D0I:10.13374/1.issnl00103.2008.04.046 第30卷第4期 北京科技大学学报 Vol.30 No.4 2008年4月 Journal of University of Science and Technology Beijing Apr.2008 互为lilbert变换对的正交小波构造及其应用 陈志新徐金梧 杨德斌 北京科技大学机械工程学院，北京100083 摘要提出一种互为Hilbert变换对的小波代数构造方法，这种互为Hilbert变换对的小波基的构造是从构造小波的充要条 件入手，利用延迟滤波器的思想，把问题化为代数方程组求解.该方法可以避免进行谱分解·经实验证实：由基于本文构造的 小波对的对偶树复小波变换可以得到比离散小波变换更好的特征提取效果· 关键词小波构造；Hilbert变换对；对偶树复小波变换：滤波器：故障诊断 分类号TH165+.3:TN911.7 Design and application of Hilbert transform pairs of wavelet bases CHEN Zhixin,XU Jinwu,YANG Debin School of Mechanical Engineering.University of Science and Technology Beijing.Beijing 100083.China ABSTRACT A method for designing Hilbert transform pairs of orthogonal and biorthogonal wavelet bases was proposed,which can translate the problem into resolving algebraic equations via a flat fractional delay filter based on the sufficient and necessary condition for constructing wavelet.It avoids performing spectral factorization.Experiments show that the dual-tree complex wavelet transform (DT-CWT)based on the wavelet bases constructed by this method can more fit to extract features than the real discrete wavelet transform (DWT). KEY WORDS wavelet construction:Hilbert transform pairs:dual-tree complex wavelet transform:filter:fault diagnosis 离散小波变换(real discrete wavelet transform, 良好的方向选择性；完全重构特性：有限的冗余度， DWT)功能强大，应用广泛，但由于具有以下缺陷而 其冗余性与分解的尺度无关，对m维的信号存在 阻碍着它的进一步应用：(1)不具有平移不变性；(2) 2m倍的冗余；较小的计算量，对m维的信号其计算 方向选择性差，采用多孔算法进行非下采样的小波 量是原DWT的2m倍. 变换可以解决不具有平移不变性的缺点，然而这样 近年来很多研究者提出，可以同时采用两个互 做会导致计算量的急剧增加，且使得输出信息存在 为Hilbert变换的小波对处理信号，通过两个不同系 很大的冗余，给后续处理带来冗余计算 统的综合信息来更有效地表示信号中各向异性的奇 复数小波在给变换带来一定冗余的同时可以克 异性.DT-CWT中实际上就用到了两个互为 服上面的问题，但是超过一层分解的复数小波变换 Hilbert变换的小波对， 的输入是复数形式，要构造它的完全重构的逆滤波 Selesnick给出了正交小波系统构成Hilbert变 器非常困难，为了解决这一问题，Kingsbury提出了 换对的必要条件6，并在文献[5,7]中提出了一种 对偶树离散复小波变换(dual-tree complex discrete 基于延迟滤波器的构造算法，Ozkaramanli等进一 wavelet transform,DT CWT),它既满足完全重构条 步指出Selesnick在文献[6]中给出的必要条件还是 件，又保留了复数小波的其他优点，总的来说，它具 充分的8].与此同时，Kingsbury从平移不变性的角 有以下性质山：近似平移不变性；对多维信号具有 度提出了一种DT-CWT结构，并给出了相应的构 造算法).王红霞等町也于近期提出了新的互为 收稿日期：2006-12-05修回日期：2007-03-31 Hilbert变换对的小波构造方法，取得一定成果 基金项目：北京市自然科学基金资助项目(No,3062012) 本文在Selesnick和Kingsbury等研究的基础 作者简介：陈志新(1973-)，男，博士研究生：徐金梧(1949一)，男， 上，结合构成正交小波的充要条件，提出了构造互为 教授，博士生导师，E-mail:jwxu@ustb.edu.cn Hilbert变换对的正交小波的代数构造方法，并指出
互为 Hilbert 变换对的正交小波构造及其应用 陈志新 徐金梧 杨德斌 北京科技大学机械工程学院北京100083 摘 要 提出一种互为 Hilbert 变换对的小波代数构造方法．这种互为 Hilbert 变换对的小波基的构造是从构造小波的充要条 件入手利用延迟滤波器的思想把问题化为代数方程组求解．该方法可以避免进行谱分解．经实验证实：由基于本文构造的 小波对的对偶树复小波变换可以得到比离散小波变换更好的特征提取效果． 关键词 小波构造；Hilbert 变换对；对偶树复小波变换；滤波器；故障诊断 分类号 T H165＋∙3；T N911∙7 Design and application of Hilbert transform pairs of wavelet bases CHEN ZhixinXU Jinw uY A NG Debin School of Mechanical EngineeringUniversity of Science and Technology BeijingBeijing100083China ABSTRACT A method for designing Hilbert transform pairs of orthogonal and biorthogonal wavelet bases was proposedwhich can translate the problem into resolving algebraic equations via a flat fractional delay filter based on the sufficient and necessary condition for constructing wavelet．It avoids performing spectral factorization．Experiments show that the dua-l tree complex wavelet transform （DT－CWT） based on the wavelet bases constructed by this method can more fit to extract features than the real discrete wavelet transform （DWT）． KEY WORDS wavelet construction；Hilbert transform pairs；dua-l tree complex wavelet transform；filter；fault diagnosis 收稿日期：2006-12-05 修回日期：2007-03-31 基金项目：北京市自然科学基金资助项目（No．3062012） 作者简介：陈志新（1973－）男博士研究生；徐金梧（1949－）男 教授博士生导师E-mail：jwxu＠ustb．edu．cn 离散小波变换（real discrete wavelet transform DWT）功能强大应用广泛但由于具有以下缺陷而 阻碍着它的进一步应用：（1）不具有平移不变性；（2） 方向选择性差．采用多孔算法进行非下采样的小波 变换可以解决不具有平移不变性的缺点然而这样 做会导致计算量的急剧增加且使得输出信息存在 很大的冗余给后续处理带来冗余计算． 复数小波在给变换带来一定冗余的同时可以克 服上面的问题．但是超过一层分解的复数小波变换 的输入是复数形式要构造它的完全重构的逆滤波 器非常困难．为了解决这一问题Kingsbury 提出了 对偶树离散复小波变换（dua-l tree complex discrete wavelet transformDT－CWT）它既满足完全重构条 件又保留了复数小波的其他优点．总的来说它具 有以下性质［1］：近似平移不变性；对多维信号具有 良好的方向选择性；完全重构特性；有限的冗余度 其冗余性与分解的尺度无关对 m 维的信号存在 2m 倍的冗余；较小的计算量对 m 维的信号其计算 量是原 DWT 的2m 倍． 近年来很多研究者提出可以同时采用两个互 为 Hilbert 变换的小波对处理信号通过两个不同系 统的综合信息来更有效地表示信号中各向异性的奇 异性［2－4］．DT－CWT 中实际上就用到了两个互为 Hilbert 变换的小波对［5］． Selesnick 给出了正交小波系统构成 Hilbert 变 换对的必要条件［6］并在文献［57］中提出了一种 基于延迟滤波器的构造算法．Ozkaramanli 等进一 步指出 Selesnick 在文献［6］中给出的必要条件还是 充分的［8］．与此同时Kingsbury 从平移不变性的角 度提出了一种 DT－CWT 结构并给出了相应的构 造算法［2］．王红霞等［9］ 也于近期提出了新的互为 Hilbert 变换对的小波构造方法取得一定成果． 本文在 Selesnick 和 Kingsbury 等研究的基础 上结合构成正交小波的充要条件提出了构造互为 Hilbert 变换对的正交小波的代数构造方法并指出 第30卷 第4期 2008年 4月 北 京 科 技 大 学 学 报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol．30No．4 Apr．2008 DOI:10．13374／j．issn1001－053x．2008．04．046
第4期 陈志新等：互为Hilbert变换对的正交小波构造及其应用 .447. 构造互为Hilbert变换对的双正交小波也可以用类 那么， 似的方法， )= h(2-Pω) 2 1基于延迟滤波器的构造方法 是某个尺度函数∈L2()的傅里叶变换，其中， 文献[6]指出：如果Ho(ω)和G0(ω)是两个共 h(ω)= 艺 h[n]ein 轭正交的低通滤波器组，并且满足 该定理1说明，任何尺度函数都被一个叫“共轭 Go(ω)=Ho(ω)e ,wl0, 2K+2:并分别求出F(z)D(z)、F(z)ZD(1/:)
构造互为 Hilbert 变换对的双正交小波也可以用类 似的方法． 1 基于延迟滤波器的构造方法 文献［6］指出：如果 H0（ω）和 G0（ω）是两个共 轭正交的低通滤波器组并且满足 G0（ω）＝ H0（ω）e －i ω 2 ｜ω｜＜π 那么它们所对应的小波互相形成 Hilbert 变换对即 ψg（ t）＝ H｛ψh（ t）｝ 则相应的小波滤波器 g0（ n）与 h0（ n）相差半个采样 的延迟． 为了构造这样的两个正交的小波对设它们的 低通尺度滤波器有如下形式： H0（ z ）＝F（ z ） D（ z ） （1） G0（ z ）＝F（ z ） z － L D（1／z ） （2） 其中滤波器 D（ z ）是能够获得（或近似获得）半个 采样延迟的分数延迟滤波器． 文献［10］提出了一种有 τ个采样延迟的Thiran 延迟滤波器 D（ z ）： D（ z ）＝1＋ ∑ L n＝1 d（ n） z － n 其中 d（ n）＝（－1） n L n （τ－ L） n （τ＋1） n L 为分数延迟度（与滤波器长度有关）；τ为采样延 迟数此处取 τ＝1／2． 在此基础上文献［7］提出了基于延迟滤波器和 谱分解的互为 Hilbert 变换对的小波构造方法． 2 互为 Hilbert 变换对的正交小波的代数构 造方法 根据 Selesnick 提出的小波互为 Hilbert 变换对 的思想本文结合构成正交小波的充要条件提出构 造互为 Hilbert 变换对的正交小波的代数构造方法． 定理1［11］：设●∈ L 2（ R）是一可积的尺度函数 那么 h ［ n ］＝〈2－1／2●（ t／2）●（ t－ n）〉的傅里叶级 数满足 ∀ω∈ R｜h ＾ （ω）｜2＋｜h ＾ （ω＋π）｜2＝2 （3） 和 h ＾ （0）＝ 2 （4） 反之如果 h ＾ （ω）以2π为周期在 ω＝0的某邻域内 连续可微满足式（3）和（4）且 inf ω∈［－π／2π／2］ ｜h ＾ （ω）｜＞0 那么 ● ＾ （ω）＝ ∏ ＋∞ p＝1 h ＾ （2－pω） 2 是某个尺度函数 ●∈ L 2（ R）的傅里叶变换．其中 h ＾ （ω）＝ ∑ ＋∞ n＝－∞ h［ n］e －i nω． 该定理1说明任何尺度函数都被一个叫“共轭 镜像滤波器”的离散滤波器所确定．传递函数满足 式（3）的离散滤波器叫共轭镜像滤波器． 若 ●为正交尺度函数h＝｛h0h1…hN｝是 对应 ●的双尺度方程的滤波器则构造正交小波时 h 应满足以下方程： ∑k hkhk＋2n＝δ （5） ∑k hk＝ 2 （6） 其中当 n＝0时δ＝1；当 n≠0时δ＝0． 定理2［11］：设 φ和●是生成一组正交基的小波 和尺度函数．设｜φ（ t）｜＝ o ［（1＋ t 2） －p／2－1］ 且 ｜●（ t）｜＝o［（1＋t 2） －p／2－1］则下面四条等价： （1） 小波 φ有 p 阶消失矩； （2） φ ＾ （ω）和它的前 p －1阶导数在 ω＝0处 为零； （3） h ＾ （ω）和它的前 p －1阶导数在 ω＝π处 为零； （4） 对任意0≤k＜ pqk（ t）＝ ∑ ＋∞ n＝－∞ n k●（ t－ n） 是一个 k 阶的多项式． 由该定理2可以得到［12］： h0－h1＋h2－…＋（－1） N hN＝0 （7） h1－2k h2＋…＋（－1） N－1 N k hN＝00＜k＜ p （8） 联立式（5）～（8）得到构造有限正交小波滤波 器的代数方法．通过解以上方程组得到滤波器 h＝ ｛h0h1…hN｝然后按下式： h ＾ （ω）＝ 2 1＋e －iω 2 p F0（e iω） （9） 求出｜F0（e iω ）｜在 ω＝0～2π范围内的上界值如果 它小于等于2p－1则即为所求滤波器［12］． 联立式（5）～（9）即得到构造正交小波的充要条 件．再结合式（1）和（2）本文提出的互为 Hilbert 变 换对的正交小波的代数构造方法步骤如下： （1） 设定消失矩阶数 K滤波器延迟度 L． （2） 求解分数延迟滤波器得 D（ z ）． （3） 设 F （ z ） 为｛x1x2…x N｝其中 N＝ 2K＋2；并分别求出 F（ z ） D（ z ）、F（ z ） Z － LD（1／z ） 第4期 陈志新等： 互为 Hilbert 变换对的正交小波构造及其应用 ·447·
.448 北京科技大学学报 第30卷 的表达式h(n)、g(n) 表1长度分别为12和14的正交尺度滤波器对 (4)求解方程组(5)~(9)，得F(z) Table 1 Two orthogonal scaling filter pairs whose lengths are 12 and 14 (5)F(z)D(z)、F(z)ZD(1/z)即为所求. 当延迟滤波器长度为3时，步骤(3)和(4)中会 n=12 n=14 产生方程数总是比未知变量数多4的问题，由于表 hi 9 少 gi 0 -0.0067 -0.0013 0.0167 达式h(n)、g(n)的对称性，由g(n)得到的方程 0.0033 0.0033 -0.0100 0.0432 0.0353 (5)~(7)这四个方程（式(5）代表两个方程)总是与 2 0.0408 0.0285 -0.0419 0.0235 h(n)的相应方程完全相同，因而步骤(4)总是可以 3 -0.0843 0.0132 -0.1157 -0.1177 得到确定解 -0.2082 -0.2014 0.2763 0.0128 用类似方法可以构造互为Hilbert变换对的双 5 0.2631 -0.0478 0.7748 0.5898 正交小波，此时构造步骤基本等同于上述正交小波 6 0.7859 0.6111 0.5448 0.7526 的构造过程，只是将其中的步骤(4)改为求解满足双 7 0.5054 0.7234 0.0103 0.2432 8 0.0655 -0.0946 正交小波的方程组， 0.2408 -0.0905 9 0.0165 0.0135 -0.0117 -0.0488 3构造实例 10 0.0297 0.0294 -0.0011 -0.0025 11 0.0030 0.0149 0.0054 0.0019 根据以上步骤，用本文方法构造了两个长度分 12 0.0070 0.0079 别为12和14的正交尺度滤波器对h、9如表1，其 13 0.0007 0.0034 对应的互为Hilbert变换对的正交小波如图l. 注：表中n代表滤波器长度 0.25 0.25 (a) (b) 一() -中.() 0.15 0.15 0.05 0.05 0.05 0.05 0.15 0.15 0.250 50100150200250300350 0250 50100150200250300350 时间A 时间【 图1表1所对应的互为Hilbert变换对的正交小波.(a)n=12:(b)n=14 Fig.I Two orthogonal wavelets formed an approximate Hilbert transform pair corresponding to Table 1:(a)n=12:(b)n=14 4仿真实验 Selesnick方法是指用文献[T]构造的互为Hilbert变 换对的小波经DT-CWT分解得到的，各种方法降 对两个仿真的Heavisine信号和Doppler信号进 噪后的信噪比见表2.由此仿真实验结果表明：DT一 行降噪处理，以验证本文构造的小波的有效性，在 CWT可以得到比DWT更好的降噪效果，而用基于 图2和图3中本文方法是指用本文构造的互为 本文构造的小波对的DT-CWT比用Selesnick方法 Hilbert变换对的小波经DT一CWT分解得到的， 可以得到更高的信噪比 表2各种方法降噪后的信噪比 Table 2 SNR resulted by the different denoising methods dB 信号 原始信号 小波包降噪信号 小波降噪信号 Selesnick方法降噪信号 本文方法降噪信号 Heavisine信号 14.1109 25.2365 25.0634 26.0257 26.1540 Doppler信号 13.8965 17.8485 21.7382 21.8251 21.9339
的表达式 h（ n）、g（ n）． （4） 求解方程组 （5）～（9）得 F（ z ）． （5） F（ z ） D（ z ）、F（ z ）Z － LD（1／z ）即为所求． 当延迟滤波器长度为3时步骤（3）和（4）中会 产生方程数总是比未知变量数多4的问题．由于表 达式 h（ n）、g （ n）的对称性由 g （ n）得到的方程 （5）～（7）这四个方程（式（5）代表两个方程）总是与 h（ n）的相应方程完全相同因而步骤（4）总是可以 得到确定解． 用类似方法可以构造互为 Hilbert 变换对的双 正交小波此时构造步骤基本等同于上述正交小波 的构造过程只是将其中的步骤（4）改为求解满足双 正交小波的方程组． 3 构造实例 根据以上步骤用本文方法构造了两个长度分 别为12和14的正交尺度滤波器对 h、g 如表1其 对应的互为 Hilbert 变换对的正交小波如图1． 表1 长度分别为12和14的正交尺度滤波器对 Table1 Two orthogonal scaling filter pairs whose lengths are12and 14 i n＝12 n＝14 hi gi hi gi 0 －0∙0067 －0∙0013 0∙0167 0∙0033 1 0∙0033 －0∙0100 0∙0432 0∙0353 2 0∙0408 0∙0285 －0∙0419 0∙0235 3 －0∙0843 0∙0132 －0∙1157 －0∙1177 4 －0∙2082 －0∙2014 0∙2763 0∙0128 5 0∙2631 －0∙0478 0∙7748 0∙5898 6 0∙7859 0∙6111 0∙5448 0∙7526 7 0∙5054 0∙7234 0∙0103 0∙2432 8 0∙0655 0∙2408 －0∙0946 －0∙0905 9 0∙0165 0∙0135 －0∙0117 －0∙0488 10 0∙0297 0∙0294 －0∙0011 －0∙0025 11 0∙0030 0∙0149 0∙0054 0∙0019 12 － － 0∙0070 0∙0079 13 － － 0∙0007 0∙0034 注：表中 n 代表滤波器长度． 图1 表1所对应的互为 Hilbert 变换对的正交小波．（a） n＝12；（b） n＝14 Fig．1 Two orthogonal wavelets formed an approximate Hilbert transform pair corresponding to Table1：（a） n＝12；（b） n＝14 4 仿真实验 对两个仿真的 Heavisine 信号和 Doppler 信号进 行降噪处理以验证本文构造的小波的有效性．在 图2和图3中本文方法是指用本文构造的互为 Hilbert 变换对的小波经 DT－CWT 分解得到的 Selesnick方法是指用文献［7］构造的互为 Hilbert 变 换对的小波经 DT－CWT 分解得到的．各种方法降 噪后的信噪比见表2．由此仿真实验结果表明：DT－ CWT 可以得到比 DWT 更好的降噪效果而用基于 本文构造的小波对的 DT－CWT 比用 Selesnick 方法 可以得到更高的信噪比． 表2 各种方法降噪后的信噪比 Table2 SNR resulted by the different denoising methods dB 信号 原始信号 小波包降噪信号 小波降噪信号 Selesnick 方法降噪信号 本文方法降噪信号 Heavisine 信号 14∙1109 25∙2365 25∙0634 26∙0257 26∙1540 Doppler 信号 13∙8965 17∙8485 21∙7382 21∙8251 21∙9339 ·448· 北 京 科 技 大 学 学 报 第30卷
第4期 陈志新等：互为Hilbert变换对的正交小波构造及其应用 .449 500 1000 500 1000 500 1000 点数 点数 点数 (a)原始信号 (b)信噪比为14.1dB的染噪信号 (c)小波包降噪信号 500 500 500 1000 点数 点数 点数 (d)小波降噪信号 (e)Selesnick方法降燥信号 (「)本文方法降噪信号 图2 Heavisine信号及其降噪信号 Fig.2 Heavisine and its denoised signal 500 1000 500 1000 500 1000 点数 点数 点数 (a)原始信号 (b)信噪比为13.9dB的染噪信号 (c)小波包降噪信号 500 1000 500 1000 500 1000 点数 点数 点数 (d)小波降噪信号 (e)Selesnick方法降噪信号 ()本文方法降噪信号 图3 Doppler信号及其降噪信号 Fig.3 Doppler and its denoised signal 5应用实验 图5是用DB4小波经DWT分解得到的各层近 似信号(a1~a4)和细节信号(d1一d4),图6是用本 在某钢厂现场的一精轧机齿轮箱上测得有故障 文构造的互为Hilbert变换对的小波（表1中的数 的振动加速度信号，如图4，采样频率是5k,采样 据)经DT-CWT分解得到的各层近似信号(al~a4) 长度是1024点，对此实际信号进行故障特征提取， 和细节信号(dl~d4), 以验证本文构造的小波的有效性
图2 Heavisine 信号及其降噪信号 Fig．2 Heavisine and its denoised signal 图3 Doppler 信号及其降噪信号 Fig．3 Doppler and its denoised signal 5 应用实验 在某钢厂现场的一精轧机齿轮箱上测得有故障 的振动加速度信号如图4采样频率是5kHz采样 长度是1024点．对此实际信号进行故障特征提取 以验证本文构造的小波的有效性． 图5是用 DB4小波经 DWT 分解得到的各层近 似信号（a1～a4）和细节信号（d1～d4）．图6是用本 文构造的互为 Hilbert 变换对的小波（表1中的数 据）经 DT－CWT 分解得到的各层近似信号（a1～a4） 和细节信号（d1～d4）． 第4期 陈志新等： 互为 Hilbert 变换对的正交小波构造及其应用 ·449·
450 北京科技大学学报 第30卷 100 从图6中的a1~a4可以看出：在1024/5000= 80 0.2048s的时间内，非常清楚地出现12个冲击，这 些冲击所对应的频率为12/0.2048=58.59375出 40 而该精轧机锥箱I轴的轴承内圈旋转频率的理论计 算值是58.594，二者完全吻合.最后的检查结果 就是该轧机锥箱I轴的轴承内圈损坏，还有严重磨 损，由此导致轴承偏心，使回转轴每转一周便产生一 次振动冲击.而在图5中对应的a1~a4低频信号 60 没有图6明显，经验证得知：当用DB系列小波经 004 0.08 0.12 0.16 0.20 时间，ts DWT分解得到的相应结果都与图5类似，均没有图 6明显，由此结果表明：由基于本文构造的小波的 图4原始故障信号 DT-CWT可以得到比基于DB小波的DWT更好的 Fig.4 Original fault signal 特征提取效果 100 100 al wwwHwNAm 0 mrrpmrimmyir wnn =100 0.05 0.100.15 0.20 -1006 0.050.100.15 0.20 时间s 时间，s 50 100 a2 d2 W.cTwirmwh M 0.10 -100 0.05 0.15 0.20 0.05 0.100.15 0.20 时间s 时间，s 50 50 3 d3 wwtnwwlnyl 0.05 0.100.15 0.20 0.05 0.10 0.15 0.2 时间，s 时间s a4 Awmnml 20 0.05 0.100.15 0.20 0.05 0.100.15 0.20 时间，s 时间，s 图5用DB4小波经DWT分解得到的各层近似信号(al~a4)和细节信号(d1~d4) Fig.5 Each level signal reconstructed from corresponding approximation coefficients(al-ad)and detail coefficients(dl-d4)by DWT with DB4 wavelet 6结论 免进行谱分解，当分解因式较长或者是有较多的零 点位于单位圆上时，这一分解将会产生较大的误差， 互为Hilbert变换对的正交小波基的构造是从 调整方程数，即小波滤波器长度不变，降低消失矩阶 构造正交小波的充要条件出发，利用延迟滤波器的 数，产生自由变量并设定可以得到新的小波，用类 思想，把问题化为代数方程组求解。该方法可以避 似方法可以构造互为Hilbert变换对的双正交小波
图4 原始故障信号 Fig．4 Original fault signal 从图6中的 a1～a4可以看出：在1024／5000＝ 0∙2048s 的时间内非常清楚地出现12个冲击这 些冲击所对应的频率为12／0∙2048＝58∙59375Hz． 而该精轧机锥箱Ⅰ轴的轴承内圈旋转频率的理论计 算值是58∙594Hz二者完全吻合．最后的检查结果 就是该轧机锥箱Ⅰ轴的轴承内圈损坏还有严重磨 损由此导致轴承偏心使回转轴每转一周便产生一 次振动冲击．而在图5中对应的 a1～a4低频信号 没有图6明显．经验证得知：当用 DB 系列小波经 DWT 分解得到的相应结果都与图5类似均没有图 6明显．由此结果表明：由基于本文构造的小波的 DT－CWT 可以得到比基于 DB 小波的 DWT 更好的 特征提取效果． 图5 用 DB4小波经 DWT 分解得到的各层近似信号（a1～a4）和细节信号（d1～d4） Fig．5 Each level signal reconstructed from corresponding approximation coefficients （a1－a4） and detail coefficients （d1－d4） by DWT with DB4 wavelet 6 结论 互为 Hilbert 变换对的正交小波基的构造是从 构造正交小波的充要条件出发利用延迟滤波器的 思想把问题化为代数方程组求解．该方法可以避 免进行谱分解当分解因式较长或者是有较多的零 点位于单位圆上时这一分解将会产生较大的误差． 调整方程数即小波滤波器长度不变降低消失矩阶 数产生自由变量并设定可以得到新的小波．用类 似方法可以构造互为 Hilbert 变换对的双正交小波． ·450· 北 京 科 技 大 学 学 报 第30卷
第4期 陈志新等：互为Hilbert变换对的正交小波构造及其应用 .451. al dl ALWhmwhw 0.050.10 0.15 0.20 0.050.10 0.15 0.20 时间，s 时间.s d2 Awrwnioih WwM -50 0.05 0.10 0.15 0.20 0.05 0.10 0.15 0.20 时间.s 时间s 100 d3 wwwhco rn -100 0.05 0.100.15 0.20 0.05 0.100.15 0.20 时间，s 时间，s 100 d4 hWenh -10 -100 0.05 0.10 0.15 0.20 0.05 0.10 0.150.20 时间，ts 时间s 图6用本文构造的互为Hilbert变换对的小波经DT℃WT分解得到的各层近似信号(al~a4)和细节信号(dl~d4) Fig.6 Each level signal reconstructed from corresponding approximation coefficients(al-ad)and detail coefficients (dl-d4)by DT-CWT with the wavelet bases proposed in this paper 最后仿真及应用实验均证实：由基于本文构造的互 Signal Process Lett.2001.8(6):170 为Hilbert变换对的小波的DT-CWT可以得到比 [7]Selesnick I W.The design of approximate Hilbert transform pairs DWT更好的特征提取效果. of wavelets bases.IEEE Trans Signal Process,2002.50(5): 1144 参考文献 [8]Ozkaramanli H.Yu R.On the phase condition and its solution for [1]Cheng LZ.Wang H X.Lu Y.Theory and Application of Hilbert transform pairs of wavelets bases.IEEE Trans Signal Wavelet.Beijing:Science Press,2005 Proces,2003,51(12):3293 (成礼智，王红霞，罗永。小波的理论与应用.北京：科学出版 [9]Wang HX.Chen B.Cheng L Z.The design of Hilbert transform 社，2005) pairs of biorthogonal wavelet bases.Chin JComput,2006.29 [2]Kingsbury N.Complex wavelets for shift invariant analysis and (3):441 filtering of signals.Appl Comput Harmonic.2001.10 (3):234 (王红霞，陈波，成礼智.互为Hilbert变换对的双正交小波构 [3]Kingsbury N.Image processing with complex wavelets.Philos 造.计算机学报，2006,29(3)：441) Trans Royal Soe A,1999.357:2543 [10]Thiran J P.Recursive digital filters with maximally flat group [4]Gopinat H R A.The phaselet transform:An integral redundancy delay.IEEE Trans Circuit Theory.1971.18:659 nearly shift invariant wavelet transform.IEEE Trans Signal [11]Stephane M.A Wavelet Tour of Signal Processing.2nd ed. Proces,2003,51(7):1792 Translated by Yang L H.Beijing:China Machine Press.2002 [5]Selesnick I W.The design of approximate Hilbert transform pairs (Stephane Mallat.信号处理的小波导引.杨力华，译.北京： of wavelets bases via the flat delay filter Proceedings of the 机械工业出版社，2002) IEEE International Conference on Acoustics,Speech,and Sig [12]Sun Y K.Wavelet Analysis and Application.Beijing:China nal Processing (ASSP'01).American,2001:3673 Machine Press,2005 [6]Selesnick I W.Hilbert transform pairs of wavelet basis.IEEE (孙延奎.小波分析及其应用.北京：机械工业出版社，2005)
图6 用本文构造的互为 Hilbert 变换对的小波经 DT－CWT 分解得到的各层近似信号（a1～a4）和细节信号（d1～d4） Fig．6 Each level signal reconstructed from corresponding approximation coefficients （a1－a4） and detail coefficients （d1－d4） by DT－CWT with the wavelet bases proposed in this paper 最后仿真及应用实验均证实：由基于本文构造的互 为 Hilbert 变换对的小波的 DT－CWT 可以得到比 DWT 更好的特征提取效果． 参 考 文 献 ［1］ Cheng L ZWang H XLuo Y． Theory and Application of Wavelet．Beijing：Science Press2005 （成礼智王红霞罗永．小波的理论与应用．北京：科学出版 社2005） ［2］ Kingsbury N．Complex wavelets for shift invariant analysis and filtering of signals．Appl Comput Harmonic200110（3）：234 ［3］ Kingsbury N．Image processing with complex wavelets．Philos T rans Royal Soc A1999357：2543 ［4］ Gopinat H R A．The phaselet transform：An integral redundancy nearly shift invariant wavelet transform． IEEE T rans Signal Process200351（7）：1792 ［5］ Selesnick I W．The design of approximate Hilbert transform pairs of wavelets bases via the flat delay filter ∥ Proceedings of the IEEE International Conference on AcousticsSpeechand Signal Processing （ ASSPʾ01）．American2001：3673 ［6］ Selesnick I W．Hilbert transform pairs of wavelet basis．IEEE Signal Process Lett20018（6）：170 ［7］ Selesnick I W．The design of approximate Hilbert transform pairs of wavelets bases．IEEE T rans Signal Process200250（5）： 1144 ［8］ Ozkaramanli HYu R．On the phase condition and its solution for Hilbert transform pairs of wavelets bases．IEEE T rans Signal Process200351（12）：3293 ［9］ Wang H XChen BCheng L Z．The design of Hilbert transform pairs of biorthogonal wavelet bases．Chin J Comput200629 （3）：441 （王红霞陈波成礼智．互为 Hilbert 变换对的双正交小波构 造．计算机学报200629（3）：441） ［10］ Thiran J P．Recursive digital filters with maximally flat group delay．IEEE T rans Circuit Theory197118：659 ［11］ Stephane M．A Wavelet Tour of Signal Processing．2nd ed． Translated by Yang L H．Beijing：China Machine Press2002 （Stephane Mallat．信号处理的小波导引．杨力华译．北京： 机械工业出版社2002） ［12］ Sun Y K．Wavelet A nalysis and Application．Beijing：China Machine Press2005 （孙延奎．小波分析及其应用．北京：机械工业出版社2005） 第4期 陈志新等： 互为 Hilbert 变换对的正交小波构造及其应用 ·451·