x,∴d=√+(x2)hx=√1+xd 所求弧长为s= (1+b)3-(1+a) 例2计算曲线y= nisin 0de的弧长(0≤x≤nx) 解:y=nSn 1+y2d 1+sin -dx x=nt 1+snt·ndt cos=+2sin-cos-dt =nl sin -+cos 参数方程情形 =(1) =Y=m0(a≤1≤B,其中叫w(0在[a,月上具有连续导数 曲线弧为 )2+(dy)2=o2(1)+v2()dm)2=o2(t)+v2()d 弧长s=Vq2()+v2()dt 例3求星形线x3+y3=a3(a>0)的全长 x=acos t 解:星形线的参数方程为 (0≤t≤2丌) y 根据对称性S=4S1(第一象限部分的弧长4倍) 4s=46√x)+(y)ah=4 basin t cos tdt =6a x= cost 例4证明正弦线y=asnx(0≤x≤2)的弧长等于椭圆 y (0≤t≤2丌)的周长3 , 2 1  y  = x ds x dx 2 1 ( ) 2 1  = + = 1+ xdx, 所求弧长为 s xdx b a = 1+ [(1 ) (1 ) ]. 3 2 2 3 2 3 = + b − + a 例 2 计算曲线 y n  d n x  = 0 sin 的弧长 (0  x  n ). 解： n n x y n 1  = sin  sin , n x = s y dx b a = +  2 1 dx n n x  = +  0 1 sin x = nt + t ndt   0 1 sin dt t t t t n  +       +      =  0 2 2 2 cos 2 2sin 2 cos 2 sin dt t t n       = +  0 2 cos 2 sin = 4n. 三、参数方程情形 曲线弧为 , ( ) ( )    = = y t x t   (  t   ) ，其中 (t), (t) 在 [,] 上具有连续导数. 2 2 ds = (dx) + (dy) 2 2 2 = [ (t) + (t)](dt) (t) (t)dt 2 2 =  + 弧长 ( ) ( ) . 2 2 s t t dt  =  +      例 3 求星形线 3 2 3 2 3 2 x + y = a (a  0) 的全长. 解：星形线的参数方程为     = = y a t x a t 3 3 sin cos (0  t  2 ) 根据对称性 4 1 s = s （第一象限部分的弧长 4 倍） 4 1 s = s (x ) (y ) dt  =  +  2 0 2 2 4  a t tdt  = 2 0 4 3 sin cos  = 6a. 例 4 证明正弦线 y = asin x (0  x  2 ) 的弧长等于椭圆     = + = y a t x t 1 sin cos 2 (0  t  2 ) 的周长. a b