Logistic映射数字混沌产生器

D0I:10.13374/j.issn1001-053x.2001.02.02 第23卷第2期 北京科技大学学报 VoL23 No.2 2001年4月 Journal of University of Science and Technology Beijing Apr.2001 L0 gistic映射数字混沌产生器 赵耿郑德玲董冀媛 北京科技大学信息工程学院北京100083 摘要对用于保密通信系统的连续流混沌产生器的原理及可实现性进行分析.在对L0gsc 映射的区间特性分析的基础上，首次研究并实现了一种Logistic映射数字混沌产生器.实验结 果表明，输出混沌信号与logistic映射的分析结果一致，这说明了数字混沌产生器的有效性. 关键字Logistic映射：连续流混沌；数字混沌；混沌产生器 分类号TP273:TN918 混沌保密通信的实质是2个混沌产生器之 x=(1-x)=f4,x) (1) 间通过各种耦合方式实现同步.目前研究中的 由于人口统计值不能为负数，所以0≤x≤1， 混沌产生器主要有连续流混沌产生器和离散映 对于x=0或x=1都有八4，x)=0,即人口绝灭 射混沌产生器.此外还有一种神经网混沌产生 了，这是没有实际意义的动力学行为，所以还必 器，它是由神经网络来产生一个混沌映射函数， 须有0<<1.另外fx)在x=0.5处取最大值l4, 实质上它是离散映射混沌产生器的一个特例. 也即只有当u≤4时，人口统计学才有意义.再考 连续流混沌产生器研究，最著名的有Chua's电 虑到当<1时，(1)式所有的解都趋向0，即人口 路、Lorenz方程的电路，其次还有Rossler系统 最终灭绝，因此真正有意义的动力学行为需满 电路、Duffing(MOF)系统方程电路、Hysteresis电 足条件，0<x<1和1≤μ≤4. 路和Moil电路，离散混沌映射主要有Logistic 下面来考察(1)式的小区间特性. 映射、Henon映射、圆周映射等.但大多数的研 设(1)式具有不动点，则有x1=x,代入(1)式 究依靠这种离散混沌映射产生伪随机序列，实 得：x=0,xa=1-1μ.显然(1)式有2个解.令轨 现数字混沌编码通信系统（如CDMA系统）.文 迹从稍稍偏离x不动点：距离的某点出发，使 献[]指出，采用数字混沌系统进行保密通信， x1=x十8，于是有 比连续混沌系统更易于实现，而且具有较高的 x+e1=4,te)f4,0+⊙型.e, 保密性.文献[2]也指出，从实用的角度看，实际 系统中应用的混沌系统应该是数字的而非模拟 即 ,-0w=S-a (2) Ox: 的.本文分析了ogistic映射特性并首次给出了 这是一个线性陕射，因此只有当满足尝1 Logistic映射数字混沌产生器，旨在实现连续流 条件时，才能保证不动点是稳定的.由(1)式有 混沌产生器的功能，以用于混沌遮掩、混沌调 S=4一2x,将不动点，e代人S,解得： 制、混沌开关等保密通信中 x=0时-1<<1， xa=1-1/μ时1<u<3. 1 Logistic映射区间特性分析 当x=1-1μ时，令S0可得4=2，此时的 为了便于编程和证明数字混沌产生器输出 不动点被称为超稳定点，即朝着不动点吸引子 的信号是Logistic映射的混沌信号，必须对Log- 的收敛是指数速度的.当x=1-1μ或=0， istic映射的区间特性有一个详细的了解.Logis- 4=1时，均有S=1,此时为临界稳定点，一个小 tc映射源于1个人口统计的动力学模型： 小的扰动即可使轨迹从一个不动点移到另一个 不动点.当4=3，S=一1时，存在一个倍周期分 收稿日期200009-23赵耿男，36岁，博士生 叉.稳定的不动点在4=3时，失去其稳定性. ★国家自然科学基金资助项目N0.69772014) 一个周期N的轨迹是指经过N次迭代后，轨

第 2 3卷 第 2期 2 0 0 1 年 4 月 北 京 科 技 大 学 学 报 OJ u nr a l o f U . vi e r s yit o f s c el n e e a n d 工Ce h n o l o yg B eij 恤 g V b L 2 3 N 0 . 2 AP . r 2 0 1 L o gi s it c 映射数字混沌产生器 赵 耿 郑德玲 董冀媛 北京科技大学信息工程学院 , 北京 10 0 0吕3 摘 要 对用于保密通信系统 的连续流混沌产生器 的原理及可实现性进行分析 . 在对 L og i ist 。 映射的区间特性 分析的基础 上 , 首次研究并实现了一种 oL ig s ict 映射数字混沌 产生 器 . 实验结 、 果表明 , 输出混沌信号与 log i ist c 映射的分析结果一致 ,这 说明 了数字混沌产生器 的有效性 关镇 字 L go i ist 。 映射 ; 连续 流混沌 ; 数字混沌 ; 混沌 产生器 分类号 开 27 3 : 侧 9 1 5 混沌保密通信的实质是 2 个混沌产生器之 间通过各种藕合方式 实现 同步 . 目前研究 中的 混沌产生器 主要有连续流混 沌产生器和离散映 射 混沌产生器 . 此外还有一种神经 网混沌产 生 器 , 它是 由神经 网络来产生一个混沌映射 函数 , 实 质上它是 离散 映射混沌 产生器 的一个 特例 . 连续流混沌 产生 器研究 , 最著名 的有 C hi 坦 . 5 电 路 、 L or enz 方 程的 电路 , 其次还有 oR s le r 系统 电路 、 D u if gn (M O )F 系统 方程 电路 、 H ys t e er s is 电 路和 益 。 il 电路 , 离散混沌 映射主要有 L og i ist 。 映射 、 eH on 映射 、 圆周映射等 . 但 大多数的研 究依靠这种 离散 混沌映射产生伪随机序列 , 实 现数字混沌 编码 通信系统 (如 C D M A 系统 ) . 文 献 【1] 指 出 , 采用数字 混沌系统进行保密通信 , 比连续混沌 系统 更易于实现 , 而且具有较高 的 保密性 . 文 献 2[ l也指 出 , 从实用 的角度看 , 实际 系统 中应用的混沌 系统应该是数字的而非模拟 的 . 本文分析 了 log i ist c 映射特性 并首次给 出了 L o ig ist c 映射数字混沌产生器 , 旨在实现连续流 混沌产生器 的功能 , 以用于混沌 遮掩 、 混沌调 制 、 混沌开关 等保密通信 中 . 海 : = 肠( 1一*x) = 加 , *x) ( l) 由于人口 统计值不能为负数 , 所 以 0 ` 及` 1 , 对子 升 = o 或 。 = 1 都有加 , *x) = 0 , 即人 口 绝灭 了 , 这是没有实际意义的动力学行为 , 所 以还必 须有 0 < 朴 < 1 . 另外厂以) 在 x = .0 5 处取最大值叻/4 , 也 即只有 当产` 4 时 , 人 口统计学才有意义 . 再考 虑到 当产l< 时 , (l) 式 所有的解都趋 向 o , 即人 口 最终灭绝 , 因此真正有 意义的动力学行 为需满 足条件 , 0 喊朴 < 1 和 1` 产` 4 . 下面来考察 ( l) 式 的小 区 间特性 . 设 ( l) 式具有不动 点 , 则有郑 , = xk , 代人 ( l) 式 得 : ’xl = 0 , 知 “ 1 一 1加 . 显然 (l) 式有 2 个 解 , 令轨 迹从稍稍偏 离 从 不动 点负 距离 的某点 出发 , 使 耘 卫= 工汁负 , 于是 有 ~ 1 一 、 , 脚)响 , xk) +锋黔 . 。 1 L o gl s it c 映射区 间特性分析 为 了便于编程和证明数字混沌产生器输 出 的信号是 L og is ict 映射的混沌信号 , 必须对 L og - ist i 。 映射 的区 间特性有 一个详细 的了解 . L og is - it 。 映射 源于 1 个 人 口 统计 的动力学模型 : 收稿 日期 2 0 0刁-9 23 赵耿 男 , 36 岁 , 博士生 * 国家自然科学基金资助项 目侧。 . 6 97 72 01 4) _ _ a _ 彻 , xk) _ _ 。 _ ~ 即 ` l = 生戈竺 . 每一 .4S (2) 这是一个线性映射 , 因此 只有当满足嘿普Q! < ` 条件时 , 才能保证不 动点 是稳定 的 . 由 (l) 式有 S = 户一再饭 , 将不 动点 ’xl , 知 代人 S , 解得 : 瓜 , 二 o 时 一 1印l< , 耘 一 1 一 l 加时 1印3< . 当 朴= 1 一 1加时 , 令 5 七 0 可得 产` 2 , 此 时的 不动点被称为超稳定 点 , 即朝着 不动点 吸引子 的 收敛是 指 数 速度 的 . 当 xk = 1一 1加 或 瓜 = 0 , 产= 1时 , 均有 S = 1 , 此时为 临界稳定点 , 一个 小 小 的扰动 即可使轨迹从一个不动点移到另一个 不 动点 . 当产= 3 , S = 一 1 时 , 存在一个倍周期分 叉 . 稳定 的不动点在 产二 3 时 , 失去其稳定性 . 一个周期夕的轨迹是指 经过刃次迭代后 , 轨 DOI: 10. 13374 /j . issn1001 -053x. 2001. 02. 022

·174 北京科技大学学报 2001年第2期 迹，点返回起点.周期N的轨迹方程为： 4.≈3.9出现Explosive分叉，Logistic图上又演变 x4w产f4,f4,…fμ，f4,x)…)=f(4,x)(3) 成一个充满整个区间的吸引子 它不过是新函数F4,=4,x的不动点 方程，对于周期2轨迹，可解方程组： 2L0 gistic映射混沌产生器 x=心(1-x) (4) x2=4x(1-x) 2.1 Logistic映射混沌产生器电路原理. 解得：x2=[u+1±√+1)4-3)]/24，显然只有当 Logistic映射混沌产生器电路由两大部分 >3时有解.定义F4,x广f几4，f4,x】,那么2 组成：Logistic映射数字产生电路和高分辨率D/ 是F4,x)的不动点. A转换器.前者产生数字混沌信号，后者完成数 sF_架.df1-u+1u-3) 字模拟信号转换，使其输出类似连续流混沌产 dxt dxt x 生器的输出信号.为避免信号在信道上传输时 当4=3时，S=1,此时4的一个小小的正扰即可 的高频畸变，可加人低通平滑滤波器， 使轨迹出现倍周期分叉；一个小小的负扰动，则 Logistic映射数字产生电路，由单片机 轨迹趋向不动点1~1/3.令S=-1则可求得轨迹 89C51完成Logistic迭代算法，·时钟晶振24 分叉为周期4时的μ值，即=1+√6=3.449489， MHz,82C55为初值X0及参数值读入接口， 另外，在=1+√5=3.236067…处，S-0,此点为超 74LS138完成地址译码，74LS373为地址存器，5 稳定点，即轨迹以指数速度收敛到稳定的周期 片74LS377完成24位二进制迭代数据的同步 2轨迹.依次类推，可求得周期4，周期8，…周期 输出，最大输出十进制数，0224-1，值的选取根 2”的轨迹分界点4值及x,2,x点轨迹值和超稳 据上节logistic映射参数区间特性所述近似如 定点值，这种连续分叉的情形是Logistic映射的 表1所示.为保证输出是混沌的，值应在阵发混 重要特点之一，经过大量的分叉后，周期变得无 沌带和混沌带内.若用于保密通信，选取值在不 限长，也不再存在周期性，此时系统的吸引子成 动点内，相当于对加密信号不加密的控制，使用 为非周期的，即混沌的，出现这种现象的点是倍 起来十分方便. 周期序列的累加点.假定用4代表周期2轨迹 分叉点，则可用比值： 表1μ值参数选取 dn=。4= Table 1 Selection of u value (5) 4+1一4o μ值 轨迹 上式当n+0时为一常数，6=4.66920…，这就 (0.1) 不动点0 是著名的Feigenbaum常数.6的另一种定义可 (1,3) 不动点x值1-14，超稳定点=2 以是超稳定点之间的距离，于是可估计4的数 (3,3.571448) 倍周期分叉，分叉点序列 值： Am≈h6二L (3,3.449489,,3.571448) 6-1 (6) 超稳定点序列(3.236679，…) 若取前述=2时，6的近似值为√6+√5，可得 3.571448,3.82842) 阵发混沌 4m≈3.571448，当μ>4.时，周期2轨迹不复存 (3.82842,3.85) 周期3分叉(Tangent分叉) 在.事实上，周期轨迹始终存在着，只不过在计 (3.85,3.9) Explosive分叉 算机计算精度范围已看不见了.此时我们说存 (3.9,4.0) 混沌 在混沌映射，它有3个明显特征：(1)对初始条 2.216-24位D1A转换器设计 件具有敏感依赖性；(2)它是非周期的；(3)存在 由2个12位D/A转换器组成的廉价24位 着奇怪吸引子. D/A转换器，将输出的24位二进制信息转换为 既然有偶数周期轨迹，是否还存在齐数周 模拟信号.实际应用中根据需要也可设计164 期轨迹(Tangent分叉)？，考察周期3，即 位的D/A转换器. F4,x上(4，x)的点的集合.事实上周期3轨迹 设：从低到高的数据位序列为(C,C,…,Cs, 是存在的，这个方程是1个六次方程，并可精确 设计n位D/A转换器(n≥16)2个D/A的输出为 求解u。=1+2√/2≈3.8284271….按照Li-Yorke定 n-2 EC2 理：“周期3蕴涵混沌”，显然将会有混沌产生， =20m,%4=- Cn2a-r0 22 .Vea 前苏联学者Sarkovskii明确指出随后发生的周 且满足： 期n(n为任意数)序列，可以求得第2个4。点

北 京 科 技 大 学 学 报 2 00 1 年 第 z 期 迹点返 回 起点 . 周期N 的轨迹方程为 : 工耐习如 , 加 , 一加 , 凡 j , *x) .) · )二尹伽 , x,) (3) 它不过是新 函数 肠 才, *x) 二 了 W心 沼, x,) 的 不动点 方程 , 对 于周 期 2 轨迹 , 可解方程组 : 产 . 二 3 . 9 出现 E x Plos ive 分叉 , L og is ict 图上又演变 成一个充满整个 区 间的 吸引 子 . x , = 娜 2 ( l 一 x) 两 = 那 , ( 1一 x l ) ( 4 ) 解得 : xl, 2 = 叻+l 土丫币平刃石二亏) J#2/ , 显然 只有 当 尸>3 时有解 . 定义 厂勺 通, 从卜几 才, 加 , x,) 」 , 那 么 xl, : 是 孔 沼对 的不 动点 . ~ a F毛沼凡 .1办_ a 一 八户入 J 刁了心 才血 ) _ , 胖 生哉黔宁习篙犷 丝 . 骂黔 二 1 一秘l )伽一 3 ) 当户= 3 时 , S = 1 , 此时 产 的一个 小小 的正扰 即可 使轨迹出现倍周期分叉 ;一个小小 的负扰动 , 则 轨迹趋向不动点 1一 13/ . 令 S = 一 1 则可求得轨迹 分叉为周期 4 时 的产 值 , 即产= 卜褥二3 . 4 9 4 89 · “ · , 另外 , 在 产= 1十再 = 3 . 2 3 6 0 6 .7 · 处 , 及闭 , 此点为超 稳定点 , 即轨迹 以指数速度 收敛到稳定 的周期 2 轨迹 . 依次类推 , 可求得 周期 4 ,周期 8 , … 周期 2n 的轨迹分界点 沁 值及 xl , 2 , . ~ , 二 点轨迹值和超稳 定点值 , 这种连续分叉 的情形是 L og i isct 映射的 重要特点之一 经过大量的分叉后 , 周期变得无 限长 , 也不再存在周期性 , 此时 系统 的吸引子成 为非周期的 , 即混沌 的 . 出现这种现象的 点是倍 周期序列的累加点 . 假定用 产 。 代表周期 2 ” 轨迹 分叉点 , 则可用 比值 : 2 L o gl s it c 映射混沌产生器 .2 1 oL igs ict 映射混沌产生器 电路原理 . L og ist ic 映射混沌 产生器 电路 由两大 部分 组成 : oL ig s t l c 映射数字产生 电路和 高分辨率 D/ A 转换器 . 前 者产生数字混沌信号 , 后者完成数 字 /模拟信号转换 , 使其输 出类 似连续流棍沌产 生器 的输 出信号 . 为避免信号在信 道上传输时 的高频 畸变 , 可加 人低通平滑 滤波器 . oL ig ist 。 映 射 数 字 产 生 电 路 , 由单 片 机 89 c 51 完成 L o ig ist 。 迭 代算法 , · 时钟 晶振 24 M F吃 , 82 c5 5 为初 值 x o 及 参数 值读人接 口 , 7 4 L S 13 8 完成地址译 码 , 7 4 L S 3 7 3 为地址存器 , 5 片 74 L s 3 7 完成 24 位 二进制 迭代数据 的同步 输 出 , 最大输 出十进 制数 , 0 2 24 一 l, 值的选取根 据上 节 lgo i ist 。 映射参数区 间特性所述 近似如 表 1所示 . 为保证输 出是混沌 的 , 值应在阵发混 沌带和混沌带内 . 若用 于保密通信 , 选取值在不 动点 内 , 相 当于对加密信号不加密的控制 , 使用 起来 十分方便 . 氏二 赵些二巡 二丝 尸附一产。 ( 5 ) 表 1 产 值参 数选取 介b le 1 S e le e iot n o f 产 v a l u e 轨迹 上式 当 n 、 二 时为一常数 , 占二 .4 6 69 20 … , 这 就 是著名 的 Fie ge bn ~ 常数 . J 的另一种定义 可 以是超稳定点之间 的距离 , 于是可估计 产 . 的数 值 : 尸 ; 。 夸架 (6) 若取前述 刀 = 2 时 , 占的近似值 为 占二杯 + 办 , 可得 产 . 二 3 . 57 1 4 .8 · , 当产初 。 时 , 周 期 2n 轨迹不复存 在 . 事实上 , 周期轨 迹始终存在着 , 只不过在计 算机计算精度范 围已 看不见 了 . 此时我们说存 在混沌 映射 , 它有 3 个 明显特征 : ( l) 对初始条 件具有敏感依赖性 ; (2 ) 它是非周期 的 ; (3 ) 存在 着奇怪 吸引子 . 既然有偶数周期 轨迹 , 是 否还存 在齐数周 期 轨 迹 邝功g e nt 分 叉 ) ? 、 考 察 周 期 3 , 即 孔 沼, xk) 于厂 3勿 , *x) 的点 的集合 . 事实上周期 3 轨迹 是存在 的 , 这个方程是 1个六次方程 , 并可精确 求解 热= 卜2梅 二 3 . 828 4 27 卜二 按 照 iL 一、 b 水e 定 理 : “ 周期 3 蕴涵混沌 ” , 显 然将会有混沌产生 . 前 苏联学者 S 甲火o v isk i 明确指 出随后发生 的周 期 n (n 为任意数 )序列 , 可 以求得第 2 个 产 . 点 , ( 3 , 3 . 5 7 1 4 8) (3 . 57 1 4 4 8 , 3 . 82 8 4 2 ) ( 3 . 82 8 4 2 , 3 . 85) ( 3 , 8 5 , 3 . 9) ( 3 . 9 , 4 0) 不动点 O 不动点 x 值1一 l加 , 超稳定点尸= 2 倍周期 分叉 ,分叉 点序列 ( 3 , 3 . 4 49 4 8 9 , … , 3 . 5 7 1 44 8 ) 超 稳定点序列 (3 . 2 36 6 79 , … ) 阵发混沌 周期 3 分叉 (几n g e in 分叉) E xP l o s iv e 分叉 棍沌 门一nJ `.L 产一八 、引叼 .2 2 1吞se 2 4 位 D IA 转换器设计 由 2 个 12 位 D /A 转换 器组成 的廉价 24 位 D /A 转换器 , 将输 出的 24 位二进制信息 转换 为 模拟信号 . 实际应用 中根据 需要 也可设计 1 64 位 的 D A/ 转换器 . 设 : 从低到高的数据位序 列为( oC ,口 , … , Q 3 ) , 设计 n 位 D A/ 转换器 ( n 〕 16 )2 个 D 儿A 的输出为 代 “ 且满足 : l 1 艺C 神 O 月~ 12 艺 已+lt · 2 (23 一 · 闲 珠 。 , K 二 一丝 一一 一 一一 . 玖 口 `

Vol23 No.2 赵耿等：Logistic映射数字混沌产生器 ·175+ Peo-an-Ya-U,v-rith. 数字混沌序列只能算是准混沌序列而不是真正 其中，U为输出信号幅值，V为输出混沌信号. 的混沌序列，因为该种序列由于运算精度限制 如设计24位D1A,U=10V,则：Ve=-2.441 而出现周期性，由于输出D/A的位数限制而取 mV,Vn=-10V.设计16位D/A,=5V,则： 值为有限的.但从实用的角度看，只要设计得 /a=-0.3125V,ya=-5V. 好，映射和分叉参数选择合适所产生的序列的 2.3有限字长效应 周期将足够长，序列的相关特性将足够好，可用 从理论上说，混沌轨迹映射产生的序列的 的序列数量足够多.Chua氏认为16位D/A转换 取值是无限的，但具体实现时，要受处理器存在 就已够用，因为通信的时间不可能无限长.本文 的有限位精度运算的限制.因此即使参数选择 设计的混沌产生运算用了二进制34位，按迭代 合理，数字混沌序列产生器，也会使序列的取值 200次s算，重复周期也在半年以上. 是有限的.再者，数字混沌产生器用于输出的D/ 3 L0 gistic映射的数字混沌产生器 A转换器的位数一定，混沌序列的取值受D/A 转换器的限制而十分有限.若D/A位数为8，则 输出实验 序列取值数为256，若D/A位数为16，则序列取 由德国造的Hiokis8840 MEMORY hicorder 值数为65536，若DA位数为24，则序列取值数 高速记录仪记录输出曲线，初值x均为0.68.从 为16777216.从严格意义上讲，用程序产生的 图1看到：图1(a)中4=1.1为一条直线，即1个 K-Ycont (a)=l.】及4=2时输出，不动点 b)4=3.2时输出，周期2 (c)4=3.4时输出，周期4 (d)4=3.5时输出，周期8 HEMORY (e)μ=3.6时输出，阵发混沌带 (0H=4.0时输出，混沌态 图1 Logistic映射数字混沌产生器输出 Fig.1 The output of digital chaos generator based on Logistic map

Vb L 23 N o . 2 赵耿 等 : L o gi sti c 映 射数字 混沌 产生器 . 1 , 5 , , 2 24 一 ” , , , , , , , , , , . 二 , 厂传 。 = ~ 二石百一 ` 厂初 , 一 犷碑 n = U , 犷 = F l 十 r 2 . ` 其 中 , U 为输出信号幅值 , V 为输 出混沌信号 . 如设计 24 位 D A/ , =U 10 V , 则 : 玖 。 = 一 .2 4 1 m V , ha = 一 10 v . 设计 16 位 D /A 刀任 S V , 则 : 玖 口 = 一 0 . 3 12 5 V , 玖 。 = 一 S V . .2 3 有限字长效应 从理论上说 , 混沌轨迹映射产生的序列 的 取值是无限的 , 但具体实现 时 , 要受处理器存在 的有限位精度运 算的限制 . 因此即使参数选择 合理 , 数字混沌序列产生器 , 也会使序列 的取值 是有限的 . 再者 , 数字混沌产生器用于输出的 D/ A 转换 器的位数一定 , 混沌序列 的取值 受 D A/ 转换器 的限制而十分有限 . 若 D A/ 位数为 8 , 则 序列取值数 为 2 56 , 若 D A/ 位数 为 1 6 , 则序列取 值数为 6 5 5 3 6 , 若 D /A 位数 为 24 , 则序列取值数 为 16 7 7了2 16 . 从严格意义上讲 , 用程序产生 的 数字混沌序列只 能算是准混沌序列而不是真正 的混沌序列 , 因 为该 种序列 由于运算精度 限制 而出现周期性 , 由于输 出 D A/ 的位 数限制 而取 值 为有限的 . 但从 实用 的角度看 , 只 要设计得 好 , 映射 和分叉参 数选择合适所 产生 的序列 的 周期将足够长 , 序列的相关特性将 足够好 , 可用 的序列数 量足够多 . C hu a 氏 认为 16 位 D A/ 转换 就 已够用 , 因为通信 的时 间不可能无限长 . 本文 设计 的混沌 产生 运算用 了二进制 34 位 , 按 迭代 20 0 次s/ 算 , 重复周期也在半 年 以上 . 3 L o ig s it c 映射的数字混沌产生器 输出实验 由德 国造 的 iH iok 8 8 40 M E M O R Y hi c o r d e r 高速记录仪记录输 出曲线 , 初值 x0 均 为 .0 68 . 从 图 1 看到 : 图 1(a) 中 产” 1 . 1 为一条直线 , 即 1 个 翩聂口戚 :a) 产 = 1 . 1 及 产 = 2 时输 出 ,不动点 伪) 对 = 3 . 2 时输出 ,周期 2 周图口. (d) 产= 3 . 5 时输出 ,周 期 8 圈吕蕊盆 焉口图骊盛 图 1 L o igs ict 映射数 字混 沌产生器输出 F i g . I T h e o u tP u t o f d igl 加l e h a o s g e n e ar ot r b a s ed o n L o g is it c m a P

·176· 北京科技大学学报 2001年第2期 不动点0.1,4=2为一条直线，即1个不动点0,5； 易控性，参数及初值易于设定，改变程序就可成 图1b)4=3.2为周期2曲线；图1(c)μ=3.4是周 为其他映射的混沌产生器，若将连续流动力学 期4曲线；图1(d)μ=3.5为周期8曲线；图4(e) 方程离散化，依然易实现.该混沌产生器为研究 4=3.6时进入阵发混沌带；图4（①μ=4.0时为混 实际的保密通信系统提供了至关重要的环节， 沌态.这与描述的logistic映射参数区间特性相 参考文献 一致. 1 Carroll TL,Pecora L M,.Synchronization in Chaotic Cir- 4结论 cuits,IEEE Trans on CAS,1991,CAS-38(4):453 2王可人，薛磊.混沌DS通信的一种实现方法.中国人 实验结果表明，Logistic映射混沌产生器输 民解放军电子工程学院学报.1997,16(2)：6,13 出与分析的Logistic映射区间特性一致，因而该 3 Coca D,Billings SA.Continuous-Time System Identific- 产生器是有效的.不难看出，数字混沌产生器克 ation For Linear And Nonlinear Systems Using Wavelet Decompositions.International Jouinal of Bifurcation and 服了连续流混沌产生器难于控制的缺点，具有 Chaos,.1997,71):87 A Digital Chaotic Generator Based on Logistic Map ZHAO Geng,ZHENG Deling,DONG Jiyuan. Information Engineering School,UST Beijing,Beijing 100083,China ABSTRACT A analysis on theory and validity of continuous flow chaos generators used in secure communi- cation systems is presented.The section characteristic of Logistic Map is induced,based on it,a digital chaos generator is designed and realized.Experimental results show output signals'characteristic is identical to the Logistic Map's.The validity of the generator is turned out. KEY WORDS Logistic Map;continuous flow chaos;digital chaos;chaotic generator

. 17 6 . 北 京 科 技 大 学 学 报 2 0 1 年 第 2 期 不 动点 0 . 1 , 产= 2 为一条直线 , 即 1 个不动点 0, ;5 图 1伪 )产 = 3 . 2为周期 2 曲线 ;图 1( 。 )产二 .3 4 是周 期 4 曲线 ; 图 1 (d) 户 = .3 5为周期 8 曲线 ; 图 4( e ) 产 = 3 . 6 时进人阵发混沌带 ; 图 4( 勺产 = .4 0时为混 沌态 . 这与描述 的 fo ig ist c 映射参数 区 间特性 相 一致 . 易控性 , 参数及初值易于设定 , 改变程序就可成 为其他 映射 的混沌产生器 , 若将 连续流动力学 方程离散化 , 依然易实现 . 该混沌产生器为研究 实 际的保密通信系统提供 了 至关重要 的环节 . 参 考 文 献 4 结论 实验结果表 明 , L Og is ict 映射混沌产生器输 出与分析 的 L Og i ist c 映射 区间特性一致 , 因而该 产生器是有效 的 . 不难看出 , 数字混沌产生器克 服 了连续流混沌 产生器难于控制 的缺点 , 具有 I C 别 r o ll T L , P e e oar L M , . Syn e hr o n iaz t i o n in C h a o t i e Ci-r c u ist , IE E E rT an s on c A s , 1 99 1 , CA s 一 3 8( 4) : 45 3 2 王可人 ,薛磊 , 混 沌 D S 通 信的一种实现方法 . 中国人 民解放军电子工 程学院学报 . 19 97 , 16 (2 :) 6 , 13 3 C co a D , B il li n 翻 S A . C o nt inu o u s 一 iT m e s y s te m l d e in iif e - iat on F o r L毗ar A刀 d N o n l ine ar Sy s et m s U s igl M厄v e l e t D e e o m P o s i ti o ns . 加 te m at io anl J o u h l ia o f B i if ir c at i o n an d C h ao s , 19 97 , 7 ( l ) : 87 A D i g i at l C h a ot i e G e n e art o r B a s e d o n L o g i s t i e M ap Z 阮咬口 G e gn, Z习 E澎 G D e il, gl, D O N G五娜 a n I n fo n n a tlon Ep g in e e ir n g S hc o o l , U S T B峋吨 , B e ij ign 10 00 8 3 , C h in a A B S T R A C T A an a ly s i s o n ht e o ry an d v a liid ty o f e o nt in u ou s fl ow e h ao s g e n e r a t o r s u s e d in s e e ure e o n n n un i - c iat on s y s t e m s 1 5 reP s ent e d , T七e s e e it on c h ar a c t e ir st i c o f L og i s it e M aP i s i n d u c e d , ba s e d on it , a d iig at l e h ao s g e n er aot r 1 5 de s i g n e d an d er a l泳d . E xP e ir m e n at l er s u lst s h o w o ul 中ut s ign a l s , e h ar a c et ir st i e 1 5 ide int e a l ot ht e oL ig ist c M aP 、 . Th e val i d iyt of het ge en r at o r is t山 , de o u t . K E Y W O R D S L o g i ist e M ap ; e o n tin u o u s fl o w c h a o s; id g iat l e ha o s: e h a改i e g e n e r a to r