命题42线性空间中的加法和数乘满足如下性质: 1、加法满足消去律a+y=B+y→a=B; 2、可移项a+B=y→a=y-B 3、可以消因子ka=B且k≠0,则。_1 4、0●a=0. (-1)a=- 3、线性空间的例子 例 令V表示在(a,b)上可微的函数所构成的集合,令K=R,V中加法的定义就是函数 的加法,关于K的数乘就是实数遇函数的乘法,V构成K上的线性空间 412线性空间中线性组合和线性表出的定义,向量组的线性相关与线性无关的定义以 及等价表述,向量组的秩,向量组的线性等价;极大线性无关组 定义43线性组合 给定V内一个向量组a1,a2…a,,又给定数域K内s个数k,k2,…k,,称 kax1+k2a2+…+ka,为向量组a1,a2…a,的一个线性组合 定义4.4线性表出 给定V内一个向量组a,a2…a,,设B是V内的一个向量,如果存在K内s个数 k1,k2,…k,使得β=ka1+k2a2+…+ka,则称向量B可以被向量组a12a2,…,a,线 性表出 定义45向量组的线性相关与线性无关 给定V内一个向量组a,a2…ax,如果对内某一个向量B,存在数域K内不全 为零的数k,k2…k,使得 kax1+k2a2+…+k,a,=0,则称向量组a1,a2,…,a,线性相关 若由方程ka1+k2a2+…+ka,=0必定推出 k1=k2=…=k,=0,则称向量组a12a2…,a,线性无关 命题43设a1,a2…a,∈V,则下述两条等价: 1)a1,a2…a,线性相关; 2)某个∝1,可被其余向量线性表示 证明同向量空间命题 4.2 线性空间中的加法和数乘满足如下性质： 1、 加法满足消去律       + = +  = ； 2、 可移项       + =  = − ； 3、 可以消因子 k  = 且 k  0 ，则 1 k   = ； 4、 0 0, • =  k • = 0 0, ( 1) − = −   。 3、线性空间的例子 例 4.1 令 V 表示在 ( , ) a b 上可微的函数所构成的集合，令 K = ，V 中加法的定义就是函数 的加法，关于 K 的数乘就是实数遇函数的乘法，V 构成 K 上的线性空间。 4.1.2 线性空间中线性组合和线性表出的定义，向量组的线性相关与线性无关的定义以 及等价表述，向量组的秩，向量组的线性等价；极大线性无关组 定义 4.3 线性组合 给定 V 内一个向量组 1 2 , , ,   s ，又给定数域 K 内 s 个数 1 2 , , , s k k k ，称 1 1 2 2 s s k k k    + + + 为向量组 1 2 , , ,   s 的一个线性组合； 定义 4.4 线性表出 给定 V 内一个向量组 1 2 , , ,   s ，设  是 V 内的一个向量，如果存在 K 内 s 个数 1 2 , , , s k k k ，使得 1 1 2 2 s s     = + + + k k k ，则称向量  可以被向量组 1 2 , , ,   s 线 性表出。 定义 4.5 向量组的线性相关与线性无关 给定 V 内一个向量组 1 2 , , ,   s ，如果对 V 内某一个向量  ，存在数域 K 内不全 为零的数 1 2 , , , s k k k ，使得 1 1 2 2 0 s s k k k    + + + = ，则称向量组 1 2 , , ,   s 线性相关； 若由方程 1 1 2 2 0 s s k k k    + + + = 必定推出 1 2 0 s k k k = = = = ，则称向量组 1 2 , , ,   s 线性无关。 命题 4.3 设 1 2 , ,   s V ，则下述两条等价： 1） 1 2 , ,   s 线性相关； 2）某个  i 可被其余向量线性表示。 证明同向量空间