第一学期第十七次课 第四章线性空间与线性变换 §1线性空间的基本概念 411线性空间的定义及例 1、线性空间的定义 定义41线性空间 设Ⅴ是一个非空集合,且V上有一个二元运算“+”(×V→V),又设K为数域, V中的元素与K中的元素有运算数量乘法“·”(Kx→V) 且“+”与“·”满足如下性质 1、加法交换律Vα,B∈V,有a+B=B+a 2、加法结合律Va,B,y∈V,有(a+B)+y=a+(B+y) 3、存在“零元”,即存在0∈V,使得Va∈V,0+a=a; 4、存在负元,即Va∈V,存在β∈V,使得a+B=0 6、数乘结合律Vk,/∈K,a∈V,都有(k)a=k(la)=l(ka) 7、分配律Vk,l∈K,a∈V,都有(k+l)x=ka+la 8、分配律Vk∈K,a,B∈V,都有k(a+B)=ka+kB, 则称V为K上的一个线性空间,我们把线性空间中的元素称为向量。注意:线性空间 依赖于“+”和“·”的定义,不光与集合V有关 2、零向量和负向量的唯一性,向量减法的定义,线性空间的加法和数乘运算与通常 数的加、乘法类似的性质 命题4.1零元素唯一,任意元素的负元素唯 证明 设0与0均是零元素,则由零元素的性质,有 0=0"+0=0 va∈,设B,B'都是a的负向量,则 B=0+B=(B"+a)+B=B(a+B)=B+0=B, 于是命题得证。由于负向量唯一,我们用一代表a的负向量 定义4.2减法 我们定义二元运算减法“”如下: B定义为a+(-B)第一学期第十七次课 第四章 线性空间与线性变换 §1 线性空间的基本概念 4.1.1 线性空间的定义及例 1、线性空间的定义 定义 4.1 线性空间 设 V 是一个非空集合，且 V 上有一个二元运算“+”( ) V V V  → ，又设 K 为数域， V 中的元素与 K 中的元素有运算数量乘法“ • ”( ) K V V  → ， 且“+”与“ • ”满足如下性质： 1、 加法交换律    , V ，有     + = + ； 2、 加法结合律      , , V ，有 ( ) ( )       + + = + + ； 3、 存在“零元”，即存在 0V ，使得   + =    V, 0 ； 4、 存在负元，即   V ，存在  V ，使得   + = 0 ； 5、 “1 律” 1• =   ； 6、 数乘结合律    k l K V , , ，都有 ( ) ( ) ( ) kl k l l k    = = ； 7、 分配律    k l K V , , ，都有 ( ) k l k l + = +    ； 8、 分配律    k K V , ,   ，都有 k k k ( )     + = + ， 则称 V 为 K 上的一个线性空间，我们把线性空间中的元素称为向量。注意：线性空间 依赖于“+”和“ • ”的定义，不光与集合 V 有关。 2、零向量和负向量的唯一性，向量减法的定义，线性空间的加法和数乘运算与通常 数的加、乘法类似的性质 命题 4.1 零元素唯一，任意元素的负元素唯一。 证明： 设 0 与 0' 均是零元素，则由零元素的性质，有 0 0' 0 0' = + = ；   V ，设  , ' 都是  的负向量，则           = + = + + = + + = + = 0 ( ' ) ' ( ) 0 ， 于是命题得证。由于负向量唯一，我们用− 代表  的负向量。 定义 4.2 减法 我们定义二元运算减法“-”如下：   − 定义为   + −( )