3 P=4 D COT MC2 T COT MC2 T COT MC2 73 0.0 200.1 200.3 200.3 200.2 199.7 201.1 201.1 200.2 200.8 0.5 85.5 85.3 115.7 96.0 95.8 129.8 127.8 126.9 162.0 1.0 22.3 22.1 42.0 27.2 27.0 52.6 49.1 49,1 92. l.5 9.0 8.9 15.8 10.8 11.0 20.5 21.2 21.5 44.7 2.0 5.0 4.9 6.9 5.9 6.0 8.8 11.9 11.8 20.6 2.5 3.3 3.2 3.5 4.0 3.9 4.4 7.4 7.5 9.9 3.0 2.4 2.4 2.2 2.8 2.8 2.6 5.4 5.3 5. =1.41 K=2.50 UCL= =1.73 K=3.50 UCL= K=3.16 =10.5UCL= 14.04 1=13.5 10.60 4.62 1=17.4 12.85 =5.86 f38.125.20 2多元累积和控制图的诊断 我们考虑多元均值累积和的形式为：MS。=max{0,MS,-1+T-K.设所控制过程共 值的变化量为D,参考值K取P+D/2,决策值H由受控状态下的ARL,决定（如若ARL= 200,D=1,则p=2时H=13.5,p=3时H=17.4等).当MS>H时，控制图显示异常，说明 过程均值已发生变化，且变化量至少为D. 现在的问题是，累积和控制图MS的异常是由p个变量中哪个（哪些）造成的？本文试图 应用张公绪提出的2种质量诊断理论：~来解决这个问题.基本思路是：通过总质量与分质 量的对比来进行诊断.在多元情形下，总质量由多元累积和图描述，分质量由选控多元累积和 图描述.步骤如下：(1)构造多元选控T值；(2)对每个选控值做选控累积和；(3)比较各个选 控累积和值选择最可能异因；(4)除X外的其他异因.我们考察选控累积和MS,=mx0, MS-+T,-K,初始值MS=0,参考值K,=p-I)+D12.选择决策值H使该 累积和受控状态下的ARL,与p个分量时的ARL,相同.在累积过程中I≤n≤N,若有MS, >H则说明除X,外还有其他异因，需重复上述步骤()~(4)，从而找到异因集；若对任意的n 都满足MS,≤H,则说明异因只有X,对它进行调整即可. 3一个应用实例 为了说明多元累积和控制图诊断理论的应用，我们给出了1个实例，其维数为3，均值向 0.858-0.084 0.113 量为：u=(-0.29,0.18,-0.15):样本协方差矩阵S 0.084 0.429 -0.048 0.113-0.048 2.016 表2是受控状态下过程的均值、T值及累积和值，T控制图的上控线UCL=12.84,累积 和控制图的参考值K=3.5,决策值H=17.40,它们的ARL皆为200.从结果可以看出过程 确实处于控制状态，图I(a),(b)是其相应的控制图. 表3是过程发生了变化后的数据，第3个分量x,增加了0.55，其余两分量未变.T控制图

Vol.20 No.4 刘艳永等：多元积累和控制图及其诊断理论 ·407· 的上控线仍为UCL=12.84.累积和控制图的决策值仍为H=17.40,参考值K=3.5,它们的 ARL皆为200.从计算的结果得出，T控制图未发现异常，其值都在控制线以内：而累积和控 制图从第10个点起，其值超过决策值出现异常，由此可知，在诊断过程的小变动方面，多元累 积和图比多元T控制图灵敏 表2过程受控下的数据（均值，下值及累积和值） V: 累积和 No T: 累积和 1 -14692-0.2529-0.30012.419 0.00 0.1666-0.8551-0.65672.7952.20 2 0.30250.5790-1.21871.517 0.00 2 -0.9658-0.6752-2.42095.114 3.80 0.66590.1684-1.94562.9I5 0.00 13 -0.2130 0.3616 0.12210.130 0.45 -0.08430.20100.97710.662 0.00 14 1.8250-0.03660.51155.287 2.24 5 -2.36820.6376-0.57595.198 1.70 15 -0.1940-0.36751.38051.783 0.52 6 -0.34840.5824-0.92340.645 0.00 16 0.14560.7588-1.87332.628 0.00 7 -1.42961.62710.87066.681 3.08 17 0.51740.9515-1.29553.169 0.00 -0.75860.27752.17373.120 2.70 18 -0.64740.3971-0.81230.4070.00 -0.7243-0.9831-1.89205.281 4.48 19 08402-0.2524237394.490099 10-0.4582-0.31101.47251.927 2.91 20 -0.57280.8031-0.27520.0000.00 UCL=12.84 1740 43 13 17 21 25 样本号 样本号 图1(a)T控制图；(b)r累积和图 表3过程变化后的数据（均值、了值、累积和值.选控值及选控累积和值） No V: T 累积和T Cul T Cu2 Ts Cu3 0.8716-0.30961.4718 2.94 0.00 1.78 0.00 2.65 0.15 1.91 0.00 、3 -1.0125-0.51092.1028 4.59 1.09 3.47 0.97 3.36 1.01 1.99 0.00 3 0.970)-0.7665-18971 5.44 3.03 3.80 2.27 3.68 2.19 3.47 0.97 4 -1.42551.4331-1.9545 5.81 5.34 5.04 4.80 2.87 2.56 4.60 3.07 1.0278-0.27262.4022 5.04 6.88 3.59 5.89 4.85 4.91 2.27 2.84 6 1.2303-0.5923-1.84215.52 8.90 2.97 6.36 4.48 6.90 3.62 3.96 1 1.0251-0.36202.2905 4.91 10.31 3.50 7.36 4.58 8.98 2.42 3.89 8-1.5018-0.72161.8598 6.35 13.16 3.71 8.57 4.06 10.54 4.19 5.57 9-1.15191.4103-1.4583 4.59 14.25 4.21 10.28 1.58 9.62 3.99 7.06 10-1.5736-0.72521.86636.64 17.69 3.74 11.51 4.31 11.43 4.45 9.00 11-0.6125-0.96043.13758.60 22.498.00 17.01 5.66 14.5y 339 9.98 1-1.28160.52882.10664.30 23.19 190 17.41 3.99 16.08 1.30 8.69

·408· 北京科技大学学报 1998年第4撕 当多元累积和图显示异常时，我们应用前述步骤找出异常因素x,图2(a),(b),(c,(是 其相应的控制图. 25 (a) 00 2(T (b) 0 20 74 1=13.5 15 10 UCL=12.85 UCL=10.6 0 20 10 (c) 15 13.5 13.5 10 LCL=10.6 UCL=10.6 ● 5 10 0 10 15 样本号 样本号 图2选控图及其累积和图：(a)T;(b)T;(c)T;(d)T 4 结论 本文论述了多元累积和控制图的有关内容，提出了两种质量多元累积和控制图的诊断理 论，并与多元T控制图进行了比较，结果表明多元累积和控制图在诊断过程均值小变动方面 比多元T控制图灵敏.本文的实例证实了本文理论与实践是一致的. 参考文献 I Woodall W H.Ncube MM.Multivariate CUSUM Quality Control Procedures.Technometnes.1985. 27:285 2 Healy J D.A Note on Multivariate CUSUM Procedures.Technometrics,1987.29:409 3 Pignatiello J J,Runger G C.Comparisons of Multivariate CUSUM Charts.Joumnal of Quality Technology,1990.22:173 4 Zhang Gongxu.Diagnosing Quality:Theory and Practices.Denmark:MAPP,1996 5张公绪，两种质量诊断理论与工序控制图设计.见：中国质量管理协会第二次年会论文，桂林.1然2 6张公绪选挖图理论与实践北京：人民邮电出版社，1984 Multivariate Cusum Control Chart and Its Diagnosis Theory Liu Yanyong Zhang Gongxu Management School.UST Beijing,Beijing 100083.China ABSTRACT Discussed the multivariate cusum,proposed the diagnosis theory with two kinds of cusum chart and compared with the multivariate T-chart.With a case study as a example is proposed. KEY WORDS quality controls/multivariate CUSUM;multivariate cause-selecting CUSUM; diagnosis theory with two kinds of quality;average run length