容易证明掷点沽的方岩比平法的方大 r切-r{)=1-12-()-=1-F-r(+2J(x=P [(x-(x)20 证明: n(x5k=)+水x5k=(5) 而在平均值法中|=E}=E{(},恰恰用了(51,52)对;的期翼值代 巧n(1252) 这里可以反应出减小方差,加怏收敛的又一个原则。这就是 戛尽量使用理论分析到的期望值来代拟佔计值。逭个環则 也同禅垽用于所有的蒙卡洛棋拟过程。 实上使用这个原则可以織小方、加快收筮的原因是显 的。因为一物隨机拟量总会有误孌的,如最以肴确的理论值来 代謦κ12),就必然食魂小方。所以在一切棋拟过程中,能使 用理论计算值的地方应当尽量使用。 以上觉仉介绍的这丌个微小方塾,加收敛的原则也正是 量抽禅油、分层抽样法、对偶变量法、相关抽禅法的基本出 三、多量定积分的计算 物理上的许多问题都念涉及多量定积分。例如,一个粒子衰 变到n体末的相空间积分,由于每个来虍粒子部有动量和能量 四个分量,考虍到每个粒子灏足能公式和所有粒子的总能、容易证明掷点法的方差比平均值法的方差大 { } { } [ ]2 1 1 1 2 2 2 1 0 0 0 V V η η − = I − − I f ( ) x − I dx = I − − I f (x)dx + 2I f (x)dx − ∫ ∫ ∫ 2 I ( )[1 ( )] 0 . 1 0 = − ≥ ∫ f x f x dx 证明： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , , ( ) 2 1 2 0 2 1 0 2 2 2 η ξ η ξ η ξ ξ ξ ξ x dx x dx x dx f f f = + = ∫ ∫ ∫ 而在平均值法中I = E{ } η1 = E{f (ξ)}，恰恰用了 ( ) 1 2 η ξ ,ξ 对ξ 1的期望值代 替了 ( ) 1 2 η ξ ,ξ 。 这里可以反应出减小方差，加快收敛的又一个原则。这就是 要尽量使用理论分析得到的期望值来代替模拟估计值。这个原则 也同样适用于所有的蒙特卡洛模拟过程。 实际上使用这个原则可以减小方差、加快收敛的原因是显然 的。因为一切随机模拟量总会有误差的，如果以精确的理论值来 代替 ( , ) 1 2 η ξ ξ ，就必然会减小方差。所以在一切模拟过程中，能使 用理论计算值的地方应当尽量使用。 以上我们介绍的这两个减小方差，加速收敛的原则，也正是 重要抽样法、分层抽样法、对偶变量法、相关抽样法等的基本出 发点。 三、 多重定积分的计算 物理上的许多问题都会涉及多重定积分。例如，一个粒子衰 变到n体末态的相空间积分，由于每个末态粒子都有动量和能量 四个分量，考虑到每个粒子满足质能公式和所有粒子的总能、动