《现代控制理论基础》第四章(讲义) 4.5状态重构问题与 Luenberger状态观测器 前已指出,对于状态完全能控的线性定常系统,可以通过线性状态反馈任意配置闭环系 统的极点。事实上,不仅是极点配置,而且系统镇定、解耦控制、线性二次型最优控制(LQ 问题等,也都可由状态反馈实现。然而,在42节介绍极点配置方法时,曾假设所有的状态 变量均可有效地用于反馈。但在实际情况中,并非所有的状态度变量都可用于反馈。这时需 要估计不可量测的状态变量。需特别强调,应避免将一个状态变量微分产生另一个状态变量, 因为噪声通常比控制信号变化更迅速,所以信号的微分总是减小了信噪比。有时一个纯微分 环节可使信噪比减小数倍。迄今已有多种无需使用微分来估计不能量测状态的方法。对不能 量测状态变量的估计通常称为观测。估计或者观测状态变量的动态系统称为状态观测器,或 简称观测器。如果状态观测器能观测到系统的所有状态变量,不管其是否能直接量测,这种 状态观测器均称为全维状态观测器。有时,我们只需观测不可量测的状态变量,而不是可直 接量测的状态变量。例如,由于输出变量是能量测的,并且它们与状态变量线性相关,因而 无需观测所有的状态变量,而只需观测n-m个状态变量,这里n为状态向量的维数,m为输 出向量的维数 估计小于n个状态变量(n为状态向量的维数)的观测器称为降维状态观测器,或简称 降价观测器。如果降维状态观测器的阶数是最小的,则称该观测器为最小阶状态观测器或最 小阶观测器。本节将讨论全维状态观测器和最小阶状态观测器。 4.5.1问题的提法 状态观测器基于可直接量测的输出变量和控制变量来估计状态变量。在前面讨论的能观 测性概念在这里具有重要的作用。正如在下面将要看到的,当且仅当系统满足能观测性条件 时,才能设计状态观测器 在下面有关状态观测器的讨论中,我们用ⅹ表示被观测的状态向量。在许多实际情况 中,一般将被观测的状态向量用于状态反馈,以便产生期望的控制输入 考虑如下线性定常系统 x=Ax+Bu (4.27) y=Cx 假设状态向量x可由如下动态方程 Ax+ Bu+K,(y-Cx) 中的状态x来近似,则该式表示状态观测器,其中K。称为观测器的增益矩阵。注意到状态 观测器的输入为y和u,输出为X。式(429)中右端最后一项包括可量测输出y与估计输《现代控制理论基础》第四章(讲义) 1 4.5 状态重构问题与 Luenberger 状态观测器 前已指出，对于状态完全能控的线性定常系统，可以通过线性状态反馈任意配置闭环系 统的极点。事实上，不仅是极点配置，而且系统镇定、解耦控制、线性二次型最优控制 (LQ) 问题等，也都可由状态反馈实现。然而，在 4.2 节介绍极点配置方法时，曾假设所有的状态 变量均可有效地用于反馈。但在实际情况中，并非所有的状态度变量都可用于反馈。这时需 要估计不可量测的状态变量。需特别强调，应避免将一个状态变量微分产生另一个状态变量， 因为噪声通常比控制信号变化更迅速，所以信号的微分总是减小了信噪比。有时一个纯微分 环节可使信噪比减小数倍。迄今已有多种无需使用微分来估计不能量测状态的方法。对不能 量测状态变量的估计通常称为观测。估计或者观测状态变量的动态系统称为状态观测器，或 简称观测器。如果状态观测器能观测到系统的所有状态变量，不管其是否能直接量测，这种 状态观测器均称为全维状态观测器。有时，我们只需观测不可量测的状态变量，而不是可直 接量测的状态变量。例如，由于输出变量是能量测的，并且它们与状态变量线性相关，因而 无需观测所有的状态变量，而只需观测 n-m 个状态变量，这里 n 为状态向量的维数，m 为输 出向量的维数。 估计小于 n 个状态变量（n 为状态向量的维数）的观测器称为降维状态观测器，或简称 降价观测器。如果降维状态观测器的阶数是最小的，则称该观测器为最小阶状态观测器或最 小阶观测器。本节将讨论全维状态观测器和最小阶状态观测器。 4.5.1 问题的提法 状态观测器基于可直接量测的输出变量和控制变量来估计状态变量。在前面讨论的能观 测性概念在这里具有重要的作用。正如在下面将要看到的，当且仅当系统满足能观测性条件 时，才能设计状态观测器。 在下面有关状态观测器的讨论中，我们用 x ~ 表示被观测的状态向量。在许多实际情况 中，一般将被观测的状态向量用于状态反馈，以便产生期望的控制输入。 考虑如下线性定常系统 x  = Ax + Bu (4.27) y = Cx (4.28) 假设状态向量 x 可由如下动态方程 ) ~ ( ~ ~ x Ax Bu K y Cx = + + e −  (4.29) 中的状态 x ~ 来近似，则该式表示状态观测器，其中 Ke 称为观测器的增益矩阵。注意到状态 观测器的输入为 y 和 u，输出为 x ~ 。式（4.29）中右端最后一项包括可量测输出 y 与估计输